Corso di Fisica
Lezione 4
La dinamica
Lo scopo della dinamica
La dinamica si occupa di studiare perché e come si
muovono i corpi.
Parlare di movimento di un corpo significa che il corpo
stesso cambia la sua posizione nel tempo.
Il primo problema è allora quello di capire come si
esprime la
posizione
e la sua variabilità nel tempo, ovvero la
velocità
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Il sistema di riferimento
Iniziamo col considerare un sistema di tre assi con le
proprietà di essere cartesiani ed ortogonali
Ricordiamo
qui
che
ortogonali significa che i tre
assi formano, tra di loro,
sempre un angolo retto
mentre cartesiani indica
che sui tre assi si utilizza la
stessa unità di misura.
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La posizione di un punto
Consideriamo un generico punto P nello spazio. La sua
posizione può essere espressa grazie alle sue proiezioni
sui tre assi. Scriveremo allora
P = (xP , yP , zP)
e chiameremo coordinate le
tre grandezze xP, yP e zP.
Possiamo osservare quindi
che la posizione di un
punto è un vettore le cui
componenti sono appunto i
tre valori xP , yP e zP.
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Il punto materiale
Quello che abbiamo fatto è determinare la posizione di un
punto, che geometricamente sappiamo avere una
dimensione nulla.
Ma noi siamo interessati ad analizzare oggetti reali che,
invece, hanno dimensioni non nulla.
Per iniziare conviene avere a che fare con i sistemi più
semplici possibili, ovvero quelli le cui dimensioni sono
molto piccole, almeno rispetto alle altre distanze in gioco.
Parleremo, in questo caso, di
punti materiali
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La misura della posizione
La posizione di un corpo è, come tutte le grandezze
fisiche, una grandezza misurabile di tipo lunghezza e
pertanto per essa occorre definire una unità di misura.
Nel sistema MKS l’unità di misura è il
metro (m)
definito inizialmente come un sottomultiplo della
lunghezza di un meridiano terrestre, attualmente viene
determinato come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto
in un tempo di 1/299 792 458 di secondo.
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Altre unità di misura della lunghezza
Oltre l’unità di misura ufficiale del sistema MKS esistono
altre unità di misura spesso usate.
Qui di seguito ne indichiamo alcune con i relativi fattori di
conversione
inch (pollice)
1", in
foot (piede)
1', ft
yard (iarda)
yd
miglio marino
naut mi
Miglio terrestre US mi
ångström
Å
1 in = 2.54 cm
1 ft = 12 in = 0.3048 m
1 yd = 3 ft = 0.9144 m
1 naut mi = 1.853 km
1 mi = 1.609 km
1 Å = 10-10 m
anno luce
parsec
1 a.l. ≈ 9.461×1012 m
1 pc ≈ 3.0857×1016 m ≈ 3.2616 a.l
a.l.
pc
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La posizione come vettore
Per quanto detto precedentemente, preso un punto
materiale ed un particolare sistema di riferimento, si può
determinare la sua posizione, o per meglio dire, il suo
vettore posizione
s x, y, z
Vediamo che di regola il vettore posizione è
tridimensionale ma nel seguito, per semplificare la
trattazione, faremo uso di casi particolari a minor numero
di dimensioni, cioè a due od addirittura ad una sola
dimensione.
Ciò a semplificare la rappresentazione analitica e grafica.
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La velocità media
Prendiamo in considerazione un punto materiale ed
osserviamo la sua variazione di posizione al variare del
tempo (caso unidimensionale).
Dall’esperienza comune sappiamo che misurando lo
spazio percorso in un determinato intervallo di tempo si
può calcolare la velocità
velocità media
spazio percorso
tempo impiegato
Notiamo però che questa velocità rappresenta solo il suo
valore medio durante lo specifico intervallo di tempo:
x
v media
t
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La velocità istantanea
Possiamo ridurre l’intervallo di tempo entro cui misuriamo
lo spazio percorso ma in ogni caso otteniamo sempre un
valore della velocità media.
Per determinare il valore della velocità istantanea
dovremmo ridurre l’intervallo di tempo sino a farlo divenire
nullo ma allora anche lo spazio percorso diverrebbe nullo
e l’operazione di divisione
spazio percorso 0
velocità istantanea
tempo impiegato
0
non si potrebbe più fare assumendo esso un valore
indefinito.
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La velocità media graficamente
Per risolvere il problema osserviamolo graficamente.
Su un sistema di due assi ortogonali indichiamo il tempo e
lo spazio.
Calcolare la velocità media
significa
determinare
la
pendenza della retta secante
alla curva:
x
vmedia
tan
t
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La velocità istantanea graficamente
Quando facciamo tendere i due punti di intersezione della
secante ad uno solo la secante stessa si trasforma, per
definizione, nella tangente.
Di conseguenza possiamo
scrivere che
x
vistantanea lim
tan
t 0 t
Con linguaggio matematico
diremo di aver determinato
la derivata della posizione
rispetto al tempo.
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La velocità di un corpo
Possiamo ora affermare che
La velocità di un punto materiale è definita come la
derivata prima della posizione rispetto al tempo
dx
v
dt
Per calcolare questa velocità possiamo far uso delle
proprietà matematiche dell’operatore derivata oppure, nei
casi più semplici, possiamo utilizzare l’interpretazione
geometrica e pertanto determinare la pendenza del
grafico orario, ovvero della curva che rappresenta la
variazione della posizione al variare del tempo.
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Calcolo della velocità di un corpo fermo
Consideriamo un corpo fermo, ovvero tale che la sua
posizione non varia al variare del tempo:
xt x0 costante
In questo caso il grafico orario
è rappresentato da una retta
orizzontale e la tangente in
qualunque suo punto è la
curva stessa, inclinata di un
angolo 0 rispetto all’asse del
tempo. Di conseguenza
vt 0
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Moto a velocità costante
Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in
maniera costante al variare del tempo:
xt x0 k t
In questo caso il grafico orario
è rappresentato da una retta
inclinata e la tangente in
qualunque suo punto è la
curva stessa, con pendenza k
rispetto all’asse del tempo. Di
conseguenza
vt v 0 k
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Moto rettilineo uniforme
Osserviamo ora alcune proprietà del moto appena
considerato. L’equazione del moto tridimensionale è
x t x0 v x t
y t y0 v y t
z t z0 vz t
Cambiamo ora il sistema di riferimento facendo in modo
che il vettore velocità del corpo coincida con uno dei tre
assi. Risulterà allora
v v ,0,0
L’equazione oraria diviene allora
xt x0 v t
yt y0
zt z0
e di conseguenza il moto avviene solo lungo l’asse x. Si
dice che il corpo di muove di moto rettilineo uniforme
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Moto rettilineo uniformemente accelerato
Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in
maniera costantemente crescente al variare del tempo:
xt x0 k t h t 2
In questo caso il grafico orario è rappresentato da una
curva (una parabola) e determinare graficamente la
tangente non è semplice: si deve obbligatoriamente far
uso delle regole matematiche per la determinazione della
derivata.
Si ottiene:
vt k 2 h t v0 2 a t
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Accelerazione
Così come dalla posizione di un corpo abbiamo
determinato la sua velocità, possiamo ricavare, a partire
dalla velocità, una nuova grandezza chiamata
accelerazione
Che risulta quindi essere definita come la derivata della
velocità rispetto al tempo
v dv
a lim
t 0 t
dt
od anche come la derivata seconda della posizione
rispetto al tempo
dv d 2 x
a
2
dt dt
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Causa del moto
Iniziamo col considerare un corpo poggiato su un piano
orizzontale in movimento con una determinata velocità
iniziale.
Possiamo notare che lasciato a se stesso il corpo più o
meno lentamente rallenta, sino a fermarsi.
Se però levighiamo sia il piano che il corpo osserviamo
che il rallentamento diminuisce ed addirittura, se usiamo
un piano di ghiaccio secco (anidride carbonica ghiacciata)
ed un corpo abbastanza leggero, il rallentamento del
corpo diviene estremamente lento sino a poter apparire
addirittura trascurabile.
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L’enunciato di Newton
Possiamo allora dedurre che il rallentamento non sia una
proprietà del moto ma piuttosto dell’interazione tra il corpo
ed il piano su cui esso è poggiato.
Se eliminassimo del tutto questa interazione accadrebbe
allora che
Un corpo su cui non agisce alcuna azione esterna o sta
fermo o si muove a velocità costante
Questo risultato costituisce il contenuto del primo principio
della dinamica o principio d’inerzia, come enunciato da
Newton.
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Il primo principio della dinamica
Nell’enunciato di Newton manca del tutto il sistema di
riferimento rispetto cui sono misurate le grandezze per cui
oggi si considera un enunciato leggermente più
complesso:
Primo principio della dinamica:
Il sistema di riferimento nel quale un corpo
non soggetto ad azioni esterne o sta fermo
o si muove di moto rettilineo uniforme viene
detto sistema di riferimento inerziale
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Il sistema di riferimento inerziale
Come abbiamo visto il primo principio della dinamica
viene utilizzato per definire un particolare sistema di
riferimento detto inerziale.
Il riferimento inerziale per eccellenza viene rappresentato
dal cosiddetto sistema delle stelle fisse.
Per costruirlo consideriamo tre stelle nel cielo, tra quelle
che appaiono fisse nelle loro posizioni stellari e attraverso
esse facciamo passare tre assi tra di loro perpendicolari.
Il sistema così costituito è un sistema di riferimento
inerziale.
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Altri sistemi di riferimento inerziale
Per gli usi più comuni il sistema delle stelle fisse è
scomodo da usare e pertanto diviene interessante vedere
se ne esistono altri.
Consideriamo un sistema di riferimento (che indicheremo
con le lettere greche Wxhz) che sia fermo o si muova di
moto rettilineo uniforme rispetto al sistema delle stelle
fisse. Per passare da un riferimento all’altro abbiamo:
x P xO Ox t
hP hO Oh t
z z t
O
Oz
P
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Trasformazioni galileane
Per gli usi più comuni il sistema delle stelle fisse è
scomodo da usare e pertanto diviene interessante vedere
se ne esistono altri.
Consideriamo un sistema di riferimento (che indicheremo
con le lettere greche Wxhz) che sia fermo o si muova di
moto rettilineo uniforme rispetto al sistema delle stelle
fisse. Per passare da un riferimento all’altro abbiamo:
xO t xO Ox t
hO t hO Oh t
z t z t
O
Oz
O
dette Trasformazioni galileane
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Moto di un punto in un altro riferimento
Consideriamo ora un corpo P che, non essendo
sottoposto a forze, o sta fermo o si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto al sistema latino (inerziale)
x P x0 v x t
y P y0 v y t
z z v t
0
z
P
e quindi rispetto al sistema greco
x P t xO Ox t x0 v x t xO x0 Ox v x t
hP t hO Oh t y0 v y t hO y0 Oh v y t
z t z t z v t z z v t
O
Oz
0
z
O
0
Oz
z
P
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Moto di un punto in un altro riferimento
Quest’ultima formula si può scrivere come
x P t x P Px t
hP t hP Ph t
z t z t
P
Pz
P
E di conseguenza il punto P sta fermo o si muove di moto
rettilineo uniforme anche rispetto al sistema greco che, in
base alla definizione, è pertanto anch’esso un sistema di
riferimento inerziale.
Possiamo allora dire che:
Un riferimento che sta fermo o si muove di moto rettilineo
uniforme rispetto ad un riferimento inerziale è anch’esso
un sistema di riferimento inerziale.
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Il sistema di riferimento del laboratorio
Il sistema di riferimento più semplice da utilizzare e quindi
quello che comunemente si utilizza è il cosiddetto
Sistema di riferimento del laboratorio
Questo sistema di riferimento è costruito utilizzando tre assi
solidali con il locale nel quale si sviluppa l’esperimento.
Per costruzione questo riferimento è solidale con la Terra e
pertanto ruota rispetto a quello delle stelle fisse non essendo
pertanto un riferimento inerziale.
Se però si tratta di fenomeni che durano al massimo qualche
minuto è possibile trascurare la rotazione della Terra e quindi il
sistema del laboratorio diviene approssimativamente inerziale.
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La definizione di forza
Il problema che ora di dobbiamo porre è quello di capire cosa
accade quando sul corpo viene esercitata una azione esterna.
Dapprima iniziamo col capire cosa intendiamo per azione
esterna.
Consideriamo un corpo tenuto fermo da un vincolo ed
esercitiamo su di esso una azione. Possiamo osservare che in
questo caso il corpo inizia a deformarsi e possiamo allora
definire una nuova grandezza fisica:
La forza è l’ente fisico che deforma i corpi
Il vantaggio di questa definizione, oltre a chiarire in maniera
univoca cosa sia una forza, è che essa fornisce direttamente
uno strumento per misurare l’intensità della forza
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La misura della forza
Consideriamo un corpo ed applichiamo su di esso una forza
misurando la deformazione da esso subita. Risulta che
F = F(x)
dove x è la deformazione ed F la forza deformante.
Possiamo allora prendere un corpo e stabilire su di esso una
scala di misura della deformazione da cui deduciamo la misura
della forza.
Nel sistema MKS l’unità di misura della forza è il
newton (N)
Nel sistema tecnico, invece, l’unità di misura della forza è il
kilogrammo (kg)
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La causa della variazione di stato di moto
Consideriamo un corpo tenuto fermo da un vincolo ed
esercitiamo su di esso una forza. Sappiamo che, per
definizione di forza, il corpo si deforma
Possiamo però notare che se eliminiamo il vincolo il corpo
inizia a muoversi, ovvero varia il suo stato di moto, e che ciò
accade qualunque sia il tipo di azione esercitato, purchè
appartenente alla categoria delle grandezze fisiche che
deformano un corpo.
Accade inoltre che l’applicazione di una forza su un corpo non
vincolato è l’unico modo di mettere in moto il corpo stesso.
Possiamo concludere affermando che la
forza è la causa della variazione di stato di moto del corpo
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Il secondo principio della dinamica
Possiamo ora enunciare il
Secondo principio della dinamica:
In un sistema di riferimento inerziale un
corpo soggetto ad una forza si muoverà
con un’accelerazione proporzionale alla
forza stessa. Il coefficiente di
proporzionalità prende il nome di massa:
F=ma
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Il terzo principio della dinamica
Enunciamo infine il
Terzo principio della dinamica:
Se un corpo A esercita una forza su un
corpo B allora questo corpo B eserciterà sul
corpo A una forza di uguale intensità e
direzione ma verso opposto
FAB = - FBA
Questo principio viene anche detto di azione e reazione
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Il problema fondamentale della dinamica
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La soluzione generale della dinamica
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La forza peso
Una delle forze più comuni con le quali si ha a che fare è la
forza peso, ovvero la forza che agisce su ogni corpo dotato di
massa a causa della sua interazione con la Terra.
In formula si scrive
F=mg
dove con g si indica una costante del valore di
g = 9.81 m/s2
e che prende il nome di accelerazione di gravità.
La direzione di questa forza è, per definizione, la verticale ed è
sempre diretta verso il basso.
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La variabilità della forza peso
Se si considera un corpo particolare e si va a misurare la forza
peso agente su di esso in vari punti della Terra si osserva che
essa non è costante ma varia leggermente, ad esempio
diminuisce leggermente quando si sale di quota.
Ciò accade perché l’accelerazione di gravità non è una
costante ma cambia da punto a punto a causa della struttura
irregolare della Terra, sia in forma che in composizione.
Vedremo successivamente che la forza peso non è altro che un
caso particolare della forza di attrazione gravitazionale,
nell’approssimazione detta terrestre, ovvero in cui ci si limita ad
analizzare un piccolo volume intorno alla nostra posizione.
Nella stessa approssimazione la superfice della terra può
essere considerata piana.
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Moto di un corpo soggetto a forza costante
Iniziamo col considerare un moto abbastanza semplice.
Supponiamo di avere un corpo soggetto ad una forza costante,
ad esempio la forza peso.
Per analizzare il fenomeno consideriamo un sistema di assi
tale che i due vettori velocità iniziale e forza giacciano nel piano
xy.
Il terzo asse del sistema di
riferimento diviene allora inutile
poiché il moto si svolge solo nel
piano xy e può pertanto essere
rappresentato
in
due
sole
dimensioni.
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Velocità per corpi soggetti a forza costante
Definiamo pertanto i vettori
Avendo determinato le accelerazioni iniziamo col ricavare le
velocità:
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Posizione per corpi soggetti a forza costante
E di conseguenza le equazioni orarie sono
Possiamo concludere che un corpo su cui agisce una forza
costante si muove, rispetto ad un riferimento inerziale, di un
moto la cui traiettoria è costituita da una parabola.
Si parla in questo caso di un moto uniformemente accelerato.
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