Il problema del dizionario
Oggetto
key
chiave
…
…
…
…
dati “satellite”
x = puntatore all’oggetto
Dizionario = insieme dinamico di oggetti che consente di
effettuare le operazioni di ricerca, inserimento,
cancellazione.
Search(S,k) – dato un insieme S ed un valore chiave k
restituisce un puntatore x ad un elemento in S tale che
key[x] = k
Insert(S,x) – inserisce in S l’elemento puntato da x
Delete(S,k) - rimuove da S l’oggetto con chiave k
Ci chiediamo qual è la migliore realizzazione possibile per
un dizionario.
Esempio
Dizionario per la gestione del corso di algoritmi
Nome
(chiave)
Bravino
Lasfanga
Svogliatelli
Secchioni
Modesto
…
Voto Parziale
(dati satellite)
23
21
15
30
9
Metodo più semplice array non ordinato
In questo caso:
Insert
Search
Delete
costa O(1) - inserisco dopo Modesto
costa O(n) – devo scorrere la tabella
costa O(n) - delete = search + trasferimento
Possiamo ridurre il tempo di esecuzione della operazione
di ricerca?
Il problema della ricerca di un elemento in un array non
ordinato ha delimitazione inferiore (n)
INFATTI
Ogni algoritmo deve, nel caso peggiore, guardare tutti
gli elementi dell’insieme per accertarsi o meno della
presenza dell’elemento cercato.
L’operazione di ricerca costa meno in un array ordinato.
Posso usare il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi
La ricerca per dimezzamenti successivi ha un costo
O(log(n)). Posso fare meglio?
NO!
Ogni algoritmo per la ricerca di un elemento in un insieme
di n elementi richiede (log(n)) confronti.
Infatti:
- Ogni algoritmo deve restituire la posizione dell’elemento
tra le n possibili;
- Ad ogni algoritmo posso associare un albero di decisione;
- L’albero di decisione deve avere n foglie;
- L’altezza dell’albero fornisce un lower bound alla
complessità di un generico algoritmo;
- Il numero di foglie di un albero di altezza h è al più 2h
Quindi:
n < 2h h > log2(n)
Per un generico algoritmo
T(n) = ( log2(n))
Il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi è
ottimale.
Gestione del dizionario tramite array ordinato
Search – O(log(n))
Insert – O(n)
Ho bisogno di:
O(log(n)) confronti per trovare la giusta
posizione in cui inserire l’elemento
O(n) trasferimenti per mantenere l’array
ordinato
(Ricorda che O(n) + O(log(n)) = O(n))
Delete - O(n) (come per Insert)
E con le LISTE?
Lista non Ordinata
Search – O(n)
Insert – O(1)
Delete - O(n)
Lista Ordinata
Search – O(n) Costerebbe comunque n (non posso fare
dim. successivi)
Insert – O(n) Devo mantenere ordinata la lista
Delete - O(n)
Ognuno dei 4 metodi banali
costa O(n). Voglio fare meglio…
Alberi binari di ricerca (ABR)
key
chiave
p
left
right
Nodo
x = puntatore al nodo
Albero binario
insieme di nodi (record) caratterizzato da quattro campi:
key[x] (chiave),
p[x] (puntatore al padre),
left[x] (puntatore al figlio sinistro),
right[x] (puntatore al figlio destro).
root[T] Puntatore alla radice dell’albero
x = puntatore nodo
left[x] = NIL (il nodo non ha figlio sinistro)
right[x] = NIL (il nodo non ha figlio destro)
Un albero binario di ricerca (ABR) è una albero binario in cui le
chiavi dei vari nodi soddisfano la seguente proprietà:
PROPRIETA’ dell’ABR
Sia x un nodo generico di un ABR.
Se y è un nodo del sotto-albero sinistro di x allora:
key[y] < key[x]
Se y è un nodo del sotto-albero destro di x allora:
key[y] > key[x]
Alberi binari di ricerca
Ordinamento
decrescente
15
Ordinamento
crescente
6
3
18
7
17
20
massimo
2
13
4
minimo
9
Visita di un ABR
Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il sottoalbero sinistro di x, poi il nodo x, poi il sotto-albero destro.
Inorder-tree-walk(x)
If (x NIL)
then Inorder-tree-walk(left[x])
stampa key[x]
Inorder-tree-walk(right[x])
Proprietà: La visita in ordine simmetrico di un ABR stampa i
nodi dell’ABR in ordine crescente rispetto alla chiave!
Verifica di correttezza – Supponiamo,per semplicità, che
l’albero sia completo. Indichiamo con h l’altezza dell’albero.
Vogliamo mostrare che Inorder-tree-walk(x) restituisce la
sequenza ordinata
Per induzione sull’altezza dell’ABR: h=1
root[T]
Left[root(T)]
NIL
NIL
right[root(T)]
NIL
NIL
key[left[root[T]]] < key[root[T]] < key[right[root[T]]]
Verifica correttezza (continua …)
h = generico (ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1)
root[T]
Left[root(T)]
Albero di altezza h-1. Tutti
i suoi elementi sono minori o
uguali della radice
right[root(T)]
Albero di altezza h-1. Tutti
i suoi elementi sono
maggiori o uguali della
radice
Analisi complessità
La complessità della procedura considerata è T(n) = (n).
Matematicamente ……
T(n) = T(n’) + T(n’’) + c
con n’+n’’=n-1
Intuitivamente ……
La procedura è chiamata un numero di volte pari al numero di
nodi dell’albero (e ad ogni chiamata effettua un numero
costante di operazioni).
Esempio
15
6
3
18
7
17
20
massimo
2
13
4
minimo
9
