0 - Unica

Circuiti del primo ordine
•Contengono un solo elemento dinamico
•Il loro comportamento è rappresentato da un’equazione
differenziale del I ordine.
1
Circuiti RC e RL in evoluzione libera •Leggi di Kirchhoff
•Relazioni costitutive
C
R
i
-1
iL
R
vC(0)≠0
dvC (t ) 1
Ri (t ) + vc (t ) = 0 →
+ vc (t ) = 0
dt
τ
τ = RC costante di tempo
v(t)
L
iL(0)≠0
v(t )
L diL (t )
+ iL (t ) = 0 →
+ iL (t ) = 0
R
R dt
diL (t ) 1
+ iL (t ) = 0
τ
dt
L
τ=
costante di tempo
R
dx(t ) 1
+ x(t ) = 0
dt
τ
Forma standard2
-2
dx(t ) 1
+ x(t ) = 0
dt
τ
Equazione differenziale
•del I ordine (la derivata di ordine massimo è la derivata prima)
•lineare (l’incognita e la sua derivata compaiono solo come
termini di I grado)
•a coefficienti costanti (i coefficienti che moltiplicano
l’incognita e la sua derivata sono costanti)
•omogenea (compaiono solo termini che contengono
l’incognita e la sua derivata)
Fissata la condizione iniziale (c.i.), x(0), ha un’unica soluzione
x(t ) = Ke
λt
3
-3
Determinazione di K e λ
L' equazione caratteristica
1
1
λ + = 0 → λ = - → x(t ) = Ke
τ
τ
−t
τ
Sostituend o t = 0 → x( 0 ) = K
Quindi
x(t ) = x( 0 )e
−t
τ
4
-4
Risposta libera (non ci sono generatori):
vC (t ) = vC ( 0 ) e
iL (t ) = iL (0)e
− t RC
− tR L
RC e R/L hanno le dimensioni di un tempo
Matematicamente -∞<t<+ ∞
Nella pratica t>0
v C ( t ), i L ( t ) → 0
per
x(t)
t→ ∞
x(τ ) = x(0 )e −1 ≅ 0.37 x(0 )
x(0)
x(2τ ) = x(0 )e − 2 ≅ 0.135 x(0 )
x(3τ ) = x(0)e −3 ≅ 0.05 x(0)
0.37x(0)
τ
x(4τ ) = x(0 )e − 4 ≅ 0.018 x(0 )
x (0)
−
t + x (0 )
RC
x(5τ ) = x(0 )e −5 ≅ 0.067 x(0 ) 5
A prescindere da x(0), dopo 4 costanti di tempo x(t) vale circa-5
il 2% del valore iniziale; dopo 5 costanti di tempo x(t) vale
meno dell’ 1% del valore iniziale.
La risposta dei circuiti RC e RL ha una durata di 4 o 5
costanti di tempo.
La costante di tempo t è anche una misura inversa della
velocità di decadimento.
I risultati esposti possono estendersi a tutti i circuiti
riconducibili alla configurazione RC o RL.
6
-6
L’evoluzione libera del circuito è una conseguenza
della progressiva dissipazione dell’energia immagazzinata
inizialmente nel condensatore.
La potenza dissipata nel resistore deve coincidere col tasso di
diminuzione dell’energia immagazzinata
vC2
dvC
dw(t )
d 1 2 
=−
= −  CvC (t ) = −CvC
dt
R
dt
dt  2

vC2
dvC
+ CvC
=0
dt
R
dvC vC
+
=0
dt RC
che coincide con l’equazione precedente.
Ciò spiega perché aumentando la costante di tempo (RC), la
tensione diminuisce più lentamente: a parità di tensione
l’energia immagazzinata aumenta se aumenta C, la potenza
dissipata diminuisce se aumenta R.
7
Circuiti RC e RL con un generatore costante
-1
•Leggi di Kirchhoff
•Relazioni costitutive
R
iL
C
Vs
Ri (t ) + vc (t ) = Vs → RC
vC(0)≠0
Is
i
dvC (t )
+ vc (t ) = Vs
dt
Vs
dvC (t ) 1
+ vc (t ) =
dt
τ
τ
τ = RC costante di tempo
R
v(t)
L
iL(0)≠0
v(t )
L diL (t )
+ iL (t ) = I s →
+ iL (t ) = I s
R
R dt
diL (t ) 1
Is
+ iL (t ) =
dt
τ
τ
L
τ=
costante di tempo
R
xp
dx(t ) 1
+ x(t ) =
dt
τ
τ
Forma standard8
-2
xp
dx(t ) 1
+ x(t ) =
dt
τ
τ
Equazione differenziale
•del I ordine, lineare, a coefficienti costanti
• NON omogenea nell’incognita x(t) (compare il termine xp/τ)
Fissata la condizione iniziale (c.i.), x(0), ha un’unica soluzione
x(t ) = Ke
−t
τ
+A
t>0
A è una costante che soddisfa da sola l’eqne differenziale per
t>0 (integrale particolare)
K va determinata imponendo la c.i. x(0)
9
Sostituendo
x(t ) = A nella
xp
dx(t ) 1
+ x(t ) = ,
dt
τ
τ
-3
−t
A xp
0+ =
→ A = x p → x(t ) = Ke τ + x p .
τ τ
In t=0, si ha
x(0) = K + x p → K = x(0) − x p
x(t ) = (x(0) − x p )e
−t
vc (t ) = (vc (0) − Vs )e
τ = RC
+ xp.
τ
−t
τ
+ Vs .
x(t ) → x p per t → ∞
iL (t ) = (iL (0) − I s )e
L
τ=
R
−t
τ
+ Is.
10
x(t)
-4
0.368 x(0) − x(∞ )
x(∞)
x(τ)
x(0)
τ
x(t ) = ( x(0) − x(∞ ))e
−t
τ
+ x(∞ )
x(t ) − x(∞ ) ≅ x(0) − x(∞ ) e
−t
τ
x(τ ) − x(∞ ) ≅ x(0) − x(∞ ) e −1 ≅ 0.368 x(0) − x(∞ )
11
Circuiti del I ordine autonomi o con un generatore costante
-5
I risultati esposti possono estendersi a tutti i circuiti del I
ordine autonomi o con generatori indipendenti di valore
costante. Consideriamo circuiti che contengono
1 condensatore
NR resistori
Ng generatori indipendenti di
valore costante
R
C
Applicando il teorema di Thevenin al
bipolo R si ottiene un circuito RC con
un generatore costante
1 induttore
NR resistori
Ng generatori indipendenti di
valore costante
R
L
Applicando il teorema di Norton al
bipolo R si ottiene un circuito RL con
12
un generatore costante
−t
vc (t ) = (vc (0) − vTh )e
τ
+ vTh
τ = ReqC
iL (t ) = (iL (0) − iN )e
−t
τ
+ iN
-6
τ = L / Req
Req è la resistenza equivalente del bipolo R
τ >0 se Req >0
vc (t ) → vTh per t → ∞
vc (t ) = (vc (0) − v(∞))e
−t
τ
+ v(∞)
iL (t ) → iN per t → ∞
iL (t ) = (iL (0) − iL (∞) )e
Per determinare vc o iL basta conoscere
•Il valore iniziale
•Il valore finale
•La costante di tempo
−t
τ
+ i L (∞ )
13
-7
Il valore iniziale
Spesso è un dato del problema. Spesso però nel circuito
avviene una variazione in t=0, ad esempio un interruttore
cambia posizione.
0- è l’istante che precede la variazione
0+ è l’istante immediatamente successivo alla variazione
Per la proprietà di continuità:
vc(0+)=vc(0-)=vc(0)
iL(0+)= iL(0-)= iL(0)
Se il circuito in t= 0- era in regime costante, determino x(0+)
studiando il circuito resistivo a regime costante, in cui il
condensatore è un circuito aperto e l’induttore è un corto
circuito.
14
-8
Tutte le grandezze ottenute sono di tipo esponenziale.
In un circuito autonomo del I ordine, con Req>0, qualunque
tensione/corrente y(t), per t>0, ha l’espressione
(
)
y (t ) = y (0 ) − y (∞ ) e
+
−t
τ
+ y (∞ )
Tutte le grandezze del circuito hanno la stessa costante di
tempo che vale ReqC oppure L/Req.
Nella espressione di y compare y(0+): le grandezze diverse
da vc e iL possono essere discontinue in t=0, ovvero
y(0+)≠ y(0-)
15
-1
Sovrapposizione degli effetti
risposta libera e risposta forzata
Una generica grandezza si può ottenere sommando
1. il contributo della c.i. con i generatori indipendenti spenti
(risposta libera)
2. il contributo dei singoli generatori indipendenti calcolati con
la c.i. nulla (risposta nello stato zero).
y (t ) = y (0)e
−t
τ
−t

+ 1 − e τ  y (∞)


Risposta libera
Risposta nello stato zero
Risposta forzata 16
-2
u1(t)
u(t)
RETE
RETE
Y1(t)
Y(t)
u2(t)
RETE
Y2(t)
u(t) = au1(t) + bu2(t)
y(t) = ay1(t) + by2(t)
LA RELAZIONE I/O E’ LINEARE
Si dice che una rete e’ lineare se vale la precedente proprieta’ per
qualunque variabile.
Allora: La risposta nello stato zero e’ lineare rispetto all’ingresso
Lo stato zero e’ una specificazione indispensabile
17
-3
Proprieta’ di tempo invarianza
u(t)
u(t) y(t)
u(t-T) y(t-T)
u(t-T)
T
y(t)
y(t-T)
T
Resistori, induttori, capacitori, mutue, sono componenti tempo-invarianti
Ci sono casi in cui la tempo-invarianza e’ voluta (es. interruttore)
18
Rete lineare tempo-invariante nello stato zero
u (t )
Stato
zero
-4
y (t )
tempo-invarianza
u (t + h)
Stato
zero
y (t + h)
linearità
1
[u (t + h) ± u (t )]
h
1
[ y (t + h) ± y (t )]
h
Stato
zero
limite per h
0 (operatore lineare)
du
dt
t
∫ u(τ )dτ
0
Stato
zero
dy
dt
o anche
Stato
zero
t
∫ y(τ )dτ
0
E’ importante che lo stato
iniziale sia nullo altrimenti
ci
sarebbero
delle
costanti di integrazione
che non renderebbero
leciti tali passaggi
19
Stabilità
risposta transitoria e risposta permanente
-1
I circuiti del I ordine con Req>0 sono detti stabili.
In un circuito stabile qualunque risposta ha la forma
y (t ) = ( y (0) − y (∞ ))e
−t
τ
+
y (∞ )
Risposta permanente
Risposta transitoria
(costante)
(esponenziale)
La risposta transitoria scompare col passare del tempo
La risposta permanente coincide col valore finale. E’ costante
se i generatori indipendenti sono di tipo costante.
20
Circuiti instabili
-2
I circuiti del I ordine con Req<0 sono detti instabili.
Qualunque risposta ha ancora la forma
y (t ) = ( y (0) − y (∞ ))e
−t
τ
+
y (∞ )
y (t ) → ∞ per t → ∞
Per i bipoli passivi Req>0. I circuiti passivi sono sempre stabili.
I circuiti attivi possono essere instabili.
21
-1
Funzioni singolari elementari
Le Funzioni singolari elementari sono funzioni discontinue o
con derivate discontinue
Sono buone approssimazioni di
segnali che si incontrano nei
circuiti che subiscono fenomeni
di commutazione
Gradino unitario
Impulso unitario
Rampa unitaria
Gradino unitario
δ-1(t)
 0 per t < 0
δ −1 (t ) = 
1 per t > 0
Non è definita in t=0
22
 0 per t < t0
δ −1 (t − t0 ) = 
1 per t > t0
δ-1(t)
Non è definita in t=t0
-2
t0
Moltiplicare una funzione continua nel tempo per δ-1 consente automaticamente
di considerare tale funzione identicamente nulla per t<0
Dal punto di vista fisico,
corrisponde all’inserzione
di un generatore di valore
unitario all’istante t=t0
0 t < t0
v(t ) = 
V0 t > t0
t=t0
v(t)
Rete
v(t ) = V0δ −1 (t − t0 )
23
Circuiti equivalenti
t=0 a
a
V0δ-1(t)
-3
V0
b
b
t=0
a
I0δ-1(t)
a
I0
b
b
24
-4
Impulso rettangolare
u(t)
u (t ) = Vδ −1 (t ) − Vδ −1 (t − t0 )
V
t0
t
25
-5
Impulso unitario
0 per t < 0
dδ (t ) 
δ (t ) = −1 indefinita per t = 0
dt 
0 per t > 0
δ(t)
Correnti
e tensioni impulsive sono conseguenza di operazioni di
commutazione o di sorgenti impulsive.
L’impulso unitario può essere immaginato come un impulso di durata molto
breve ed area unitaria. Matematicamente:
0+
∫ δ (t )dt = 1
0−
La funzione impulso bδ(t) ha area pari a b.
26
-6
Esempi
δ(t)
5
5δ(t-3)
1
−2δ(t+1)
3
-2
Proprietà di selezione
b
∫ f (t )δ (t − t )dt = f (t )
0
a
0
a<t0<b
La funzione impulsiva non puo’ essere realizzata ma solo
approssimata
27
-7
Rampa unitaria
δ−2(t)
t
δ − 2 (t ) = ∫ δ −1 (t )dt = tδ −1 (t )
−∞
0 t ≤ 0
δ − 2 (t ) = 
t t ≥ 0
0
δ − 2 (t − t0 ) = 
t − t0
t ≤ t0
δ−2(t-t0)
t ≥ t0
t0
28
-8
Qualunque funzione lineare a tratti può essere decomposta in gradini e
rampe e si può scrivere in forma generale come:
u (t ) =
∑ G ⋅δ
i
−1 (t
− ti ) +
i
∑R
j
⋅ δ − 2 (t − t j )
j
Per la linearità e tempo invarianza della relazione I/O la risposta alla u(t)
puo’ essere ottenuta come somma delle risposte a ciascuno dei termini
delle sommatorie a secondo membro.
Allora se h(t) e’ la risposta all’impulso e
t
k (t ) =
∫ h(τ )dτ
t
; e(t ) =
−∞
y (t ) =
∑ G ⋅ k (t − t ) + ∑ R
i
i
i
∫ k (τ )dτ
−∞
j
⋅ e(t − t j )
j
29
-9
Ingresso cisoidale
u (t ) = Ueσt cos(ωt + ϕ )δ −1 (t )
U >0
E’ un ingresso generalizzato
a) Ingresso costante u (t ) = U cos ϕδ −1 (t ) ⇒ y p (t ) = costante
b) Ingresso esponenziale u (t ) = U cos ϕeσtδ −1 (t ) ⇒ y p (t ) = Beσt
c) Ingresso sinusoidale u (t ) = U cos(ωt + ϕ )δ −1 (t ) ⇒ y p (t ) = A cos(ωt ) + B sin(ωt )
d) Ingresso cisoidale u (t ) = Aeσt cos(ωt + ϕ )δ −1 (t ) ⇒ y p (t ) = Beσt cos(ωt + θ )
Altri integrali particolari :
e) Ingresso lineare u (t ) = A + Bt ⇒ y p (t ) = C + Dt
f)Ingresso polinomiale u (t ) = an t n + ........ + a1t + a0 ⇒ y p (t ) = bnt n + ........ + b1t + b0
30
-1
Risposta al gradino di un circuito RC
La risposta al gradino di un circuito è la risposta del circuito
quando l’eccitazione è una funzione gradino.
R
t=0
R
C
Vs
v
v(0) = V0
C
Vsδ-1(t)
i
v
i
Poiché la tensione non può variare istantaneamente
( ) ( )
v 0 − = v 0 + = V0
Prima della commutazione
Dopo la commutazione
31
-2
LKT → Ri + v = Vsδ −1 (t ); RC
dv(t )
dv(t ) v
V
+ v = Vsδ −1 (t ) Per t > 0 :
+
= s
dt
dt
RC RC
1
1
=0→λ =−
RC
RC
Posto τ = RC
v − Vs = (V0 − Vs )e −t /τ ;
λ+
v(t ) = Ke −t /τ + v p
vp → C
dv p (t )
+C
v(t)
v p − Vs
Vs
= 0 → v p = Vs
dt
R
K → v(0) = V0 = Ke −t /τ + v p = K + Vs → K = V0 − Vs
V0
v(t ) = Vs + (V0 − Vs )e −t /τ t > 0
V0
v(t ) = 
−t /τ
(
)
V
V
V
e
+
−
0
s
 s
t<0
t >0
t
Risposta completa
32
Se V0=0
0
v(t ) = 
−t / τ
−
V
1
e
 s
v(t ) = Vs 1 − e −t /τ δ −1 (t )
(
(
)
)
t<0
-3
t >0
t<0
0
dv 
= Vs −t /τ
i (t ) = C
dt  e
R
Vs −t /τ
i (t ) = e δ −1 (t )
R
v(t)
t>0
i(t)
Vs/R
Vs
discontinua
continua
V0
t
t
33
Risposta libera e risposta forzata
(
-4
)
v(t ) = Vs + (V0 − Vs )e − t /τ = Vs 1 − e − t /τ + V0 e − t /τ
La risposta libera è legata all’energia immagazzinata nel
circuito prima dell’applicazione del generatore. Essa tende a
estinguersi al crescere di t;
La risposta forzata è dovuta all’applicazione di una forza
esterna.
Risposta transitoria e risposta di regime
v(t ) = Vs + (V0 − Vs )e − t /τ
La risposta transitoria è la porzione della risposta completa
che tende ad estinguersi quando il tempo tende all’infinito.
La risposta a regime è la porzione della risposta completa
che rimane quando la risposta transitoria si è esaurita.
34
-5
v(t ) = Vs + (V0 − Vs )e − t /τ
In generale
v(t ) = v(∞ ) + (v(0 ) − v(∞ ))e − t /τ
( )
v(0 ) = v 0 +
v(∞ ) e τ
si determina per t<0
si determinano per t>0
v(t ) = v(∞ ) + (v(t0 ) − v(∞ ))e −(t −t0 )/τ
35
-6
Risposta al gradino di un circuito RL
Procedimento alternativo
R
t=0
R
L
Vs
v
v(0) = V0
L
Vsδ-1(t)
i
v
i
i (t ) = ilibera + i forzata
t
−

τ
ilibera = il = Ae

Vs
i
 forzata = i f = R
L
τ=
R
i (t ) = Ae
−t / τ
Vs
+
R
36
Poiché la corrente non può variare istantaneamente
-7
( ) ( )
i 0− = i 0+ = I 0
Vs
Vs
I0 = A + → A = I0 −
R
R
Vs 
Vs  −t /τ
i (t ) = +  I 0 − e
R 
R
i (t ) = i (∞ ) + (i(0 ) − i(∞ ))e −t /τ
i (t ) = i (∞ ) + (i(t0 ) − i (∞ ))e −(t −t0 )/τ
Se i (0 ) = I 0 = 0
(
)
Vs
i (t ) =
1 − e −t /τ δ −1 (t )
R
i(t)
Vs/R
Vs
v(t)
37