Appunti on‐line del Corso di Onde e Oscillazioni Docente: Carlo Pagani http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/ Anno accademico 2011‐2012 1 Redazione di Daniele Sertore degli appunti del docente per il corso tenuto presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell'Università degli Studi di Milano nell'anno accademico 2009‐2010. 2 Prefazione “Oscillation and Waves” è un corso diffuso in tutto il mondo da molti decenni e introdotto solo recentemente in Italia.
Il corso tratta due argomenti trasversali, oscillazioni e onde, che interessano moltissimi campi della fisica. Una trattazione indipendente genera, attraverso la matematica che li descrive, importanti legami tra campi molto diversi della fisica. Le proprietà fondamentali delle oscillazioni e delle onde risultano valide per fenomeni e grandezze fisiche molto diversi e in campi disparati.
Le oscillazioni e le onde sono quindi due modi essenziali attraverso i quali noi interpretiamo e diamo “forma” alla realtà di cui facciamo parte. Questi appunti non sono sostitutivi di un testo di Fisica di riferimento quali quelli consigliati nel seguito. Essi sonio soprattutto una raccolta di formule e di dimostrazioni che hanno il duplice scopo di facilitare gli studenti nella sistemazione dei propri appunti e di integrare i testi cercando di dare una formulazione omogenea e coerente. Oscillazioni Sono fenomeni fisici in cui un “sistema fisico”, o anche una “grandezza fisica” (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo nell'intorno di un punto (o valore) nel quale (o per il quale) l'energia potenziale presenta un minimo. Onde
Sono perturbazioni, materiali o di campo, che si propagano trasportando energia ad una certa velocità.
Le onde sono tutte descritte da funzioni dello spazio e del tempo, con un particolare legame tra di loro che fa si che la perturbazione si propaghi, trasportando energia, ad una velocità ben definita. • Onde materiali (acustiche) necessitano di un mezzo materiale elastico per propagare. Le onde sonore sono una sottospecie delle onde acustiche • Onde elettromagnetiche non necessitano di alcun mezzo per propagarsi. Ci occuperemo principalmente delle onde luminose con l'Ottica geometrica e ondulatoria, con accenni alla duplice natura: ondulatoria e corpuscolare. Testi consigliati
• Resnick, Halliday, Krane: Fisica 1 e Fisica 2, 5 edizione, Casa Ed. Ambrosiana 3 • Mazzoldi, Nigro, Voci: Fisica, vol. 1 e vol. 2, 2 edizione, EdiSES • Codesti appunti, nei limiti sopra indicati • Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi di Fisica‐Onde, EdiSES Altri testi di supporto
• Focardi, Mazza, Uguzzoni: Fisica Generale‐Onde, CEA • Alessandro Bettini: Le onde e la luce, decibel, Zanichelli 4 1 Oscillazioni
Sono fenomeni fisici in cui un sistema fisico, o anche semplicemente una (o più) grandezza fisica (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo. Oscillare significa muoversi alternativamente nell'intorno di un punto, ovvero, nel caso di una grandezza fisica, nell'intorno di un certo valore. Come nel caso del pensiero umano.
Esempi: il pendolo, il bilanciere di orologio, una pallina in una conca, un peso collegato ad una molla, gli atomi in un reticolo cristallino nell'intorno della posizione di equilibrio, la membrana di un tamburo, la corda di uno strumento musicale a corda, la corrente e la tensione in ogni componente di un circuito RLC.
Nel campo della Fisica, le oscillazioni sono periodiche almeno nell'intervallo di tempo in cui sono prese in considerazione. Se non c'è attenuazione, cioè consumo di energia, vale la relazione f (t nT ) = f (t ) con n intero e T = periodo fondamentale, cioè il valore minimo di T per cui vale la relazione. Se c'è attenuazione il periodo è ancora identificabile ma la relazione precedente non è più esatta.
Se la f (t ) è esprimibile con una funzione seno o coseno, l'oscillazione si dice ``armonica''
1.1 Oscillazioni Meccaniche: moti periodici e armonici
L'espressione generale di un moto periodico in 3D è Poiché deve anche essere e anche
r (t nT ) = r (t )
r = xi yj zk
x(t nT ) = x(t )
y (t nT ) = y (t ) tutte con lo stesso periodo T z (t nT ) = z (t )
s (t nT ) = s(t )
dove s è la coordinata curvilinea che descrive la traiettoria. Un moto periodico qualunque in 3D può essere molto complicato da descrivere, ma non lo è nella maggior parte dei casi in cui è riconducibile ad un moto armonico o a una combinazione lineare di moti armonici. 5 1.2 Moto armonico semplice: monodimensionale senza smorzamento • Il moto di un atomo (molecola) vibranti in un solido (reticolo) può essere visto come la sovrapposizione di 3 oscillazioni armoniche semplici, lungo i 3 assi cartesiani x, y, z, ciascuna delle quali è rappresentata da una funzione trigonometrica seno o coseno. • Il moto circolare uniforme è la sovrapposizione di due moti armonici semplici su due assi ortogonali tra di loro.
Preso un atomo all’inerno di un reticolo e fissato un sistema cartesiano di assi con origine nel punto di equilibrio dell’atomo (Figura 1.1), l’anergia potenziale U sarà funzione delle tre coordinate e avrà un minimo nell’origine degli assi (condizione di equilibrio). Si ha quindi: U = U ( x , y , z ) e anche U
U
U
|x = 0 =
|y=0
|z = 0 0
x
y
z
La forza F di richiamo a cui è soggetto l’atomo è data, a meno del segno, dal gradiente dell’energia potenziale, cioè vale l’equazione
F = U 1 con F | x = 0 = 0 .
y
x
z
Figura 1.1 ‐ Atomi in un reticolo cubico e schematizzazione delle forze elastiche di richiamo a cui è soggetto un atomo nell’intorno della sua posizione di equilibrio. Facendo riferimento alla Figura 1.1 si noti che, per piccoli spostamenti e con un’opportuna scelta degli assi, i tre moti in x, y e z possono considerarsi disaccoppiati ed essere quindi trattati separatamente. Limitandoci quindi alla trattazione del moto lungo U U U
i
j
k è un operatore differenziale che trasforma x
y
z
U ( x) dU ( x)
uno scalare in un vettore. Nel caso uni‐dimensionale si ha semplicemente: U ( x )
i i
dx
x
1
U ( x, y , z ) gradiente di U
6 l’asse orizzontale x, possiamo scrivere il potenziale sviluppandolo in serie di Taylor e ottenendo quindi: U U ( x) = a 0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 a 4 x 4 .... a0 a 2 x 2 a3 x 3 .... 2 Nell'intorno della posizione di equilibrio, indipendentemente dall’asse prescelto, l'energia potenziale di ogni atomo nel reticolo deve essere minima, ovvero stazionaria, ovvero la risultante delle forze agenti sull'atomo deve essere nulla.
Se il movimento è piccolo nell'intorno della posizione di equilibrio si possono trascurare i termini di ordine superiore. Si ha quindi
U ( x) a0 a2 x 2 e F U = 2a2 x i = k x i avendo posto k = 2a2 , con k = costante elastica equivalente delle “molle” che tengono in equilibrio l’atomo lungo l’asse x.
Combinando ora la seconda legge di Newton, F m a , con la forza di richiamo ottenuta sopra si ottiene l’equazione del moto mx = kx
d 2x
F m a m 2 i m x i k x i ovvero m x kx 0 dt
la cui soluzione, detta legge del moto, è: x(t ) = x m cos( 0 t ) . Poiché il moto è espresso attraverso una funzione coseno e seno, si tratta di un moto armonico. La grandezza [s‐1] è detta frequenza angolare o pulsazione. Notiamo infine che, poiché il potenziale U (x) è definito a meno di una costante, relativamente al moto dell’atomo nell’intorno del punto di equilibrio, possiamo porre U (0) 0 a0 0 Le approssimazioni fatte, troncando lo sviluppo di Taylor al termine di second’ordine, sono presentate in Figura 2.1, dove i grafici delle grandezze reali sono comparati con quelli ottenuti con l’approssimazione al second’ordine della serie di Taylor.3 2
a1 x = 0 in quanto il termine di primo grado deve essere nullo poiché la U(x) ha un minimo in x = 0. 3
Tutte le equazioni sono scritte nell’ipotesi che il sistema di riferimento sia preso in modo che la posizione x =
0 coincida con quella in cui l’energia potenziale è minima. Se invece questa condizione di minimo si verifica in x x 0 0 , valgono le stesse relazioni ma bisogna sostituire x con x' x x 0 (cambio di coordinate). L’ipotesi che sia U (0) 0 verrà utililizzata sempre a meno che sia esplicitamente detta una cosa diversa. 7 Figura 2.1 ‐ Energia potenziale (b) e forza (a) che producono il moto armonico di un atomo legato in una molecola biatomica. Il caso di un atomo nel reticolo di Figura 1.1 è chiaramente piu simmetrico. Le figure a sinistra rappresentano le grandezze reali, mentre quelle a destra le loro approssimazioni avendo utilizzato lo sviluppo di Taylor troncato. 1.3 Moto Circolare Uniforme Descriviamo il moto circolare uniforme nel piano x,y e centrato nell'origine (Figura 3.1). Il vettore che descrive il moto circolare nel piano è
r (t nT ) = r (t ) t | r |= costante
mentre, essendo uniforme, la sua fase è esprimibile dalla relazione (t ) = 0 0 t
che è l’equazione di una retta in t.
Poiché r (t ) = x(t ) i y (t ) j , possiamo descrivere il moto circolare uniforme attraverso
le componenti di r (t ) , possiamo cioè proiettare il moto sugli assi x e y ottenendo due leggi orarie
x(t ) = r cos(0 t 0 )
y (t ) = r sin (0 t 0 )
che sono le soluzioni delle due seguenti leggi (differenziali) del moto:
d 2x
2
x
t
(
)
=
= 0 x(t )
2
dt
2
d
y(t ) = y = 0 2 y (t )
dt 2
8 Figura 3.1 ‐ Moto Circolare Uniforme
Ricordando che nel nostro sistema di riferimento r (t ) = x(t ) i y (t ) j , ne deriva che le due equazioni del moto in x e y, possono essere scritte come un’unica equazione vettoriale
d 2r
2
= 0 r
2
dt
Le leggi orarie x(t ) e y (t ) , proiezioni del moto circolare uniforme, sono equazioni di un moto armonico. Un moto armonico, essendo descritto con seni e coseni, è sempre periodico. x(t ) = r cos(0 t 0 )
y (t ) = r sin (0 t 0 )
⇒ x(t nT ) = x(t )
y (t nT ) = y (t )
t Per determinare le relazioni tra le grandezze che compaiono nei due gruppi di equazioni basta pensare che la variabile t è nell'argomento delle funzioni armoniche seno e coseno, e che queste si ripetono ogni 2 . Posto 0 t 0 , la periodicità è espressa dalle relazioni
cos = cos( n(2 ))
sin = sin ( n(2 )) cioè, tornando all’argomento originale cos(0 t 0 ) cos[0 t 0 n(2 )]
sin (0 t 0 ) sin[0 t 0 n(2 )]
⇒ 0 t 0 n (2 ) 0 (t n T ) 0
⇒
0 n T 2 n
0
2
T
In sintesi, le relazioni tra tutte le grandezze principali del moto armonico sono le seguenti T=
2
0
=
1 0
=
T 2
0 2
2
T
T = periodo dell’oscillazione, è espresso in secondi, T [s], e rappresenta il tempo impiegato per effettuare un’oscillazione completa 9 = frequenza dell’oscillazione, [s‐1], è il numero di oscillazioni al secondo = frequenza angolare o pulsazione, [s‐1], è il numero di radianti che compaiono nell’argomento della funzione armonica, seno o coseno, in un secondo4 Altre considerazioni sulla legge oraria e l’equazione del moto
La legge oraria di un generico moto armonico in una dimensione ha due possibili forme: x(t ) = A cos( 0 t 1 ) ovvero x(t ) = A sin ( 0 t 2 ) con 2 = 1
. Le due sono 2
diverse ma entrambe le descrizioni sono valide. In generale si consiglia il coseno.
L'equazione di un moto armonico è differenziale ed in particolare è: del secondo ordine, lineare, omogenea, a coefficienti reali, costanti e positivi e manca del termine di 1 o grado. x 0 2 x = 0 ovvero ax bx = 0 con a e b reali e positivi
0 ha le dimensioni [s‐1] mentre a e b devono essere congruenti alle dimensioni di x[m]. La stessa equazione può però rappresentare l'oscillazione di una generica grandezza fisica, con altre dimensioni che condizioneranno quelle di a e b. Due moti armonici ortogonali (stessa 0 ) danno un moto ellittico. Se le ampiezze dei due moti ortogonali sono uguali, il moto è circolare uniforme.
1.4 Dinamica moto oscillatorio (unidimensionale)
Consideriamo un sistema formato da una molla di costante k a cui è collegato una corpo di massa m . Si suppone che il corpo possa muoversi senza attrito (cioè senza dissipare energia) e che la molla sia priva di massa.5 Quando spostiamo il corpo dalla sua posizione di quiete la molla applica ad esso una
forza F = k x i . Analogamente a quanto già visto, le equazioni del moto sono:
F d 2 x(t )
k
a= =
i
=
xi
m
dt 2
m
che quindi è unidimensionale e possiamo scriverla come d 2 x(t )
k
= x(t ) = x
2
dt
m
ovvero d 2 x(t ) k
x=0
m
dt 2
k
>0
m
k
2
= 0
m
Si noti che spesso le dimensioni di sono espresse come rad/s. La cosa è utile per ricordare che rappresenta un angolo al secondo, ma formalmente non è strettamente corretta in quanto l’angolo, espresso in radianti, è un numero adimensionale: [rad]=[m/m]. 4
5
Si noti che le ipotesi alla base di questo esempio schematico sono più restrittive di quelle assunte per trattare il moto di un atomo all’interno di un reticolo cristallino. 10 Figure 4‐1 ‐ Esempio di oscillatore armonico semplice, senza dissipazione (attenuazione)
L'equazione del moto diventa quindi l'equazione differenziale del secondo ordine d 2 x(t )
2
0 x(t ) = 0
2
dt
la cui soluzione, legge del moto, è x(t ) = A cos ( 0 t )
E’ importante notare che m e k , che compaiono nell’equazione del moto, sono dati dal sistema fisico in esame e permettono di calcolare 0 , mentre A e , che compaiono nella legge del moto, dipendono dalle condizioni iniziali del sistema all'istante t = 0 .
Supponiamo che all'istante t = 0 sia x(t ) |t = 0 = xm e v (t ) |t = 0 = 0 , allora avremo x(0) = A cos = xm
A = xm
dx
| t = 0 = 0 = A 0 sin ( 0 t ) = A 0 sin = 0 = 0
dt
e quindi l'equazione del moto, includendo le condizioni al contorno, diventa x(t ) = x m cos 0 t
Se avessimo scritto l'equazione del moto in seno avremmo avuto: x(t ) = A sin ( 0 t )
A sin = x m
A 0 cos = 0
11 La prima condizione implica =
corretta è =
2
2
ed essendo A e xm positive abbiamo che la fase e l'equazione del moto diventa quindi
x(t ) = x m sin 0 t 2
Ad ogni coppia di condizioni inziali, x(0) e v (0), corrisponde una coppia di valori di A e .
1.4.1 Bilancio Energetico
Se non c'è dissipazione l'energia totale del sistema si conserva. Riferendoci ancora al sistema di Figura 4.1, notiamo che l’energia potenziale è associata alla molla, mentre l’energia cinetica è associata alla sola massa m, in quanto la molla è supposta essere priva di massa. Dalla meccanica sappiamo che l’energia potenziale di una molla e l’energia cinetica di una massa in movimento sino date rispettivamente da 1
1 dxt
K ( x) K (t ) = m v 2 = m
2
2 dt
2
1
U ( x) U (t ) = k x 2
2
Entrambe le energie possono essere scritte sia in funzione di x che di t in quanto x = x(t) sulla base della legge del moto x(t ) = A cos( 0 t ) . La conservazione dell’energia ed il fatto che entrambe le energie, U e K, variano (oscillano) da un valore minimo nullo ad un valore massimo, ci porta a scrivere le seguenti relazioni
U max = K max E tot
U ( x) K ( x) E tot x
e
U (t ) K (t ) E tot t
e anche U (t ) K (t ) = cost = U max = K max = Etot con U ( x) | x = 0 = 0
K ( x) | x = x = 0
m
Sostituendo la legge del moto nelle espressioni dell'energia cinetiche e potenziale otteniamo 1 2 1
k x k xm cos(0t ) 2
2
2
2
1
1 dx
1
2
K (t ) = m v m m xm0 sin (0t ) 2
2
2 dt
2
U (t ) =
e quindi, ponendo 0 t , l'energia totale del sistema diventa Etot =
1 2
1
1
2
2
2
2
k xm cos2 m xm 0 sin 2 xm k cos2 m 0 sin 2 2
2
2
12 k
2
, ovvero k = m0 , si ha m
1
1 2
1
2
2
2
Etot = k xm xm m 0 = m vm U max K max
2
2
2
e ricordando che 0 =
2
K
U
Figure 5.1 ‐ Scambio Energetico dell'oscillatore armonico. Nella figura la legge oraria (in rosso) è scritta come x(t ) = A cos ( 0 t ) con 0
1.4.2 Sintesi del moto armonico semplice (unidimensionale)
Energia Potenziale U ( x) = a 0 a1 x a 2 x 2 a 3 x 3 ..... a 0 a 2 x 2 Forza in gioco
F U = 2 a 2 x i k x i
F = ma
d 2x
a= 2 i dt
Equazione del moto 6 m
d 2x
= kx
dt 2
d 2x
k
2
2
0 x = 0 con 0 =
2
m
dt
Legge oraria o legge del moto 7 x(t ) = x m cos ( 0 t 1 ) x m sin ( 0 t 2 ) con 2 1
2
6
L'equazione generale, differenziale, è quella che detta le regole del moto lungo x (o del comportamento in t
di una certa grandezza fisica).
7
è la soluzione generale, o integrale generale, ed è quella che descrive la lagge del moto (o come la
grandezza fisica varia in t). E' definita a meno di due costanti (eq. diff. del 2° ordine) che si calcola sulla base
delle due condizioni iniziali (condizioni al contorno) del problema specifico.
13 0 , frequenza angolare, è una caratteristica del sistema: 0 k m .
dx
xm e dipendono dalle condizioni iniziali x(t ) t 0 x 0 e v (t ) t 0 = |t = 0 v0 dt
x(t ) | x = 0 = x(0) = xm cos = x0 x(t )
|x = 0 = x (0) = xm 0 sin = v0
dt
Energie in gioco
U ( x) =
1 2
kx
2
K ( x) =
1 2
mv
2
Etot = U ( x) K ( x) = cost e anche E tot = U (t ) K (t ) = cost
Periodo e altre grandezze tipiche del moto armonico
T s =
2
s 1 =
0
1 0
=
T 2
0 s 1 2
2
T
Verifica dimensionale: [ 0]=[s‐1]
0 =
k
m
k
[m 1 kg m s 2 ]
[m 1 N ]
[ 0 ] =
=
[kg ]
[kg ]
m
[ s 1 ]
1.4.3 Equazione del moto armonico dalla proprietà Etot = cost
Se l'energia totale di un sistema meccanico si conserva o il sistema è a riposo, o è soggetto ad un moto armonico senza attenuazione. Questo vale su qualunque asse noi si proietti il
movimento. Ciò vuol dire, nel caso monodimensionale, che le proprietà di base: F = k x i ovvero Etot = cost sono equivalenti: entrambe permettono di ricavare l'equazione generale del moto armonico semplice.
d 2x
d 2x
2
F = kx m 2 kx = 0 2 0 x = 0
dt
dt
Etot = cost = U ( x) K ( x) = U (t ) K (t ) ci porta alla stessa equazione. Infatti
Etot = U ( x) K ( x) =
1 2 1 2
kx mv = cost
2
2
x = x(t ) v = v(t ) =
dx
dt
Poiché la derivata di una costante è identicamente nulla, possiamo scrivere la conservazione dell'energia del sistema come: dEtot
=0
dt
e ricordando che 14 d 2
v
dt
dv
d 2x
= 2v
= 2v 2
dt
dt
d 2
x
dt
= 2x
dx
dt
si ottiene d
dx
d 2x
Etot = k x m v 2 = 0
dt
dt
dt
e quindi m
d 2x
d 2x
2
k
x
=
0
ovvero 0 x = 0 con 0 =
2
2
dt
dt
k
m
In sintesi il fatto che le forze in gioco siano solo del tipo F = k x (in generale F = U ) equivale a dire che il sistema non dissipa energia e quindi l'energia totale del sistema si conserva.
Considerazione importante
Il fatto che l’equazione del moto si possa ricavare sia dalle proprietà della forza che dalla conservazione dell’energia ci porterebbe a dire che le condizioni iniziali necessarie per esplicitare una particolare legge del moto possano essere date indifferentemente fornendo i valori x(0) x0 e x (0) v0 ovvero i valori U (0) U 0 e K (0) K 0 . Questo non è del tutto vero poiché le energie sono funzioni quadratiche di x e x e perdono quindi l’informazione di segno. In pratica si determina correttamente l’ampiezza del moto ma non la sua fase iniziale. La cosa si capisce bene facendo i semplici conti o anche osservando la Figura 5.1.
2.5 Moto armonico smorzato
Se esistono forze di attrito che dissipano nel tempo l'energia totale del sistema, il moto risulta sempre oscillante ma la sua ampiezza si riduce nel tempo. Quando si ha smorzamento (attenuazione), il periodo T è maggiore di quello che si avrebbe con smorzamento nullo.
Tutto è semplice se lo smorzamento dipende linearmente dalla velocità. E' questo un caso molto comune e questa approssimazione risulta buona o ottima nella maggior parte dei casi.
La forza di attrito (o meglio di smorzamento), che va ad aggiungersi a quella elastica, avrà quindi la forma:
dx
Fsm = b i con b reale e positivo dt
e la forza totale a cui è soggetta la massa diventa quindi
d 2x
dx
F m a m 2 i Fel Fsm = k x i b i dt
dt
15 Figure 6.1 ‐ Esempio di moto oscillatorio smorzato con Fsm = b
dx
dt
e l’equazione del moto armonico smorzato avrà la forma
d 2x
dx
m 2 b kx = 0
dt
dt
Questa è sempre un'equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea, a coefficienti reali, costanti e positivi, ma questa volta completa del termine di primo grado.
Notiamo che la funzione x(t), che è soluzione (integrale generale) di questa equazione, deve avere la proprietà di riprodursi per derivazione, a meno di una costante8. Inoltre l’espressione completa della funzione x(t) deve contenere 2 costanti indipendenti in quanto 2 sono le condizioni iniziali necessarie per ottenere la legge di uno specifico moto (x0 e v0). Si dimostra facilmente che la funzione che soddisfa queste condizioni è del tipo x(t ) = A e 1 t B e 2 t dove 1 e 2, come 0 nel moto armonico semplice, dipendono dal sistema in esame e quindi soltanto dalle costanti m, b, e k che compaiono nell’equazione del moto, mentre A e B sono le costanti di integrazione che vengono determinate imponendo le condizioni iniziali di uno specifico esperimento che effettuiamo con il sistema. La matematica ci insegna (ma è facile fare una verifica) che 1 e 2 sono le radici dell’equazione algebrica di secondo grado, detta equazione caratteristica, che si ottiene dall’equazione del moto (che è differenziale di 2° grado, lineare, omogenea, a coefficienti reali e costati) sostituendo alle derivate e rispettandone l’ordine: x 2 e x . Nel nostro caso l’equazione caratteristica che ci permette di ricavare 1 e 2 è quindi: b
k
=0
m
m
le cui 2 radici si ottengono applicando la nota formula m2 b k = 0
2
2
=
b
k
b
m
2m
2m
con
k
2
= 0 m
t
t
t
x(t ) deve essere della forma e per poter “riprodursi” per derivazione infatti x(t ) = e , x (t ) = e e
x(t ) = 2 e t 8
16 Con le sostituzioni k
b
2
= e = 0 , le radici dell’equazione caratteristica diventano m
2m
= ovvero 2
2
0
1 = 2 0 2
2 = 2 0 2
Poiché le variabili e 0, che derivano da m, b e k , sono anch’esse reali e positive, per le 2 radici 1 e 2 si possono verificare 3 casi
2 > 0
1 2 radici reali e negative 2
2 = 0 1 = 2 =
2
radici reali, negative e coincidenti 2 < 0 1 = 2 radici complesse coniugate 2
Notiamo inoltre che, poichè m, b e k sono reali e positivi, deve valere sempre b
1 2 = 2 reale e negativo
m
k
1 2 = 0 2 reale e positivo m
Come anticipato la soluzione generale dell'equazione del moto è
x(t ) = A e 1 t B e 2 t 9
dove A e B , costanti di integrazione, dipendono dalle condizioni iniziali.
Analizziamo ora, separatamente i 3 casi: 2 0 , 2 0 e 2 0
2
2
2
1.5.1 Radici reali, negative e distinte
2 > 0 2 1 2 radici reali, negative e distinte x(t ) = A e
1 t
Be
2 t
o anche x(t ) = A e
t
1
Be
t
2
1
1
e 2 s 1
con 1 e 2 0 essendo 1 s
2 s
1 e 2 0 . 1 e 2 sono le costanti di tempo con le quali i due termini della legge del moto si attenuano in funzione del tempo. Per come abbiano definito 1 e 2 notiamo anche che 1 2 . avendo posto 1 s 1
Imponendo ora delle condizioni iniziali possiamo calcolare i valori di A e B che ci danno l’equazione del moto del nostro specifico problema. Se imponiamo per esempio le condizioni iniziali x(0) = xm e x (0) = 0 , otteniamo
9
2
2
Nel caso in cui = 0 1 = 2 , dovendo poter esplicitare due costanti distinte di integrazione, la legge del moto assume una forma leggermente differente: x(t ) = ( A B t ) e
17 t
Figure 7.1 ‐ Moto Smorzato nel caso > 2
t
1
2
0
t
2
x(t ) t 0 A B xm
x(t ) = A e B e
t
t
A
B
A B
x (t ) = e 1 e 2 x (t ) t 0 0
1
2
1 2
e risolvendo il sistema si ottengono A e B in funzione di 1 e 2
A=
1
xm 0
1 2
B=
2
xm 0 1 2
La legge del moto relativa alle condizioni iniziali sopra indicate risulta quindi t
t
2
1
2
1
x(t ) = x m
e
e
1 2
1 2
In Figura 7‐1 è presentata una legge del moto nel caso in cui sia 2 > 0 2
1.5.2 Radici reali e coincidenti
2 0 2 1 2 radici reali, negative e coincidenti x (t ) = ( A B t ) e
avendo posto s 1
t
o anche x(t ) = ( A B t ) e
t
1
ed essendo l’unica costante di smorzamento del sistema. s
18 Imponendo ora le stesse condizioni iniziali del caso precedente ( x(0) = xm e x (0) = 0 ) possiamo calcolare i valori di A e B che compaiono nella legge del moto. Analogamente si ha x(t ) = A B t e
t
x(t ) t 0 A xm
A
1
x (t ) = B e A B t e x (t ) t 0 B 0
e risolvendo il sistema si ottengono A e B in funzione di
t
t
A = xm
B=
xm
xm
e la legge del moto relativa alle condizioni iniziali sopra indicate risulta quindi t
t
x(t ) = x m 1 e
Figure 8.1 ‐ Moto Smorzato nel caso 2 = 0
2
Notiamo che vale la relazione: 1 2 che deriva dal fatto che 1 2
1.5.3 Radici complesse coniugate con parte reale negativa
2 0 2 1 2 radici complesse coniugate, con parte reale negativa Si hanno in questo caso oscillazioni smorzate. = 2 0 2 = i 0 2 2 = i con = 0 2 2 > 0
L'equazione del moto in questo caso diviene 19 x(t ) = Ae
1 t
Be
2 t
= Ae t ei t Be t e i t
Notiamo ora che, dovendo la legge oraria x(t) essere reale, il fatto che 1 = 2 , impone che anche le costanti di ntegrazione A e B siano complesse coniugate 10. Esprimendo ora A e B in forma euleriana si ottiene con semplici passaggi:
x(t ) = e t Aei t Be i t
x(t ) = e t
xm i
x
e
B = m e i
2
2
i ( t )
e
e i ( t )
= xm e t
2
posto
x m i t
e e e e i t
2
A=
t
= xm e t cos( t ) = xm e cos( t )
2
1 2m
k b
. Il caso
< 0 e che = =
b
m 2m
dell'oscillatore semplice, cioè senza smorzamento, lo si ottiene ponendo b = 0 da cui segue che = 0 e quindi = 0 .
Ricordandoo che = 02 2 =
Figura 9.1 ‐ Moto Smorzato nel caso 2 < 0
2
i t
i t
La somma Ae Be
deve essere reale e quindi la somma deve essere tra numeri complessi coniugati.
Siccome il prodotto ordinato di numeri complessi coniugati produce una coppia complessa coniugata, anche A
e B sono complessi coniugati. Nota: se A = B essi sono reali e anche complessi coniugati. Infatti
10
z1 = 1 e
z2 = 2 e
i1
i 2
z1 = 1 e
z2 = 2 e
z = z1 z2 = 1 2 e
z = 1 2 e
i (1 2 )
i1
= 1 e
i (1 2 )
i1
20 i 2
2 e
i 2
= z1 z2
1.5.4 Considerazioni sull'energia totale dell'oscillatore armonico smorzato
In questo caso la forza di smorzamento dissipa energia. Vale comunque la relazione Etot = Etot (t )
1
1 dx(t )
Etot (t ) = U (t ) K (t ) = k x 2 (t ) m
2
2 dt
2
t
t
Etot (t ) =
1
1
1
2
2
2 2
k xm (e t ) 2 = k xm e 2 t = k xm e
2
2
2
Etot (t ) = Etot (0) e
2
t
= Etot (0) e
t
2
;
=
1
ampiezza
L'energia totale del sistema decresce più rapidamente dell'ampiezza delle oscillazioni (dipendenza quadratica da x)
1
energia = ampiezza =
2
2
1.6 Oscillazioni forzate con smorzamento
La legge del moto fin qui analizzata è un’equazione omogenea, in quanto la somma della funzione x(t) e delle sue derivate, ciascuna moltiplicata per una costante, è uguale a zero. Una simile equazione permette di ricavare una legge del moto che rappresenta l’evoluzione del sistema sulla base delle condizioni iniziali, utilizzazndo l’energia di cui il sistema dispone al tempo t = 0. Al crescere di t, l’energia del sistema decresce, o al più rimane costante se b
= 0. m
d 2x
dx
b kx = 0
2
dt
dt
x(t ) xm e t cos ( t ) xlib (t ) Questo tipo di oscillazione è detta libera e può essere smorzata o no. Nel caso in cui si continui a fornire energia al sistema dopo il tempo t = 0, per esempio con una termine forzante del tipo F (t ) Fm cos( f t ) , l’equazione completa del moto diventa d 2x
dx
m 2 b kx = Fm cos( f t )
dt
dt
La soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine, per il principio di sovrapposizione degli effetti, è data dalla soluzione dell'equazione omogenea associata, xlib (t ) , più una soluzione particolare dell'equazione completa, x forz (t ) . All’equazione omogenea si impongono le condizioni iniziali, mentre la soluzione forzata è quella con condizioni iniziali identicamente nulle. Se b 0 , xlib t 0 . Scriviamo quindi: 21 x(t ) xlib (t ) x forz (t ) e nel caso b 0 x(t ) t x forz (t ) Consideriamo quindi la soluzione associata al solo termine forzante. Questa è una situazione a regime, quando si è esaurita l'energia iniziale immagazzinata nel sistema a t = 0 , e la legge del moto è diventata: x(t ) = xlib (t ) x forz (t ) x forz (t ) poichè xlib (t ) 0 per t .
Dalla matematica otteniamo che: x forz (t ) =
Fm
cos ( f t )
G
G = m 2 ( f 2 ) 2 b 2 f
2
2
dove, come al solito: = 0 2 , = b
2m
2
b f
G
= arccos
, b = 2 m Quando la pulsazione del termine forzante, f , si approssima e poi coincide con quella propria del sistema, , si ha il fenomeno della risonanza. Alla risonanza l’ampiezza dell’oscillazione è massima, così come è massima l’energia ad essa associata. F
Dall’espressione di G otteniamo l’ampiezza alla risonanza, m , nei due casi: b 0 , anche G
piccolissimo, e b = 0 .
b 0 e f =
b = 0 e f = 0
Fm
Fm
G
b f
G=0
Fm Fm
1
2
G
m f 0 2
La variazione dell’ampiezza della risposta forzata di un sistema oscillante in funzione del rapporto f
è rappresentato in Figura 10.1 per valori decrescenti di b, fino a b = 0. Figure 10.1 ‐ Curva di Risonanza. L'ampiezza cresce al diminuire di b
22 Esercizi e temi d’esame sull’ oscillatore armonico ( 2012‐2007) 1. Una massa M = 5.00 kg è sospesa ad una molla di costante elastica k = 500.0 N/m ed oscilla verticalmente. All’istante iniziale la velocità della massa è massima ed è pari a 2.00 m/s. Dopo 50 periodi di oscillazione si osserva che la velocità massima si è ridotta al 10% del valore iniziale. Si determini: a) la posizione della massa all’istante iniziale, dopo aver indicato e giustificato il sistema di riferimento adottato per la descrizione del problema; [x(0) = 0, asse x diretta come v(0)] b) l’equazione differenziale che regge il moto, calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ Mx bx kx 0 ; x 2 x 0 x 0 ; M = 5.000 kg ; b = 7.3∙10‐1 kg/s, k = 500 2
‐1
‐2 ‐1
N/m ; o = 10 s ; = 7.3∙10 s ] c) la legge oraria, x = x(t), che descrive il movimento della massa, sempre calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ x(t ) xm e t sin( t ) ; = o = 10 s‐1; = 7.3∙10‐2 s‐1; xm =
20 cm ] d) come cambia la frequenza di oscillazione della massa se alla molla k1 viene collegata in parallelo una molla di costante elastica k2 = 1500 N/m. [’ = 2= 3.18 Hz] 2. Una massa oscillante di 300 g è collegata ad una molla con costante elastica k=120 N/m. Sapendo che all’istante t=0: i) la massa si sta spostando da x positiva verso la posizione di equilibrio, ii) l’energia totale è pari a 10,0 J, iii) l’energia cinetica è pari a 6,0 J, e iv) l’energia del sistema diminuisce del 5% ogni 5 cicli completi di oscillazione, determinare: a) la posizione della massa all’istante iniziale; [x(0)=0,258 m] b) la legge oraria del moto, indicando il valore e le unità di misura di tutti i parametri che in essa compaiono; [ x(t ) xm e t cos( t ) ; xm=0,41m, = 1.63∙10‐2 s‐1, =20 s‐1, =0,886 rad] c) l’energia del sistema e l’ampiezza dell’oscillazione all’istante t=30 s. [3.75 J, 0.25 m] 3. Un oscillatore armonico smorzato è costituito da una massa di 0.6 kg collegata a una molla con costante elastica 10.0 N/m. All’istante iniziale la massa transita per un estremo di oscillazione e la sua accelerazione in questo punto vale a = 2.0 m/s2. Dopo cento oscillazioni complete l’ampiezza di oscillazione risulta essere dimezzata. Determinare a) la legge oraria, indicando il valore di tutte le grandezze che vi compaiono; [ x(t ) xm e t cos( t ) ; xm 0.12 m; 4.50 10-3 s -1 ; 0 4.08 s -1 ] b) la variazione percentuale dell’ampiezza del moto armonico in un ciclo di oscillazione; [ A/A = 0,69%] c) la posizione e la velocità della massa all’istante t = 10 s. [ x(10s) = 0.115 m; v (10s) = 6.9∙10‐3 m/s ] 4. Un oscillatore armonico smorzato è costituito da una massa M = 5.00 kg collegata ad una molla ed è retto dall’equazione x 2 x 02 x 0 con 0 = 2 s‐1 e = 1.00 s‐1. Sapendo che
all’istante iniziale la massa transita per il punto di equilibrio con velocità v0 = 1.00 m/s, determinare: a) la legge oraria, indicando il valore di tutte le grandezze che vi compaiono con tre cifre significative; [ x(t ) xm e t sin( t ) ; xm 16.1cm ; 1.00 s -1 ; 6.20 s -1 ] b) la frequenza ed il periodo del moto armonico smorzato (sempre con 3 cifre); [ = 0.987 Hz, T=1.013 s ] c) l’energia totale del sistema all’istante iniziale; [ Et(0) = 2.50 J ] d) l’energia del sistema all’istante t = 1.30 s e la sua distribuzione tra potenziale e cinetica. [ Et(1.3) = 186 mJ, U(1.3) = 182 mJ, K(1.3) = 4 mJ 23 5. Una massa M = 5.00 kg è collegata a due molle contrapposte e compie un moto oscillatorio smorzato con periodo T = 2.00 s. Sapendo che: i) le costanti elastiche k1 e k2 delle due molle sono legate dalla relazione k2 = 2 k1, ii) all’istante t=0 la velocità della massa è v(0) = 2 m/s e l’energia totale del sistema è E(0) = 10 J, iii) l’ampiezza dell’oscillazione A(t) si attenua con una costante di tempo t = 10 s, determinare: a) le costanti elastiche k1 e k2 delle due molle [ k1 = 16.5 N/m , k2 = 32.9 N/m ] b) l’equazione del moto indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono con le rispettive cifre significative; [ M x b x k x 0 o x 2 x 02 x 0 , b= 1 kg/s , k = 49.4 N/m , = 0.1 s‐1 , 0 = s‐1, ovvero 0 ≈ ≈] c) la legge oraria indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono con le rispettive cifre significative; [ x(t ) xm e t sin( t ) , xm = 0.64 m ] d) la posizione della massa oscillante all’istante t=7/4 T. [ x(t) = ‐ 0.45 m ] 6. Un cilindro di massa mc= 2 kg e raggio Rc= 10 cm, rotola senza strisciare con il perno centrale collegato ad una molla con costante elastica k= 3 N/m. L’energia iniziale del sistema è equamente distribuita tra potenziale e cinetica, e ciascuna vale 1.5 J. Il sistema non è dissipativo 2
e all’istante iniziale sia la posizione che la velocità sono > 0 ( I c 1 mc Rc ). Determinare: 2
a) la legge del moto del centro di massa, indicando il valore di tutte le grandezze che in essa compaiono [ meq x k x 0 ; x 0 x 0 ; k 3 N m 1 ; meq 1.5 mc 3 kg ; 0 1 s 1 ] 2
b) la legge oraria, indicando il valore di tutte le grandezze che in essaa compaiono [ x(t ) xm sin(0t ) xm cos(0t 2) xm 1.41 m ; 4 ] c) la frequenza e il periodo del moto. [ = 0.159 Hz, T = 6.28 s ] 7. Un corpo di massa m = 2.00 kg si muove lungo l’asse x sotto l’azione di una forza elastica Fel = ‐
k.x, con k = 2.00 N/m, ed una forza di smorzamento viscoso Fsm = ‐b.dx/dt con b = 5.00 kg/s. All’istante t = 0 il corpo si trova nel punto x = 90 cm ed ha velocità nulla. Si determini: a) l’energia totale del sistema all’istante iniziale [ E0 = 0,81 J ] b) la legge del moto [ m x b x k x 0 ; x 2 x 0 x 0 ; 0 ] 2
t
t
t
c) la legge oraria [ x(t ) A e 1 B e 2 (1.2 e 2 0.3 e 2 t ) m ] d) la posizione della massa all’istante t = 5 s. [ 9.8 cm ] 8. Un corpo di massa m = 2.00 kg si muove lungo l’asse x sotto l’azione di una forza elastica Fel = ‐
k.x, con k = 2.00 N/m, ed una forza di smorzamento viscoso Fsm = ‐b.dx/dt con b = 4.00 kg/s. All’istante t = 0 il corpo si trova nel punto x = 90 cm ed ha velocità nulla. Si determini: a) l’energia totale del sistema all’istante iniziale [ E0 = 0,81 J ] b) la legge del moto [ m x b x k x 0 ; x 2 x 0 x 0 ; 0 1 s 1 ] 2
c) la legge oraria [ x(t ) ( A B t ) e t m ; A = xm . B = xm , = ‐] d) la posizione della massa all’istante t = 5 s. [ 3.64 cm ] 9. Un corpo di massa m = 2.00 kg si muove lungo l’asse x sotto l’azione di una forza elastica Fel = ‐
k.x, con k = 200 N/m, ed una forza di smorzamento viscoso Fsm = ‐b.dx/dt con b = 4.00 kg/s. All’istante t = 0 il corpo si trova nel punto x = 90 cm ed ha velocità nulla. Si determini: a) l’energia totale del sistema all’istante iniziale [ E0 = 81 J ] b) la legge del moto [ m x b x k x 0 ; x 2 x 0 x 0 ; = 1 s‐1 0 = 10.0 s‐1 ] 2
c) la legge oraria [ x(t ) xm e t cos( t ) m ; xm = 0.9 m. = 9.95 s‐1, = 0 ] d) la posizione della massa all’istante t = 5 s. [ 5.3 mm , 5.9 mm con = 0 ] e) l’energia totale del sistema a t = 5 s. [ Et (5s) = 3.7 mJ ] 24 10. Un oscillatore debolmente smorzato è costituito da una massa m = 1.0 kg collegata ad una molla di massa trascurabile. L’oscillatore oscilla con una frequenza di 2.0 Hz. All’istante iniziale la velocità dell’oscillatore è massima e pari a 1.0 m/s. Dopo 100 oscillazioni complete l’ampiezza di oscillazione è il 90% di quella iniziale. Si determinino (15/2/2012): a) L’equazione di moto, indicando i valori e le unità di misura di tutti i parametri che in esse compaiono; [ m x b x k x 0 ; x 2 x 0 x 0 ; m = 1 kg, = 2.1.10‐3 s‐1, b = 4.2.10‐3 2
Kg/s, = 12.6 s‐1 = k = 158 N/m , ] b) La legge oraria del moto, indicando i valori e le unità di misura di tutti i parametri che compaiono.[ x(t ) xm e t cos( t ) xm e t sin( t ) m, xm = 8.0 cm, ] 2
c) La posizione e la velocità della massa al tempo t=100 s. [x(100s)=0 m, v(100s)=0.81 m/s] 11. Un oscillatore armonico si muove, senza smorzamento, sul piano orizzontale ed è formato da una molla di costante elastica k = 100 N/m a cui è collegata una massa M = 10 g. Sapendo che all’istante t=0 tutta l’energia è cinetica, la massa si muove verso le x positive e l’ampiezza dell’oscillazione è pari a 10 cm determinare (19/1/2012): a) la velocità della massa all’stante iniziale; [ v0=vm=10 m/s ] b) l’equazione del moto e la legge oraria, indicando il valore di tutte le grandezze che in esse compaiono; [ x(t ) 2 x(t ) 0 ; x(t) = xm sin(t) ; = 100 rad/s ; xm = 10 cm ] c) la posizione della massa e la sua velocità all’istante t = 1.32 s, esprimendole con almeno due cifre significative. [ x(1.32) = 5.31 mm ] 12. Una massa M = 1.000 kg è sospesa ad una molla di costante elastica k = 100.0 N/m ed oscilla verticalmente lungo l’asse y con un moto la cui ampiezza diminuisce del 20.0% in 10.0 s. Sapendo che all’istante iniziale la massa si muove verso il basso, che la sua energia cinetica K(0) è massima ed è pari a 2.00 J, si determini (7/9/2011): a) l’equazione differenziale che regge il moto, calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ My by ky 0 ; x 2 x 0 x 0 ; M = 1.000 kg, b = 4.5∙10‐3 kg/s, k = 2
100 N/m , o = 10 s‐1, = 2.2∙10‐2 s‐1 ] b) la legge oraria, y = y(t), che descrive il movimento della massa, sempre calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ con y verso l’alto: y (t ) ym e t sin( t ) ym e t sin( t ) , = o = 10 s‐1, = 2.2∙10‐2 s‐1, ym = 20 cm ] c) la posizione e la velocità della massa all’istante t = 5.00 s, indicando e giustificando le cifre significative del risultato. [ y (5s) = 4.7 cm, v (5s) = ‐1.73 m/s ] d) la posizione yo di riposo dell’estremo della molla, nello stesso sistema di riferimento utilizzato precedentemente, qualora si sconnetta la massa sospesa. [ yo = 19.6 cm ] 13. Una molla di costante elastica k1 = 600 N/m è vincolata a un estremo. All’estremo libero della molla è attaccata una massa m = 6.0 kg. All’istante iniziale la velocità della massa è massima ed è pari a 2.0 m/s. Dopo 100 periodi di oscillazione si osserva che la velocità si è ridotta al 3% del valore iniziale. Trascurando la forza di gravità si determini (21/7/2011): a) l’equazione differenziale che regge il moto, calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono [ m x b x k x 0 ovvero x 2 x 02 x 0 dove: m = 6.0 kg, k = k1 = 600 N/m, = 5.6∙10‐2 s‐1, 0 = = 10 rad/s, b = 0.67 kg/s ] b) la legge oraria, x = x(t), che descrive il movimento della massa, sempre calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ x(t) = xm e‐ t sin(t) con: xm = 0.20 m e = 0 = 10 rad/s] 25 c) come si modificano le soluzioni precedenti se alla molla k1 viene collegata in serie una molla di costante elastica k2 = 400 N/m, all’estremo libero della quale viene attaccata la massa. [k =
keq = 240 N/m, = 0 = 6.32 rad/s, = 3.5∙10‐2 s‐1. b = 0.42 kg/s, xm = 0.32 m]. 14. Un pattino di massa pari a 4 kg compie un moto di oscillazione, strisciando senza attrito su una rotaia rettilinea orizzontale sotto l’azione di due molle contrapposte, disposte parallelamente alla rotaia. Sapendo che: le costanti elastiche delle molle sono k1 = 150 N/m e k2 = 300 N/m, all’istante iniziale l’energia potenziale del sistema è massima e la posizione del centro di massa rispetto alla posizione di equilibrio è x(0) = 20 cm, determinare (7/7/2011): a) il valore massimo della velocità del centro di massa; [vm = 2.12 m/s, 0 = 10.6 rad/s ] b) l’equazione differenziale che regge il moto, calcolando i valori di tutte le grandezze che vi compaiono; [ m x k x 0 ovvero x 0 0 , k = 450 N/m ] 2
c) la legge oraria, x = x(t), che descrive il movimento della massa, sempre calcolando i valori di xm 20 cm ] tutte le grandezze che vi compaiono; [ x(t ) xm cos(0 t ) ,
d) supponendo ora che il corpo sia un cilindro che rotola senza strisciare e che le due molle siano collegate perpendicolarmente al suo asse di rotazione (coordinata x del sistema), indicare come si modificano le risposte ai punti a), b) e c) dell’esercizio. [ tutto uguale con meq = 3/2 m = 6 kg. Gli altri parametri che variano sono: vm = 1.73 m/s e 0 = 8.66 rad/s. Le equazioni, xm e k restano gli stessi] 15. Una molla pende liberamente dal soffitto. Un corpo di massa M viene collegato all’estremo libero della molla e viene lasciato andare. Il corpo cade, compiendo delle oscillazioni armoniche la cui escursione dal punto superiore a quello inferiore è inizialmente pari a 49 cm. Dopo 100 oscillazioni complete l’escursione è pari a 17 cm. Sulla base dei dati (23/6/2011): a) determinare il periodo di oscillazione del corpo; [ T = 0.993 s =1.0 s ] b) determinare la frazione di energia persa ad ogni ciclo di oscillazione; [ 2.1 % ] c) scrivere l’equazione di moto del sistema (indicare i valore dei parametri); [ y(t)=ym e‐t cos(t) con: ym=24.5 cm, =1.07∙10‐2 s‐1, =6.32 s‐1 ] d) esprimere la velocità del corpo in funzione del tempo (indicare i valori dei parametri). [ v(t) = y’(t) = ‐ym e‐t sin(t) – ym e‐t cos(t) ] 16. In presenza di gravità, una massa M = 5.00 kg è appesa ad una molla e compie un moto oscillatorio smorzato con frequenza pari a 3.00 Hz e costante di smorzamento b = 1.00 [kg s‐1]. Sapendo che all’istante t = 0 la massa si muove verso l’alto con K (0) = 100 J e U(0) = 0, determinare (19/4/2011): a) Il sistema di riferimento in cui descrivere il moto e giustificarlo [ ‐y0 = (M g)/k) ] b) L’equazione del moto indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono con le rispettive cifre significative. [ M y b y k x 0 ; y 2 y 0 y 0 ; k = 1.78∙103 N/m] 2
c) La legge oraria indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono con le rispettive cifre significative. [ y (t ) ym e t sin( t ) ; ym = 0,335 m, 0.100 s‐1, = 0 = 18.85 s‐1, 0 ] d) La posizione della massa all’istante t = 1.3 s. [y(1.3) = ‐ 0.17 m] e) Il tempo t in cui l’energia del sistema è ridotta al 50%. [ t0.5 = 3.47 s] 17. Un corpo di massa M=0.1 kg si muove lungo l'asse x sotto l'azione di una forza elastica Fe=‐k.x con k=50 N/m e di una forza di tipo viscoso Fr=‐.dx/dt con =100 g/s. All'istante t=0 il corpo passa dal punto x=1cm con velocità v=4 m/s. Si determini: a) l’energia totale associata all’oscillazione all’istante iniziale [0.80 J]; b) l’ampiezza dell’oscillazione dopo 3 secondi [ 4.0 cm ] ; c) la legge del moto [ x 2 x 0 x 0 ; 0.5 s 1 , 0 22.4 s 1 , xm 18 cm , 5.6 10 2 rad ] 2
26 18. L' energia iniziale di un oscillatore armonico smorzato è pari a 10 J e diminuisce dello 0.2% per ciclo. Sapendo che la massa oscillante è pari a 200 g e che la costante elastica della molla è k=80 N/m, determinare: 1) la posizione della massa all’istante iniziale, supponendo che sia nulla l’energia cinetica; 2) la legge del moto, indicando il valore e le dimensioni di tutti i parametri; 3) l’ampiezza dell’oscillazione e la posizione della massa oscillante all’istante t=5 s. 19. Una cilindro di massa m = 8 kg e raggio R = 12 cm oscilla rotolando senza strisciare su un piano sotto l’effetto di due molle contrapposte, collegate al perno centrale e aventi rispettivamente costate elastica pari a 10 N/m e 17 N/m. Sapendo che la velocità angolare massima del disco è m = 5 rad/s, determinare: 1) l’energia totale del sistema; 2) la legge del moto x(t) del centro di massa, calcolando e giustificando tutti i parametri che vi compaiono, nell’ipotesi che all’istante t=0 l’energia potenziale del cilindro sia nulla e che il valore della coordinata del centro di massa stia crescendo. 20. Un corpo di massa m = 1 kg si muove lungo l'asse x attorno all'origine sotto l'azione di una forza elastica Fe = ‐kx con k = 64 N/m e di una forza resistente di tipo viscoso Fr = ‐bdx/dt con b= 0.5 Ns/m: Si determini la legge oraria sapendo che all'istante t=0 il corpo è fermo dalla parte delle x positive con energia potenziale pari a 8 J. Si calcoli inoltre dopo quanto tempo l’energia totale dell’oscillatore si sarà ridotta al valore di 1 J. 21. Un corpo di massa m = 100 g oscilla lungo l'asse x attorno all'origine sotto l'azione di una forza elastica Fe = ‐kx con k = 6.4 N/m e di una forza resistente di tipo viscoso Fr = ‐bdx/dt con b= 0.05 Ns/m: Si determini la legge oraria sapendo che all'istante t = 0 il corpo è in movimento verso le x negative con energia cinetica pari a 800 mJ ed energia potenziale nulla. Si calcoli inoltre dopo quanto tempo l’energia totale dell’oscillatore si sarà ridotta al valore di 100 mJ e il valore dell’energia cinetica in quell’istante. 22. Un corpo di massa m=500 g oscilla lungo l'asse x, attorno all’origine, sotto l'azione di una forza elastica Fe=‐k.x, con k=32N/m, Sapendo che all'istante t=0 il corpo passa dal punto x=0 con velocità v=‐4 m/s : a) si scriva la legge oraria, x=x(t), indicando il valore delle grandezze che in essa compaiono; b) si assuma ora che sul corpo agisca anche una forza resistente di tipo viscoso Fr=‐b.dx/dt, con b=0.034 Ns/m e si scriva anche in questo caso la legge oraria, indicando il valore delle grandezze che in essa compaiono; c) si calcoli l'energia totale dell'oscillatore smorzato all'istante t=5s. 23. Una massa oscillante di 200 g è collegata ad una molla con costante elastica k=80 N/m. Sapendo che all’istante t=0: l’energia totale è pari a 10 J, l’energia cinetica è nulla e l’energia del sistema diminuisce dell’ 1% per ciclo, calcolare: a) la posizione della massa all’istante iniziale; b) la legge del moto, x=x(t), indicando il valore e le dimensioni di tutti i parametri; c) l’energia del sistema e l’ampiezza dell’oscillazione all’istante t=1 minuto. 24. Una massa oscillante di 300 g è collegata ad una molla con costante elastica k=97 N/m. Sapendo che all’istante t=0: l’energia totale è pari a 14 J, la massa passa per la posizione di equilibrio e l’energia del sistema diminuisce dello 0.7% per ciclo, calcolare: a) la velocità della massa all’istante iniziale; b) la legge del moto, x=x(t), indicando il valore e le dimensioni di tutti i parametri; c) l’energia del sistema e la velocità all’istante t=5 minuti. 25. Un sistema oscillante è formato da un blocco collegato ad una molla, vincolata rigidamente a un muro all’altro estremo. Il sistema ha un’energia meccanica pari a 1.00 J, un’ampiezza di oscillazione di 10 cm e una velocità massima di 1.20 m/s e oscilla in assenza del campo gravitazionale. a) Determinare la costante elastica della molla, la massa del blocco e la frequenza di oscillazione; b) Assumendo che l’istante iniziale corrisponda a quello in cui la velocità è massima, determinare l’energia cinetica e l’energia potenziale elastica dopo 19 s; c) Si supponga 27 ora che sul sistema agisca anche una forza di attrito di tipo viscoso e che questa determini una diminuzione dell’ampiezza di oscillazione del 3% ad ogni ciclo. Si determini l’energia totale del sistema dopo 19 s; 26. Ad una molla di costante elastica k=1000 N/m, appesa verticalmente e in condizioni di riposo, viene agganciata una massa M=10.00 kg, che viene quindi lasciata libera. Trascurando la massa della molla, supponendo che la massa M venga liberata in un tempo trascurabile e sapendo che dopo 10.00 s l’ampiezza dell’oscillazione si è ridotta a 1/e di quella iniziale: a) scrivere la legge oraria del moto, indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono; b) scrivere l’equazione di moto, indicando il valore di tutti i parametri che in essa compaiono; c) determinare la posizione della massa al tempo t=1.000 s, giustificando le cifre significative che appaiono nel risultato. 28
