Cinematica del punto materiale
• Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue
cause
• Il moto è completamente determinato se e` nota la
posizione del corpo in funzione del tempo
• Necessita` di un sistema di riferimento per
determinare la posizione
• Diversi tipi di sistemi di riferimento:
– Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z
– Polare (2 dimensioni): r, f
– Sferico (3 dimensioni): r, q, f
1
Cinematica
• Ogni coordinata è funzione del tempo legge
oraria:
–
–
–
–
x(t), y(t), z(t)
r(t), f(t)
r(t), f(t), z(t)
r(t), q(t), f(t)
• Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati
dal corpo nei successivi istanti di tempo
– dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio
y=f(x)
– tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche
circolari)
2
Attenzione: non confondere
traiettoria e legge oraria
• Il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si
svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1a legge
di Keplero):
l
r
(1 e cos f )
L2
L2
E 2
2
l
; e 1 mS 2 l
2
GmT mS GmT ms
L
• Questa è una funzione r(f) e rappresenta una
relazione puramente geometrica tra le coordinate r e
f: quale?
• Nulla sappiamo sulle leggi orarie r(t), f(t)
3
• Lo studio delle leggi orarie si chiama cinematica
Cinematica
• Le grandezze fisiche necessarie per lo studio
della cinematica sono
– Distanza – s, l, x, r…
– Tempo - t
– Velocità - v
– Accelerazione – a
• Partiamo da… a e t
4
Accelerazione
• L’accelerazione, in generale, è un vettore che varia
nel tempo: a ( t )
• Unità di misura: ms-2
• Variazioni valgono sia in modulo che in direzione
• Nel caso in cui sia costante, il moto è detto
uniformemente accelerato
• Nel caso in cui sia 0, il moto è detto rettilineo
uniforme
• Qual è il significato dell’accelerazione?
5
Esempio: corpo che cade
• Un corpo che cade si muove verso il basso (asse y)
con un’accelerazione costante |g| =9.8 m/s2
• Il moto del grave è dunque uniformemente
accelerato
• Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse y
rivolto verso l’alto, l’accelerazione a ha componente
lungo quest’asse negativa: ay=-g
y
ay g
6
Accelerazione
• Dall’esperienza comune, si dice che un corpo ha una
certa accelerazione quando la sua velocità varia nel
tempo
• Nel caso del corpo che cade, esso aumenta sempre
di più la sua velocità; mentre, se sale, la sua velocità
diminuisce sempre di più
• Ma, a parità di tempo, quanto valgono le variazioni
di velocità? O altrimenti detto, le variazioni di
velocità sono uguali o diverse nel tempo?
• Definiamo accelerazione il vettore dato da:
dv
a
v (t )
dt
7
Attenzione a:
• Non confondervi tra accelerazione e
variazione di velocità
• Velocità non è proporzionale ad accelerazione
• Accelerazione non è proporzionale al
«tempo», né al «tempo» al quadrato
• Accelerazione non è proporzionale a «spazio»
8
Relazioni tra velocità e accelerazione
• Poichè:
dv a(t )dt
dv
a(t )
dt
• Si ha:
v
dv v v
0
v0
t
a(t)dt
t0
v ( t ) a ( t )dt v0
t
t0
9
Moto uniformemente accelerato
• Accelerazione è costante
t
v ( t ) v0 a dt v0 a ( t t0 )
t0
• La velocità varia linearmente, cioè a parità di tempo, le
variazioni di velocità sono uguali
• A seconda del sistema di riferimento scelto, la velocità
avrà component che saranno una retta con pendenza
positiva o negativa
y
v y gt v0 y
10
0
velocita’
D
tempo
0
velocita’
0
E
tempo
velocita’
B
tempo
F
velocita’
tempo
velocita’
0
velocita’
velocita’
A
0
C
0
tempo
G
0
tempo
tempo
11
Velocita`
• Ma cos’è la velocità?
• Dall’esperienza comune, una persona va più o meno
veloce a seconda della distanza che percorre in un
tempo fissato.
• Considerando intervalli di tempo piccoli
dx
v (t )
x (t )
dt
• ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo
• Se v = costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme
12
Relazioni tra posizione e velocità
• Poichè:
dx v ( t ) dt
dx
v (t )
dt
• La relazione inversa è
x
dx x x
0
x0
t
v ( t ) dt
t0
• Utile se è nota la dipendenza di v da t
• x-x0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la
somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso
che e` invece la somma del modulo degli spostamenti
13
Moto rettilineo uniforme
• Se v è costante nel tempo
t
x ( t ) x0 v dt x0 v ( t t0 )
t0
• Lo spostamento del corpo è rappresentato da una
retta la cui pendenza dipende dal moto: se il
corpo si avvicina all’origine (x = 0, arbitraria) essa
è negativa, se si allontanta è positiva
14
Pendenza positiva =
allontanamento
15
Moto in
avvicinamento,
pendenza negativa
16
Determinare la velocità del moto la cui legge oraria è
riprodotta in figura
17
18
Moto uniformemente accelerato
• Accelerazione è costante
t
v (t ) v 0 a dt v 0 a(t t 0 )
t0
• Ricaviamo la legge oraria:
t
t
t0
t0
x ( t ) x0 v ( t ) dt x0 ( v0 a ( t t0 ) ) dt
1
2
x0 v0 ( t t0 ) a ( t t0 )
2
19
Esempio
• Se il corpo che cade da altezza h con velocità
iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0 si ha:
1 2
x (t ) h gt
v (t ) v 0 a(t t 0 ) gt
2
• Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al
tempo:
1 2
1 2
2h
h
gt
t
0
t : x t 0 h gt
2
g
2
()
con velocità: v ( t ) gt
2h
g
2 gh
g
20
Grafici del moto di una pallina che
rimbalza sul pavimento
x
v
t
t
21
Grafici del moto di una pallina che rimbalza sul pavimento
Fare uno schizzo del grafico a(t)
23
Moto su piano inclinato
x’
y
x
ay g
y
x
gcosa
g
a
a
ay ' g
ay ' g cos (a )
y’
-gsina
24
Cinematica del moto su piano inclinato
x
y
x’
a
a
g
gsinq
gcosa
y’
q
-gsina
-gcosq
a y ' g cos (a ) g cos q
2
25
g sin (q )
Attenzione a:
• Accelerazione in salita e discesa: uguali o
diverse?
• Velocità non ha stesso andamento
accelerazione
• Traiettoria rettilinea
• Legge oraria diversa da traiettoria
26
Discesa su piano inclinato
x
0
ay g sin (q )
gsinq
vy ( t ) gt sin (q )
h
1
y ( t ) g sin (q ) t 2
2
q
()
2
1
y t d g sin (q ) t d
2
2 d
g sin (q )
t
Nota : lim t
q
2
2d
g
d
()
v y t g sin (q )
y
2 d
2 gd sin (q )
g sin (q )
27
Salita su piano inclinato
ay g sin (q ) vy ( t ) gt sin (q ) v0 0
()
v t 0 gt sin (q ) v0 0
t
v0
g sin (q )
h
1
2
y ( t ) g sin (q ) t v0t d
2
v0
d
q
y
2
v0
v0
v02
1
y t g sin (q )
v0
d d
2
2 g sin (q )
g sin (q )
g sin (q )
()
28
Velocità massima se (non) si vuole
che corpo vada oltre sommità
0
()
y t 0
v02
d
0
2 g sin (q )
v0 2 gd sin (q )
h
v0
d
q
y
()
y t 0 v0 2 gd sin (q )
29
Salita/discesa su piano inclinato
30
31
32
Equazione del moto
• Come abbiamo visto, per conoscere le coordinate di un corpo in
funzione del tempo è necessario risolvere un’equazione, detta
equazione del moto
• L’equazione del moto ha come incognite le accelerazioni:
a ( t ) ax ( t ) , a y ( t ) , az ( t )
• Occorre risalire dall’ accelerazione alla posizione
2
dv ( t ) d
d
x ( t )
d d
a (t )
v (t ) x (t )
x
2
dt
dt
dt dt
dt
33
Soluzione di equazioni differenziali
dv
a (t )
dt
dx
v (t )
dt
• Si dice integrare l’equazione come sinonimo di
risolvere
• Risolvere un’equazione differenziale significa
abbassarne il grado di derivazione mediante
operazioni di integrazione agenti sulle funzioni
incognite o su funzioni di queste funzioni
34
Accelerazione come funzione della
posizione
• Sia: a = a(x) cioè in funzione della posizione
• Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per la
velocita`:
av va v
dv
dt
• Integriamo ambo i membri rispetto a t:
t
t
t0
t0
avdt v
• Poichè
dv
dt
dt
vdt dx
t
t
v
v
dv
dx
adx
dx
t 0
t 0 dt v0 dt dv v0 vdv
35
Accelerazione come funzione della
posizione
x
v
x0
v0
a(x )dx vdv
• Risolvendo l’integrale si ha:
x
• cioè
1 2 1 2
(
)
a
x
dx
v v0
x0
2
2
x
v v0 2 a(x )dx
2
x0
36
Un esempio importante
• Nel caso più semplice:
a(x ) 2 x
• Avremo allora:
(
)
x
x
(
1 2
1 2 2
2
2
2
v v0 a(x )dx xdx x x0
2
2
x0
x0
)
• Risolvendo rispetto a v:
v
(v
0
2
)
x
2
2 x0 2 x 2 2 A2 2 x 2 A 1
A
2
37
Un esempio importante
• Ma:
dx
x
v
A 1
dt
A
2
• Risolvendo per separazione di variabili:
dx
x
A 1
A
x
x0
x
dx
x
A 1
A
2
x0
2
dt
x
d
A
x
1
A
2
0
d
1
t
2
dt
0
38
Un esempio importante
• Risolvendo avremo:
t
dt t
0
0
d
1 2
arcsin f arcsin
x
f
A
x
arcsin f t
A
x A sin (t f )
39
Moto armonico
x(t ) A sin (t f )
• A l’ampiezza
• la pulsazione
• f la fase iniziale
• Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo
t1, t2, che soddisfano la relazione seguente
(t2 f ) (t1 f ) (t2 t1 ) n2
• corrispondera` uno stesso valore della coordinata
40
Moto armonico
• Quando n assume il valore minimo (n=1), i due
istanti differiscono per un tempo T detto periodo
(t2 t1 ) T 2
2
• E dunque: T 2
T
• La frequenza è l’inverso del periodo:
1
T
2
41
Misura di oscillazioni
42
43
44
Esercizi
• 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente
verso l’alto con velocita` iniziale v0 dall’altezza h1
– Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b)
la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la
velocita` con cui arriva a terra
• 2) Un corpo si muove con una velocita` data da
v at 2 b
nell’intervallo di tempo Dt tra t1 e t2
– Trovare a) la velocita` media in Dt; b) l’accelerazione media
in Dt; c) lo spazio percorso in Dt
45
Esercizi
• 3) dato un moto armonico x(t ) Asin (t f )
– Determinare le costanti A e f in funzione delle condizioni
iniziali
x(0) x0
v(0) v0
• 4) mostrare che le seguenti implicazioni sono false
v 0a 0
v crescente a crescente a const.
v 0a 0
46
Esercizi
47
