Introduzione storica alla
Meccanica Quantistica
Fedele Lizzi
CTF
Università di Napoli Federico II
La scena inizia all’inizio del secolo
scorso
• Si girava in dirigibile
• Vittorio Emanuele III Re d’Italia
• Inizia il campionato di calcio
La scienza sembrava godere di
ottima salute
• La meccanica di Newton spiegava
efficientemente il moto degli astri e quello
delle mele
• Maxwell ed Hertz ci hanno fatto capire
l’elettromagnetismo e le sue onde
• Clausius, Kelvin, Watt ed altri hanno capito
la termodinamica a tal punto da far
funzionare transatlantici a vapore
Fra onde e particelle si spiega tutta
la natura (più o meno)
• Le particelle hanno una ben definita
posizione, si muovono con velocità
arbitraria in linea retta in assenza di forze,
si urtano fra di loro, soddisfano le tre leggi
di Newton
• Le onde sono estese, si muovono a una
determinata velocità, non si urtano ma
interferiscono
• Le “cose” o sono onde o sono particelle
Michelson afferma (citando
Kelvin):
Il futuro della ricerca è
oltre la sesta cifra
decimale
Del resto Kelvin aveva detto:
• I vettori non sono mai stati di nessuna
utilità per nessuna creatura
• Macchine volanti più pesanti dell’aria
sono impossibili
• I raggi X sono una frode
• La radio non ha futuro
Qualcosa che non funzionava in
effetti c’era…
• Per esempio l’etere (cosa oscilla nelle
onde elettromagnetiche?)
• Cosa brucia nel sole? Qualunque
combustibile noto si sarebbe esaurito in
poche migliaia di anni
• Da dove viene la radioattività?
• E poi c’era il corpo nero…
Raggi X e radioattività erano
stati scoperti da qualche anno
• Roentgen scopre che alcuni tubi a
fluorescenza emettono dei raggi
(elettromagnetici) che possono attraversare i
tessuti
• Becquerel scopre che alcuni materiali
(uranio) emettono dei raggi penetranti, che
hanno solo delle particolari frequenze
• Rutherford e i coniugi Curie scoprono che i
raggi emessi sono talvolta minuscole
particelle di materia
Chill ‘o fatt è niro niro
• Il corpo nero sembra uno degli oggetti più noiosi
della fisica
• Il colore che percepito di un corpo è dato dalle
frequenze della luce visibile che esso riflette
• Alcuni corpi poi possono emettere nel visibile,
per esempio il sole o una lampadina
• Un corpo nero assorbe tutta la radiazione
incidenti senza riflettere niente
Niro niro comm’a cche
• Dal momento che il corpo non può
assorbire energia (riscaldandosi)
indefinitamente, il corpo emetterà
radiazione elettromagnetica, non
necessariamente nel visibile (per cui lo
vediamo nero)
• Tutti i corpi neri (o approssimativamente
tali) sono uguali, ovvero il tipo di
radiazione emessa non dipende dal
corpo ma solo dalla temperatura
Di che “colore” è la radiazione
messa da un corpo nero?
Se la calcoliamo il risultato è
totalmente sbagliato!!!
Cribbio!!!
• Il guaio non è solo che il risultato teorico
non corrisponde al dato sperimentale
• L’area sotto la curva rappresenta l’energia
totale emessa dal corpo
• E nel caso di R&J l’area sotto la curva vale
infinito!
Ipotesi di Planck:
• In un atto di disperazione Max Planck,
nel 1901, fa l’ipotesi che lo scambio di
energia all’interno del corpo nero
avvenga solo per “quanti di energia”
• Ovvero per multipli di una quantità
definita:
= h
h=0.00000000000000000000000000000000006626 J s
• Una quantità molto piccola per la fisica
macroscopica
• Ma i cui effetti si fanno sentire
• Sin qui tutto bene, mica abbiamo fatto la
rivoluzione!
• Eccetto che le stranezze non si fermano
qui…
L’EFFETTO
FOTOELETTRICO:
16
Di per se l’effetto fotoelettrico non è
sorprendente
• Nel metallo ci sono elettroni liberi trattenuti
da una barriera di potenziale
• La luce è fatta di onde che trasportano
energia
• La luce arriva sul metallo, gli elettroni
assorbono energia, si “muovono più
veloci” e raggiunta l’energia necessaria
sfuggono dal metallo
Facciamo i calcoli:
• E di nuovo non funziona!
• Il comportamento degli elettroni è solo
compatibile con l’ipotesi che la luce
viaggi nel vuoto non come onde, ma
come particelle!
• Con una energia proporzionale a…
• E= h
Effetto Compton
• Ormai ci abbiamo preso gusto:
Di nuovo funziona solo solo le la
luce viaggia in quanti di energia:
E= h
Onde o particelle?
• La differenza fra le
onde e le particelle e’
che le onde si
sommano e possono
anche interferire,
ovvero la somma di
due onde puo’ essere
un oggetto assai
complicato
La somma di onde puo’ addirittura
dare zero
ASen(t ) ASen(t )
2 ACos
2
Sin (t
2
)
E per certi valori di φ questa espressione puo’ essere
0 o la somma dei due coseni
La luce e’ fatta di onde che
interferiscono
• Il problema e’ che si vede che interferiscono gli
elettroni pure!!
• E questo non ce lo aspettavamo
La situazione si è complicata
• La radiazione elettromagnetica, che è fatta
di onde si comporta come particelle
• Gli elettroni che sono particelle si
comportano da onde
• Questo si chiama dualismo onda-particella
• Che è una forma pomposa per dire che:
• Non abbiamo capito un cribbio!
In effetti ancor prima
dell’esperimento della diffrazione
degli elettroni:
• Nel 1924 il giovane aristocratico
francese Louis-Victor-Pierre-Raymond,
7eme duc de Broglie ha una buona
idea…
• Ipotizza che se la luce ha una natura
corpuscolare allora anche le particelle
possono avere una natura ondulatoria
• Con una lunghezza d’onda: λ = h/q =
h/mv
Un successo della fisica teorica
• L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima
degli esperimenti di Thomson e DavissonGermer che provano la diffrazione degli
elettroni
• Quella che inizia a farsi strada è l’ipotesi
che la materia e la radiazione a piccole
distanze si comporti in maniera non
descrivibile dalla fisica classica
Il posto in cui guardare sono gli
atomi
• Da non molto tempo si era iniziato a
guardare “dentro” gli atomi attraverso gli
esperimenti di Rutherford
• Gli atomi sembravano quindi composti da
un nucleo centrale che conteneva una
carica positiva e praticamente tutta la
massa dell’atomo
Modello atomico di Rutherford
Il modello planetario
• Il modello sembra riprodurre in piccolo le
caratteristiche di un sistema solare, ma ci
sono anche molte differenze
• I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni
hanno rigorosamente tutti la stessa massa
e la stessa carica
• I pianeti si attraggono fra di loro, gli
elettroni si respingono
• Il rapporto fra la massa del nucleo e la
massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il
numero atomico, il rapporto fra la massa
del sole e la massa di Giove e’ circa mille,
ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e
Sole/Terra e’ un milione
• Il rapporto fra raggio del sole e orbita di
Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto
fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo
La differenza fondamentale e’
quella fra forza elettromagnetica e
forza gravitazionale
• C’è un fondamentale differenza fra la forza
gravitazionale e la forza elettromagnetica
• Una carica in movimento irraggia, ovvero emette
radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non
esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la
componente magnetica
• Emettendo radiazione perde energia, rallenta,
l’orbita si fa più stretta…
• Cade sul nucleo! In miliardesimi di miliardesimi
di secondo!
Le righe spettrali
• In effetti gli elettroni all’interno degli atomi
possono emettere radiazione e cambiare
la loro orbita
• Ma non lo fanno in maniera continua
(rallentando progressivamente), invece
saltano da una orbita all’altra emettendo
un “quanto” di energia.
• Quello che si vede sono le righe spettrali
Per un atomo di idrogeno si ha:
Chi non salta un elettrone non è
• Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con
un certo “spettro”
• D’altro canto, se mandiamo della radiazione
contenente tutte le frequenze su un gas,
dall’altra parte vedremo che certe frequenze
mancano, sono state assorbite
• Dato che le frequenze sono le stesse, la
spiegazione è che gli elettroni saltano da un
orbita discreta all’altra.
Gli spettri buoni
• Le righe spettrali identificano in maniera
univoca gli elementi
• Le frequenze presenti seguono una certa
regolarità, ovvero
1
1
cRH ( 2 2 )
n
m
• ConRH 1.110 m
7
1
L’atomo di Bohr
• La struttura di atomo proposta da Bohr
è simile a quella del suo professore
Rutherford
• Ma con una differenza cruciale:
• Le orbite degli elettroni sono
quantizzate: il loro momento angolare
deve essere un multiplo di…
• h/2π
La quantizzazione delle onde
• Bohr in effetti stava usando i principi della
meccanica ondulatoria dei de Broglie per
delle onde che non si propagano ma sono
stazionarie
• Se io ho una corda tesa con le estremita’
fisse (come una corda di chitarra) solo
certe frequenze sono possibili
Gli elettroni “vibrano”
• Quelle delle corde vibranti e’ solo una
analogia, che serve a capire come gli
elettroni, che sono al tempo stesso onde e
particelle, all’interno dell’atomo possano
avere solo delle ben determinate
frequenze e lunghezze d’onda
• In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con
un semplice calcolo, a spiegare gli spettri
delle particelle
Stiamo iniziando a capire qualcosa
• Il fatto che la quantita’
4
me e
2
8 0 h
Sia composta tutta da grandezze altrimenti
note ci permette di calcolare la costante
RH con un ottimo accordo con i dati
Ma abbiamo ancora tanta strada da
percorrere
• Bohr introdusse il principio di complementarietà
secondo cui gli aspetti ondulatori e quelli
particellari sono complementari, ovvero quando
ne riveliamo uno necessariamente nascondiamo
l’altro
• Questa visione è in qualche modo superata, gli
elettroni si comportano come elettroni il 100%
delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche
• Siamo noi che per spiegarli talvolta li
equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle
onde del mare o alle onde luminose
Ma che onde sono le particelle?
• Intorno al 1925 si fa un grande
passo in avanti con la descrizione
dell’equazione che descrive
l’andamento ondulatorio della
materia
• L’equazione di Schrödinger
descrive il comportamento
quantistico della materia
Funzione d’onda
• Per esempio l’onda della corda di chitarra
è descritta dalla funzione
Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t)
Mentre un’onda che si propaga è descritta
da
Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)
Equazioni differenziali
• L’equazione che la Ψ della corda di
chitarra deve soddisfare è:
2
v
2
2
t
x
2
2
• E i seni e i coseni hanno la caratteristica
che la loro derivata seconda è uguale alla
funzione originale
Equazione di Schrödinger
i
V
(
x
)
2
t
2m x
2
2
L’andamento delle onde di materia descritte da
questa equazione ha alcune caratteristiche in
comune con le onde di prima, ma anche molte
differenze
Onde di materia
• Tanto per cominciare la presenza della
unità immaginaria implica che la funzione
di onda Ψ e’ necessariamente una
quantita’ complessa
• La presenza della funzione V(x) descrive
le forze classiche che agiscono sulla
particella/onda
• Anche senza forze la forma delle onde si
deforma
La Meccanica quantistica
• Con l’equazione di Schrödinger la meccanica
quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria
compiuta
• In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri
di vari atomi e di molte molecole
• Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i
vari esperimenti
• Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione
elettromagnetica (particelle senza massa) e la
relativita’, ma i passi in avanti sono clamorosi
Resta da capire una cosa:
• Onde di che?
• Cosa oscilla nell’equazione
delle onde di materia?
A caso ma non tanto
• Se si osserva l’interferenza di elettroni si
vede che questi arrivano uno alla volta
(sono particelle)
• E sembra che arrivino in posti casuali
• Ma se si aspetta allora la figura di
interferenza emerge, some somma delle
posizioni
Questa e’ una distribuzione di probabilita’
Questa invece e’ la distribuzione di probabilita’ della
misura di interferenza (di neutroni questa volta)
Dove arriva la particella?
• Noi non sappiamo dove arriva la particella,
• Sappiamo solo che se aspettiamo a lungo
vedremo la figura di interferenza
• Lo stesso avviene per gli atomi che
decadono emettendo i raggi che formano
lo spettro
• Non sappiamo quale atomo decade, ma
sappiamo che dopo un certo tempo la
meta’ degli atomi sono decaduti
Ma dove e’ la particella
• Il fatto che la luce sia fatta di onde e al
tempo stesso di fotoni ha conseguenze
importanti per la misura
• Principio di indeterminazione di
Heisenberg:
• E’ impossibile misurare al tempo stesso
posizione e velocita’ di una particella
Microscopio di Heisenberg
• Per “vedere” particella
dobbiamo illuminarla
• Ma per illuminarla
dobbiamo mandarci
su un fotone
• E per vederla con
precisione dobbiamo
mandare un fotone
“piccolo”
Δx Δp ≥ h/4π
• Il problema e’ che per misurare la posizione con
precisione devo prendere un fotone con
lunghezze d’onda piccola
• Ma λ=c/. Quindi se λ e’ piccolo e’ grande
• Ma l’energia E=h
• Per cui per misurare con precisione la posizione
devo mandare un bel fotone molto energetico
• Ma questo da una bella sberla alla particella, e
quindi non ne so piu’ la velocita’
L’interpretazione di Copenaghen
• Alla fine degli anni 20 vari fisici, Bohr,
Born, Heisenberg, Pauli... proposero
che le onde di materia dovessero
essere interpretate come onde di
probabilita’
• Piu’ precisamente il modulo quadro
della funzione d’onda e’ la densita’ di
probabilita’ di trovare la particella in un
dato punto
Onde di probabilita’
• La materia e’ fatta di queste onde
• E la somma di onde e’ diversa
C’e’ del marcio in Danimarca?
• Questa delle onde di probabilita’ e’ una
idea che all’inizio non fu accettata,
soprattutto da parte dei fisici piu’ anziani
• “Dio non gioca a dadi con il mondo”
• E perche’ mai no?
• Certo l’interpretazione di Copenaghen
lascia perplessi, ma sembra funzionare
Grandi successi
• Soprattutto perche’ la meccanica
quantistica ha avuto degli indubbi
grandissimi successi
• Tutta la fisica atomica (bombe, energia,
risonanza magnetica)
• Tutta la fisica dello stato solido (e tutta
l’elettronica che ci circonda)
• La teoria delle interazioni fondamentali
MQ relativistica spin
• La meccanica quantistica relativistica e’
stata sviluppata da Dirac, e predice lo
spin dell’elettrone e il fatto che non ci
possono due elettroni nello stesso
stato
• Ma ha addirittura predetto qualcosa che
neanche la fantascienza aveva
predetto:
• ANTIMATERIA!
Andar per campi
• Un migliorato accordo con gli esperimenti
si ottiene con la teoria dei campi
• Le onde divengono dei campi quantistici
regolati da equazioni che generalizzano
quella di Schrodinger
• Ma che hanno degli infiniti che bisogna
imparare a rinormalizzare, ovvero a
cancellare ad arte
E viviamo felici e scontenti…
• Questo ha portato alla formulazione del
dell’attuale modello standard delle
interazioni: forte, debole e
elettromagnatica
• L’unico elemento che manca, il bosone
di Higgs lo stanno acchiappando…
• Il futuro della fisica e’ di nuovo oltre la
sesta cifra decimale?
Un’altra frontiera
• Purtroppo la cancellazione degli infiniti ha
un problema
• Non funziona se lo spaziotempo e’ curvo
• Quindi non funziona con la relativita’
generale
• Quindi dobbiamo unificare Teoria dei
Campi e Gravitazione:
Cosa che starei facendo Se
non dovessi fare lezione al
CTF
Comunque mi sono divertito,
spero di essere stato utile e in
bocca al lupo per l’esame!
