(A) 27 Maggio 2013

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PROVA SCRITTA DI STATISTICA
PROGRAMMA CRISTALLO (A)
27 Maggio 2013
1. Un dipendente di una concessione di vendita deve scegliere se lavorare al
banco vendite guadagnando una cifra fissa di 50 euro o fare il venditore
ambulante di birre su commissione. Se sceglie il secondo lavoro potrebbe
guadagnare 90 euro in una serata calda, 70 euro in una serata di caldo
moderato, 45 euro in una serata fresca e 15 euro in una serata fredda. In questo
periodo dell’anno, la probabilità di una serata calda è 0.1, di una serata di caldo
moderato è 0.3 e di una serata fresca è 0.4. Sia X la variabile aleatoria che
descrive gli incassi nel caso in cui viene scelto il secondo lavoro. Calcolare la
funzione di ripartizione di X. Calcolare la media di X. Quale lavoro conviene
scegliere?
2. Il peso netto X delle scatole di cereali impacchettati segue una distribuzione
gaussiana con media µ = 368 gr. Se il 98% delle scatole ha un peso netto sotto i
400 gr, si determini la deviazione standard.
3. Effettuare una regressione lineare tra i pesi delle seguenti coppie di dati che si
riferiscono ai pesi di padri e figli. Calcolare il coefficiente di correlazione e
commentarlo opportunamente.
Padre 60
Figlio 63.6
62
65.2
64
66
65
65.5
66
66.9
67
67.1
68
67.4
70
68.3
72
70.1
74
70
4. In una grande città 105 automezzi dei 650 controllati sono risultati non
conformi alle normative vigenti (luci, scarichi, …) Sottoporre a test l’ipotesi
che la proporzione di auto fuori norma nella città considerata sia pari a 0.2 in
alternativa ad un valore superiore.
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Correzioni e/o registrazioni mercoledì 29 maggio ore 10.00.
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PROVA SCRITTA DI STATISTICA
PROGRAMMA GALLO
27 Maggio 2013
1. Il diametro interno medio di 100 guarnizioni prodotte da una macchina è di
0.502 pollici e la deviazione standard è di 0.05 pollici. Gli scopi per i quali
queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima nel
diametro fra 0.496 e 0.508 pollici, mentre in caso contrario le guarnizioni sono
considerate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri come normale,
si determini la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina.
2. Un dado è truccato in modo che la probabilità sia proporzionale al numero dei
puntini su ciascuna faccia. Qual è la probabilità che, lanciando un simile dado,
si verifichi un numero pari di puntini? Conviene scommettere sull’evento
“uscita numero pari” o “uscita numero dispari”?
3. Un medico ricercatore è convinto che la temperatura basale media delle
persone sane sia cresciuta nel tempo e non sia più pari a 98.6 gradi Fahrenheit.
Per dimostrarlo misura la temperatura di 100 soggetti sani selezionati a caso,
trovando una temperatura media di 98.74 gradi Fahrenheit e una deviazione
standard campionaria di 1.1 gradi Fahrenheit. Cosa può concludere ad un
livello di significatività del 5%?
4. Si consideri un esperimento che ha 6 possibili esiti, le cui rispettive probabilità
sono
Esito
a
b
c
d
e
f
Frequenza 0.15 0.15 0.03 0.33 0.28 0.06
Si effettua un test replicando 40 volte l’esperimento e si ottiene che le
frequenze relative degli esiti sono 3, 3, 5, 18, 4 e 7. Va accettata l’ipotesi nulla?
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Correzioni e/o registrazioni mercoledì 29 maggio ore 10.00.
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PROVA SCRITTA DI STATISTICA
PROGRAMMA CRISTALLO (B)
27 Maggio 2013
1. In una certa regione vi sono due ditte che producono apparecchi telefonici.
Quelle della fabbrica A sono difettose con probabilità 0.05 mentre quelle della
fabbrica B sono difettose con probabilità 0.01. Supponendo di acquistare una
radio dalla ditta A o B con uguale probabilità, determinare la probabilità di
acquistare un telefono difettoso.
2. Il rumore si misura in decibel (dB). La soglia di tollerabilità è intorno a 120
dB. Quelli che seguono sono i valori registrati in 36 differenti occasioni alla
stazione di Roma.
82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 60
90 83 87 75 114 85 69 94 124 115 107 88
97 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65
(a) Commentare opportunamente gli indici di posizione e di variabilità del
campione che seguono calcolati con Excel.
Colonna1
Media
90,66667
Errore standard
2,966479
Mediana
89,5
Moda
94
Deviazione standard
17,79888
Varianza campionaria
316,8
Curtosi
-0,76879
Asimmetria
0,290173
Intervallo
65
Minimo
60
Massimo
125
Somma
3264
Conteggio
36
Livello di confidenza(95,0%) 6,022281
(b) Determinare l’intervallo di confidenza per la media.
(c) Verificare con un test chi-quadrato se il campione casuale segue una legge
gaussiana.
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Correzioni e/o registrazioni mercoledì 29 maggio ore 10.00.
Soluzioni – Cristallo A
1.
Sia X la variabile aleatoria che indica il guadagno ottenuto come venditore
ambulante. Si ha
X 15 45 70 90
p 0.2 0.3 0.4 0.1
La media risulta E [ X ] = 0.1× 90 + 0.3 × 70 + 0.4 × 45 + 0.2 ×15 = 51. Non basta questo unico
risultato per stabilire quale lavoro conviene. Bisogna determinare anche la deviazione
standard
D [ X ] = 0.1× (90 − 51)2 + 0.3 × ( 70 − 51) + 0.4 × (45 − 51) 2 + 0.2 × (15 − 51) 2 = 23.10
Essendo un valore elevato, conviene scegliere la retribuzione fissa. Per la funzione di
ripartizione si ha
2
Valori
15
45
70
90
Prob.
0,2
0,4
0,3
0,1
Cum.
0,2
0,6
0,9
1
Pertanto la funzione è:
x < 15
0
0.2 x ∈ 15, 45
)
[

F ( x) = 0.6 x ∈ [ 45, 70 )
0.9 x ∈ [ 70,90 )

x ≥ 90
 1
2.
Si ha P ( X < 400 ) = 0.98. Standardizzando si ha
400 − 368 
400 − 368
400 − 368

= z0.02 ⇒
=σ
PZ <
 = 0.98 ⇒
σ
σ
z0.02


Poiché il quantile corrispondente a 0.02 vale 2.05, segue che la deviazione standard è
15.58.
3.
I coefficienti della retta di regressione y = a + bx sono
b=
N ( ∑ xi yi ) − ( ∑ xi )( ∑ yi )
N ( ∑ xi2 ) − ( ∑ xi )
2
= 0.46 a = y − bx = 35.97
La media del peso dei padri risulta essere 66.8, la media del peso dei figli risulta
essere 67.01. La deviazione standard per la variabile padri risulta valere 4.36, mentre
quella per la variabile figli risulta essere 2.06. L’ultima colonna della tabella che
segue riporta i valori per il calcolo della covarianza. Il coefficiente di correlazione
vale 0.98 ed è quindi elevato.
somma
4.
Z=
Padri=X
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
668
figli=Y
63,6
65,2
66
65,5
66,9
67,1
67,4
68,3
70,1
70
670,1
Prod
3816
4042,4
4224
4257,5
4415,4
4495,7
4583,2
4781
5047,2
5180
44842,4
Quadr
3600
3844
4096
4225
4356
4489
4624
4900
5184
5476
44794
Cov
23,188
8,688
2,828
2,718
0,088
0,018
0,468
4,128
16,068
21,528
8,857778
Per effettuare il test è necessario calcolare il valore della statistica test
X − p0
p0 (1 − p0 )
n
= −2.45 . La regione di accettazione risulta Z < z0.05 = 1.64 Pertanto il test
non rigetta l’ipotesi nulla.
Soluzioni – Gallo
1.
La media campionaria dei diametri prodotti dalla macchina ha distribuzione
gaussiana, poiché la numerosità del campione è 100. La media vale 0.502 e la
deviazione standard vale 0.005. La percentuale delle guarnizioni difettose prodotte
dalla macchina risulta essere:
0.508 − 0.502 
 0.496 − 0.502
P ( 0.496 < X < 0.508 ) = P 
<Z<
 = P ( −1.2 < Z < 1.2 ) = 0.76
0.005
0.005


2.
Si tratta di determinare il valore della costante c tale che
6c + 5c + 4c + 3c + 2c + c = 1
ossia c = 1/ 21 . Pertanto le probabilità risultano
Esiti
1
2
3
4
5
6
Prob.
0,05
0,10
0,14
0,19
0,24
0,29
La probabilità che, lanciando un simile dado, si verifichi un numero pari di puntini
vale 0.58. Essendo maggiore di 0.5 conviene puntare su questo evento.
X − µ0
≈ Tn −1
S
n
T-student con n-1 gradi di libertà. Si vuole testare l’ipotesi H 0 : µ = 98.6 contro
3. Si tratta di applicare un T-test per la media. La statistica test risulta T =
l’ipotesi alternativa H1 : µ > 98.6 . In tal caso la regione di accettazione è
T < tα ,n −1 Poiché il quantile vale 2.03 e la statistica test vale 1.27 non si rigetta l’ipotesi
nulla del test.
4. Si tratta di un test chi-quadrato per la bontà di adattamento. La tabella delle
frequenze attese e quelle osservate risulta essere
Esiti
a
b
c
d
e
f
Freq
3
3
5
18
4
7
Prob
0,15
0,15
0,03
0,33
0,28
0,06
Freq.att Stat. Test
6
1,50
6
1,50
1,2
12,03
13,2
1,75
11,2
4,63
2,4
8,82
30,22
Il valore della statistica test risulta 30.22. Il quantile è 11.07. Siccome la statistica test
supera il quantile, la distribuzione teorica non fitta quella empirica.
Soluzioni – Cristallo (B)
1.
Si tratta di usare il teorema delle alternative. Indicati con A l’evento
“l’apparecchio telefonico selezionato proviene da A”, con B l’evento “l’apparecchio
telefonico selezionato proviene da B” e con D l’evento “l’apparecchio telefonico
selezionato è difettoso”, si ha P ( D ) = P( D | A) P( A) + P( D | B) P( B) = 0.05 × 0.5 + 0.01× 0.5
2.
(a) Media, mediana assumono valori vicini mentre la moda assume un valore
piuttosto diverso da media e mediana. Pertanto la distribuzione ha una coda destra più
pesante. Questo in accordo anche con l’indice di asimmetria che vale 0.29. La curtosi
è negativa e testimonia una distribuzione con maggiore dispersione rispetto a quella
gaussiana tant’è che anche l’errore standard della media ha un valore significativo.
(b) L’intervallo di confidenza ha semiampiezza 6.022: tale valore viene calcolato
usando l’intervallo di confidenza per la media della popolazione con varianza
incognita, ossia I = X ± tα /2, n−1
S
con t0.025,35 = 2.030, S = 17.7988, n = 36.
n
(c) Per rispondere al terzo quesito, è necessario effettuare una ripartizione in classi,
del campione casuale. Una scelta potrebbe essere la seguente
( −∞, 75] ;(75,90];(90,105]; (105;120];(120, ∞)
Le frequenze osservate risultano: 8, 10, 9, 6, 3. Pertanto la tabella per la costruzione
della statistica test osservata risulta:
Osservate
<75
8
90
10
105
9
120
6
>120
3
somma
36
Attese
6,816835
10,65046
10,96907
5,779866
1,783768
36
Stat. Test
0,205356
0,039726
0,353469
0,008384
0,829268
1,436203
La statistica test vale 1,43 mentre il quantile risulta 5,99 poiché i gradi di gradi di
libertà della chi-quadrato sono 5-2-1, avendo stimato media e deviazione standard dal
campione casuale.