MISURAZIONE DELLE AREE E DEI VOLUMI Misurazione diretta e misurazione indiretta. Le misurazioni di lunghezza vengono effettuate confrontando il segmento da misurare con un altro segmento campione (asta metrica graduata) oppure utilizzando un apparecchio tarato (calibro a corsoio, micrometro Palmer) che vale come un campione. Questo procedimento si chiama misurazione diretta. Esempi di misurazioni dirette: Utilizzare un termometro per misurare la temperatura; Utilizzare una bilancia per misurare una massa; Ad esempio, nella misurazione di una lunghezza l abbiamo trovato che: l = 1,215m, l dove è la grandezza fisica e 1,215 è la sua misura, m (cioè il metro) è l’unità di misura. In generale: misurare direttamente una "grandezza fisica" significa confrontarla con una grandezza della stessa specie, che si chiama “unità di misura”; dal confronto nasce un numero, detto “misura”, che indica il rapporto fra la grandezza in esame e l'unità di misura. Ricordiamo che qualunque misura fisica risulta sempre approssimata: non esistono misure fisiche esatte. Consideriamo ora la misurazione dell’area di un rettangolo di base b e di altezza h. Per calcolare l'area conviene applicare la formula: A=bˑh area rettangolo = base ˑ altezza Cioè si misura la base b e l'altezza h con la stessa unità di misura (il metro), poi si esegue il prodotto delle due misure e si ottiene la misura dell'area in metri quadrati. Questo è un esempio di misura indiretta; cioè l'area del rettangolo non è stata misurata confrontandola direttamente con l'unità di misura delle aree, per esempio il metroquadrato, ma è stata calcolata dopo aver misurato direttamente i lati con il metro, che è unità di misura delle lunghezze. In generale: per misurare indirettamente una grandezza fisica bisogna innanzitutto, conoscere la relazione o formula che lega la grandezza in esame con le altre grandezze che si misurano direttamente; poi, effettuate queste misure dirette, si “calcola” la grandezza in esame applicando la formula. Siccome una formula che esprime una grandezza ne contiene delle altre, si presenta la necessità di dover definire le operazioni fra grandezze. È stato riscontrato : 1) l'espressione di una grandezza fisiea è paragonabile a un monomio, di cui la misura è il fattore numerico e l'unità di misura è il fattore letterale; 2) le operazioni fra grandezze si eseguono applicando le stesse regole delle operazioni algebriche fra i monomi. 1 e così via. Si osservi che nelle operazioni fra le grandezze vengono man mano definite nuove unità. Riferendoci agli esempi precedenti si ha: m x m =m2 ; m x m2 = m3 Incertezza o errore nelle misurazioni indirette Per il calcolo dell'errore nelle misurazioni indirette valgono le seguenti regole, riferendosi sempre agli errori considerati nel loro valore assoluto. I. L'errore della somma o della differenza di due grandezze è espresso dalla somma degli errori dei singoli termini. Esempio. - La misurazione diretta dei lati di un rettangolo ha dato i seguenti. risultati: a = (3,250 ± 0,001) m; b = (2,063 ± 0,001) m. Calcoliamo il perimetro. Applicando la regola precedente l'errore del risultato è (0,001+0,001+0,001+0,001) m, cioè 0,004 m. Quindi: Perimetro = (10,626 ± 0,004)m II. L'errore relativo del prodotto o del quoziente di due grandezze è espresso dalla somma degli errori relativi dei singoli termini. Esempio. - Calcolare l'area del rettangolo precedente. Applicando la regola, l'errore relativo del risultato è: 0,001 0,001 + ≈ 0,0003 + 0,0005 = 0,0008 3,250 2,063 2 Errore assoluto = 0,0008 ˑ 6,704750m2 = 0,0054m2 Calcolo con i numeri approssimati Nella pratica, il calcolo si esegue spesso senza precisare gli errori delle misurazioni; questi vengono indicati, in modo approssimativo, dal numero di, cifre che si scrivono. Le regole pratiche del calcolo con numeri approssimati si ricavano dalle regole I, II, III per il calcolo degli errori (n. 2). I. La somma o la differenza di due misure non può avere un numero di « cifre decimali » maggiore di quante ne possiede il termine meno preciso. ll risultato è 5,9; le altre due cifre sono illusorie perché il termine meno preciso (3,4) possiede una cifra decimale. II. Il prodotto o il quoziente di due misure non può avere un numero di « cifre significative » maggiore di quante ne possiede il termine meno preciso. Il risultato è 16; le tre cifre successive sono illusorie perché il fattore meno preciso (4,7) possiede due cifre significative. Esempio: 3 3,42 : 47 = 0,727 È inutile continuare perché il termine meno preciso (47) possiede solo due cifre significative. Dunque il risultato è 0,73. ESEMPIO. - Calcolare l'arca di un rettangolo avente i lati di 3,25 m e di 2,063 m. Il risultato della moltiplicazione è 6,70475; e poiché il prodotto non può avere un numero di cifre significative maggiore del fattore meno preciso, e questo ha tre cifre significative, il risultato è: area = 6,70 m2; le altre cifre decimali sono illusorie. III. La potenza di una misura non può avere un numero di « cifre significative » maggiore di quante ne possiede la base. Esempio (3,2)2 = 10,24 II risultato è 10; le due cifre successive sono illusorie perché la base (3,2) possiede solo due cifre significative. Esercitazioni Misure di arre e di volumi: 1. Si misurino i lati di un tavolo rettangolare e si calcoli l’area della superficie. 2. Si misurino i lati di una scatola avente le facce rettangolari e si calcoli il suo volume. 3. Si misuri la lunghezza di una sbarretta con l’asta metrica ed il suo diametro con il calibro a cursore e si calcoli il suo volume. 4