INTRODUZIONE AI FILTRI (Corso "Teoria dei Circuiti")

APPUNTI INTEGRATIVI Provvisori circa:
Risposta in Frequenza: Introduzione ai Filtri Passivi e Attivi
Filtri del I ordine
1. Passa-Basso
Consideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un condensatore ideale di
capacità C posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:
H (s) 
VC ( s )
1
1
1


1
E ( s ) sC R  1
RC ( s 
)
sC
RC
(1)
la corrispondente risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete,
la quantità immaginaria j (dove, come noto   2 f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è la
frequenza [Hz]).
Si avrà dalla (1):
H ( j ) 
1
RC ( j 
(2)
1
)
RC
La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in
forma euleriana:
(3)
H ( j )  H ( )e ( )
dove la funzione:
H ( ) 
1
 1 
RC  2  

 RC 
(4)
2
rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre
(5)
 ( )  arctg ( RC )
ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.
Si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, che indicheremo con t ,
tale che:
H (t ) 
1
2
Si ottiene allora, in virtù della (4):
H (t ) 
(6)
 0.707
1
 1 
RC t 2  

 RC 
 t 2  2
2
2
1

1
1
 1 

  t  RC
RC
( RC ) 

2
2
 1 
 ( RC ) 2 (t 2  
 )2
2
 RC 
(7)
In virtù della (7) la (1) si scrive:
H (s) 
t
(1.bis)
( s  t )
Ricordando che in un circuito serie R-C il prodotto RC è pari alla costante di tempo del circuito,
possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.
In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:
 ( )  arctg (t RC ) , che, in base alla (7) permette di ricavare:
 ( )  arctg (t RC )  arctg (
RC

)  arctg (1)  
RC
4
(8)
Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo alla
pulsazione di taglio.
Quindi, per la (4) e la (6) si ha:
1
 1 
RC  passate 2  

 RC 
2

2
1
 1 
 1 
  passate 2  
 t 2  


2
 RC 
 RC 
2  1 
RC t  

 RC 
2
(9)
  passate  t
Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sul condensatore di una serie R-C ha proprietà
filtranti di tipo Passa-Basso (“passano le pulsazioni più piccole della pulsazione di taglio).
In Figura 1, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione di
trasferimento in tensione per un filtro passa-basso R-C con R = 1 k e C = 0.159μF e relativa
frequenza di taglio di 1 kHz.
1
0
H( j   )
arg( H( j   ) )
 
 
1
2
arg H j 
0.5
0
Fig.1
2000
4000
6000
1
0.5


R C  
1
0
2000
4000


2 
2 
Andamento del modulo
Andamento della fase
6000
Filtro Attivo
Una realizzazione di filtro attivo “passa basso” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito in
Fig. 2.
A
Iu
u
Vi
Vu
Fig.2
Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine
Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:
 G1  G2  sC1

 G2  sC1
G2  sC1   VA  0   Vi G1 



G2  sC1   Vu    I u 
 0 G2  sC1   I u   Vi G1 

   

 1 G2  sC1   Vu   0 
V
t
G1
G1
 u 


G
Vi G2  sC1
s  t
C1 ( s  2 )
C1
con t 
G1
C1
(10)
ponendo G1  G2
L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,
l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale
d’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertente
ad amplificazione unitaria.
2. Passa-Alto
Consideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un induttore ideale di
induttanza L posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:
H (s) 
VL ( s )
sL
s


E ( s ) R  sL s  R
L
(1)
la risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete, la quantità
immaginaria j (dove, come noto   2 f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è la frequenza
[Hz]).
Si avrà dalla (1):
H ( j ) 
j
j 
(2)
R
L
La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in
forma euleriana:
(3)
H ( j )  H ( )e ( )
dove la funzione:
H ( ) 

R
2   
L
(4)
2
rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre
 ( )  arctg (
L
R
(5)
)
ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.
Come detto, si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, che
indicheremo con t , tale che:
H (t ) 
Si ottiene allora, in virtù della (4):
H (t ) 
1
2
(6)
 0.707
t
R

L
t 2  
2

2
R
 t 2     2t 2
2
L
1
(7)
2
R
R
 t 2  2t 2     0  t 
L
L
 
In virtù della (7) la (1) si scrive:
H (s) 
s
( s  t )
(1.bis)
Ricordando che in un circuito serie R-L il rapporto L/R è pari alla costante di tempo del circuito,
possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.
In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:
 ( )  arctg (t
R
),
L
che, in base alla (7) permette di ricavare:
 ( )  arctg (
t L
R
)  arctg (
RL

)  arctg (1) 
LR
4
(8)
Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo alla
pulsazione di taglio.
Quindi, per la (4) e la (6) si ha:
 passate
R
 passate   
L
2
2
t

R
t   
L
2
2
 2 passate

R

L
 2 passate  
2
2

t 2
R

L
t 2  
2
2
R
R
 t 2 2 passate     2 passate  t 2 2 passate    t 2
L
L
(9)
 passate  t
Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sull’induttore di una serie R-L ha proprietà
filtranti di tipo Passa-Alto (“passano le pulsazioni più grandi della pulsazione di taglio).
In Figura 3, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione di
trasferimento in tensione per un filtro passa-alto R-L con R = 1 k e L = 159.155mH e relativa
frequenza di taglio di 1 kHz.
1.5
H( j   )
1
arg( H( j   ) )
  R  
 
  L  
0.5
2
0
Fig.3
1
arg H  j 
0
2000
4000
6000
0.5
0
2000
4000


2 
2 
Andamento del modulo
Andamento della fase
6000
Filtro Attivo
Una realizzazione di filtro attivo “passa alto” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito in Fig.
2.
A
u
A
Vi
Fig.2
Vu
Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine
Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:
 G9  s  C5  C6    G9  sC5    VA  0   Vi sC6 




G9  sC5   Vu    I u 
   G9  sC5 
 0   G9  sC5    I u   Vi sC6 

   

G9  sC5   Vu   0 
1
V
 sC6
 sC6
s
 u 


G9
Vi G9  sC5
s  t
C5 ( s 
)
C5
con t 
G9
C5
(10)
ponendo C5  C6
L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,
l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale
d’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertente
ad amplificazione unitaria. Si noti come nella realizzazione attiva il filtro non ha induttori, cosa che
lo rende adatto a realizzazioni integrate.
Filtri del II ordine
Prendiamo ora in considerazione un circuito serie R-L-C e proponiamoci di considerare le tre
funzioni di trasferimento che si ottengono considerando di prelevare il segnale come tensione ai
capi del resistore, dell’induttore e del condensatore rispettivamente.
Filtro Passivo Passa Banda
Se prendiamo il segnale sul resistore R, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzione di
trasferimento in tensione:
H (s) 
R
1
sL  R 
sC

sCR
2
s LC  sRC  1

sCR
R
1
LC ( s 2  s 
)
L
LC
(1)
sR
Bs
 H (s) 
 2
2
R
1
L( s 2  s 
) ( s  Bs  0 )
L
LC
dove chiaramente si è posto: B 
R
L
1
e 0 
LC
ed il cui significato verrà presto evidenziato. La
funzione di rete relativa ad un filtro passa banda del secondo ordine presenta uno zero per s = 0.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
H ( j ) 
j R
j B
 2

2
R
1
(




j

B
)
0
L(  j 
)
L
LC
2
2

j B (02   2 )  j B 
 B   jB 02   2




2
2
( B ) 2  (02   2 ) 2
02   2   B 



(2)
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
B
H ( j ) 
(3)
2
( B )  (02   2 ) 2
 B ( 2   2 ) 
 ( 2   2 ) 
0
  arctg  0

2
  B 

  B  


(4)
 ( )  arctg 
Considerando la (3) si vede che essa presenta un massimo per:
d H ( j )
d

d
d

d
d
1
1
(02
2 2
 )
( B ) 2

d
d
1
1
(04
 202 2   4 )
0
( B ) 2
 04
202
204
2(04   4 )
2 
2







0


2
( B) 2 ( B) 2 
B 2 ( )3 ( B) 2
B 2 ( )3
 ( B )
(5)
 max diH  0
H ( j0 )  H max 
B0
( B0 ) 2  (02  0 2 ) 2
 (02  0 2 )
 (0 )  arctg 

 B 

 0

1
Quindi 0 rappresenta la pulsazione di risonanza, cioè quel valore della pulsazione che rende il
circuito come fosse resistivo puro (si annullano le reattanze capacitiva ed induttiva).
Mentre agli estremi del campo di definizione di H(j) avremo:
lim H ( j )  0
 
e lim H ( j )  0 , dunque, per quanto detto, la funzione di trasferimento (1) descrive
 0
un filtro passa banda, in quanto solo un insieme (banda) di frequenze porterà al superamento del
modulo della H(j) del valore
Bt
( Bt )
2
 (02
2 2
 t )

1
2
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
1
2
2
 2  Bt   ( Bt ) 2  (02  t 2 ) 2  0
2
  Bt   (02  t 2 ) 2
 Bt   (02  t 2 ) essendo Bt sicuramente positivo

B  B 2  402
 per t  0  Bt  (02  t 2 )  t1 

2


 B  B 2  402
2
2
 per t  0  Bt  (0  t )  t 2 
2

la differenza tra le due pulsazioni di taglio è
t1  t 2 
B  B 2  402
2

 B  B 2  402
2
(6)
B
da ciò si evince che il valore di B è coincidente con l’ampiezza della banda passante.
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH. Al variare di R tra
0.5 e 10  si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento
in tensione calcolata sul resistore:
Andamento del modulo della funzione di rete
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
Si definisce fattore di merito, Q, il rapporto tra il modulo della tensione sull’induttore (o sul
condensatore) e il modulo della tensione sul resistore alla pulsazione di risonanza:
Q
0 L
R
ovvero Q 
1
0 CR
.
In base al’espressione della banda passante, si trova che: Q 
0
B
. Ciò comporta che ci si può
esprimere sia in termini di banda passante che di fattore di merito per descrivere il grado di
selettività del filtro passa banda. E’ altresì chiaro che la selettività è tanto più alta quanto più piccola
è il valore della resistenza.
Filtro Passivo Passa Basso
Se prendiamo il segnale sul condensatore C, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente
funzione di trasferimento in tensione:
H (s) 
1
sC
sL  R 
 H (s) 
1
sC

1
2
s LC  sRC  1

1
R
1
LC ( s 2  s 
)
L
LC
(1)
02
( s 2  Bs  02 )
dove chiaramente si è posto: B 
R
L
e 0 
1
LC
.
La funzione di rete relativa ad un filtro passa basso del secondo ordine non presenta zeri.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
H ( j ) 

02 (02   2 )  j B
02

( 2  Bj  02 )
(02   2 ) 2  ( B) 2

(2)
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2) nella forma H ( j )  H ( j ) e j ( ) :
H ( j ) 
02
( B ) 2  (02   2 ) 2


 arctg   B
 2  2

 0

 ( )  

  B

 arctg  2
2
 0  


 per   0

(3)
(4)

   per   0

Si vede dalla (3) che
lim H ( j )  0 mentre lim H ( j )  1 , dunque, la funzione di trasferimento (1) descrive un filtro
 
 0
passa basso, in quanto solo un insieme di “basse” frequenze porterà al superamento del modulo
1
della H(j) del valore
02
( Bt )
2
 (02
2 2
 t )

2
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
1
2
 ( Bt ) 2  (02  t 2 ) 2  204
2
  Bt   204  (02  t 2 ) 2


posto x  t2  B 2  202 x  04  x 2  0
x

 B
 B 2  202 
 t 
2
 202

2
 404
dovendo essere t sicuramente positivo
2

 B
 B 2  202 
2
 202

2
(5)
 404
2
Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,
semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:
d 
( B ) 2  (02   2 ) 2   0


d
 2 B 2  4 (02   2 )  0
 m 
(6)
402  2 B 2
4
Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete nel punto
m  0 , allora si trova che deve essere:
B  0 2
(7)
Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:
t  0
(8)
Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato il
valore di L:
R*  0 L 2
(9)
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH, cioè una frequenza di
risonanza di 1 kHz e una resistenza R*  8.886  , calcolata tramite la (9). Al variare di R intorno al
valore R* . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in
tensione calcolata sul condensatore:
Andamento del modulo della funzione di rete
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
Filtro Passivo Passa Alto
Se prendiamo il segnale sull’induttore L, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzione
di trasferimento in tensione:
H (s) 
sL
sL  R 
 H (s) 
1
sC
s

s 2 LC
s 2 LC  sRC  1

s2
R
1
(s 2  s 
)
L
LC
2
(1)
2
( s  Bs  02 )
dove chiaramente si è sempre posto: B 
R
L
e 0 
1
LC
.
La funzione di rete relativa ad un filtro passa alto del secondo ordine possiede uno zero di
molteplicità 2 in s  0 .
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
 2   jB  (02   2 )   2  jB  (02   2 ) 




H ( j ) 

( 2  Bj  02 )
( B ) 2  (02   2 ) 2
( B ) 2  (02   2 ) 2
 2
(2)
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2) nella forma H ( j )  H ( j ) e j ( ) :
H ( j ) 
2
 B 
2


02

2

2
(3)

  B
arctg  2
   2

 0

 ( )  

arctg   B

 2  2
 0


 per   0

(4)

   per   0

Si vede dalla (3) che lim H ( j )  1 mentre lim H ( j )  0 , dunque, la funzione di trasferimento (1)
 
 0
descrive un filtro passa alto, in quanto solo un insieme di “alte” frequenze porterà al superamento
del modulo della H(j) del valore
2
 Bt 2  02  t 2 
2

1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
2
1
2
 ( Bt ) 2  (02  t 2 ) 2  2t4
2
  Bt   2t4  (02  t 2 ) 2


posto x  t2   B 2  202 x  04  x 2  0
B
x
 t 
2
 B
 202 
2
 202

2
 404
2
B
2
 B
 202 
2
 202

2
dovendo essere t sicuramente positivo
(5)
 404
2
Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,
semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:
d
d
 B 2 2 04
02 2  4 
 4  4 2 4  4   0


 
 


2B2
3

04 4
02

4
0
5
3

 402  2 B 2  2  404  0
 m 
 4
404
2
0
 2B2
(6)

Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete per
m   , allora si trova che deve essere nullo il denominatore dell’ultima delle (6), da cui:
B  0 2
Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:
(7)
t  0
(8)
come già trovato per il passa basso.
Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato il
valore di L:
R*  0 L 2
(9)
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH, cioè una frequenza di
risonanza di 1 kHz e una resistenza R*  8.886  , calcolata tramite la (9), . Al variare di R intorno al
valore R* . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in
tensione calcolata sull’induttore:
Andamento del modulo della funzione di rete
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
Filtro Passivo Elimina Banda
Se prendiamo il segnale somma della tensione sull’induttore L e sul condensatore C, di un circuito
serie R-L-C otterremo la seguente funzione di trasferimento in tensione:
1
1
 sL
LC ( s 2 
)
1  s 2 LC
sC
LC
H (s) 
 2

1
s LC  sRC  1 LC ( s 2  R s  1 )
sL  R 
sC
L
LC
 H (s) 
s
2
(1)
 02
( s 2  Bs  02 )
R
L
dove chiaramente si è posto: B 
e 0 
1
LC
.
La funzione di rete relativa ad un filtro elimina banda del secondo ordine presenta due zeri
immaginari coniugati per s   j0 .
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
02   2
( 2  Bj  02 )
H ( j ) 
(2)
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
02   2
H ( j ) 
H ( j ) 
( B ) 2  (02   2 ) 2
(02   2 )   jB  (02   2 ) 

  H ( j ) e j ( )
2
2
2 2
( B )  (0   )
  B
  ( )  arctg  2
   2
 0



(3)
(4)
Si vede dalla (3) che H ( j0 )  0 mentre sia lim H ( j )  1 , sia lim H ( j )  1 , dunque, la funzione di
 
 0
trasferimento (1) descrive un filtro elimina banda, in quanto solo un insieme di frequenze sarà al di
sotto del modulo della H(j) del valore
taglio:

2
0
 2

1
2
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di
2
( B ) 2  (02   2 ) 2

1
2

 ( Bt ) 2  (02  t 2 ) 2  2 02  t 2

2
2
  Bt   (02  t 2 ) 2


   B  2 
posto x  t2   B 2  202 x  04  x 2  0
x
B
 t1,2 
2
 202
2
2
0
2
 404
2
B
2
 B
 202 
2
2
 202

2
dovendo essere t sicuramente positivo
 404
(5)
Se operassimo una traslazione dell’asse delle ascisse in modo da definire un nuovo sistema di
pulsazioni fittizio tale che per il nuovo asse  ' la propria origine coincida con la pulsazione di
risonanza, cioè  '  0 per   0 , avremo che l’ampiezza della banda eliminata misurata nei due
sistemi di riferimento è la stessa, ma semplificheremmo notevolmente i calcoli perchè avremmo:
t 2  t1   't 2   't1
B
2
 B
 202 
2
 202

2
 404
2
B   B 
2

2
2
2
B   B 
2

2
2

B
2
 B
 202 
2
2
 202

2
 404

(6)
2
B
Dalla (6) si evince che la banda eliminata vale proprio B che era il valore della banda passante nel
filtro passa banda.
Si riportano gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in tensione
calcolata sulla serie induttore-condensatore:
Andamento del modulo della funzione di rete Elimina Banda
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete Elimina Banda
Esempi di Filtri Attivi del II ordine
Si consideri il circuito in figura:
y4 ( s )
y5 ( s )
y1 ( s )
A
y 2( s )
B
Vi
y3 ( s )
u
A
Gcarico
Vu
che risolviamo con il metodo dei nodi:
  VA   y1Vi 
A   y1  y2  y3  y4   y2
 y4

  

B
 y2
y2  y5
 y5
  VB    0 
u 
 y4
 y5 y5  Gcarico   Vu    I u 
vincolo operazionale : VB  0
(1)
quindi riarrangiando il sistema si ha, immediatamente:
  V A   y1Vi 
A   y1  y2  y3  y4   y2
 y4

  

B
 y2
y2  y5
 y5
 0    0 
u 
 y4
 y5 ( y5  Gcarico )   Vu    I u 
  y1  y2  y3  y4  0
  VA   y1Vi 
 y4

  


 y2
0
 y5
  Iu    0 

 y4
1 ( y5  Gcarico )   Vu   0 

(2)
 Cramer :
Vu 
 y1 y2Vi
 y1  y2  y3  y4  y5  y2 y4
Se si vuole realizzare un filtro passa banda che abbia lo stesso comportamento di quello descritto
nel paragrafo dedicato al filtro passivo R-L-C passa banda si dovrà porre:
Vu 
 y1 y2Vi
Bs
 2
V
 y1  y2  y3  y4  y5  y2 y4 s  Bs  02 i
(3)
da cui si vede che, a meno del segno, che se si prende y4  sC4 e quindi y1  G1 , si dovrà e potrà
porre y2  sC2 e di conseguenza y5  G5 e y3  G3 . Operando in tal modo si avrà:
Vu
G1C2 s
Bs


Vi  G1  C2 s  G3  C4 s  G5  C2C4 s 2 s 2  Bs  02

G1 C2 s
 (G  G3 )G5 (C2  C4 )G5

C4 C 2  1

s  s2 
C2 C 4
C2 C4



G1
B

C4

 (C  C4 )G5
 2
B
C2 C 4

 (G  G )G
3
5
 02
 1
 C2C4

Bs
2
s  Bs  02
(4)
Così se si vuole realizzare un filtro corrispondente ad uno passivo dove C = 25.33 μF e L = 1 mH e
R = 0.628 , cioè con 0  2 1000 rad / s (frequenza di risonanza 1 kHz) e banda passante
B  2 100 rad / s si avrà:

G1
 2 100

C
4

 (C2  C4 )G5
 2 100

C2 C4

 (G  G )G
3
5
 4 2 106
 1
 C2C4
vincoli di esistenza dei parametri:
G1
G1
B  B  C2 B  G1  B  C 
 deve essere G1  G5
2
G1
G1
G5
G1C2
G5
C2
(  1) B
B
G5
C2 
(5)
e
G3  02
C2 C 4
CC
 G1  G1  02 2 4
G5
G5
Assegnato,
essere: C4 
ad
esempio
.
(6)
il
valore
G1
G1

 2.122  F
B 2 100
R1  750  G1  1.33m 1
si
ottiene
che
deve
.
Preso allora R5  1 k   G5  1 m che soddisfa la disequazione della (5) dovuta al vincolo
d’esistenza dei parametri, si avrà che:
C2 
1.33 103
1.33 103
(
 1)2 100
103
 6.36  F
.
Non rimane ora che calcolare G3  4 2106
vincolo.
Si trova che G3  0.532 1  R3  1.88  .
Il filtro si presenta dunque:
C2 C 4
 G1
G5
e verificare l’altra disequazione della (6) di
Rcarico
e la risposta sul resistore di carico (il cui valore di resistenza non influenza mai le prestazioni del
filtro) è riportata in Figura:
Andamento della funzione di trasferimento del filtro passa banda attivo precedentemente
dimensionato