Esercitazione 2 - Politecnico di Torino

Esercitazione 2
Matteo Luca Ruggiero1
1 Dipartimento
di Fisica del Politecnico di Torino
Anno Accademico 2010/2011
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
1 / 72
Sommario
1
Introduzione
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
2 / 72
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
2 / 72
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
2 / 72
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
2 / 72
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
2 / 72
Introduzione
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
3 / 72
Introduzione
Newton e i Fondamenti della Meccanica Classica
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
4 / 72
Le Leggi di Newton
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
5 / 72
Le Leggi di Newton
Leggi di Newton
Prima Legge di Newton: ogni punto materiale non soggetto a
forze si muove di moto rettilineo uniforme
Seconda Legge di Newton: per modificare lo stato di moto di un
punto materiale occorre una forza; la forza accelera il punto
materiale in accordo con la formula
f = min a
Terza Legge di Newton: ad ogni azione corrisponde una reazione
uguale e contraria
Legge di Gravitazione Universale: due punti materiali si
scambiano, istante per istante, forze attrattive direttamente
proporzionali alle loro masse gravitazionali e inversamente
proporzionali al quadrato della loro distanza
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
6 / 72
Le Leggi di Newton
Gravitazione Universale e Legge di Coulomb
Gravitazione
La Legge di Gravitazione Universale è espressa dalla formula
(1)
(2)
mgr mgr
f =G
r2
(1)
(2)
dove mgr , mgr sono le masse gravitazionali dei punti materiali
considerati
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
7 / 72
Le Leggi di Newton
Gravitazione Universale e Legge di Coulomb
Gravitazione
La Legge di Gravitazione Universale è espressa dalla formula
(1)
(2)
mgr mgr
f =G
r2
(1)
(2)
dove mgr , mgr sono le masse gravitazionali dei punti materiali
considerati
Elettricità
La Legge di Coulomb è espressa dalla formula
f =K
q1 q2
r2
dove q1 , q2 sono le cariche elettriche dei punti materiali considerati.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
7 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
8 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Forze di Contatto
La forza è determinata da un contatto fisico
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
9 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Forze di Contatto
La Forza (intensità direzione) determina la velocità della pallina: la
forza ha carattere vettoriale.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
10 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Campi di Forza
C’e’ una forza anche senza “contatto”
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
11 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Campi di Forza
C’e’ una forza anche senza “contatto”
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
12 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Studiamo il moto di un grave che cade dalla torre di Pisa.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
13 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Vademecum: Studiare il Moto
Che cosa significa “Studiare il Moto di un Corpo”?
Studiare il moto di un corpo significa determinare la sua legge oraria, a
partire dalla conoscenza delle cause che determinano il moto, in un
dato Sistema di Riferimento.
Definire il Sistema di Riferimento (Inerziale)
Individuare le Forze che Agiscono sul Corpo
Scrivere la Seconda Legge di Newton (legge del moto)
Scegliere delle opportune coordinate e una opportuna base
Proiettare la legge del moto sulla base scelta
Risolvere il sistema di equazioni differenziali che si ottiene
La soluzione delle equazioni differenziali, con le opportune
condizioni iniziali note, fornisce la legge oraria
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
14 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Equazione del Moto
Scegliamo un riferimento solidale alla Terra, e degli assi cartesiani con
un asse verticale z diretto verso l’alto. La Seconda Legge di Newton
f = min a , ovvero l’equazione del moto, si scrive allora nella forma
−G
ML Ruggiero (DIFIS)
mgr M
k = min a
r2
Esercitazione 2
E2.2010/2011
15 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Componente dell’Equazione del Moto
Proiettiamo l’equazione del moto lungo l’asse z:
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
16 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Componente dell’Equazione del Moto
Proiettiamo l’equazione del moto lungo l’asse z:
−G
mgr M
= min z̈
r2
Da cui otteniamo l’accelerazione az = z̈
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
16 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Componente dell’Equazione del Moto
Proiettiamo l’equazione del moto lungo l’asse z:
−G
mgr M
= min z̈
r2
Da cui otteniamo l’accelerazione az = z̈
z̈ = −
dove abbiamo introdotto
ML Ruggiero (DIFIS)
mgr
g(r )
min
. M
g(r ) = G 2
r
Esercitazione 2
E2.2010/2011
16 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Accelerazione di Gravità
La grandezza g(r ) è l’accelerazione di gravità di un oggetto a distanza
r dal centro della Terra.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
17 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Accelerazione di Gravità
La grandezza g(r ) è l’accelerazione di gravità di un oggetto a distanza
r dal centro della Terra.
Il rapporto h/R ∼ 10−5 è molto minore dell’unità e quindi
g(r ) ∼
= GM/R 2 = g = costante durante la caduta
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
17 / 72
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
Caduta di un Grave nel Campo Gravitazionale della Terra
Accelerazione di Gravità
La grandezza g(r ) è l’accelerazione di gravità di un oggetto a distanza
r dal centro della Terra.
Il rapporto h/R ∼ 10−5 è molto minore dell’unità e quindi
g(r ) ∼
= GM/R 2 = g = costante durante la caduta
di conseguenza ogni grave cade dalla torre con accelerazione
costante, in accordo con le osservazioni di Galileo.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
17 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
18 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Dall’Equazione del Moto alla Descrizione del Moto
Conosciamo le Forze che agiscono su un corpo (o presumiamo di
conoscerle)
Sappiamo che l’effetto di tali forze su un copo è definito dalla
Seconda (Prima, Terza) Legge di Newton
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
19 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Dall’Equazione del Moto alla Descrizione del Moto
Conosciamo le Forze che agiscono su un corpo (o presumiamo di
conoscerle)
Sappiamo che l’effetto di tali forze su un copo è definito dalla
Seconda (Prima, Terza) Legge di Newton
Lo scopo della Dinamica è quello di dare la descrizione del moto di un
corpo (puntiforme o esteso), a partire dalla conoscenza delle Forze (e
dei Momenti delle Forze) che agiscono su di esso
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
19 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Legge del Moto ed Equazioni Differenziali
Legge del Moto
Nota l’espressione della Forza Risultante F, questa viene inserita nella
Seconda Legge, che chiamiamo legge del moto. Quest’ultima risulta
essere un’equazione differenziale (vettoriale) del secondo ordine:
F (r, ṙ, t) = mr̈
dove r̈ = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k denota l’accelerazione del punto
materiale di massa m sotto l’azione della forza F (r, ṙ, t).
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
20 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Legge del Moto ed Equazioni Differenziali
Legge del Moto in coordinate cartesiane
L’equazione vettoriale
F (r, ṙ, t) = mr̈
è equivalente alle tre equazioni scalari

 Fx (x(t), y(t), z(t); ẋ(t), ẏ(t), ż(t); t) = m ẍ(t)
F (x(t), y(t), z(t); ẋ(t), ẏ(t), ż(t); t)= m ÿ (t)
 y
Fz (x(t), y(t), z(t); ẋ(t), ẏ (t), ż(t); t) = m z̈(t)
le quali costituiscono un sistema di tre equazioni differenziali del
secondo ordine nelle tre funzioni incognite x(t),y(t),z(t), componenti
del vettore posizione r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k rispetto alla base
cartesiana scelta: note x(t),y(t),z(t), è nota la legge oraria.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
21 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Il Problema del Moto
Quindi, studiare il moto di un corpo, consiste nel risolvere le equazioni
differenziali che corrispondono alla legge del moto, una volta note le
condizioni iniziali. Avendo a che fare, in generale, con 3 equazioni
differenziali ciascuna delle quali è del secondo ordine, c’è bisogno di 6
condizioni iniziali, che possiamo scrivere vettorialmente nella forma di
valori che il vettore posizione r e velocità v = ṙ assumono in un dato
istante t = to :
r(to ) = ro
v(to ) = vo
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
22 / 72
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
Vademecum: Studiare il Moto
Che cosa significa “Studiare il Moto di un Corpo”?
Studiare il moto di un corpo significa determinare la sua legge oraria, a
partire dalla conoscenza delle cause che determinano il moto, in un
dato Sistema di Riferimento.
Definire il Sistema di Riferimento (Inerziale)
Individuare le Forze che Agiscono sul Corpo
Scrivere la Seconda Legge di Newton (legge del moto)
Scegliere delle opportune coordinate e una opportuna base
Proiettare la legge del moto sulla base scelta
Risolvere il sistema di equazioni differenziali che si ottiene
La soluzione delle equazioni differenziali, con le opportune
condizioni iniziali note, fornisce la legge oraria
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
23 / 72
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
24 / 72
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Soluzione dell’ Equazione Differenziale ẍ = a, a costante
L’equazione differenziale ẍ = a ha come soluzione
1
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )2
2
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
25 / 72
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Soluzione dell’ Equazione Differenziale ẍ = a, a costante
Moto Uniformemente Accelerato
La soluzione dell’equazione differenziale iniziale ẍ = a è data da
1
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )2
2
Fisicamente, essa descrive un moto uniformemente accelerato, ovvero
un moto con accelerazione costante. La variazione della velocità
risulta essere
v(t) = v0 + a(t − t0 )
Fissando t0 = 0 (la scelta dell’origine della misura del tempo è
arbitraria), otteniamo
1
x(t) = x0 + v0 t + at 2 ,
2
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
v(t) = v0 + at
E2.2010/2011
26 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Sommario
1
Introduzione
2
Le Leggi di Newton
3
Le Leggi di Newton
Prima Legge di Newton
4
La Legge del Moto (o Equazione del Moto)
5
Il Moto dei Proiettili
Cenni sulle Equazioni Differenziali
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
27 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Che Cosa Intendiamo per Moto dei Proiettili
Proiettile
Intendiamo per proiettile un punto materiale soggetto alla sola forza
peso (si trascura quindi la resistenza dell’aria). Inoltre, lavoriamo in
condizioni tali che possiamo assumere costante la forza peso (ad
esempio in prossimità della superficie terrestre, ad una data latitudine),
e pari a mg, per un corpo di massa m, soggetto all’accelerazione di
gravità di modulo costante g = GM/R 2 .
Moto in un Campo di Forza Costante
Più in generale, i risultati che otterremo si applicano al moto di un
corpo in un campo di forza costante.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
28 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Equazione del Moto di Un Proiettile
Riferiamo il moto ad un Sistema Inerziale solidale con la Terra.
L’Equazione del Moto (Seconda legge di Newton) f = ma risulta
(essendo mg l’unica forza agente)
mg = ma → g = a
Il moto non dipende dalla massa, tutti i corpi sono soggetti alla
medesima accelerazione.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
29 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Equazione del Moto di Un Proiettile
Riferiamo il moto ad un Sistema Inerziale solidale con la Terra.
L’Equazione del Moto (Seconda legge di Newton) f = ma risulta
(essendo mg l’unica forza agente)
mg = ma → g = a
Il moto non dipende dalla massa, tutti i corpi sono soggetti alla
medesima accelerazione.
In due dimensioni, scegliendo l’asse y antiparallelo alla forza peso
−gj =(ẍi + ÿj)
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
29 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Equazione del Moto di Un Proiettile
Riferiamo il moto ad un Sistema Inerziale solidale con la Terra.
L’Equazione del Moto (Seconda legge di Newton) f = ma risulta
(essendo mg l’unica forza agente)
mg = ma → g = a
Il moto non dipende dalla massa, tutti i corpi sono soggetti alla
medesima accelerazione.
In due dimensioni, scegliendo l’asse y antiparallelo alla forza peso
−gj =(ẍi + ÿj)
Proiettando lungo i versori degli assi cartesiani otteniamo il sistema di
equazioni differenziali
ẍ = 0
ÿ = −g
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
29 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione delle Equazioni Differenziali
Condizioni Iniziali
Imponiamo le condizioni iniziali x(t = 0) = 0, v(t = 0) = vo , essendo
vo = vox i + voy j. Ovvero, proiettando le condizioni iniziali lungo gli assi
(ossia considerando le componenti):
x(0) = 0, ẋ(0) = vo cos θo
y(0) = 0, ẏ (0) = vo sin θo
dove θo è l’alzo (angolo di lancio), e cioè l’angolo formato da vo con
l’asse (orizzontale) x.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
30 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Problema Matematico per il Moto dei Proiettili
Sistema di Equazioni Differenziali da Risolvere
ẍ = 0
ÿ = −g
con le condizioni iniziali
x(0) = 0, ẋ(0) = vo cos θo
y(0) = 0, ẏ (0) = vo sin θo
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
31 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione
Velocità
ML Ruggiero (DIFIS)
ẋ = vo cos θo
ẏ = −gt + vo sin θo
Esercitazione 2
E2.2010/2011
32 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione
Velocità
ẋ = vo cos θo
ẏ = −gt + vo sin θo
Legge Oraria
ML Ruggiero (DIFIS)
x = (vo cos θo ) t
y = − 12 g t 2 + (vo sin θo ) t
Esercitazione 2
E2.2010/2011
32 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche del Moto: Velocità
vx (t) = ẋ = vo cos θo
vy (t) = ẏ = −gt + vo sin θo
Componenti della Velocità sono Indipendenti
La componente orizzontale è un moto uniforme (con velocità costante
vo cos θo i), mentre la componente verticale è un moto uniformemente
accelerato (con accelerazione costante −g j)
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
33 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche del Moto: Posizione
Traiettoria dalla Legge Oraria
Le relazioni
x = (vo cos θo ) t
y = − 21 g t 2 + (vo sin θo ) t
possono essere riguardate come equazioni parametriche della
traiettoria. Per trovare l’equazione cartesiana basta eliminare il
parametro t, e si trova:
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
34 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche del Moto: Posizione
Traiettoria dalla Legge Oraria
Le relazioni
x = (vo cos θo ) t
y = − 21 g t 2 + (vo sin θo ) t
possono essere riguardate come equazioni parametriche della
traiettoria. Per trovare l’equazione cartesiana basta eliminare il
parametro t, e si trova:
y =−
ML Ruggiero (DIFIS)
g
1
x 2 + (tan θo ) x
2 (vo cos θo )2
Esercitazione 2
E2.2010/2011
34 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche della Traiettoria
Vertice
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
35 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche della Traiettoria
Vertice
(
ML Ruggiero (DIFIS)
x = g1 (vo cos θo ) (vo sin θo )
1
(vo sin θo )2
y = 2g
Esercitazione 2
E2.2010/2011
35 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche della Traiettoria
Vertice
(
x = g1 (vo cos θo ) (vo sin θo )
1
(vo sin θo )2
y = 2g
Gittata
La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale percorsa dal
proiettile all’istante in cui ripassa per la stessa quota del lancio, cioè
all’istante tR > 0 in cui y(tR ) = 0. Risulta pertanto
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
35 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche della Traiettoria
Vertice
(
x = g1 (vo cos θo ) (vo sin θo )
1
(vo sin θo )2
y = 2g
Gittata
La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale percorsa dal
proiettile all’istante in cui ripassa per la stessa quota del lancio, cioè
all’istante tR > 0 in cui y(tR ) = 0. Risulta pertanto
R=
ML Ruggiero (DIFIS)
v2
2
(vo cos θo )(vo sin θo ) ⇐⇒ o sin (2θo )
g
g
Esercitazione 2
E2.2010/2011
35 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Caratteristiche della Traiettoria
Vertice
(
x = g1 (vo cos θo ) (vo sin θo )
1
(vo sin θo )2
y = 2g
Gittata
La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale percorsa dal
proiettile all’istante in cui ripassa per la stessa quota del lancio, cioè
all’istante tR > 0 in cui y(tR ) = 0. Risulta pertanto
R=
v2
2
(vo cos θo )(vo sin θo ) ⇐⇒ o sin (2θo )
g
g
La gittata è massima per θ0 = π/4.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
35 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Studio del Moto di un Grave
Definizione
Un punto materiale soggetto soltanto alla forza peso è chiamato
proiettile se la velocità iniziale non è nulla, grave se la velocità iniziale
è nulla.
Condizioni Iniziali
Quindi, basta imporre le opportune condizioni iniziali di annullamento
di velocità per ottenere la legge oraria di un grave.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
36 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Studio del Moto di un Grave
Definizione
Un punto materiale soggetto soltanto alla forza peso è chiamato
proiettile se la velocità iniziale non è nulla, grave se la velocità iniziale
è nulla.
Condizioni Iniziali
Quindi, basta imporre le opportune condizioni iniziali di annullamento
di velocità per ottenere la legge oraria di un grave.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
36 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione dell’ Equazione Differenziale ÿ = g −
b
m ẏ ,
g, b, m costanti
b
L’equazione differenziale ÿ = g − m
ẏ , con g, b, m costanti ha come
soluzione
t
y(t) = τ gt + τ 2 g e− τ − 1
Per la velocità si ottiene
v(t) =
ML Ruggiero (DIFIS)
t
m g 1 − e− τ
b
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.1
Studiare il moto di un proiettile, che viene sparato parallelamente al
suolo, da un’altezza h, con velocità iniziale v0 . In particolare:
(1) Calcolare quanto tempo impiega a cadere; (2) a che distanza cade
dalla perpendicolare rispetto al punto di partenza? (3) quali sono le
componenti della velocità quando tocca terra?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.2
Un tuffatore molto abile decide di tuffarsi in mare dalla cima di una
scogliera. Il ”trampolino” è alto circa 20 metri e non c’è un alito di vento.
Il tuffatore ha un solo problema: evitare gli scogli aguzzi che spuntano
dal mare alla base della scogliera e che si estendono, rispetto al punto
da cui si dovrà tuffare, per circa 5 metri. Intuitivamente, sa che deve
darsi un certo slancio, ma essendo poco bravo in fisica, chiede ad un
amico di calcolare la velocità minima orizzontale con cui deve saltare
per portare a termine il tuffo, senza conseguenze negative. Facendo
conto sulla buona fede e bravura dell’amico, salta.
(1)Quale è la velocità minima che gli ha suggerito l’amico? (2) Con
che velocità arriva in acqua (modulo e direzione)? (3) Potrebbe saltare
con minore velocita’ orizzontale, essendo comunque sicuro di non
sfracellarsi?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
39 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.2
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.3
Un grave cade dalla Torre di Pisa (alta circa 50 metri).
Calcolare: (1) il tempo di caduta; (2) la velocità con cui tocca il suolo
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.4
Consideriamo un Missile Balistico Intercontinentale (ICBM).
Se esso viene lanciato verso una città distante 6000 Km, e viene
individuato a metà del suo percorso, quanto preavviso hanno gli
abitanti della città?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
42 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.5
Un bambino gioca con una fionda, e cerca di colpire una pigna
attaccata ad un ramo, ad una distanza h da terra. L’albero ha una
distanza d dal bambino. Quando lascia partire il suo colpo,
improvvisamente la pigna cade lungo la verticale.
In che condizioni il colpo scoccato riesce comunque a centrare il
bersaglio?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.6
In una partita di calcio, il portiere effettua il calcio di rinvio: accortosi
del fatto che il suo collega è ampiamente fuori dai pali, cerca di
beffarlo con un tiro parabolico.
Con che velocità deve colpire la palla?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
44 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.6
In una partita di calcio, il portiere effettua il calcio di rinvio: accortosi
del fatto che il suo collega è ampiamente fuori dai pali, cerca di
beffarlo con un tiro parabolico.
Con che velocità deve colpire la palla?
Studiare la situazione analoga, in presenza però di un vento a favore,
che soffia alla velocità di 4 metri al secondo.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.7
Un contadino deve prendere l’acqua da un pozzo molto profondo, ma
essendo sprovvisto di una corda per agganciare il secchio, deve
misurare l’altezza del pozzo. Per fare questo, lancia un sasso e, dopo
10.25 secondi sente l’impatto del sasso con la superficie dell’acqua.
Quanto è profondo il pozzo?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Osservazioni su Forze Applicate a Fili
Forza Costante su un Corpo
Se ad un corpo di massa M applichiamo una forza costante f, la
Seconda Legge di Newton f = Ma ci dice che esso si muove con
accelerazione costante a = f/M.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Osservazioni su Forze Applicate a Fili
Forza Costante su un Filo
Che cosa avviene se la forza costante f non è applicata direttamente
al corpo, ma all’estremo libero di un filo?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Osservazioni su Forze Applicate a Fili
Filo di Massa Trascurabile
Supponiamo che il filo abbia massa trascurabile; essendo inestensibile
esso si muove con accelerazione costante. Isolando un elemento del
filo di massa δm, possiamo scrivere la Seconda Legge di Newton,
tenendo presente che su di esso agiscono le tensioni T1 e T2
T1 + T2 = δma,
δm ≃ 0 → T1 + T2 = 0
Quindi, nel caso in cui la massa del filo sia trascurabile, in ogni punto
del filo la tensione è la stessa: T1 = T2 = T .
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Osservazioni su Forze Applicate a Fili
Filo di Massa Trascurabile
In particolare, considerando un elemento di filo che contiene l’estremo
cui è applicata la forza f, deve essere f = T . Quindi, un filo di massa
trascurabile (filo ideale), si comporta in modo tale da trasmettere la
forza applicata da un estremo all’altro.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione dell’Equazione Differenziale: ẍ + ω 2 x = 0
In questo caso, particolare, il polinomio caratteristico
λ2 + ω 2 = 0
ha radici puramente immaginarie (coniugate), nella forma
λ1 = iω λ2 = −iω Pertanto la soluzione si scrive
x(t) = c1 eiωt + c2 e−iωt
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
50 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione dell’Equazione Differenziale: ẍ + ω 2 x = 0
In questo caso, particolare, il polinomio caratteristico
λ2 + ω 2 = 0
ha radici puramente immaginarie (coniugate), nella forma
λ1 = iω λ2 = −iω Pertanto la soluzione si scrive
x(t) = c1 eiωt + c2 e−iωt
Ponendo
A iωϕ
A
e
c2 = e−iωϕ
2
2
la soluzione si scrive nella forma
c1 =
x(t) = A cos (ωt + ϕ)
(1)
dove ora le costanti arbitrarie sono A e ϕ.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
50 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione dell’Equazione Differenziale: ẍ + ω 2 x = c
Equazione Lineare del Secondo Ordine non Omogenea
La soluzione si scrive nella forma
x(t) = x1 + x0 (t)
dove x0 (t) e’ una soluzione dell’equazione omogena associata
ẍ + ω 2 x = 0
x1 (t) è una soluzione particolare, che possiamo scrivere nella forma
x1 =
ML Ruggiero (DIFIS)
c
ω2
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Soluzione dell’Equazione Differenziale: ẍ + ω 2 x = c
Equazione Lineare del Secondo Ordine non Omogenea
La soluzione si scrive nella forma
x(t) = x1 + x0 (t)
dove x0 (t) e’ una soluzione dell’equazione omogena associata
ẍ + ω 2 x = 0
x1 (t) è una soluzione particolare, che possiamo scrivere nella forma
x1 =
Quindi,
x(t) =
ML Ruggiero (DIFIS)
c
ω2
c
+ A cos (ωt + ϕ)
ω2
Esercitazione 2
E2.2010/2011
51 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Grave Soggetto ad una Forza Elastica
Un punto materiale, in moto lungo un asse verticale, è soggetto ad una
forza elastica Fel che ha espressione
Fel = −k (y − yrest ) j
(2)
dove k prende il nome di rigidezzza (o costante elastica), mentre yrest
prende il nome di lunghezza a riposo.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Grave Soggetto ad una Forza Elastica
Un punto materiale, in moto lungo un asse verticale, è soggetto ad una
forza elastica Fel che ha espressione
Fel = −k (y − yrest ) j
(2)
dove k prende il nome di rigidezzza (o costante elastica), mentre yrest
prende il nome di lunghezza a riposo.
La molla non esercita alcuna forza quando l’elongazione è nulla,
mentre quando l’elongazione non è nulla essa esercita una forza di
richiamo verso il punto di coordinata yrest .
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
52 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equazione del Moto
La Seconda Legge di Newton risulta
Fel + mg = ma
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equazione del Moto
La Seconda Legge di Newton risulta
Fel + mg = ma
ovvero, visto che entrambe le forze sono parallele all’asse y
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
53 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equazione del Moto
La Seconda Legge di Newton risulta
Fel + mg = ma
ovvero, visto che entrambe le forze sono parallele all’asse y
−k (y − yrest ) j + mgj =m ÿ j
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
53 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equazione Differenziale
Proiettando lungo j si ottiene quindi
−k (y − yrest ) + mg = m ÿ
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equazione Differenziale
Proiettando lungo j si ottiene quindi
−k (y − yrest ) + mg = m ÿ
Effettuando il cambiamento di variabile z = y − yrest e ponendo
ω 2 = k/m scriviamo l’equazione differenziale nella forma
z̈ + ω 2 z = g
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Equilibrio: z̈ = 0
In condizioni di equilibrio, la forza peso bilancia la forza elastica; se le
condizioni iniziali sono z(0) = zeq ; ż(0) = 0, ovvero il punto è posto
nella posizione di equilibrio con velocità nulla, esso continua ad avere
coordinata z costante
g
zeq = 2
ω
da cui
g
yeq = 2 + yrest
ω
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Caso Generale: il Moto Armonico
In generale, la soluzione dell’equazione differenziale z̈ + ω 2 z = g
risulta essere data dal moto armonico
z(t) =
g
+ A cos (ωt + ϕ)
ω2
Il moto risulta determinato una volta note le condizioni iniziali
z(0) = zo ; ż(0) = żo
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Caso Generale: il Moto Armonico
In generale, la soluzione dell’equazione differenziale z̈ + ω 2 z = g
risulta essere data dal moto armonico
z(t) =
g
+ A cos (ωt + ϕ)
ω2
Il moto risulta determinato una volta note le condizioni iniziali
z(0) = zo ; ż(0) = żo
A cos ϕ = zo − ωg2
zo = A cos ϕ + ωg2
⇐⇒
żo = −ωA sin ϕ
A sin ϕ = − żωo
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
56 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto di un Grave Soggetto alla Forza Elastica
Caso Generale: il Moto Armonico
In generale, la soluzione dell’equazione differenziale z̈ + ω 2 z = g
risulta essere data dal moto armonico
z(t) =
g
+ A cos (ωt + ϕ)
ω2
Il moto risulta determinato una volta note le condizioni iniziali
z(0) = zo ; ż(0) = żo
A cos ϕ = zo − ωg2
zo = A cos ϕ + ωg2
⇐⇒
żo = −ωA sin ϕ
A sin ϕ = − żωo

r
2 2

 A=
zo − ωg2 + żωo


tan ϕ = − żo g
ω(zo −
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
ω2
)
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto Armonico
Caratteristiche del Moto di un Oscillatore Armonico
A è l’ampiezza
ϕ è la fase iniziale
ω è la pulsazione
Il periodo è definito da
2π
= 2π
T =
ω
r
m
k
e la fase al tempo t ϕ(t) = ωt + ϕ è tale che ϕ(t) = ϕ(t + T ). La
frequenza è data da
r
1
k
ω
1
ν≡
=
=
T
2π
2π m
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Moto Armonico
A
z t
zeq
p
2
p
t
3
p
4
p
KA
Grafico della Legge Oraria del Moto Armonico
La curva z(t) si presenta come una sinusoide contenuta nella striscia
orizzontale compresa tra le due rette z = −A + zeq e z = A + zeq .
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Attrito Statico
Nel caso dell’attrito statico, la componente tangenziale della reazione
Φτ è legata alla componente normale ΦN : il rapporto tra i moduli di Φτ
e ΦN è sempre inferiore o uguale a una costante µS , che caratterizza
l’accoppiamento dei materiali che vengono posti a contatto in
condizioni statiche e prende il nome di coefficiente di attrito statico
Φτ
≤ µS
ΦN
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Attrito Dinamico
Nel caso dell’attrito dinamico, sussiste la seguent relazione fra la
componente tangenziale della reazione Φτ la componente normale
ΦN : il rapporto tra i moduli di Φτ e ΦN è una costante µD , che
caratterizza l’accoppiamento dei materiali che vengono posti a
contatto in condizioni dinamiche e prende il nome di coefficiente di
attrito dinamico:
Φτ
= µD
ΦN
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Attrito Dinamico
Nel caso dell’attrito dinamico, sussiste la seguent relazione fra la
componente tangenziale della reazione Φτ la componente normale
ΦN : il rapporto tra i moduli di Φτ e ΦN è una costante µD , che
caratterizza l’accoppiamento dei materiali che vengono posti a
contatto in condizioni dinamiche e prende il nome di coefficiente di
attrito dinamico:
Φτ
= µD
ΦN
Inoltre, dato che questa forza si oppone al moto, si può scrivere
Φτ = −µD ΦN
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
v
v
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Osservazioni
Φτ
ΦN
≤ µS
solo l’applicazione di una forza orizzontale di sufficiente intensità
può costringere le molecole dei due corpi ad allontanarsi
µS costante, significa che dipende solo dal materiale dei due corpi
a contatto
Φτ
ΦN
= µD
se aumenta l’intensità della forza normale ΦN scambiata tra i due
corpi, aumenta proporzionalmente la superficie di contatto
effettivo
µD costante, significa che dipende solo dal materiale dei duo corpi
a contatto (e non dipende dal modulo della velocità)
Empiricamente, µD < µS .
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
61 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.8
Una pallina di massa m pari a 5 kg, si muove su un piano orizzontale
e, inizialmente, si trova a distanza d=8 metri da una molla di costante
elastica k=100 N/m, e si muove verso di essa con una velocità di 6
metri al secondo.
Calcolare la compressione massima della molla. Che cosa avviene se
il piano su cui scivola è scabro con µD = 0.6?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.9
Un corpo di massa m1 puo’ scorrere (senza attrito) su una superficie
orizzontale, in presenza del campo gravitazionale terrestre g. Due fili
inestensibili e di massa trascurabile lo collegano,tramite due carrucole
fisse e lisce, con due corpi di massa m2 e m3 .
Calcolare l’accelerazione del corpo di massa m1 supponendo che sia
m1 = m2 e m3 = 5m2 .
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
63 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.10
Un corpo di massa m è libero di oscillare in verticale, appeso ad una
molle di costante elastica k.
Calcolare il Periodo delle Oscillazioni
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
64 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.11
Un corpo di massa m è vincolato all’estremo di una corda di lunghezza
L, il cui altro estremo è fisso. Il sistema e’ posto nel campo
gravitazionale terrestre. Descrivere il moto del sistema.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
65 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.12
Due masse M e m, con m > M sono collegate, e sono libere di
muoversi su un piano inclinato avente angolo di inclinazione α. Il piano
inclinato ha coefficienti di attrito µS e µD . Si ponga m=10 Kg, M=5 Kg,
α = π/6 e µS = 0.5, µD = 0.3.
Si studi il sistema, determinando se è in equilibrio e, in caso contrario,
si studi il moto dei due corpi.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Lavoro di Una Forza
Definizione di Lavoro
Data una forza F, si definisce il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza
F, quando il punto materiale cui è applicata descrive uno spostamento
ds
dL = F · d s
In corrispondenza di uno spostamento finito lungo la curva γ, dal
punto A al punto B, si ottiene il lavoro
Z
Lγ (A → B) = F · d s
γ
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Teorema della Forze Vive
Il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su un punto materiale è
lagato alla variazione di energia cinetica dalla seguente relazione
Lγ (A → B) =
1
1
m|vB |2 − m|vA|2
2
2
che esprime il teorema delle forze vive.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Forze Conservative
In generale il lavoro Lγ (A → B) di una forza dipende dal percorso.
Tuttavia, esistono forze dette conservative per cui il lavoro dipende
solo dalla posizione di partenza e arrivo. In tali casi si definisce
l’energia potenziale U(P) per cui
Lγ (A → B) = U(A) − U(B)
Per le forze conservative il teorema delle forze vive diventa
1
1
m|vA|2 + U(A) = m|vB |2 + U(B)
2
2
ed esprime il fatto che l’energia meccanica si conserva.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Energia Potenziale
Alcune Espressioni per l’Energia Potenziale
Elastica U(x) = 21 k (∆x) + costante, ∆x è l’elongazione
Gravitazionale (accelerazione di gravità costante)
U(z) = mgz + costante
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.13
Una pallina (puntiforme) di massa m è legata ad una corda
(inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza R, la quale può
ruotare liberamente intorno ad un punto O, in un piano verticale, sotto
l’azione del campo gravitazionale g. La pallina parte da ferma in P.
Quando la pallina giunge in Q, urta elasticamente una pallina identica,
libera di muoversi su un piano. Nel punto S, a distanza QS = 3R da Q
è posto l’estremo libero di una molla, di lunghezza a riposo l0 , e
costante elastica k.
(1)Quanto vale la tensione della corda in Q (prima dell’urto)? (2)
Quanto vale la compressione massima della molla?
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.14
Una pallina di massa m viene lasciata libera di scivolare (senza attrito)
su di una calotta sferica di raggio R, partendo dalla sua sommità.
Dopo aver discusso qualitativamente il moto, si calcoli l’angolo α in
corrispondenza del quale la pallina si stacca dalla calotta e si descriva
il suo moto successivo.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
72 / 72
Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.15
Una pallina di massa m viene lasciata libera di scivolare lungo una
guida come in figura (senza attrito).
Si determini l’altezza minima h per cui la pallina percorra l’intero anello
di raggio R restando sempre a contatto con la guida.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
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Il Moto dei Proiettili
Il Moto dei Proiettili e dei Gravi nel Vuoto
Esercizio 2.16
Su di una pallina di massa m agisce una forza F, che la spinge contro
l’estremo libero di una molla di lunghezza a riposo nullo e costante
elastica k. guida come in figura (senza attrito).
Studiare la velocità della pallina in funzione dello spostamento dalla
posizione inziale.
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 2
E2.2010/2011
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