FIS. GEN. 10 CFU Vecchio Progr. A I Appello A.A. 2009-2010 07.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un guscio metallico di raggio R1 è uniformemente carico con densità superficiale di carica . Una bacchetta di materiale dielettrico e di sezione trascurabile viene piegata a formare un quarto di circonferenza di raggio R 2, concentrica al guscio e disposta sul piano xy. Si determini in modulo direzione e verso la forza risultante che agisce sul quarto di anello quando esso viene uniformemente caricato con carica q2. Siano =40C/m2, R1=10cm, R2=50cm, q2=10nC. y Con Gauss ricaviamo il campo generato dal guscio a distanza R2: + + R12 E (r R2 ) uˆ r 0 R22 q + + + + + Data la simmetria sferica, su ogni elemento infinitesimo di lunghezza ds dell’arco agisce una forza pari a: dF dqE ( R2 ) dsE ( R2 ) q2 R2 R + + + + + + + x + R + + R2 dE ( R2 ); dFX dF cos uˆ X . 2 La risultante, ottenuta integrando su tutto il quarto di anello, è diretta lungo l’asse x, poiché le componenti y si elidono; e ponendo ds=R2d si ha: FTOT u x dFx u x bacchetta R12 2q 2 q 2 R12 2 2 cos d 1.6 10 3 N u x 2 0 R22 0 R2 4 4 Esercizio n. 2 Una spira piana quadrata di lato a, percorsa da corrente i, è immersa in una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto lungo l’asse y di una terna di assi cartesiani. Per mantenere la spira in equilibrio in maniera che la sua normale un formi un angolo =45° con la direzione di B (vedi figura) è necessario applicare un momento meccanico esterno Mext antiparallelo all’asse z. Si determini la corrente i che circola nella spira, giustificando la risposta ed eseguendo i calcoli per a=20cm, Mext=5.7·10-2Nm, B=0.4T. La spira percorsa da corrente possiede un momento magnetico, ed è quindi soggetta ad un momento meccanico, chiamiamolo M B ,dovuto alla presenza del campo magnetico B: a M B mxB mB sin uˆ Z Tale momento meccanico provocherebbe una rotazione della spira se non fosse presente il momento esterno, uguale ed opposto. Per cui all’equilibrio, ricordando l’espressione del momento magnetico della spira, si ha: 2 M EXT 2 M EXT M B 0 mB sin M EXT ia 2 B M EXT i 5A 2 a2B z a O û n x Mext By y Esercizio n. 3 Un corpo puntiforme di massa m viene lasciato cadere dal punto più alto A di una guida liscia, avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio R, come in figura. Giunta su un piano orizzontale, la massa m urta in modo completamente anelastico nel punto O contro una massa M, inizialmente in quiete, fissata ad una molla di costante elastica K, agganciata ad una parete all’altro estremo. Sapendo che nei punti a destra di O il piano, scabro, è caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico , si determini la massima contrazione della molla. Si seguano i calcoli per =0.2, m=50g, M=150g, R=20cm, K=25N/m. Dalla conservazione dell’energia meccanica ricaviamo la velocità della massa m un istante prima dell’urto: A m 1 mgR mv02 v 0 2 gR 2 R x O Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui la velocità delle due masse unite dopo l’urto: mv0 M m V0 V0 M mv0 M m A questo punto, tenendo conto del lavoro della forza d’attrito sul piano scabro si ha il seguente bilancio energetico: M mgl M m V02 1 1 1 2 2 2 2 M m V0 W ATTR Kl M mgl Kl l 2 0 2 2 2 K K La cui soluzione positiva fornisce l 3.1cm Esercizio n. 4 Su di un piano orizzontale liscio, una massa m inizialmente in quiete è fissata ad un estremo di una bacchetta rigida di lunghezza r avente massa trascurabile. Il secondo estremo della bacchetta è incernierato in O, cosicché il sistema bacchetta+massa può ruotare sul piano attorno ad un asse verticale passante per O. Una forza di carattere impulsivo fornisce alla massa un impulso J0, sul piano, perpendicolare alla direzione della bacchetta, come in figura. Sapendo che a causa degli attriti il momento angolare della massa diminuisce linearmente nel tempo secondo la legge L(t)=-kt, si determini l’angolo spazzato dalla bacchetta prima dell’arresto. Siano: m= 50g, J0=0.05Kg·m/s, r=25cm, k=0.02Kg·m2/s2. m La variazione nel tempo di L(t) ci fornisce il momento della forza frenante, e quindi l’accelerazione tangenziale: r F dL k k M E rFATTR k aT ATTR dt m mr O Il moto dunque è circolare uniformemente decelerato. La velocità, tenendo conto della condizione iniziale, si scrive: v v0 K t . Ed imponendo che che la massa si arresti in un tempo t* si ha: mr v(t*) 0 t* mv0 r J 0 r k k infine lo spazio percorso e l’angolo spazzato in questo intervallo di tempo si trovano da: 2 s (t ) v 0 t J r 1 k 2 1 k t s (t*) v 0 t * t *2 0 ; 2 mr 2 mr 2mk 2 (t*) s(t*) J 0 1.25rad 71.6 r 2mk J0