Corso di Calcolo delle probabilità - SIGAD -A.A. 2007/2008 Registro provvisorio delle Lezioni tenute da: Giuseppe Sanfilippo
Settimana
Giorno
Lezione
Lez N.
Argomento
Effettuata
1=SI
Introduzione generale. Cenni storici.
1
1
Problema di de Mèrè e soluzione.
martedì 27 febbraio 2007
Proposizioni logiche, eventi, indicatori, esempi, relazioni e
1
operazioni logiche (unione, intersezione, negazione,
2
implicazione).
Formule di De Morgan. Diagrammi di Venn, partizioni finite
1
dell’evento certo, esempi.
3
Esercitazione sugli eventi e sulle operazioni logiche.
Richiami di calcolo combinatorio: Permutazioni;
disposizioni semplici e con ripetizione; combinazioni
mercoledì 28 febbraio 2007
semplici.
1
Fattoriale, coefficiente binomiale, sviluppo del binomio di
Newton (dim.intuitiva).
Calcolo del numero di sottoinsiemi di un insieme finito.
4
Esercizi.
1
Diagramma delle alternative in una passeggiata aleattoria.
Combinazioni con ripetizione, calcolo (con dim) del numero
di soluzioni intere non negative di una equazione.
Calcolo (con dim.) del numero di modi di distribuire n
1
palline in r urne, coefficiente multinomiale, cenno allo
sviluppo della potenza ennesima di un multinomio.
giovedì 1 marzo 2007
5
Esempi dal libro di testo Ross, pag.10
Criterio classico di valutazione della probabilità.
Esercitazione: gioco del lotto, lanci di dadi, gioco del poker.
1
Proprietà fondamentali della probabilità, probabilità
dell'evento contrario, probabilità e partizione. Teorema
6
delle probabilità totali per due eventi.
1
martedì 6 marzo 2007
7
1
2
8
mercoledì 7 marzo 2007
1
1
9
10
1
11
giovedì 8 marzo 2007
1
12
1
martedì 13 marzo 2007
13
1
14
3
1
15
mercoledì 14 marzo 2007
1
16
1
17
Probabilità totali per tre eventi (con dim).
Principio di inclusione/esclusione (no dim).
Cenno al Problema delle concordanze o degli
accoppiamenti: calcolo della probabilità che ci siano zero
concordanze.
Commenti critici sulla definizione classica, esempi vari,
cenni all’impostazione frequentista, aspetti critici.
Impostazione Assiomatica: algebre e sigma-algebre di
eventi; spazi probabilizzabili e spazi di probabilità. Classe di
Borel e insiemi boreliani. Assiomi della probabilità. Critiche
sulla sigma-additività della probabilità. Esempio: estrazione
di un intero a caso.
Costituenti generati da una famiglia di n eventi, esempi,
dipendenza e indipendenza logica, esercizi.
Esercitazione
Definizione soggettiva della probabilità, criterio della
scommessa, condizione di coerenza, alcune proprietà,
valutazioni di probabilità coerenti su n eventi arbitrari
Esempio di de Finetti sulla probabilità di vittoria Italiana in
una gara
Cenno al criterio della penalizzazione. Coerenza e
proprietà della probabilità. Definizione di combinazione
lineare convessa di n numeri e sue proprietà.
Dimostrazione delle condizioni necessarie e sufficienti per
la coerenza di una valutazione di probabilità su un evento e
su una partizione dell'evento certo (pag.8-18 appunti,
escluso penalizzazione).
Probabilità e quote di scommessa. Probabilità coerenti su
due eventi incompatibili e involucro convesso generato dai
punti Q
Problema delle concordanze. Approssimazione del numero
di nepero
Enunciato del teorema per la verifica della coerenza di una
valutazione probabilistica su una famiglia arbitraria di
eventi. Esercitazione
Numeri aleatori semplici, casi particolari, forma canonica,
calcolo dei valori possibili.
giovedì 15 marzo 2007
1
18
martedì 20 marzo 2007
1
1
4
una valutazione di probabilità su una famiglia arbitraria
19
20
1
21
mercoledì 21 marzo 2007
1
giovedì 22 marzo 2007
1
1
1
martedì 27 marzo 2007
1
Previsione, interpretazione meccanica e con il criterio della
scommessa, casi particolari, esempi. Previsione del
numero aleatorio di n eventi equiprobabili. Esempi.
Dimostrazione del teorema per la verifica della coerenza di
22
23
24
25
26
finita di eventi. (Sia cond. Nec. che suff.)
Esercitazione
Teorema Fondamentale delle probabilità coerenti (cenni
sulla dimostrazione). Combinazione lineare convessa di
probabilità coerenti.
Estensione di valutazioni coerenti di probabilità, Massimo e
minimo evento logicamente dipendente.
Esercitazione sulla coerenza e sulla previsione
Esercitazione sulla coerenza e sulla previsione
Definizione di Evento Condizionato. Proprietà. Definizione
di probabilità per gli eventi condizionati.
Teorema delle probabilità composte (con dim.) e corollario.
Considerazioni sulle probabilità nulle
Formula di disintegrazione, teorema delle probabilità
1
5
27
mercoledì 28 marzo 2007
1
28
1
29
giovedì 29 marzo 2007
1
1
martedì 3 aprile 2007
30
31
1
32
1
6
mercoledì 4 aprile 2007
33
composte in generale, esercizi su probabilità condizionate
Problema dei 3 prigionieri. Introduzione al teorema di
Bayes
Teorema di Bayes. Probabilità iniziali, finali,
verosimiglianze. Confronto tra criterio di masssima
verosimiglianza e approccio baeysiano.
Eventi stocasticamente indipendenti. Esempi e
controesempi.
Esercizio sul teorema di Bayes. (15 minuti)
Teorema sugli eventi stocasticamente indipendenti (con
dim.).
Introduzione alla distribuzione binomiale.
Distribuzione binomiale, previsione e varianza, punto di
massimo, studio analitico del grafico. Massimo intero
contenuto.
Diagramma delle traiettorie del numero di successi.
1
giovedì 5 aprile 2007
martedì 10 aprile 2007
0
0
0
0
1
mercoledì 11 aprile 2007
7
1
giovedì 12 aprile 2007
34
34
34
34
34
35
37
38
1
39
venerdì 13 aprile 2007
1
1
martedì 17 aprile 2007
1
40
41
42
1
8
mercoledì 18 aprile 2007
43
1
giovedì 19 aprile 2007
44
1
1
Estrazioni senza restituzione. Cenno sulla scambiabilità
degli eventi.
Distribuzione ipergeometrica. Comportamento asintotico.
36
1
1
Estrazioni con restituzione da un'urna di composizione
nota. Estrazioni senza restituzione da un'urna di
composizione nota: equiprobabilità degli eventi.
45
46
Proprietà di linearità della previsione. Varianza di un
numero aleatorio semplice. Scartoquadratico medio.
Proprietà della varianza. Standardizzazione.
Covarianza. Esempi.
Coefficiente di correlazione lineare e proprietà. Cenno sulla
retta di regressione. Incorrelazione. Incorrelazione tra
indicatori di eventi.
Esempi sul coefficiente di correlazione. Covarianza di
combinazioni lineari di numeri aleatori. Varianza di una
combinazione lineare di numeri aleatori. Matrice delle
varianze e delle covarianze (cenno sulle forme quadratiche
semidefinite positive).
Richiami di cardinalità. Diagonalizzazione di Cantor.
Probabilità su famiglie infinite di eventi. Introduzione alle
variabili aleatorie dicrete.
Funzione di ripartizione. Proprietà. Funzione di ripartizione
dell'indicatore di un evento. Distribuzione Geometrica.
Proprietà di assenza di memoria della distribuzione
geometrica, caratterizzazione.
Distribuzione di Pascal. Varianza della distribuzione
binomiale. Varianza della distribuzione ipergeometrica.
Previzione e varianza di numeri aleatori discreti. Calcolo
della prevsione e della varianza di un numero aleatorio con
distribuzione geometrica.
Esercitazione.
1
47
martedì 24 aprile 2007
1
9
mercoledì 25 aprile 2007
0
0
1
giovedì 26 aprile 2007
1
martedì 1 maggio 2007
0
0
48
48
48
49
50
50
50
Distribuzioni assolutamente continue. Densità di
probabilità, funzione di ripartizione, previsione e varianza
nel continuo. Distribuzione Uniforme: densità, calcolo della
costante di normalizzazione, funzione di ripartizione,
previsione e varianza.
Distribuzione esponenziale: densità (studio analitico e
grafico), calcolo della costante di normalizzazione, funzione
di ripartizione, funzione di sopravvivenza, calcolo della
previsione e della varianza.
Proprietà di assenza di memoria e caratterizzazione della
distribuzione esponenziale.
Distribuzione normale standard (studio analitico e utilizzo
delle tavole).
Previsione e varianza della distribuzione normale standard.
Famiglia delle distribuzioni normali. Trasformazioni lineari.
1
Previsione e varianza della distribuzione normale.
giovedì 3 maggio 2007
51
10
1
1
venerdì 4 maggio 2007
1
martedì 8 maggio 2007
1
1
52
53
54
55
56
1
57
mercoledì 9 maggio 2007
11
1
58
Cambiamento di scala nella distribuzione esponenziale.
Esercitazione sulle distribuzioni normali e sull'utilizzo delle
tavole della normale.
Esercitazione sulla funzione di ripartizione della
distribuzione normale. Distribuzione chi quadro.
Distribuzione Beta, funzione gamma, Distribuzione
Gamma.
Vettori aleatori discreti e continui. Vettori aleatori discreti:
distribuzioni marginali, marginali condizionate.
Indipendenza stocastica, correlazione, esempi.
Distribuzione di Poisson: approssimazione della
distribuzione binomiale; calcolo della previsione e della
varianza.
Cenni sui processi di Poisson. Calcolo della distribuzione di
probabilità del numero di arrivi in [0,t] in un processo di
Poisson.
1
59
giovedì 10 maggio 2007
1
60
1
Extra
venerdi 11 maggio
1
1
martedì 15 maggio 2007
63
1
64
1
mercoledì 16 maggio 2007
65
12
1
66
1
67
giovedì 17 maggio 2007
1
68
EXTRA
venerdì 18 maggio 2007
1
1
del massimo e della somma di due variabili aleatorie con
69
70
1
martedì 22 maggio 2007
Distribuzione della somma di numeri aleatori indipendenti
con distribuzione di Poisson, calcolo delle distribuzioni
marginali condizionate alla somma.
Simulazione: metodo dell'inversa della funzione di
ripartizione.
Esercitazione sulle distribuzione di Polya.
Simulazione di un numero aleatorio con distribuzione
esponenziale.
Vettori aleatori continui. Indipendenza e incorrelazione.
Funzione di ripartizione bidimensionale, proprietà.
Distribuzione uniforme su un rettangolo. Esempio di
distribuzione bidimensionale su un triangolo: calcolo delle
densità marginali e condizionate.
Esempi di variabili aleatorie incorrelate e stocasticamente
dipendenti. Distribuzione uniforme in un cerchio di centro
l'origine, calcolo delle densità marginali. Distribuzione di
funzioni di variabili aleatorie, calcolo della densità e dei
momenti, esempi.
Disuguaglianza di Jensen, esempi e verifica. Momenti e
momenti centrali di ordine k.
Distribuzione della somma di variabili aleatorie. Integrale di
convoluzione. Somma di due variabili aleatorie con
distribuzione uniforme.
Definizione della funzione caratteristice e della funzione
generatrice dei momenti. Alcune proprietà della funzione
caratteristica.Funzione caratteristica di una variabile
aleatoria bernoulliana.
Dispositivi in serie o in parallelo. Distribuzione del minimo,
distribuzione esponenziale stocasticamente indipendenti.
Esercitazione sulle probabilità condizionate.
Calcolo della funzione caratteristica di alcune distribuzioni
notevoli: binomiale, poisson, geometrica, pascal (cenno) ,
71
normale, esponenziale, gamma (cenno).
1
72
1
13
73
mercoledì 23 maggio 2007
1
1
74
75
giovedì 24 maggio 2007
1
76
EXTRA
venerdì 25 maggio 2007
1
1
Derivate di ordine r della f.c. e calcolo dei momenti di una
distribuzione (dimostrazione per r=1). Funzione
caratteristica della somma di v.a. indipendenti.
Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Cebicev.
Convergenza in probabilità. Legge debole dei grandi
numeri.
Teorema di Bernoulli. Convergenza in legge o in
distribuzione.
Teorema centrale del limite: enunciato e dimostrazione.
77
78
Applicazione del teorema centrale del limite:
approssimazione normale della distribuzione binomiale
(Teorema di De Moivre-Laplace)
Esercitazione sui vettori aleatori e sulle probabilità
condizionate.
Esercitazione sulle probabilità condizionate.
