Scegliendo, invece, una rappresentazione con variabili
complesse
si ottiene:
oppure
Quando il motore asincrono è alimentato mediante un convertitore
statico, la tensione e la corrente applicate al motore presentano varie
armoniche sovrapposte alla fondamentale.
Con le ipotesi semplificative introdotte per ricavare il modello del
motore, se si suppone che la velocità di rotazione del motore possa
essere considerata rigorosamente costante e si mantiene costante
anche la velocità di rotazione del sistema di riferimento, il
comportamento dei circuiti elettromagnetici è lineare. Pertanto, gli
andamenti delle correnti e dei flussi possono essere ricavati
prendendo in considerazione separatamente le diverse armoniche.
La linearità non è, invece, valida per quanto concerne la coppia
elettromagnetica, in quanto nella sua espressione compaiono
prodotti tra variabili.
Le caratteristiche statiche del motore asincrono saranno, quindi,
determinate considerando dapprima l’effetto dell’armonica
fondamentale della tensione di alimentazione ed esaminando, poi,
l’influenza delle armoniche di ordine superiore.
Per ricavare le caratteristiche statiche del motore asincrono
alimentato con una terna simmetrica di tensioni sinusoidali, è
conveniente impiegare il modello bifase della macchina, riferito a
una coppia di assi ortogonali d e q rotanti con una velocità Wa, pari
alla pulsazione delle tensioni di alimentazione.
Con tale scelta, infatti, le tensioni vsd e vsq sono costanti; pertanto, a
regime permanente, tutte le grandezze elettromagnetiche
risulteranno costanti.
Partendo dalla rappresentazione con variabili complesse del
modello circuitale:
particolarizzando il modello del motore per il regime
permanente (cioè, ponendo pari a zero le derivate dei flussi) e
sostituendo le espressioni dei flussi in funzione delle correnti,
si ricava:
in cui s rappresenta lo scorrimento relativo, definito come:
Le precedenti equazioni permettono di ricavare un semplice
schema equivalente monofase del motore asincrono trifase, che
consente di descriverne il comportamento a regime permanente
con alimentazione sinusoidale.
Moltiplicando ambo i membri della equazione relativa ai circuiti
rotorici per 1/s si ottiene:
e, quindi:
Le precedenti equazioni descrivono il comportamento a regime
permanente del circuito rappresentato in figura che, a parte l’assenza
della resistenza (in parallelo ad LM) che tiene conto delle perdite nel
ferro, coincide con il classico circuito monofase equivalente della
macchina asincrona.
Per mettere in evidenza i fenomeni energetici, è conveniente
suddividere la resistenza Rr/s nella somma di due resistenze Rr e
Rr(1-s)/s,
Potenza
trasferita
da elettrica a
meccanica
Riscrivendo con variabili reali il modello del motore
Particolarizzando per il regime permanente
x
x
x
x
sostituendo alle componenti dei flussi le loro espressioni
e scegliendo la posizione iniziale del sistema di riferimento in modo
tale che la componente diretta, Vsd, sia pari al modulo Vs del vettore
rappresentativo della tensione statorica (componente in quadratura,
Vsq nulla), si ottiene il seguente sistema di quattro equazioni:
Risolvendo il sistema si ricava:
essendo:
cioè:
essendo:
Caratteristica statica coppia-velocità
Scorrimento di coppia massima (o di rovesciamento):
Coppia massima:
Dalle espressioni delle componenti della corrente storica
si ricava il modulo
cioè:
essendo:
Caratteristica statica corrente-velocità
Osservando le due caratteristiche statiche, si può notare che,
quando lo scorrimento supera il valore s*, la coppia
elettromagnetica diminuisce mentre la corrente assorbita
aumenta;
non è, quindi, conveniente far funzionare il motore
con valori dello scorrimento maggiori di s*.
Per quanto concerne le potenze si ha:
Il rendimento del motore è, quindi, paria a:
Trascurando la potenza dissipata sulla resistenza statorica si ha:
Caratteristica statica rendimento-velocità
Caratteristica statica completa
Componenti e modulo del flusso rotorico
(verranno riprese in seguito)
Legami corrente statorica - flusso rotorico
Modulo
Angolo tra i due vettori (corrente in anticipo)
Il modello del motore è stato ricavato considerando
una macchina con rotore avvolto o con un rotore a
gabbia esterna.
Quando il motore è alimentato dalla rete, all’atto
dell’inserzione in rete lo scorrimento è pari ad 1; in
tale condizione, se si utilizzasse un motore a gabbia
esterna, si otterrebbe una coppia motrice molto
inferiore a quella di rovesciamento e una corrente
statorica notevolmente superiore a quella nominale del
motore.
Per ovviare a questi inconvenienti, nei motori con
rotore a gabbia destinati ad una alimentazione da
rete, il circuito rotorico viene realizzato in modo tale
che la resistenza rotorica vari al variare dello
scorrimento
(rotore a gabbia profonda o a doppia gabbia)
Caratteristica statica di un motore a doppia gabbia
Le
armoniche
prodotte
dal
dispositivo
di
alimentazione del motore generano vari fenomeni
indesiderati, quali perdite addizionali nel rame e nel
ferro della macchina e coppie di tipo alternativo;
il loro contributo sul valore medio della coppia
elettromagnetica
trascurabile.
risulta,
invece,
del
tutto
Da
quando la frequenza di alimentazione è sufficientemente elevata si
ottiene:
Caratteristica statica coppia-velocità
Caratteristica statica coppia-velocità
Per quanto concerne le perdite nel rame, si può osservare che, mentre
il valore della resistenza del circuito statorico può essere considerato
costante al variare della frequenza delle armoniche, quello del
circuito rotorico aumenta all’aumentare della frequenza, in quanto
l’effetto pelle è molto più pronunciato nel rotore a causa del
maggiore spessore delle barre.
Per quanto concerne le perdite nel ferro, la presenza delle
armoniche crea sostanzialmente un incremento delle perdite
dovute ai fenomeni parassiti.
In generale, l’alimentazione distorta
comporta un incremento complessivo di
perdite, rispetto alle usuali perdite
connesse
ad
una
alimentazione
sinusoidale, inferiore al 10%.
Quando il motore è alimentato mediante un inverter a tensione
impressa, per ottenere un buon comportamento della macchina,
è necessario che:
la forma d’onda della tensione applicata a ciascuna fase non
presenti né subarmoniche né armoniche di ordine pari
di ampiezza apprezzabile;
le tensioni applicate alle tre fasi abbiano lo stesso andamento
temporale e siano sfasate tra loro di un terzo di periodo* .
* In questa situazione, le armoniche di ordine multiplo di 3
non producono alcun effetto sul motore.
Le altre armoniche, generano, invece, delle coppie
alternative di frequenza multipla di 6 volte quella della
tensione di alimentazione.
Una trattazione dettagliata delle armoniche di coppia è riportata
nel testo; ci si limiterà a precisare che, escluso per potenze
alquanto elevate, il contenuto armonico della coppia motrice è
del tutto soddisfacente quando si alimenta il motore con un
inverter a tensione impressa mentre è significativo quando si
alimenta il motore con un inverter a corrente impressa.
Andamento temporale della coppia prodotta da un motore
asincrono alimentato con inverter a corrente impressa.
