LA RELATIVITÀ GENERALE

LA RELATIVITÀ GENERALE
• Come introdurre l’attrazione gravitazionale nella relatività ristretta?
• Einstein decide di ampliare la relatività ristretta scrivendo la relatività
generale che la supera e la completa.
• I sistemi di riferimento inerziali sono “speciali”?
• Massa inerziale e massa gravitazionale: hanno definizioni operative
diverse → sono quindi logicamente distinte.
• L’esperienza mostra che sono sempre direttamente proporzionali.
La relazione tra massa inerziale e
gravitazionale
• Forza di interazione gravitazionale: F=GMgmg/r2
• Secondo principio della dinamica: F=ma (in particolare
per la forza peso F=mig)
• Possiamo ricavare g mettendo in sistema le due forze
• g dipende dal rapporto tra massa gravitazionale e
inerziale di un corpo?
→No, il rapporto vale 1! In una data zona dello spazio
l’accelerazione di gravità è costante, cioè uguale per tutti
i corpi.
Equivalenza tra caduta libera e
assenza di peso
• Esperimento ideale: ascensore in caduta libera. Per un guasto cade
liberamente e noi con esso
• Tutti i corpi cadono con accelerazione g → stessa legge del moto (in
ogni istante hanno la stessa velocità verticale)
• I piedi non premono sul pavimento.
La stessa cosa si osserva all’interno di una navicella in orbita rispetto
alla terra. All’interno della navicella si ha la sensazione di non avere
peso.
→ Nessun esperimento compiuto in un ambiente chiuso (limitato ad
uno spazio ristretto e ad una durata temporale breve) permette di
capire, per chi sta al suo interno, se si trova in un ascensore in caduta
libera o su un’astronave soggetta ad una forza totale nulla.
https://www.youtube.com/watch?v=C8ZWjdP74aA
http://www.ilpost.it/2013/05/02/video-vita-spazio-chris-hadfield/
Equivalenza tra accelerazione e forza peso.
• Fenomeno complementare a quello descritto prima:
• Astronave (lontana da ogni corpo celeste) con accelerazione
costante.
• I corpi al suo interno vengono spinti verso la coda.
Velocità costante
Accelerazione costante →
Forza peso fittizia costante diversa
da zero
→ Nessun esperimento compiuto in un locale chiuso (purché
limitato a uno spazio ristretto e di durata temporale non eccessiva)
permette allo sperimentatore di stabilire se si trova in presenza di
un campo gravitazionale o all’interno di un mezzo di trasporto che
sta accelerando in modo costante.
Es: stazione spaziale che ruota attorno ad un asse.
KUBRICK STANLEY- 2001 Odissea nello spazio …fantascienza!
Principi della relatività generale:
1) Il principio di equivalenza
• → In una zona limitata dello spaziotempo è sempre
possibile scegliere un sistema di riferimento in modo
da simulare l’esistenza di un dato campo
gravitazionale uniforme o, al contrario, in modo da
eliminare l’effetto di una forza di gravità costante.
• (II versione) I sistemi di riferimento in caduta libera in un
campo gravitazionale qualsiasi sono equivalenti
localmente a sistemi di riferimento inerziali In questi
sistemi le leggi della fisica devono avere la stessa forma
che hanno nella relatività ristretta.
2) Il principio di relatività generale
Tutto ciò che accade in un sistema di riferimento
inerziale in cui non agiscono forze avviene, in modo
indistinguibile, in un sistema in caduta libera all’interno di
un campo gravitazionale.
• → Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i
sistemi di riferimento.
L’assioma della costanza della velocità della luce deve
essere abbandonato!!!
Astronave non accelerata:
sistema inerziale
La velocità vettoriale della luce
cambia da punto a punto.
Sistema accelerato rispetto al
primo: traiettoria della luce curva!
Le geometrie non euclidee
• Spazio Euclideo- V postulato: Esiste ed
è unica la parallela condotta da un punto
esterno ad una retta.
• Si possono ottenere nuove teorie
geometriche modificando il quinto
postulato di Euclide
Euclide (367 a.C. ca. - 283 a.C)
Scuola di Atene - Raffaello Sanzio,
(1509-1510)
http://www.isit100.fe.it/~maccaferri.m/geometrie/quinto_postulato.htm
Geometria non euclidea ellittica (introdotta da Riemann)
Retta passante per un punto: linea che è una circonferenza massima, ottenuta
intersecado la sfera con un piano che passa per il centro della sfera.
→ Per P non è possibile condurre nessuna parallela a r.
→ La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto.
Per ogni spazio è possibile definire una proprietà intrinseca : la curvatura.
Curvatura nulla: spazio tridimensionale di Euclide.
Curvatura positiva: spazi con geometria ellittica.
Curvatura negativa: spazi con geometria iperbolica.
La gravità e la curvatura dello spaziotempo
• Secondo Eistein la presenza di masse incurva lo spaziotempo.
• In generale la geometria varia da zona a zona: le parti di
spaziotempo più vicine alle masse hanno curvature più accentuate.
• (Lo spaziotempo di Minkowski è piatto perché in esso non si tiene
conto degli effetti gravitazionali delle masse era adatto a spiegare la
relatività ristretta).
• Le curve di minima lunghezza che uniscono due punti si chiamano
curve geodetiche
• Le particelle che risentono solo della forza di gravità seguono
geodetiche dello spaziotempo “liberamente”
Due punti materiali che si muovono lungo due geodetiche su una
sfera. La loro distanza diminuisce → tra loro agisce una forza
attrattiva o l’avvicinamento è un effetto della geometria dello spazio
in cui esse si muovono?
Modello semplificato: telo elastico modificato da una sfera pesante →
una seconda sfera segue l’inclinazione come se fosse attratta dalla
prima.
Le masse dicono allo spaziotempo come incurvarsi, lo spaziotempo
dice alle masse come muoversi. La gravità è spaziotempo in azione.
Il limite classico
Il nostro pianeta non ha una massa
molto grande rispetto ad altri corpi
celesti → zona di universo quasi piatta
Es: formica sulla mela → segue
spontaneamente le geodetiche.
In un universo quasi piatto la curvatura
dello spaziotempo è sperimentalmente
indistinguibile da quello della forza di
Newton.
La nuova teoria corregge ed estende il campo di validità di quelle
precedenti.
Lo spaziotempo e la luce
• In un sistema non inerziale la luce segue una
traiettoria curvilinea.
• La deflessione gravitazionale della luce
(verifica sperimentale nel 1919 durante una
eclissi! 3 anni dopo la prima pubblicazione
della relatività generale)
Lenti gravitazionali
Un intenso campo gravitazionale è in
grado di deflettere la luce che vi si
propaga.
Croce di Einstein: 4 immagini dello stesso
quasar (radiosorgente quasi stellare)
I buchi neri
• John Wheeler (1968): “è un oggetto la cui forza di gravità è talmente
intensa che nulla può sfuggirgli, nemmeno la luce”.
→ sono invisibili
possono essere studiati attraverso gli
effetti gravitazionali che esercitano su
corpi vicini.
Karl Schwarzschild (1917) dedusse,
dalla relatività generale, le condizioni
matematiche affinché lo spaziotempo
incurvato potesse trattenere
qualunque radiazione
Un salto indietro (capitolo 30!):
Redshift cosmologico
• Conseguenza del moto di allontanamento delle galassie tra loro
e rispetto a noi e dovuto all’effetto Doppler della luce.
1 
f ' f 
1 
Redshift gravitazionale
• Il campo gravitazionale aumenta e diminuisce la velocità delle masse
che si muovono al suo interno → deve agire anche sulla luce che
trasporta energia.
• La luce proveniente da una stella è rilevata sulla terra con uan
frequenza minore di quella emessa → spostamento verso il rosso.
La lucee perde energia “risalendo” il campo della stella. Non potendo
diminuire la velocità perde energia e quindi frequenza =E/h
La dilatazione gravitazionale dei tempi
• Immaginiamo un’onda elettromagnetica come un orologio: i ticchetti
sono i periodi di oscillazione.
• Redshift gravitazionale: gli orologi che si trovano dove la curvatura
dello spaziotempo è più accentuata avanzano più lentamente di
quelli che si trovano dove la curvatura è minore
• Verifica sperimentale: 1971 – 4 aerei di linea percorsero 2 volte il
giro della Terra e persero la sincronizzazione con gli orologi di
controllo 1) dilatazione relativistica dei tempi e 2) diversa frequenza
di funzionamento.
• Sistemi GPS e Galileo → tengono conto della dilatazione
gravitazionale dei tempi (evitando 10 Km di errore al giorno!)
Le onde gravitazionali
• La geometria dello spaziotempo è determinata dalla distribuzione
delle masse presenti
• Se la distribuzione si modifica → la geometria dello spaziotempo
cambia di conseguenza.
• La variazione non è istantanea ma viaggia alla velocità della luce
c.
• La propagazione della variazione della geometria dello
spaziotempo prende il nome di onde gravitazionali.
Antenna Nautilus
Laboratori Nazionali di Frascati
M = 2300 kg; T = 0,1K
Edoardo Amaldi – 1971, ideò un’antenna gravitazionale risonante.
Le onde gravitazionali interagiscono debolmente con la materia.
•
I Ragazzi di via Panisperna, da
sinistra: Oscar D'Agostino, Emilio
Segrè, Edoardo Amaldi, Franco
Rasetti ed Enrico Fermi
•
Amaldi: uno dei promotori
dell’INFN, CERN e ESA
VIRGO - 2003: rilevatore interferometrico di onde
gravitazionali – Càscina (Pisa)
LIGO - 2002: Louisiana e stato di
Washinton
LISA (gigantesco interferometro
costruito da ESA e NASA) verrà lanciato
nel 2017 e lavorerà 5 anni.
Lati del triangolo equilatero: 5 milioni di
kilometri!!
Il centro del triangolo seguirà l’orbita
della Terra