E - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

IL CAMPO ELETTROMAGNETICO RAPIDAMENTE
DIPENDENTE DAL TEMPO
•Il principio di conservazione della carica
•La legge di Ampere-Maxwell
•Esempi
•Le Equazioni di Maxwell.
legge Faraday: induzione
I° esperimento
spira con galvanometro
magnete in moto ⇒
B variabile
Se un magnete si muove rispetto ad una
spira si ha
produzione di corrente indotta
II° esperimento
2 circuiti affacciati si chiude il primo
circuito
si misura corrente nel secondo circuito
Conclusione: una corrente elettrica può
essere generata da un campo magnetico
variabile nel tempo
Legge di Faraday : una corrente elettrica può essere
generata da un campo magnetico variabile nel tempo:
descrizione quantitativa
Flusso magnetico:
Φb =?B? dA
Tm2=W
flusso Φb concatenato con un circuito
quando varia nel tempo si ha fem indotta
ε= -dΦb /dt
ε = fem tensione ai capi di un generatore
quando la corrente è zero (circuito aperto)
ε= IR+Ir
ε∗
Legge Ampère-Maxwell
Come si calcola la corrente di conduzione?
Si considera una superficie S delimitata dal
contorno s e si calcola la corrente all’interno
della stessa.
La corrente i che fluisce attraverso tutte le
superfici delimitate da s è la medesima se la
corrente entrante è uguale a quella uscente
condizione di stazionarietà
Cosa succede se si interrompe la corrente?
I(S2)=0
Situazione contraddittoria
spira
ε = -dΦb /dt= -d/dt(BA cosθ)
bobina
ε = - N dΦm/dt
si ha fem indotta quando
1 varia il modulo di B
2 varia la superficie del circuito
3 varia l’angolo tra B e il circuito
quale corrente circola nel circuito?
I= ε/R=-(1/R) dΦb /dt
corrente effetto secondario, dipende dalla resistenza del circuito
a circuito aperto:
V= ε=- dΦb /dt
fem indotta si comporta come la fem di un generatore
ddp che si misura quando non passa corrente
ε = -dΦb /dt=∫c E•ds
IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE
DELLA CARICA
In tutti i processi che avvengono nell’universo l’ammontare netto di
carica elettrica deve rimanere sempre lo stesso.
(il principio è ottenuto dall’evidenza sperimentale)
Questo principio si traduce nel dire che se prendiamo una superficie
chiusa S e indichiamo con q la carica netta dentro S all’entrata di carica
in S corrisponde un aumento di q all’uscita di carica da S corrisponde una
diminuzione.
flusso  flusso  flusso netto 
diminuzione  

 
 

 = di carica  − di carica  = di carica

di carica in S uscente  entrante  uscente


 

 
−
dq
dt
= I
⇒
dq
dt
+ I = 0
La corrente I è presa positiva se uscente da S, negativa se entrante.
Tenendo conto della Legge di Gauss
(la carica totale entro una superficie S chiusa è
pari al flusso del campo elettrico E attraverso la
superficie stessa)

d  r
I + ε 0  ∫ E ⋅ nˆdS  = 0
dt  S

Se i campi E sono statici: I=0
N.B. I è riferita ad una superf. chiusa!
LA LEGGE DI AMPERE-MAWELL
Legge di Faraday: la circuitazione di E lungo una linea chiusa L è
correlata alla variazione del flusso di B attraverso una superficie
che ha L come contorno
∫
L
r
r
d
E ⋅dl = −
dt
∫
r
B ⋅ nˆ dS
S
Teorema di Ampére: la circuitazione di B lungo una linea chiusa L
è legata alla corrente concatenata (cioè al flusso del vettore
densità di corrente j attraverso una superficie con contorno L)
r r
r
∫ B ⋅ dl = µ0 I =µ0 ∫ j ⋅ nˆdS
L
Valida solo per B stazionario
S
Prendiamo una superficie S
che ha come contorno la curva
chiusa L e restringiamo L fino a
tendere ad un punto, la circuitazione di B tende a
zero e quindi dalla legge di Ampere
r r
∫ B ⋅ dl = 0 → I = 0
L
Ma dal principio di conservazione
della carica abbiamo visto
che I=0 solo nel caso
di campo elettrico statico.
Quindi nel caso di campo E(t)
la legge di Ampere arriva ad
assurdo.
Possiamo superare l’assurdo se ricordiamo che il principio di
conservazione della carica raggiunge il risultato:

d  r
I + ε 0  ∫ E ⋅ nˆdS  = 0
dt  S

Se sostituiamo questo termine di corrente “generalizzata” nella legge
di Ampére otteniamo un risultato formalmente valido sia per campi
statici che dinamici:
r r


d r
∫ B ⋅ dl = µ0  I + ε 0 dt ∫ E ⋅ nˆdS 
L

S

Tale relazione prende il nome di legge di Ampere-Maxwell e di fatto
lega la circuitazione di B lungo una curva chiusa L al flusso di
cariche (corrente) attraverso una superficie S che ha L come
contorno e alla variazione del flusso del campo elettrico attraverso
la stessa superficie.
La quantità
µ
0
ε
0
d
dt
∫
r
r
E ⋅ dS = I
Spostament
o
S
Ha le dimensioni di una corrente, gioca il ruolo di una
corrente nell’equazione che dà la conservazione della
carica e viene chiamata corrente di spostamento;
di fatto non è un moto di cariche ma un effetto
dei campi E e B variabili nel tempo e correlati.
In conclusione (nel vuoto in una regione di spazio priva di cariche):
un campo elettrico variabile nel tempo comporta l’esistenza, nella stessa
regione dello spazio, di un campo magnetico tale che la circuitazione del
campo magnetico lungo un percorso chiuso arbitrario sia proporzionale alla
derivata rispetto al tempo del flusso del campo elettrico attraverso
una superficie delimitata dal percorso stesso .
r r


d r
∫L B ⋅ dl = µ0  I + ε 0 dt ∫S E ⋅ nˆdS 


Esempio
Carica o scarica di un condensatore a facce piane circolari e
parallele.
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 I
Superficie attraverso la
quale passa il filo percorso
da corrente
Superficie che passa
attraverso i piatti del
condensatore
L
∫
L
r r
d r r
B ⋅ dl = µ 0 ε 0
E ⋅ dS
dt
∫
S
Notare l’analogia e la simmetria tra le leggi di
Faraday e Ampere-Maxwell in assenza di correnti!
r
r
E ⋅ d l = −
∫
L
∫
L
d
dt
∫
r
r
B ⋅ d S
S
r r
d r r
B ⋅ dl = µ 0 ε 0
E ⋅ dS
dt
∫
S
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
IN FORMA INTEGRALE
Equazioni di Maxwell
Vuoto
cariche
q
correnti di conduzione
i
∫supc E•dA=q/ε0
∫c E•ds= -dΦ (B) /dt
∫supc B•dA=0
(
r
r r r
F =q E+v×B
?c B? ds =µ0Ic+ µ0ε0dΦ(E)/dt)
)
ülegge di Gauss
per elettricità
ülegge di Gauss
per il magnetismo
r ρ
∇⋅ E =
ε0
r
∇ ⋅ B
= 0
ülegge dell’induzione
di Faraday
r
∂B
∇× E = −
∂t
ülegge di
Ampere-Maxwell
r
∂E
∇ × B = µ0 j + ε 0 µ0
∂t
Equazioni di Maxwell:
ü non sono solo speculazioni teoriche
ü rendono conto dei risultati sperimentali:
r ρ
2)
Ølegge
di
Coulomb
(
E∝q
q
/r
1 2
∇⋅ E =
ε0
Øcarica su un conduttore isolato si dispone sulla
superficie esterna
r
∇ ⋅ B
= 0
r
∂B
∇× E = −
∂t
∇ × B = µ0 j +
r
∂E
ε 0 µ0
∂t
Ønon esiste il monopolo magnetico
Øuna sbarra magnetica spinta attraverso una
spira chiusa genera corrente nella spira
Øfilo percorso da corrente genera campo
magnetico
Øcorrenti di spostamento
Proprietà delle
equazioni di Maxwell
üdescrizione macroscopica di tutti i fenomeni statici e dinamici
di
elettro-magnetismo e ottica
ü conservazione della carica
r
∂ρ
∇⋅ j = −
∂t
üsimmetria: termine corrente di spostamento rende simili le
equazioni in
r
∇ × E
r ρ
∇⋅ E =
ε0
e
r
∇ × B
mentre restano asimmetriche
e
üesistenza delle onde elettromagnetiche
(Hertz 1888)
üinvarianza per trasformazioni di Lorentz
r
∇ ⋅ B
= 0
Conservazione della carica
evidenza sperimentale:
ü la carica elettrica si conserva
ü per ogni carica positiva creata
si crea carica negativa uguale
−
−
−
d
dt
dQ
dt
dQ
dt
∫
V
=
=
ρ dV
Q
∫
S
V
I
I
r
r
j ⋅ n dS
S
=
−
∫
V
∂ ρ
dV
∂ t
r
∂ρ
∇⋅ j = −
∂t
=
∫
V
∇
⋅
r
j dV
equazione di continuità
üconservazione locale della carica;
üpiu` forte della conservazione globale
(esempio: diminuisco di 1C la carica a Milano
aumento di 1C la carica a Parigi!!)
Energia del campo
elettromagnetico
ε0
2
E
dV
∫
2
1
2
B
dV
=
2µ 0 ∫
UE =
UM
energia elettrostatica
energia magnetostatica
campo elettromagnetico:
ü nel vuoto:
S
conservazione locale dell’energia
−
∫
∆ V
∂w
dV
∂t
=
∫
Σ
r r
S ⋅ n dΣ
r
∂w
∇⋅S = −
∂t
w
∆V
Σ
w=densità di energia
equazione di continuità per
S=flusso di energia per superficie unitaria
l’energia
nella direzione di propagazione
üin presenza di cariche:
scambio di energia tra campo e materia
r r
∑ F ⋅ vi =
N
lavoro del
campo
elettro-magnetico
sulle cariche
nell’unita` di tempo
−
⇒
∫
∆V
∂w
dV
∂t
i =1
r r r r
∑ q(vi × B + E ) ⋅ vi =
N
i =1
 N r r
q ∑ vi  ⋅ E =
 i =1 
r r r r
qN < v > ⋅ E = j ⋅ E
=
∫
Σ
r r
S ⋅ndΣ +
principio di
conservazione dell’energia:
∂w
−
∂ t
∫
∆V
r r
E ⋅ j dV
r
r
r
= ∇ ⋅ S + E ⋅ j
Cerco soluzione per w e S :
üfunzione solo di E e B
üimpongo le equazioni di Maxwell
w
r
S
=
=
ε
0
2
1
µ
E
2
1
2 µ
+
r
E ×
0
r
B
B
0
2
possibile soluzione
(teorema di Poynting)
è la più semplice
altre espressioni:
üdiverse distribuzioni di energia nello spazio
üil problema andrebbe
risolto sperimentalmente
(effetti previsti deboli e di difficile rivelazione)
Esempio di flusso di energia
carica di un condensatore
üenergia aumenta
U
=
dU
dt
ε
=
ε
E (t )
2
0
2
0
E (t )
=
ε
0
E
2
2
π r0
⋅ Volume
2
dE
dt
h
h
π r0
∫
ücampo dE/dt induce campo B:
Γ
2
Γ
h
→
r
B ⋅ ds
2 π r0 B
B
⇒
r0
=
µ
=
=
0
2
ε
µ
µ
0
Î
0
0
I
ε
0
r0
conc
dE
dt
+
µ
π r0
dE
dt
S è diretto verso l’ interno del condensarore
l’energia entra attraverso la superficie laterale
attraverso il campo elettromagnetico!!!
0
2
ε
0
d Φ
dt
E
Quantità di moto
del campo elettromagneticor
r
E , B
forza elettro-magnetica
sulla carica dq:
r
r
r
r
d F = ρ ( E + v × B ) dV
r
F =
r
dF
∫
dV
dq
=
forza totale
V
r
F +
r
G
r
G
M
em
r
r
( D × B ) dV
∂
∂t
∫
=
quantità di moto
=
=
V
V
V
( D × B ) dV
r
εµ S dV
r
G
M
r
+ G
= 0
 r
 F =


meccanica
r
r
∫
∫
da equazioni
di Maxwell
em
r
∂ G M
∂ t
quantità di moto
elettromagnetica
= costante
⇒ per un sistema elettromagnetico isolato
si conserva la quantità di moto totale




Σ
ρ dV
Quantità di moto e pressione di
radiazione
onde elettromagnetiche trasportano
üenergia
üquantità di moto
⇒
1903 Nichols e Hull:
pressione (di radiazione)
su oggetto illuminato
illumino oggetto per tempo t
con fascio di energia U
quantità di moto trasferita:
üspecchio
üassorbitore
p = 2⋅
p=
U
c
U
c
il bilanciere ruota !!
§ effetto piccolo (F≈10-10 N)
§ importante nei cicli vitali delle stelle
Le onde di
Maxwell
Onde elettromagnetiche
28
La circuitazione di B è proporzionale alla corrente concatenata, ovvero
∇ × B = µ 0J
La legge di Ampère vale in condizione “statiche”, quando i campi
elettrici sono lentamente variabili. Matematicamente, non può essere
sempre valida perché non sempre la corrente è solenoidale (come,
ad es., quando la carica si accumula in un condensatore) mentre il
rotore di un qualunque vettore è sempre solenoidale.
∇ ⋅∇×B ≡ 0
ma ∇ × J ≠ 0
Onde elettromagnetiche
Q si conserva
29
Maxwell cercò una
“densità di corrente”
solenoidale
∆Q
J ∆S = Φ S (J ) =
∆t
J
∆E
∆E
∆S
∆Q
∆E
S
Per un condensatore sferico che
viene caricato la legge di
conservazione della carica è :
flusso di corrente entrante =
velocità d’aumento della carica=
cambio della carica ∝ cambio
flusso uscente da superficie di
Gauss
⇓
∆Q
Φ (∆E)
Φ S (J ) =
= ε0 S
=
∆t
∆t
ε 0 S ∆E
 ε 0 ∆E 
=
= ΦS 

∆t
 ∆t 
∆E S =
∆Q
ε0
Onde elettromagnetiche
30
Maxwell aggiunge a J la “corrente di spostamento” e ottiene il
vettore solenoidale cercato
 ∆E

 ∆E

Φ S ε 0
+ J  = 0 ⇒∇ ⋅  ε 0
+ J ≡ 0
 ∆t

 ∆t

IV equazione di Maxwell
∂E 
1 ∂E

∇ × B = µ0  J + ε0
µ
J
=
+

0
2
∂
t
c
∂t


La corrente di spostamento è detto anche termine di propagazione
perché è responsabile delle onde elettromagnetiche.
La teoria dei circuiti elettrici è valida nella approssimazione quasi
statica secondo la quale la corrente di spostamento è trascurabile.
Onde elettromagnetiche
31
Maxwell aggiunge a J la “corrente di spostamento” e ottiene il
vettore solenoidale cercato
 ∆E

 ∆E

Φ S ε 0
+ J  = 0 ⇒∇ ⋅  ε 0
+ J ≡ 0
 ∆t

 ∆t

IV equazione di Maxwell
∂E 
1 ∂E

∇ × B = µ0  J + ε0
µ
J
=
+

0
2
∂
t
c
∂t


La corrente di spostamento è detto anche termine di propagazione
perché è responsabile delle onde elettromagnetiche.
La teoria dei circuiti elettrici è valida nella approssimazione quasi
statica secondo la quale la corrente di spostamento è trascurabile.
Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto discende che anche B è uniforme
lungo x e z e che la sua unica componente dipendente dal tempo è Bx
B(y,t)=Bx(y,t)i
equazione
dell’onda
elastica
E
z
B
x
y
∂Bx
∂B
∂Ez
∂ 2 E z 1 ∂ 2 Ez
= 2
∇×E = −
⇒
=−
2
∂t
∂y
∂t
∂y
c ∂t 2
⇒ 2
1 ∂E
∂Bx 1 ∂E z
∂ Bx 1 ∂ 2 Bx
∇× B = 2
⇒−
= 2
= 2
2
c ∂t
∂y c ∂t
∂y
c ∂t 2
Equazioni di
Maxwell nel vuoto
(senza cariche o
correnti)
∇⋅E = ∇⋅B = 0
∂B
∇×E = −
∂t
1 ∂E
∇×B = 2
c ∂t
Supponiamo che il campo elettrico sia diretto come k e sia uniforme
nel piano perpendicolare a j
E( y , t ) = E z ( y, t )k
∂E z ∂E z
=
=0
∂x
∂z
Soluzione armonica delle equazioni di Maxwell nella forma di onda
propagantesi nella direzione positiva dell’asse y
c
z
B
y
x
E
 2π 
y 
E z ( y , t ) = E 0 cos
 t −  
c 
 T 
E0
 2π 
y 
B x ( y, t ) =
cos
t
−

 
c
 T  c 
Direzione di propagazione
E×B
Il campo statico si attenua come 1/r3; quello radiante come 1/r
Lo stesso risultato discende da considerazioni energetiche:
la densità di energia (∝E2) di un fronte d’onda sferico deve
essere inversamente proporzionale alla sua estensione (∝r2) se
l’energia complessivamente portata dal fronte resta la stessa
1
1
1
2
ε0 E ∝
⇒E∝
2
2
r
4πr
A grandi distanze vi sono solo le onde e non i campi statici!!!
Densità di energia dei campi radianti elettrici e magnetici sinusoidali
(per i quali il valor quadratico medio del campo – sia nel tempo sia
nello spazio - è pari alla metà del quadrato della sua ampiezza
massima)
1
1
2
ε 0 < E >= ε 0 E02
2
4
1
1 2 1
2
< B >=
B0 = ε 0 E02 ⇒
2µ 0
2µ 0
4
1
⇒ < densità di energia totale >= ε 0 E02
2
FENOMENI DIFFRATTIVI
•Il principio di Huygens;
•Il fenomeno della diffrazione dal punto di vista sperimentale e la
sua giustificazione col principio di Huygens
•Diffrazione di Fraunhofer da fenditura rettangolare;
•Potere risolutore di una fenditura rettangolare;
•Diffrazione da fenditura circolare;
•Potere risolutore di una fenditura circolare.
•Diffrazione prodotta da una schiera di fenditure rettangolari;
•Reticolo di diffrazione;
Principio di Huygens
La propagazione dei fronti
d’onda (superfici a fase costante)
può essere ottenuta supponendo ad
ogni istante un fronte d’onda come
la sorgente dei fronti d’onda
a istanti successivi (principio di Huygens).
Questa asserzione ha la sua
giustificazione nel fatto che
l’onda soddisfa ad una ben
precisa eq. diff.
Per trovare le soluzioni di
necessarie due informazioni alternative:
tale equazione sono
(i) le sorgenti dell’onda (cond. iniziali);
(ii) lo stato di un fronte d’onda ad un dato
istante (cond. al contorno).
Fenomeno di Diffrazione
La diffrazione è il fenomeno che accade alle onde
(di qualunque genere) quando incontrano un ostacolo.
Il fenomeno diventa particolarmente intenso e
visibile quando l’ostacolo ha dimensioni confrontabili con la lunghezza
d’onda.
Noi studieremo solo il caso in cui le onde sono piane e il fenomeno
diffrattivo è osservato a grande distanza dall’ostacolo
(DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER)
Diffrazione di Fraunhofer di una onda attraverso
un ostacolo e sua giustificazione dal principio di
Huygens.
Se fronti d’onda piani e.m. incidono su un piano in
cui è praticato un foro, sullo schermo C posto a grande
osserveremo l’effetto perturbativo prodotto da tutti
i punti infinitesimi del fronte d’onda che attraversa
il foro (principio di Huygens).
Tale effetto è di fatto una interferenza a infinite
sorgenti infinitesime, coerenti e sincrone.
(l’onda interferisce con se stessa perché perturbata !)
Diffrazione di Fraunhofer da fenditura rettangolare
b
Il fronte d’onda sulla fenditura
può essere scomposto in tratti
infinitesimi Dx sorgenti dei fronti d’onda successivi.
Eθ = 2R sin
Em = R Φ
Eθ = E m
Φ
= kb
sin θ
Φ
2
Φ
2
Φ
2
sin
l’intensità media è :
I media ∝ (Eθ )2
I media
Φ

sin 

2
= (E m )2 

Φ


 2 

 π
sin
bsin
θ


λ
∝ I02 

 π bsin θ 

 λ
2
2
Punti di intensità nulla nella figura di diffrazione
di una fenditura rettangolare di larghezza b.
I media
 π

sin
bsin
θ


λ
∝ I0 2 

 π bsinθ 
 λ

2
I punti di annullamento si trovano
imponendo
π
I media = 0 ⇒
λ
bsinθ = mπ
m = ±1,±2,...
sinθ = m
λ
b
I punti di intensità nulla più prossimi al massimo centrale si osservano ad
angoli:
λ
λ
sin θ
= ±
b
se
λ <<
b
θ
≈ ±
b
Potere risolutore di una fenditura rettangolare
Il potere risolutore è definito come il minimo angolo
di separazione tra due onde piane le cui figure di diffrazione sono ancora
visivamente separabili su uno schermo.
Il criterio ideato da Rayleigh dice che:
due figure di diffrazione sono risolvibili se come situazione li mite il
massimo centrale di una delle due cade sul primo zero dell’altra.
Cioè se l’angolo di incidenza delle due onde piane
differisce al minimo di:
λ
θ =
se λ << b
b
Diffrazione di Fraunhofer da fenditura circolare
La trattazione matematica della diffrazione di
Fraunhofer da fenditura circolare presenta
difficoltà di calcolo eccessive.
Si ricordi solo che la figura di diffrazione è
costituita da anelli concentrici di luce e buio
e che la posizione angolare del primo
sin θpunto
= ad
1 . 22
intensità nulla vale:
λ
D
Potere risolutore di una fenditura circolare
Usando lo stesso criterio (quello di Rayleigh)
utilizzato per la fenditura rettangolare otteniamo
che l’angolo minimo tra le direzioni di due onde
piane le cui figure di diffrazione sono ancora
separabili su uno schermo posto ad una grande
distanza dalla fenditura vale:
θ
= 1 . 22
λ
D
(Questo risultato è importantissimo per gli
strumenti ottici !)
se
λ <<
D
CASO DI DUE FENDITURE RETTANGOLARI
Se le fenditure sono identiche, la figura di interferenza è quella di 2 sorgenti
sincrone, con massimi di intensità dati
λ dalla relazione
sin θ
= m
a
m
= 0 , ± 1 , ± 2 ,...
La distribuzione dell’intensità della figura di interferenza è modulata
dall’intensità per la figura di di diffrazione di una fenditura singola, con punti di
intensità nulla dati dalla
relazione λ
sin θ = m
m = ± 1 , ± 2 ,...
b
a sinθ/λ
Diffrazione prodotta da una schiera di fenditure
rettangolari di larghezza b e distanza a.
mλ
a
= 0 , ± 1 , ± 2 ,...
sinθ =
m
I (max)
∝
N
2
Reticolo di diffrazione
Se su di uno schermo tracciamo un numero enorme N
di fenditure larghe b e distanti a,
tale struttura costituisce un reticolo di diffrazione.
Esso serve a separare le diverse componenti
monocromatiche di una radiazione luminosa.
I massimi delle intensità sullo schermo si osservano
ad angoli pari a
sinθ = m
λ
a
π
a sinθ = mπ con m = 0,±1,..
λ
la posizione dei massimi dipende da λ
Potere risolutore di un reticolo
La capacità di un reticolo di produrre spettri utili a misurare con precisione le lunghezze
d’onda, è determinato da: a) la separazione ∆θ tra righe spettrali che differiscono in
lunghezza d’onda di una piccola quantità ∆λ, b) la larghezza o nitidezza delle righe
D=
dispersione
asin
θ
∆ θ dθ
=
∆ λ dλ
d (a sinθ ) = d (m λ )
= m λ
D
=
dθ
dλ
=
m
a cos
a cos
θ
d θ
= md λ
θ
Si dimostra che l’ampiezza angolare di un picco di interferenza, cioè l’intervallo
compreso tra il max del picco e il primo minimo adiacente è dato da
λ
N a cosθ
Intensità
δθ =
Potere risolutore
R =
λ
∆ λ
=
λ
∆ θ
R=
∆ θ
∆ λ
criterio di Rayleigh
λ
λ + ∆ λ
λ
∆λ
=
θ
λ
δθ
D
= Na
cos
θ
m
a cos
θ
= Nm
La luce è un’onda
elettromagnetica
Ne studiamo le proprietà
principali, tra cui quelle
non dipendenti
direttamente dalla
natura ondulatoria
(ottica “geometrica”)
Fronti d’onda: superfici su cui l’onda è in fase (linee azzurre)
Raggi: linee lungo la direzione di propagazione (frecce rosse); perpendicolari
ai fronti d’onda
Principio di Huyghens
Fronti d'onda: superfici in ogni punto delle quali le onde sono in fase.
Se lo spazio in cui la luce si propaga, partendo da una sorgente puntiforme, è
omogeneo e isotropo, le superfici d'onda sono sferiche.
Principio di Huyghens: Ogni punto di una
superficie può essere considerato come
sorgente di onde sferiche secondarie.
Il fronte d'onda ad un istante
successivo è dato dalla superficie
tangente a tutti gli infiniti fronti
d'onda delle onde secondarie,
cioè dall'inviluppo delle loro
superfici.
Ottica Geometrica
LEGGI DELLA RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
Nella riflessione il raggio riflesso giace
nel piano formato dal raggio incidente e
dalla normale alla superficie riflettente.
L'angolo di riflessione è uguale all'angolo
di incidenza.
Rifrazione ⇒ passaggio della luce
da un mezzo ad un altro di indice
di rifrazione diverso.
n = indice di rifrazione
n=
c velocità luce vuoto
=
v velocità luce mezzo
c = velocità luce vuoto = 3 ∗ 108 m s −1
c > v ⇒n >1
Ottica Fisica
Quando lungo il percorso della luce vi sono fenditure e ostacoli con dimensioni
dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda incidente gli effetti non
sono spiegabili con l'ottica geometrica (raggi rettilinei) ma con l'ottica ondulatoria
(di cui l'ottica geometrica è un caso particolare).
INTERFERENZA
Tomas Young (1801) dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria
ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.
In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e
stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di lor o,
attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante .
Esperimento: interferenza da due fenditure.
Esperimento di Young:
luce
monocromatica
Le due sorgenti S1 e S2 sono in fase
⇒ SS1 = SS2 (il fronte d'onda che
parte
da
S
raggiunge
contemporaneamente
le
due
aperture).
In alcune direzioni le onde si
rinforzano e in altre si elidono per
effetto dell'interferenza.
Sullo schermo ⇒ massimi di
intensità intervallati da un minimo di
intensità
Differenza di cammino: ∆r = r 2 – r1
se ∆ r = nλ (n = 0, ± 1, ± 2, ...) le onde si
sovrappongono in fase massimo.
se
? 
1
?r = (2n + 1) =  n + ?
2 
2
(n = 0, ± 1, ± 2, ...) ⇒si ha un
minimo.
se d<<L S1b ≈ perpendicolare a r 1 e r2 .
(r1 r2 ≈ paralleli ). Angoli θ ≈ uguali.
∆r = d senϑ
Interferenza costruttiva (massima intensità di luce):
(I ∝ 4 A )
2
d senθ = n λ
(n = 0, ± 1, ± 2, .....)
sen θ = n
Interferenza distruttiva (Intensità = 0):
1

d sen θ =  n + λ
2

1 λ

sen θ =  n + 
2 d

(l = 0)
λ
d
Interferenza di lamine sottili
Es. bolle di sapone, olio su acqua, strati antiriflesso,…
Lamina di spessore d e indice di rifrazione n , su cui incide
quasi perpendicolarmente un raggio luminoso di lunghezza
d’onda in aria λ = c/ν. Dato che n = c/v (e la frequenza non
cambia) la lunghezza d’onda nel mezzo è λ n = v/ν = λ /n
(inferiore a quella in aria).
1) Raggio
riflesso
dalla
superficie
superiore,
cambiamento di fase corrispondente a un cammino
ottico di mezza lunghezza d’onda perché entra in un
mezzo con indice di rifrazione maggiore.
2) Raggio rifratto e riflesso dalla faccia inferiore,
nessun cambiamento di fase; il raggio però viaggia
La differenza di cammino ottico tra i due
per una ulteriore distanza 2d nel mezzo, rispetto al
raggi è quindi: δ = 2d – λn/2
raggio in aria.
L’interferenza dipende dallo spessore della
lamina e dall’indice di rifrazione; inoltre dipende
dalla lunghezza d’onda. Vengono quindi
osservati massimi minimi di intensità diversi per
ogni colore!
Anelli di Newton
Lente circolare sottile su un piano di vetro; in questo caso il ruolo della
lamina sottile è svolto dall’aria interposta tra i due vetri (si ha
cambiamento di fase nella riflessione sul piano di vetro). Si os servano
delle frange circolari, alternativamente chiare e scure.
DIFFRAZIONE
Quando la luce passa attraverso una fenditura le cui dimensioni sono dello stesso
ordine di grandezza della sua lunghezza d’onda, si osserva una f igura
d’interferenza piuttosto che una macchia luminosa netta proiettata dall’apertura.
Questo fenomeno viene detta DIFFRAZIONE.
Se le onde luminose non si diffondessero dopo essere passate att raverso le
fenditure, non si avrebbe interferenza. Le onde luminose nel dif fondersi si
sovrappongono producendo frange di interferenza. La luce devia da un percorso
rettilineo ed entra nella zona che altrimenti sarebbe in ombra.
In generale, si ha diffrazione quando le onde passano attraverso piccole aperture,
intorno ad ostacoli o nei pressi di spigoli vivi. Consideriamo il seguente esempio
di diffrazione. Quando una stretta fenditura è posta tra una sor gente puntiforme di
luce ed uno schermo, il confine tra la zona in ombra e quella il luminata dello
schermo non è netto. La zona non in ombra contiene fasce chiare e scure che si
alternano.
La figura consiste di una banda centrale larga e
intensa, il massimo centrale, affiancato da una
serie di bande secondarie più strette e meno
intense (chiamate massimi secondari) e da una
serie di bande oscure, o minimi. Ciò non si può
spiegare nel riferimento dell'ottica geometrica, la
quale afferma che andando i raggi di luce in linea
retta dovrebbero dar luogo a una immagine netta
della fenditura sullo schermo.
Diffrazione di Fraunhofer
Quando i raggi che arrivano su un punto sono approssimativamente paralleli.
(sperimentalmente ciò si ottiene ponendo lo schermo lontano dall a fenditura oppure
usando una lente convergente per focalizzare i raggi sullo schermo), si osserva una
frangia chiara sull’asse a θ = 0, con frange chiare e scure che si alternano su entrambi
i lati della frangia centrale.
Diffrazione da singola fenditura
Diffrazione prodotta da da una fenditura sottile di larghezza
a.
Ogni porzione della fenditura si comporta come una
sorgente puntiforme di onde.
Tutte le onde prodotte dalla fenditura sono in fase tra loro.
L’intensità risultante sullo schermo verrà a dipendere da θ .
La differenza di cammino tra il primo e terzo raggio è:
a
sen θ
2
Se
λ
a
sen θ = ⇒ a sen θ = λ
2
2
le onde provenienti dalla metà superiore
interferiscono distruttivamente con le onde
della metà inferiore.
Condizione generale per interferenza distruttiva:
sen θ = m
λ
( m = ± 1, ± 2,....)
a
Le posizioni dei punti di interferenza costruttiva
sono circa a metà strada tra le frange scure
Reticolo di diffrazione
Utile strumento per misurare la lunghezza
d’onda della luce, o per produrre fasci di luce
monocromatica. E’ costituito da N fenditure (o N
righe) sottili ed equispaziate, dell’ordine di
migliaia per cm.
Effetti combinati di interferenza e diffrazione.
→ La distanza d tra le fenditure determina
l’interferenza delle onde emesse: come prima, la
posizione dei massimi è data da: d sin(θ) = m λ
(m intero)
→La diffrazione dalla singola fenditura
interferisce con quella delle altre fenditure, e
determina un restringimento delle frange (più
efficace più è grande N). Si ha una figura
composta di massimi molto stretti ed
equispaziati.
Se la sorgente emette diverse lunghezze d’onda
(es. luce bianca), ogni onda ha la sua figura di
massimi, ed è possibile selezionare una luce
monocromatica, di lunghezza d’onda fissata a
piacere, posizionando P sull’angolo opportuno.
Potere separatore di una fenditura
minima distanza tra due punti dell’oggetto che possono essere di stinti
nell’immagine
La diffrazione limita le capacità degli strumenti ottici
di distinguere (“risolvere”) immagini di oggetti tra
loro vicini. Le immagini sono costruite facendo
passare la luce attraverso lenti e/o aperture (ad
esempio le immagini di due sorgenti quasi
puntiformi S1 e S2 che passano attraverso
un’apertura di larghezza a e con separazione
angolare θ ).
L’immagine non è mai netta, ma è costituita da un
massimo centrale allargato e “sfuocato”, con altri
massimi secondari di contorno. Per decidere
quando due immagini possono dirsi risolte, si usa la
condizione data dal:
Criterio di Rayleigh
Le immagini sono risolte quando il massimo centrale dell’una coi ncide col
primo minimo dell’altra.
Per aperture rettangolari, posto m=1
nell’equazione:
sen θ = m
λ
a
il primo minimo si trova a:
θ ≈ sen θ ≈ ± λ / a
che è quindi l’angolo minimo con cui
possiamo dire di osservare separati
due oggetti.
Per aperture circolari, il primo minimo
si trova a:
θ ≈ 1.22 λ /a
Si può aumentare la “risoluzione”
delle
immagini
diminuendo
la
lunghezza d’onda; questa è la
ragione per cui si sono inventati il
microscopio a raggi X, il microscopio
elettronico ecc.
POLARIZZAZIONE DELLA LUCE
Schema di un’onda elettromagnetica
piana. Il campo elettrico E e
magnetico B sono perpendicolari fra
loro e sono entrambi perpendicolari
alla direzione di propagazione;
c è la velocità di propagazione.
La polarizzazione di un'onda elettromagnetica si riferisce alla modalità con cui il campo
elettrico oscilla. Ad esempio, l'onda in figura è polarizzata linearmente, in quanto il campo
elettrico oscilla sempre nella stessa direzione mantenendosi nel lo stesso piano.
Se abbiamo due onde elettromagnetiche, la loro sovrapposizione p uò produrre stati di
polarizzazione più complesse come la polarizzazione circolare o ellittica.
In genere non si fa riferimento esplicito al campo magnetico ass ociato, in quanto la sua
intensità è sempre determinabile mediante la relazione:
B=E/c
Differenza tra un'onda trasversale
e una longitudinale.
Nel caso della luce a oscillare è il campo
elettrico e il campo magnetico.
La luce è un'onda elettromagnetica che viaggia anche nel vuoto. Le onde luminose
sono prodotte da cariche elettriche oscillanti. L'oscillazione a vviene
perpendicolarmente alla direzione del moto, per questo si parla di onde trasversali.
Una sorgente di luce, come una comune
lampadina a incandescenza o un tubo a gas, si
deve pensare come l'insieme di un gran
numero di atomi i cui elettroni vengono eccitati
e si diseccitano continuamente emettendo
ciascuno una perturbazione elettromagnetica
in un tempo dell'ordine di 10 - 8 s.
Queste onde, di lunghezza finita, vengono
chiamate treni d'onda e un fascio di luce
naturale si può pensare come l'insieme e la
sovrapposizione di un gran numero di treni
d'onda.
Tutte le direzioni di vibrazione sono possibili:
l’onda elettromagnetica risultante è una
sovrapposizione di onde generate dalle singole
sorgenti atomiche. Il risultato è un’onda
luminosa non polarizzata.
Un fascio di luce incide su una prima lastra polarizzatrice chiamata POLARIZZATORE, dove l’asse
di trasmissione è in una certa direzione. La luce che attraversa questa lastra è polarizzata
verticalmente e il vettore campo elettrico trasmesso è E 0. Una seconda lastra polarizzatrice,
chiamata analizzatore, intercetta il fascio con il suo asse di trasmissione che forma un angolo θ
con l’asse di trasmissione del polarizzatore. La componente di E0 che è perpendicolare all’asse
dell’analizzatore viene completamente assorbita, e la componente parallela all’asse è E 0 cosθ.
L’intensità luminosa I (energia per unità di tempo e di superficie) proveniente da una sorgente di
luce polarizzata linearmente dopo aver attraversato una lamina analizzatrice è data dalla legge di
Malus:
I(θ ) = I 0 cos2θ
dove I0 è l’intensità massima e θ è l’angolo tra il piano di vibrazione della luce e l’asse ottico della
lamina.
LA POLARIZZAZIONE
1809 → Malus e Young indagano le indicazioni di trasversalità
della luce riflessa dal vetro
Il campo elettromagnetico è trasversale: i vettori E e B sono ortogonali
alla direzione di propagazione k
E
k
B
Una antenna di un trasmettitore a microonde (cellulare) trasmett e onde
polarizzate aventi campo elettrico che oscilla nella direzione dell’asse
dell’antenna
POLARIZZAZIONE PER RIFLESSIONE
polarizzazione
perpendicolare
al piano di
incidenza
La luce può essere polarizzata per
riflessione.
Per un particolare valore dell’angolo di
incidenza
angolo
di
θp
(detto
polarizzazione) il coefficiente di riflessione
della componente nel piano di incidenza è
zero
- la luce riflessa è totalmente polarizzata
perpendicolarmente al piano di incidenza
polarizzazione
nel piano di
incidenza
-la luce rifratta ha entrambe le
componenti, ma è meno ricca della
componente perpendicolare.
Si trova sperimentalmente che:
θ p + θr = 90o
e tan θ p =n2/n1
(legge di Brewster)
La polarizzazione è un fenomeno si cui si basano vari strumenti e tecniche.
Alcuni esempi:
1) I vetri nei parabrezza delle automobili o nelle lenti per i tel escopi, sviluppano degli
stress interni che possono essere messi in evidenza analizzando lo stato di polarizzazione
della luce che li attraversa.
2) Si possono fare mappe di stress superficiali di oggetti opachi sottoposti a sollecitazioni
esterne ricoprendoli con film di sostanze otticamente attive.
3) L'ellissometria è una tecnica che si basa sulla variazione dello stato di polar izzazione
della luce incidente su un campione e che permette di misurare i parametri ottici dei
materiali di cui è composto oltre che gli spessori di eventuali strati.
4) È possibile identificare la presenza di certe sostanze organi che in una soluzione e
stimarne la concentrazione tramite una misura della dispersione rotatoria che è un
fenomeno legato alla polarizzazione.
5) Le lenti antiriflesso sfruttano la proprietà di certi materiali opportunamente trattati di
eliminare la luce polarizzata che si produce per riflessione del la luce naturale.
6) I film polaroid, o più semplicemente, i polaroid sono impiegati in ottica per trasformare
la luce naturale in luce polarizzata.