Misure di aree e volumi

MISURAZIONE DELLE AREE E DEI VOLUMI
Misurazione diretta e misurazione indiretta.
Le misurazioni di lunghezza vengono effettuate confrontando il segmento da misurare
con un altro segmento campione (asta metrica graduata) oppure utilizzando un
apparecchio tarato (calibro a corsoio, micrometro Palmer) che vale come un campione.
Questo procedimento si chiama misurazione diretta.
Esempi di misurazioni dirette:
Utilizzare un termometro per misurare la temperatura;
Utilizzare una bilancia per misurare una massa;
Ad esempio, nella misurazione di una lunghezza
l abbiamo trovato che: l
= 1,215m,
l
dove
è la grandezza fisica e 1,215 è la sua misura, m (cioè il metro) è l’unità di
misura.
In generale: misurare direttamente una "grandezza fisica" significa confrontarla con una
grandezza della stessa specie, che si chiama “unità di misura”; dal confronto nasce un
numero, detto “misura”, che indica il rapporto fra la grandezza in esame e l'unità di
misura. Ricordiamo che qualunque misura fisica risulta sempre approssimata: non
esistono misure fisiche esatte.
Consideriamo ora la misurazione dell’area di un rettangolo di base b e di altezza h. Per
calcolare l'area conviene applicare la formula:
A=bˑh
area rettangolo = base ˑ altezza
Cioè si misura la base b e l'altezza h con la stessa unità di misura (il metro), poi si esegue
il prodotto delle due misure e si ottiene la misura dell'area in metri quadrati.
Questo è un esempio di misura indiretta; cioè l'area del rettangolo non è stata misurata
confrontandola direttamente con l'unità di misura delle aree, per esempio il
metroquadrato, ma è stata calcolata dopo aver misurato direttamente i lati con il metro,
che è unità di misura delle lunghezze.
In generale: per misurare indirettamente una grandezza fisica bisogna innanzitutto,
conoscere la relazione o formula che lega la grandezza in esame con le altre grandezze
che si misurano direttamente; poi, effettuate queste misure dirette, si “calcola” la
grandezza in esame applicando la formula.
Siccome una formula che esprime una grandezza ne contiene delle altre, si presenta la
necessità di dover definire le operazioni fra grandezze. È stato riscontrato :
1) l'espressione di una grandezza fisiea è paragonabile a un monomio, di cui la misura è il
fattore numerico e l'unità di misura è il fattore letterale;
2) le operazioni fra grandezze si eseguono applicando le stesse regole delle operazioni
algebriche fra i monomi.
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e così via.
Si osservi che nelle operazioni fra le grandezze vengono man mano definite nuove unità.
Riferendoci agli esempi precedenti si ha:
m x m =m2 ; m x m2 = m3
Incertezza o errore nelle misurazioni indirette
Per il calcolo dell'errore nelle misurazioni indirette valgono le seguenti regole, riferendosi
sempre agli errori considerati nel loro valore assoluto.
I. L'errore della somma o della differenza di due grandezze è espresso dalla somma degli
errori dei singoli termini.
Esempio.
- La misurazione diretta dei lati di un rettangolo ha dato i seguenti. risultati:
a = (3,250 ± 0,001) m; b = (2,063 ± 0,001) m.
Calcoliamo il perimetro.
Applicando la regola precedente l'errore del risultato è (0,001+0,001+0,001+0,001) m,
cioè 0,004 m. Quindi:
Perimetro = (10,626 ± 0,004)m
II. L'errore relativo del prodotto o del quoziente di due grandezze è espresso dalla somma
degli errori relativi dei singoli termini.
Esempio. - Calcolare l'area del rettangolo precedente. Applicando la regola, l'errore
relativo del risultato è:
0,001 0,001
+
≈ 0,0003 + 0,0005 = 0,0008
3,250 2,063
2
Errore assoluto = 0,0008 ˑ 6,704750m2 = 0,0054m2
Calcolo con i numeri approssimati
Nella pratica, il calcolo si esegue spesso senza precisare gli errori delle misurazioni;
questi vengono indicati, in modo approssimativo, dal numero di, cifre che si scrivono.
Le regole pratiche del calcolo con numeri approssimati si ricavano dalle regole I, II, III
per il calcolo degli errori (n. 2).
I. La somma o la differenza di due misure non può avere un numero di « cifre decimali »
maggiore di quante ne possiede il termine meno preciso.
ll risultato è 5,9; le altre due cifre sono illusorie perché il termine meno preciso (3,4)
possiede una cifra decimale.
II. Il prodotto o il quoziente di due misure non può avere un numero di « cifre
significative » maggiore di quante ne possiede il termine meno preciso.
Il risultato è 16; le tre cifre successive sono illusorie perché il fattore meno preciso (4,7)
possiede due cifre significative.
Esempio:
3
3,42 : 47 = 0,727
È inutile continuare perché il termine meno preciso (47) possiede solo due cifre
significative. Dunque il risultato è 0,73.
ESEMPIO. - Calcolare l'arca di un rettangolo avente i lati di 3,25 m e di 2,063 m.
Il risultato della moltiplicazione è 6,70475; e poiché il prodotto non può avere un numero
di cifre significative maggiore del fattore meno preciso, e questo ha tre cifre significative,
il risultato è:
area = 6,70 m2; le altre cifre decimali sono illusorie.
III. La potenza di una misura non può avere un numero di « cifre significative » maggiore
di quante ne possiede la base.
Esempio
(3,2)2 = 10,24
II risultato è 10; le due cifre successive sono illusorie perché la base (3,2) possiede solo
due cifre significative.
Esercitazioni
Misure di arre e di volumi:
1. Si misurino i lati di un tavolo rettangolare e si calcoli l’area della superficie.
2. Si misurino i lati di una scatola avente le facce rettangolari e si calcoli il suo
volume.
3. Si misuri la lunghezza di una sbarretta con l’asta metrica ed il suo diametro con il
calibro a cursore e si calcoli il suo volume.
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