Soluzioni_Fis_GEN_A_07_07_10

FIS. GEN. 10 CFU Vecchio Progr. A
I Appello A.A. 2009-2010
07.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un guscio metallico di raggio R1 è uniformemente carico con densità superficiale di carica . Una bacchetta
di materiale dielettrico e di sezione trascurabile viene piegata a formare un quarto di circonferenza di raggio R 2, concentrica
al guscio e disposta sul piano xy. Si determini in modulo direzione e verso la forza risultante che agisce sul quarto di anello
quando esso viene uniformemente caricato con carica q2. Siano =40C/m2, R1=10cm, R2=50cm, q2=10nC.
y
Con Gauss ricaviamo il campo generato dal guscio a distanza R2:
+
+

R12
E (r  R2 ) 
uˆ r
 0 R22
q +
+ + +
+
Data la simmetria sferica, su ogni elemento infinitesimo di lunghezza ds dell’arco agisce una forza
pari a:



dF  dqE ( R2 )  dsE ( R2 ) 
q2
R2
R
+ 
+
+
+
+
+
+
x
+
R
+
+


R2 dE ( R2 ); dFX  dF cos uˆ X .
2
La risultante, ottenuta integrando su tutto il quarto di anello, è diretta lungo l’asse x, poiché le componenti y si elidono; e ponendo
ds=R2d si ha:



FTOT  u x 

 dFx  u x
bacchetta
R12 2q 2
q 2 R12 2 2



cos

d


 1.6  10 3 N  u x
2
  0 R22 
0 R2
4

4
Esercizio n. 2 Una spira piana quadrata di lato a, percorsa da corrente i, è immersa in una regione dello spazio in cui è
presente un campo magnetico uniforme B diretto lungo l’asse y di una terna di assi cartesiani. Per mantenere la spira in
equilibrio in maniera che la sua normale un formi un angolo =45° con la direzione di B (vedi figura) è necessario applicare
un momento meccanico esterno Mext antiparallelo all’asse z. Si determini la corrente i che circola nella spira, giustificando
la risposta ed eseguendo i calcoli per a=20cm, Mext=5.7·10-2Nm, B=0.4T.
La spira percorsa da corrente possiede un momento magnetico, ed è quindi soggetta ad un momento

meccanico, chiamiamolo M B ,dovuto alla presenza del campo magnetico B:
a

 
M B  mxB  mB sin    uˆ Z
Tale momento meccanico provocherebbe una rotazione della spira se non fosse presente il momento
esterno, uguale ed opposto. Per cui all’equilibrio, ricordando l’espressione del momento magnetico della
spira, si ha:


2  M EXT
2
M EXT  M B  0  mB sin    M EXT  ia 2 B
 M EXT  i 
 5A
2
a2B
z

a
O û
n
x
Mext
By
y
Esercizio n. 3 Un corpo puntiforme di massa m viene lasciato cadere dal punto più alto A di una guida liscia, avente la forma di un
quarto di circonferenza di raggio R, come in figura. Giunta su un piano orizzontale, la massa m urta in modo completamente anelastico
nel punto O contro una massa M, inizialmente in quiete, fissata ad una molla di costante elastica K, agganciata ad una parete all’altro
estremo. Sapendo che nei punti a destra di O il piano, scabro, è caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico , si determini la
massima contrazione della molla. Si seguano i calcoli per =0.2, m=50g, M=150g, R=20cm, K=25N/m.
Dalla conservazione dell’energia meccanica ricaviamo la velocità della massa m un
istante prima dell’urto:
A m
1
mgR  mv02  v 0  2 gR
2
R
x
O
Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui la velocità
delle due masse unite dopo l’urto:
mv0  M  m   V0  V0 
M
mv0
M  m
A questo punto, tenendo conto del lavoro della forza d’attrito sul piano scabro si ha il seguente bilancio energetico:
 M  mgl M  m  V02
1
1
1
2
2
2
2
M  m  V0  W ATTR  Kl   M  mgl  Kl  l  2

0
2
2
2
K
K
La cui soluzione positiva fornisce l  3.1cm
Esercizio n. 4 Su di un piano orizzontale liscio, una massa m inizialmente in quiete è fissata ad un estremo di una bacchetta rigida di
lunghezza r avente massa trascurabile. Il secondo estremo della bacchetta è incernierato in O, cosicché il sistema bacchetta+massa può
ruotare sul piano attorno ad un asse verticale passante per O. Una forza di carattere impulsivo fornisce alla massa un impulso J0, sul
piano, perpendicolare alla direzione della bacchetta, come in figura. Sapendo che a causa degli attriti il momento angolare della massa
diminuisce linearmente nel tempo secondo la legge L(t)=-kt, si determini l’angolo spazzato dalla bacchetta prima dell’arresto. Siano:
m= 50g, J0=0.05Kg·m/s, r=25cm, k=0.02Kg·m2/s2.
m
La variazione nel tempo di L(t) ci fornisce il momento della forza frenante, e quindi l’accelerazione tangenziale:
r
F
dL
k
 k  M  E   rFATTR  k  aT  ATTR 
dt
m
mr
O
Il moto dunque è circolare uniformemente decelerato. La velocità, tenendo conto della condizione iniziale, si
scrive:
v  v0 
K
t . Ed imponendo che che la massa si arresti in un tempo t* si ha:
mr
v(t*)  0  t* 
mv0 r J 0 r

k
k
infine lo spazio percorso e l’angolo spazzato in questo intervallo di tempo si trovano da:
2
s (t )  v 0 t 
J r
1 k 2
1 k
t  s (t*)  v 0 t * 
t *2  0 ;
2 mr
2 mr
2mk
2
 (t*) 
s(t*) J 0

 1.25rad  71.6
r
2mk
J0