Universo ciclico ed entropia finale e iniziale di ogni ciclo
(concetto di ordine – disordine matematico)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Gruppo “B Riemann”
Abstract
In this paper we show as cyclic universe of Roger Penrose is connected with the our concept of mathematical
order
Riassunto
In questo lavoro mostreremo brevemente la relazione tra l’entropia - disordine - simmetria
finale nell’eone precedente, dal quale nascerà poi il nostro universo, con un nuovo ordine iniziale.
Proponiamo un semplice modello aritmetico di come, tramite l’ordine numerico iniziale, e il
disordine numerico intermedio e finale, possono essere calcolati, giungendo ad un nuovo ordine
iniziale simmetrico all’ordine precedente. Tale modello, con le dovute proporzioni, potrebbe
chiarire come l’universo ciclico di Penrose potrebbe funzionare, e quindi essere di qualche utilità,
evitando salti bruschi e discontinuità, per lo meno sotto l’aspetto matematico al momento del
passaggio da un ciclo all’altro.
Nella concezione dell’universo ciclico di Roger Penrose “Dal Big Bang all’eternità” (Rizzoli) si
parla di entropia e disordine finale di ogni eone (ciclo cosmico) , seguito da un nuovo ordine
iniziale; ne abbiamo parlato in Rif.1 e 2.
Qui accenneremo alla questione entropia e simmetria finale dell’eone o ciclo precedente, e
proporremo un piccolo modello matematico sull’ordine e disordine numerico basato sulle
permutazioni di n elementi (numeri o elementi naturali) , che potrebbe aiutare a comprendere
1
meglio il funzionamento dell’universo ciclico sotto questo aspetto , e possibilmente, di
conseguenza, sotto diversi altri aspetti.
Dalla rivista FOCUS di gennaio 2012, Dossier “Perché esistiamo?”, contributo di Amanda Gefter,
pag. 47 - 48:
“ Circa 13,7 miliardi di anni fa, improvvisamente, dal vuoto emersero, in modo esplosivo,
l’universo, lo spazio e il tempo. Era il Big Bang. Come accadde? E perché? Perché oggi
l’universo esiste così come noi lo vediamo? E’ una domanda a cui è molto difficile rispondere:
Già l’idea che l’universo sia apparso dal nulla è difficile da concepire. Cercare di immaginare
cosa possa essere il nulla stesso è ancora più difficile. In fondo, però, dal punto di vista della
scienza è una domanda molto ragionevole. Dopo tutte alcune leggi fondamentali della fisica
suggeriscono che noi e il resto dell’universo abbiano ben poche possibilità di esistere.
Troppo disordine? La seconda legge della termodinamica dice che nel mondo, l’entropia, il
disordine, tende sempre ad aumentare. Qualsiasi cosa succede nell’universo si dissipa energia.
Il nulla, in base a questa legge, è la massima entropia,il massimo del disordine perché non c’è
più nulla da dissipare. Ma se la tendenza è verso l’entropia e quindi il nulla, come ha fatto il
nulla a trasformarsi in qualcosa di grande come l’universo? La ragione, oggi sappiamo, e che
l’entropia è solo una faccia della medaglia.
L’altro aspetto da considerare è la simmetria. Una qualità che sembra avere una profonda
influenza sull’universo. Tutto ciò che è simmetrico, dalle particelle agli esseri viventi, sembra
essere più stabile. Se , per esempio, affianchiamo 2 corpi con la stessa temperatura,, questa
non cambia in entrambi i corpi. Al contrario, se le temperature sono diverse,entrambi
cambiano: quello più caldo si raffredda e viceversa. Nell’universo, dicono le teorie più
accreditate, ci dovrebbe essere un’eguale quantità (quindi anche qui una simmetria) tra
materia e antimateria,. 2 stai che, se vengono in contatto, si annichiliscono, cioè diventano
nulla. E dato che nel nulla, nel vuoto, non si può distinguere una parte dall’altra, c’è anche il
massimo della simmetria. Ma i fisici hanno scoperto ora che le simmetrie non sono
stabili:sono fatte per essere rotte. La “cromodinamica quantistica”, teoria che descrive come i
quark si comportano all’interno del nucleo atomico, ci dice come il nulla è uno stato instabile.
E che spontaneamente comincia a produrre coppie di quark e antiquark. La simmetria è
rotta. Il << che >> , dice Victor Stenger, fisico dell’Università del Colorado << è un po’ come
dire che esistere è uno stato molto più naturale che il non esistere >>
Einstein . Queste considerazioni si adattano bene alla visione più accreditata sui primi momenti
dell’esistenza dell’Universo.: l’esplosione e la rapida espansione subito dopo il Big Bang, Questo
periodo, chiamato inflazione, inondò l’universo di energia. La teoria generale della relatività di Albert
Einstein spiega come l’energia possa trasformarsi in massa (E = mc2)., e la massa crea gravità (è la
massa della Terra, ad esempio, che determina l’attrazione di gravità che ci tiene incollati al suolo o che
impedisce alla Luna di andarsene a spasso). Ecco perché più energia significa più massa (nel caso
dell’universo tutta la materia ) è anche più gravità (più stelle e pianeti ci sono, più gravità c’è). In
questa situazione,la gravità rappresenta una forza che si contrappone all’inflazione, e la frena, fino ad
eliminarla. Questo perché se l’inflazione espansione,, la gravità tende al contrario a contrarre
l’universo: le stelle si attraggono una con l’altra. I fisici erano soliti pensare che creare qualcosa dal
nulla avrebbe violato leggi come quella della conservazione dell’energia che dice,, in una versione
popolare, “nulla si crea e nulla si distrugge”. Ma se l’energia da conservare è pari a zero, come succede
nel nulla , il problema non esiste più e un universo che spunta dal nulla diventerebbe plausibile.
Leggi misteriose. Questo però non risolve il problema: la nostra comprensione della creazione si basa
2
sulla validità delle leggi della fisica. Ma ciò implica che tali leggi fossero in qualche modo fissate prim
che l’universo esistesse., quindi fuori dallo spazio e senza qualcosa che le causasse. In pratica si torna
alla domanda iniziale: perché queste leggi sono fatte in modo che ci sia qualcosa invece di nulla?
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Amanda Gefter “
Tutto quanto sopra è perfettamente compatibile con l’a teoria dell’universo ciclico di Penrose e con le
nostre considerazioni in questo lavoro. E’ possibile che il big bang non sia stato così violento come si pensa,
ma un processo graduale di ripristino dell’ energia e quindi poi anche di materia, così come dal disordine
numerico massimo di una permutazione, corrisponde una nuova permutazione ordinata (speculare alla
prima) e tale nuovo ordine ricominci gradualmente a “disordinarsi”, ritornando all’inizio del ciclo
precedente. Tra un ciclo e l’altro potrebbero esserci piccole differenze (per esempio sulla durata temporale)
oppure può aggiungersi o sottrarsi qualche elemento naturale ( una cifra nell’esempio delle nostre
permutazioni numeriche, che passerebbero quindi da 10 a 11 oppure a 9, vedi pagine successive).
Qualcosa di simile si trova infatti nel nostro concetto di ordine matematico nelle permutazioni
Da un nostro breve vecchio articolo “Calcolo del disordine dei sistemi semplici” (inedito) ma ora
riveduto e corretto , si potrà vedere numericamente la differenza tra uno stato ordinato ad uno
disordinato, e la successione di tali differenze si potrebbe paragonare grosso modo, con le dovute
proporzioni, all’evoluzione cosmica tra un ciclo e l’altro; sostituendo idealmente gli elementi
naturali ai numeri, le cose non dovrebbero cambiare di molto: è insomma solo un piccolo modello
matematico per capire come funzionerebbe l’universo ciclico senza improbabili sbalzi iniziali e
finali tra massimo disordine e massimo ordine (la natura com’è noto aborrisce il vuoto e le forti
discontinuità).
Calcolo del disordine nei sistemi semplici
Per calcolare il disordine nei sistemi semplici, partiamo con un semplice esempio basato sulle
permutazioni di pochi numeri (per tutti gli altri elementi, ricordiamo che quasi tutto è
“numerabile” e quindi trattabile, sotto questo aspetto, con la relazione che troveremo per
calcolare approssimativamente il disordine; e possibilmente anche per i sistemi complessi e
soprattutto caotici, cioè con molto “disordine” = maggiore differenza con la permutazione
3
iniziale di riferimento, perfettamente ordinata = entropia nulla)
Prendiamo, per semplicità, la sequenza dei numeri
1 2 3 4 5
(1)
Essa è ordinata, e quindi, come vedremo , con disordine (entropia) E = 0
Qui la proposta di facile calcolo del disordine entropia (indicato con E) per ogni permutazione
diversa dalla (1), tra le 5! =120 permutazioni possibili. Per esempio, la permutazione
2 3 1 5 4
e la poniamo sotto la permutazione perfetta (1):
1- 2- 3- 4 - 52 1 3 5 4;
1+1+ 0+ 1+1
somma = 4 = entropia E della permutazione 2 1 3 5 4
sotto quest’ultima, metteremo le differenze (in valore assoluto) tra i singoli elementi delle
due permutazioni, e accanto, la somma di tali differenze, E = 4 in questo caso.
Se calcoliamo l’entropia della (1), otteniamo E = 0, poiché:
1-2-3-4-5
1 2 3 4 5
0+ 0+0 + 0+0 somma = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0, quindi E = 0 , assimilabile allo stato iniziale
di ogni stato perfetto, di ogni perfezione. Ogni sua sia pur piccola modifica comporta sempre
una piccola proporzionale entropia, come in quest’altro esempio:
1 2 4 3 5
1 2 3 4 5
0 0 1 1 0
somma valori assoluti = 1 + 1 = 2 (con i valori negativi e positivi avremmo
avuto 1 + (-1) = 0 = massimo ordine e minimo disordine, ma così non è, per questo usiamo i
valori assoluti.
Eliminando i segni aritmetici per semplicità come pure per gli esempi successivi, vediamo
una permutazione con un maggiore disordine/entropia
213 5 4
123 4 5
1 1 0 1 1 somma valori assoluti = 1+1+0+1+1 = 4
4
La permutazione con il massimo disordine risulta essere infine la permutazione speculare di
quella iniziale 1 2 3 4 5, e quindi la permutazione 5 4 3 2 1, poiché
5 4 3 2 1
1 2 3 4 5
4 2 0 2 4 somma valori assoluti = 4+2+0+2+4 = 12, il disordine massimo, calcolabile
approssimativamente come n2/2 (dove n è il numero di cifre) , in questo caso 52/2=25/2 = 12,5 ≈
12, poiché n=5 è dispari.
Per n pari, la formula dà valori esatti, per es. per n = 6 avremo
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6
5 3 1 1 3 5 somma valori assoluti = 5+3+1+1+3+5 = 18 = n2/2 = 36/2 = 18
Come si nota le differenze assolute sono simmetriche rispetto al valore centrale (zero per n
dispari, 1 ripetuto se n è pari), e questo darebbe indicazioni per una possibile dimostrazione,
che però lasciamo ad altri più volenterosi. Per esempio, se invece delle differenze si fanno le
somme, avremo 7+7+7+7+7+7 = 42 = 6*7 , e come tale (anche per tutti gli altri casi) otteniamo
un numero di forma 2T, con T = numero triangolare (di forma n*(n+1)/2 ), in questo caso 21
(Infatti 6*(6+1)/2 = 6*7 / 2 = 42/2 = 21).
I numeri di forma n*(n+1) +1= 2T + 1 = n2 + n + 1 (formula delle geometrie proiettive),
sono i cosiddetti numeri di Lie, molto importanti per costruire i gruppi di simmetria di Lie ,
oltre che ad essere connessi con i numeri di Fibonacci e partizioni di numeri, presenti in molti
fenomeni naturali (Rif. 3). Poiché anche l’Universo intero è un fenomeno naturale, ci
potrebbe essere una connessione anche con le somme in tal senso, oltre che con l’entropia
(basata invece sulle somme di differenze). Si vedrà eventualmente in seguito.
Esempio finale per n = 10
10
1
9
9
2
7
8
3
5
7
4
3
6
5
1
5
6
1
4
7
3
3
8
5
2 1
9 10
7 9 con somma finale 50 = 102/2 = 100/2 = 50
Quindi, disordine massimo finale corrisponderebbe ad un nuovo ordine, speculare al primo
e tutto riprenderebbe in modo contrario al ciclo precedente: alla fine di ogni espansione
5
ricomincerebbe una nuova contrazione universale, magari con qualche possibile piccola differenza
tra un ciclo e l’altro ( maggiore o minore durata temporale, ecc.).
In questo modo tutto avverrebbe gradualmente da un ciclo all’altro, senza salti improvvisi da un
disordine massimo ad un ordine massimo, visto che le due cose ora coinciderebbero: il vecchio
disordine massimo sarebbe il nuovo ordine, speculare in tutto (o in parte nel caso dell’universo
ciclico) all’ordine precedente : la sequenza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 sono
identiche tranne che nella direzione: sostituendo ai numeri gli elementi naturali , dalle particelle ai
buchi neri, oppure qualche costante universale, cambierebbe soltanto il senso di marcia rispetto al
ciclo precedente…
A proposito di probabile costante naturale coinvolta in tale possibile cambiamento tra un eone e il
successivo, per esempio tra il nostro e il precedente, ecco cosa scrive Penrose nel suo libro citato
all’inizio di questo lavoro, a pag. 274 (in tutto o in parte compatibile con la nostra ipotesi di
parallelismo matematico tra ordine fisico e ordine matematico) :
6
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che le combinazioni come coefficienti binomiali o numeri
triangolari T , connesse ai fattoriali , risultano importanti anche nel nostro concetto di ordine
matematico, e possibilmente anche di ordine fisico, entropia, ecc. anche alla luce del Rif. 3 e della
nota finale sul numero e = 2,71828 con formula basata sugli inversi dei fattoriali , importanti nel
calcolo delle combinazioni (ma anche in fenomeni naturali di crescita e decadimento).
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NOTA 1 sul numero e = 2,71828…
Visto che i fattoriali hanno ha che fare con le combinazioni, e queste con l’ordine matematico
(e probabilmente anche fisico) ricordiamo che la somma degli inversi dei fattoriali equivale al
numero e = 2,71828…, e questo numero, com’è noto, oltre che ad essere alla base dei
logaritmi naturali, è anche alla base di fenomeni naturali di crescita o di decadimento.
Quindi, una relazione matematica profonda (ancora da studiare esaurientemente, questo
nostro lavoretto, infatti, sarebbe un primo piccolo passo in questa direzione) tra
combinazioni, ordine matematico e probabilmente anche fisico, numero e e fenomeni
naturali sarebbe, in linea di massima, possibile (In rif. 3 si nota la relazione tra le
simmetrie e le combinazioni, con i numeri triangolari T e i numeri di Lie di forma 2T +1, ed i
numeri di Fibonacci e partizioni di numeri, entrambi molto vicini a 2T+1).
Da Wikipedia, voce “e, costante matematica”parzialmente:
“ Definizione
Il numero e può essere definito in uno dei seguenti modi equivalenti:
•
come il valore del limite
;
•
come la somma della serie
(Qui n! sta per il fattoriale di n. Proprio per ottenere, per lo sviluppo in serie della funzione
esponenziale, la scrittura compatta
, si pone per definizione 0!=1). “
Poiché un numero di Lie è formato dal prodotto n(n+1), compreso nei fattoriali :
1*2*3*4 si può scrivere infatti come n*(n+1)*(n+2)* (n +3)*(n+4) per n = 1, ma vale
8
per qualsiasi coppia di prodotti intermedi al crescere di n, e tale prodotto è la somma dei termini
di una permutazione ordinata e di una permutazione disordinata , (la somma delle differenze indica
invece il disordine matematico della seconda) ecco che abbiamo uno spunto per approfondire
la possibile suddetta relazione tra combinazioni, disordine, fattoriali e fenomeni naturali tramite il
numero e =2,71828….
NOTA 2
Sulla serie di Don Zagier (pag. 28 rivista Newton di Novembre 2011)
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Commento
Dell’esempio numerico della serie di Don Zagier sopra riportato, sono chiare tre cose
fondamentali:
a) si parla di prodotti tra un numero e il successivo, e cioè n(n+1) che dà numeri di forma 2T
che è anche la formula che dà la somma dei successivi numeri pari; 2T+1 è la forma dei
numeri di Lie, importanti in fisica (sono connessi ai gruppi di simmetria, ma sono connessi
anche ai numeri di Fibonacci e alle partizioni di numeri, entrambi anche questi presenti in
molti fenomeni naturali) ,ed ecco probabilmente il perché della connessione con la K –
teoria algebrica, la teoria quantistica dei campi, ecc.
b) il ciclo numerico 2-3-2-1-1 , se si scrive al contrario: 1-1-2-3-2 , risulta evidente che i primi
quattro termini sono i primi quattro numeri di Fibonacci;
c) tale ciclo si ripete dopo cinque volte (sarebbero stati interessanti alcuni esempi anche per
questa affermazione) , ed anche 5 è un numero di Fibonacci.
Esempi in base a ciò che abbiamo compreso
1) Prendiamo il numero 2 e scriviamo la serie 1-2-3 :
prodotto dei numeri vicini al 2: 1*3 =3 ; 3= 2+1 ( ma anche 22 -1, quindi prodotto numeri
esterni = quadrato del numero centrale -1); quadrato – prodotto = 1.
2) Prendiamo ora il numero 3 e scriviamo la serie 2-3-4 :
2*4=8; 32 = 9 = 8+1 ; in questo caso è il quadrato del numero centrale maggiore del prodotto
dei due numeri esterni 2*4 = 8; prodotto – quadrato = -1.
3) Prendiamo ora il numero 4 e scriviamo la serie 3-4-5 :
3*5=15; 42 =16, ora abbiamo quadrato – prodotto = 1.
4) Per la serie 4-5-6 abbiamo: 4*6= 24 = 52 -1 ecc…
Possiamo notare che otteniamo un’alternanza di +1 se il numero centrale è pari, e di -1 se il
numero centrale è dispari.
Quindi in generale: n-1, n, n+1 abbiamo (n-1)*(n+1) = n2 + 1
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Ma ciò è anche alla base del cosiddetto “paradosso di Fibonacci” , succede infatti la stessa
cosa per tre numeri consecutivi di Fibonacci, per esempio 3-5-8, poiché 3*8=52 -1 = 24=25-1,
mentre per la terna successiva abbiamo 5-8-13, con 5*13= 82+1 =65=64+1, con la stessa
alternanza delle serie n-1, n, n+1, pur non essendo la serie di Fibonacci una serie di numeri
consecutivi. Ma è una progressione geometrica quasi perfetta (la ragione è 1,618…), e tale
regola vale sempre per le progressioni geometriche perfette con ragione un numero intero:,
per esempio le potenze di 2:
2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64…
Per qualsiasi terna, il quadrato equivale sempre al prodotto; esempi
per 2-4-8 abbiamo infatti 2*8=42 = 16
per 4-8-16 abbiamo
...
4*16=82= 64
per 8-16-32 abbiamo
…
8*32=162= 256
e cosi via ; come anche per le potenze di 10 (esempio per 10-100-1000 abbiamo
10*1000=10000=1002), o per le potenze di qualsiasi altro numero.
Quindi la Natura si avvarrebbe, per i suoi fenomeni, anche di questa proprietà matematica
delle serie geometriche dei numeri, consecutive ( ragione = 1) o non (Fibonacci, ragione
1,618) potenze di numeri (ragione = n), ecc. ; con ragione si intende, com’è noto, il rapporto
tra un termine e il precedente. Da notare, inoltre, come 8, 16, 24, 64 e 256 (tutti segnati in
rosso) sono tutti numeri connessi con i numeri inerenti le vibrazioni fisiche delle stringhe
bosoniche (n=24) e delle superstringhe (n=8). Infatti 16 = 8*2, 64 = 82, 256 = 82 * 4 = 162.
Riferimenti
1) UNIVERSO CICLICO O MULTIVERSO?
(Osservazioni matematiche: perché la natura evita i quadrati? )
2) Nota su “Universo ciclico o multiverso?” (un ulteriore indizio a favore del primo)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
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3) L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2 + n + 1 (alla base de numeri e
dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri,delle
simmetrie e delle teorie di stringa) (aggiornamento all’1.1.2012 con alcune tabelle finali)
tutti già su questo sito
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