Laboratorio di Statistica
A cura di Claudio Baiesi e Mattia Tattini
A.A. 2016/2017
Descrizione del lavoro
L’obiettivo che ci siamo posti è quello di analizzare dal punto di vista
statistico diversi titoli azionari, studiandone i principali indici e
indicatori al fine di poter apprezzare le loro caratteristiche e il loro
andamento. Infine ci siamo interessati di verificare l’esistenza di una
correlazione, o meno, tra questi titoli, volendo dimostrare che il valore
di questi può spesso incidere o dipendere dal valore di altri titoli.
I titoli azionari che abbiamo preso in considerazione sono:
Per il mercato automobilistico: Audi e BMW.
Per il settore informatico: Apple e Microsoft.
Per il sistema bancario: Unicredit e Deutsche Bank.
Per gli indici di borsa: Nasdaq e FTSE MIB.
Cosa abbiamo fatto?
Dal 24 novembre al 10 marzo abbiamo raccolto quotidianamente i dati
relativi alle quotazioni dei diversi titoli azionari ed indici di borsa prima
mostrati, rigorosamente alle ore 12:00, in modo da avere un criterio di
paragone stabile.
Come sappiamo, compiere rilevazioni in condizioni differenti, in questo
caso ad orari differenti, fa si che le informazioni che rileviamo perdano, o
meglio non mostrino, certe sfumature che dipendono appunto dal
parametro che utilizziamo per rilevarle.
Le prime peculiarità che abbiamo cercato di individuare sono state quelle
relative agli indicatori di tendenza centrale, ovvero la più nota media, la
moda, la varianza e lo scarto quadratico medio, fino ad arrivare ad
indicatori relativamente più sofisticati come il coefficiente di variazione e i
quartili.
Perché così tanti dati?
Gli scopi di una rilevazione così ampia sono quattro:
1. Mostrare diverse correlazioni, non facilmente riconoscibili a prima
vista, tra diversi titoli azionari e tra diversi titoli di borsa, ed inoltre
dimostrare il collegamento tra un certo titolo azionario e un
determinato indice di borsa.
2. Nel caso in cui la verifica della correlazione tra due variabili non
desse i risultati desiderati, abbiamo comunque elementi a
sufficienza per approfondire altre possibili correlazioni.
Perché così tanti dati?
3. A parità delle altre condizioni, campioni più grandi determinano stime
per intervallo più precise, riflettendo così la minore incertezza
sull’effettivo valore del parametro considerato.
4. Al fine di fare inferenza, un numero elevato di rilevazioni ci consente di
sfruttare il teorema del limite centrale, il quale ci permette di
approssimare la nostra distribuzione ad una normale.
Che correlazioni stiamo cercando?
La nostra analisi è iniziata interrogandoci riguardo la possibile correlazione dei
seguenti titoli azionari:
Audi – BMW
Esiste una relazione tra il valore delle azioni delle due celebri case
automobilistiche tedesche?
Audi - BMW
Per quanto riguarda la media, le azioni di Audi e BMW si pongono su due livelli molto
differenti dal punto di vista monetario, infatti la prima viene quotata sul mercato
azionario mediamente ad un valore di circa 641€, mentre per acquistare un titolo
azionario della seconda casa automobilistica in questione servono poco più di 86€.
Questi numeri non devono essere presi come dati, infatti non assicurano di trovare
esattamente questo valore nel listino di borsa, ma assieme a questi dati deve essere
considerato anche lo scarto quadratico medio, ovvero quanto si discostano
mediamente dal valore sopraindicato i valori effettivi che potreste trovare. Nello
specifico lo scarto quadratico medio σ per la azioni di Audi è di 23€ mentre per le
azioni di BMW è di 2,80€.
Audi - BMW
Come sappiamo, lo scarto quadratico medio risente dell’unità di misura, quindi
sarebbe più opportuno utilizzare un numero puro per sapere quale sia il range entro
il quale possa variare, a meno di un errore, il valore che ci attendiamo. A questo
proposito viene utilizzato il coefficiente di variazione, che esprime lo scarto
quadratico medio come una percentuale della media. Osserviamo quindi che per le
azioni di Audi questo valore si aggira intorno 3,5%, mentre per le azioni di BMW è
pari al 3,2%.
Questo significa che, mediamente, abbiamo uno scostamento dal valore medio
relativamente piccolo, per cui possiamo aspettarci valori prossimi alla media.
Audi - BMW
Questo ci mostra come scarti quadratici medi differenti a prima vista possono
ingannare un osservatore inesperto, ma utilizzando gli indicatori adeguati, ovvero
pesati in base all’andamento del titolo ed in questo caso prendendo in
considerazione non solo lo scarto quadratico medio, ma anche le media, possiamo
scoprire che questi due titoli godono di una variabilità relativa tutto sommato
abbastanza bassa.
Entrando più nello specifico notiamo che il coefficiente di correlazione, lo strumento
che ci permette di evidenziare eventuali dipendenze e correlazioni tra le variabili, è
paria -0,02, molto prossimo a zero, quindi possiamo concludere che non vi sia alcuna
relazione lineare tra il valore delle azioni di Audi e BMW, ma non necessariamente
ciò implica la mancanza di un qualsiasi altro tipo di relazione.
Modello di regressione Audi - BMW
94
92
90
BMW
88
86
84
82
80
78
590
600
610
620
630
640
Audi
650
660
670
680
690
Andamento azioni Audi
Audi
700
680
660
640
620
600
580
560
Andamento azioni BMW
Bmw
94
92
90
88
86
84
82
80
78
76
74
72
Che correlazione stiamo cercando?
Il secondo interrogativo che ci siamo posti è stato:
Apple – Microsoft
I due colossi informatici americani vedono correlato il valore delle loro azioni
all’andamento del loro concorrente per eccellenza?
Apple - Microsoft
Il divario economico tra i due titoli azionari in questo caso è decisamente minore
rispetto a quello visto in precedenza, nello specifico la media che un titolo azionario
Apple ha assunto in questo periodo di osservazioni è di 123€, mentre Bill Gates
chiede esattamente 63€ per acquistare un’azione della sua celebre azienda.
Per quanto riguarda i titoli azionari marcati Apple si nota un’asimmetria positiva,
ovvero quando la media è maggiore della mediana (119€) significa che più del 50%
dei valori si troverà in un frangente inferiore al valore medio sopra indicato, con la
conseguenza che sarà più probabile che il titolo azionario assuma valori inferiori
alla media. Non si può dire lo stesso dei titoli azionari di Microsoft, per i quali media
e mediana praticamente coincidono.
Apple - Microsoft
Per quanto riguarda la variabilità dei titoli azionari in esame, ci troviamo in due
fattispecie differenti. I titoli azionari Apple hanno una variabilità maggiore rispetto a
quelli concorrenti, infatti il loro coefficiente di variazione è del 7%, con un campo di
variazione nell’ultimo trimestre di 30€. Decisamente più stabili sono i titoli azionari
di Microsoft, che oscillano poco intorno alla media, più precisamente si sono
riscontrate variazioni di appena 2 punti percentuali, ed un campo di variazione che
nell’ultimo trimestre ha fatto registrare scostamenti di appena 4€ dal valore medio.
Da questo deduciamo che il secondo titolo sia più stabile e apparentemente più
sicuro dal punto di vista del rendimento, poiché si è sempre tenuto più o meno sugli
stessi valori.
Apple - Microsoft
Differentemente da quanto osservato in precedenza, notiamo che il coefficiente
di correlazione questa volta è molto prossimo a 1, precisamente assume un
valore di 0,8, ciò significa che siamo molto vicini a quella che si definisce una
relazione lineare positiva, ovvero che i punti aventi come coordinate i titoli
azionari delle due aziende tendono ad allinearsi lungo una retta , caratterizzata
da un andamento crescente. Ricordiamo che i valori assumono mediamente,
una relazione lineare positiva, cioè possono esserci valori che si scostino da
questo trend, ma non influenzino in maniera rilevante l’andamento generale.
Nello specifico, sappiamo che la retta alla quale tendono questi punti è definita
da y = 48,4 + 0,12x.
Modello di regressione Apple - Microsoft
67
66
65
Microsoft
64
63
62
61
60
59
58
105
110
115
120
125
Apple
130
135
140
145
Andamento titoli azionari Apple e Microsoft
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Altre relazioni
Non sono solo queste le conclusioni che volevamo raggiungere.
Ci siamo chiesti se ci fosse una correlazione anche tra…
Audi – Deutsche Bank
Il valore delle azioni dell'Audi e il valore delle azioni della Deutsche Bank, banca di
riferimento della casa automobilistica?
Audi – Deutsche Bank
In questo caso non ci troviamo a paragonare titoli azionari appartenenti a società
operanti allo stesso settore, infatti appartengono una al settore automobilistico e
l’altra invece è la banca di riferimento per la nazione tedesca, proprio quella dove è
situata la sede principale del noto marchio automobilistico. Sicuramente non è utile
studiare i due titoli azionari dal punto di vista del valore che hanno assunto in questo
trimestre, in quanto un’azione della banca tedesca (la cui media si aggira intorno ai
17,5€) è sicuramente meno costosa rispetto ad un’azione dell’Audi, ma è comunque
interessante studiare il loro trend. Infatti osservando il modello di regressione lineare
si può notare una sottile correlazione positiva tra le due società. Nello specifico
questo coefficiente di correlazione assume il valore di 0,65 che indica mediamente
una correlazione positiva, ciò sta a dire che la correlazione non è così forte da
supporre che a ogni aumento unitario del valore di un’azione di Audi ne consegua
sempre un aumento del valore della azioni della Deutsche Bank, ma in buona
approssimazione si può dire che «spesso» all’aumentare del valore di uno consegue
l’aumentare dell’altro.
Audi – Deutsche Bank
25
20
15
10
5
0
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
Che correlazioni stiamo cercando?
Potrebbe esistere una correlazione tra…
Microsoft – Deutsche Bank
Il colosso informatico americano e la principale banca tedesca?
Microsoft – Deutsche Bank
Inaspettatamente ci siamo accorti che il valore delle azioni di Microsoft è fortemente
correlato all’andamento delle azioni della banca tedesca, questo non significa che ci
debba essere obbligatoriamente una relazione implicita secondo per la quale i due
titoli azionari dipendano l’uno dall’altro, infatti in questo elaborato ci siamo sempre
preoccupati di non dire mai la parola «relazione» perché non è vero che
l’andamento simile di tue titoli azionari implichi sempre una relazione tra i due, noi ci
occupiamo solo di analizzare l’andamento ed esporre considerazioni attingendo
solamente dai dati, senza spiegare il vero motivo per cui l’andamento di due titoli
azionari, affini o completamente diversi, sia cosi simile.
Microsoft – Deutsche Bank
Non vogliamo saltare subito alle conclusioni, per cui analizziamo prima i caratteri simili di
Microsoft e Deutsche Bank.
Questi titoli azionari assumono valori medi diversi, infatti come già detto un’azione
Microsoft ha un valore economico di 63€ mentre un’azione di Deutsche Bank si vede
attribuire sul listino di borsa solamente 17,7€.
Nonostante questa diversità i due titoli hanno in comune una varianza, e
contestualmente lo scarto quadratico medio, decisamente esigui, infatti assumono valori
molti piccoli, sia per Microsoft che presenta una varianza di 2,2 e scarto quadratico
medio di 1,5, sia per Deutsche Bank con varianza 1,4 e scarto quadratico medio 1,2.
Microsoft – Deutsche Bank
Ma questi sono soltanto numeri, che paragonati ci dicono veramente poco di
quanto i valori dei titolo si siano discostati dalla media in questi ultimi mesi.
L’unico indicatore che è possibile paragonare, relativamente alla variabilità, è il
coefficiente di variazione, che in questo caso per Microsoft è del 2,3% mentre
per Deutsche Bank è del 6,6%, insomma per quanto ci aspettassimo valori
piccoli, un discostamento del 6,6% non è del tutto trascurabile, questo per
mettere in evidenza che valori di varianza e scarto quadratico medio
relativamente simili, paragonati mediante un indicatore «puro» hanno incidenza
diversa.
Microsoft – Deutsche Bank
Dai dati però apprendiamo che in questi mesi l’andamento di questi due titoli
azionari ha sempre assunto una tendenza molti simile, resa visibile in primis dal
coefficiente di correlazione il quale, indicando un valore relativamente molto
alto come 0,82, suggerisce che all’aumento di valore di un’azione Microsoft
corrisponda quasi sempre un corrispondente aumento del valore del titolo
azionario di Deutsche Bank, ricordando sempre le parole «a meno di un errore»
che significa che sono ammessi sporadici scostamenti dall’andamento generale,
pur non modificando significativamente il trend.
Modello di regressione Microsoft – Deutsche Bank
25
20
15
10
5
0
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
Un piccolo imprevisto
Purtroppo durante il nostro percorso abbiamo incontrato un imprevisto. Infatti era
nostra intenzione verificare una correlazione tra l’indice di borsa italiana (FTSE Mib)
e la Deutsche Bank. Questa correlazione a tutti gli effetti e il coefficiente di
correlazione in questo caso è molto prossimo a 1, raggiungendo il valore esatto di
0,84, questo significa che esiste una forte correlazione positiva tra i due titoli
azionari. Tuttavia questa analisi era volta a dimostrare una sorta di correlazione
indiretta tra la banca tedesca e una delle principali banche italiane, l’Unicredit,
attraverso appunto la presumibile correlazione tra i valori dei titoli azionari della
banca italiana e l’indice di borsa del nostro paese.
Deutsche
Bank
FTSE MIB
Unicredit
Ed è proprio qui che la nostra analisi non ha potuto dare i frutti sperati perché è
avvenuto un fatto che ha fortemente influenzato i valori azionari che stavamo
raccogliendo…
Unicredit – Aumento di capitale sociale
Per questo motivo si sono verificati diversi avvenimenti che hanno reso difficile, se
non inutile e poco rappresentativo, raccogliere i valori del titolo azionario:
Molteplicità di valori per lo stesso titolo, dipendentemente dal fatto che si
trattasse di azioni di cui si fosse esercitato il diritto di recesso, oppure azioni che gli
azionisti erano disposti a mantenere nel portafogli.
Mancanza del presupposto di condizioni omogenee tra l’inizio e la fine della
raccolta dei dati, come abbiamo detto in classe fare la media di gente che prende la
bici in una settimana senza tenere conto del fatto che piova o meno porterà
sicuramente ad un risultato, ma non quello desiderato in quanto si deve tenere
conto anche delle condizioni in cui si raccolgono i dati e per un certo verso la
società con cui avevamo iniziato la nostra analisi è diversa da quella con cui
saremmo andati a concludere la nostra ricerca.
Inferenza
Prendiamo in considerazione l’indice FTSE Mib, con la differenza che questa volta
prendiamo in considerazione le nostre rilevazioni come un campione di una
popolazione molto più ampia. La differenza primaria è che in questa seconda parte
della presentazione ci aspetteremo un coefficiente di errore (α), in quanto quelle che
andremo a fare saranno supposizioni basate sui dati, ma non dati certi. Da qui
consegue che la media e la varianza che prima davamo per note, adesso non lo sono
più, infatti parleremo di media campionaria e di varianza campionaria.
Cosa vogliamo pronosticare?
Come già detto non conosciamo quale sia effettivamente la media di tutti i valori
che l’indice di borsa italiana ha assunto dal 2009 ad oggi, definita anche come
media della popolazione, ma l’unica media che possiamo definire è quella del
nostro campione. Vale lo stesso discorso per la varianza dell’indice di borsa.
A questo punto, partendo dal nostro campione otteniamo la media
campionaria, che in questo caso è pari a 18.854,61€, che definiremo
analiticamente come 𝒙.
Varianza campionaria
Allo stesso tempo calcoliamo la varianza campionaria, la quale per essere
compresa al meglio necessita di qualche spiegazione aggiuntiva.
Analiticamente la varianza campionaria𝒏si calcola come:
𝑺𝟐 =
𝟏
𝒏−𝟏
(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐
𝒊=𝟏
Di particolare rilievo è il denominatore n – 1 in quanto è stato confermato che
per i campioni, in particolare quelli di piccole dimensioni, sia più calzante la
rappresentazione proposta rispetto a quella che si otterrebbe dividendo per il
numero delle osservazioni.
Una volta svolto il calcolo sopra citato abbiamo ottenuto una varianza
campionaria pari a 732.168,2€
Distribuzione normale
σ2
𝑋 ~ 𝑁 µ;
𝑛
È importante supporre la distribuzione della popolazione come normale, mentre
quella relativa alla media del campione deve essere una distribuzione tale per cui la
σ2
media sia pari a µ e la varianza sia pari a . In estrema sintesi questo equivale a dire
𝑛
che i valori della popolazione si possono mostrare grazie alla seguente distribuzione:
Distribuzione «t-Student»
Ma come ci insegna il nostro manuale, quando la varianza della popolazione a cui ci
riferiamo non è nota, come nel nostro caso, per procedere con il processo di
inferenza bisogna introdurre un secondo tipo di distribuzione, detta «t-Student».
La rappresentazione grafica della suddetta distribuzione è la seguente, ed è
importate sottolineare che per gradi di libertà elevati tende ad una normale.
Intervallo di confidenza per la media campionaria
Dal momento che la nostra media campionaria è solamente uno dei tantissimi
valori che potrebbe assumere questo parametro, è opportuno stabilire un
intervallo di valori plausibili per quel parametro.
Detto in parole più semplici, vogliamo costruire un intervallo per ogni campione
entro cui può ricadere la media della popolazione in questione.
Sarà dunque a nostra discrezione decidere il valore che assumeremo come
coefficiente di errore (α), e noi lo poniamo pari a 5%.
Intervallo di confidenza per la media
Esiste una vera e propria formula per ottenere l’intervallo desiderato, ed è la
seguente:
𝒙 ± 𝒕
𝜶
𝒏−𝟏 , 𝟐
∗
𝑺𝟐
𝒏
Svolgendo i calcoli otteniamo un intervallo di confidenza di estremi:
[18.628,55 ; 19.080,67]
Cosa abbiamo fatto?
Abbiamo determinato gli estremi di un intervallo che verosimilmente contiene la
media della popolazione.
Se si estrae ripetutamente e in modo indipendente un numero molto elevato di
campioni dalla stessa popolazione e si determinano i relativi intervalli di confidenza,
il 95% di intervalli conterrà il valore della media della popolazione in esame.
