Backtracking
Lezione n°13
Prof.ssa Rossella Petreschi
Lezione del 21 /11/ 2011 del
Corso di Algoritmi e Strutture Dati
Riferimenti:
capitolo 11 del testo Anany Levitin “The design and analysis of algorithms”
Edizioni: Addison Wesley
paragrafo 2.2.1 del testo Ausiello,Petreschi “L’Informatica Invisibile”
Edizioni: Mondadori Sapienza
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Il metodo
Quando si applica:
• Ricercare un insieme di soluzioni
in genere la soluzione è esprimibile come t-pla (x1,x2,…xn) con xi in un insieme finito Si
• Ricercare una soluzione ottima soddisfacente alcuni vincoli
ovvero massimizare (o minimizzare) una funzione P (x1,x2,…xn)
Esempio:
• Problema: ordinare un vettore a di n interi
• Soluzione: esprimibile come t-pla (xi è l’indice in a dell’i-esimo elemento più piccolo)
• La funzione P è la diseguaglianza a(xi) ≤ a(xi+1), 1≤i<n
L’ordinamento non è un problema che si risolve normalmente con il backtracking,
ma è un tipico problema la cui soluzione è una t-pla.
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Forza Bruta vs Backtrack
Forza Bruta:
• Genera tutte le t-ple m1,m2,…mk
• Per ogni t-pla verifica se soddisfa la funzione P (x1,x2,…xn)
• Salva le t-ple che rappresentano la soluzione ottima
Backtrack:
• Costruisce i vettori soluzione una componente alla volta
• All’i-esimo passo, confronta il sottovettore v= (x1,x2,…xi) con la funzione
parziale P (x1,x2,…xi) per vedere se c’è una possibilità che v diventi sottovettore di
una soluzione ottima.Se questa possibilità non c’è interrompi la costruzione di
quell’ipotesi di soluzione.
Backtrack riduce il numero di test da fare per trovare le soluzioni ottime.
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Vincoli
Vincoli espiciti:
Sono regole che restringono xi a prendere valori in un intervallo
limitato e dipendono dalla particolare istanza I del problema
considerato. Lo spazio delle soluzioni per I è costituito da tutte le t-ple
che soddisfano i vincoli espliciti
Esempi: xi ≤ 0; li ≤ xi≤ ri ; xi in Si ={0.1}
Vincoli impliciti:
Sono regole che stabiliscono quali fra le t-ple nello spazio delle
soluzioni di I soddisfano la funzione P; un vincolo implicito esprime il
modo in cui le variabili xidebbono correlarsi.
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Il problema delle 8 regine
Come disporre otto regine su una scacchiera (8×8) in modo tale che nessuna possa
mangiarne un’altra?
REGOLE: la regina si può muovere in orizzontale, in verticale e in diagonale di un
qualunque numero di caselle, di conseguenza ogni regina deve avere la propria riga, la
propria colonna e le proprie diagonali libere.
Le dodici soluzioni base del problema delle 8 regine da cui, per riflessione e rotazione, si
ottengono tutte le 92 soluzioni (1874, Gleisher e Gunther)
15863724
17582463
25741863
27368514
16837425
24683175
26174835
27581463
17468253
25713864
26831475
28613574
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Una soluzione
15863724
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Esempio (4x4)
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Esempio (4x4)
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Il metodo in generale
Un algoritmo di backtracking è un metodo di analisi esaustiva, ma
controllata, applicabile ad una classe di problemi di ricerca le cui
soluzioni sono vettori (x1 x2 … xi …xf), 1≤f≤n, soddisfacenti alcuni
vincoli predefiniti.
Ogni xi appartiene ad un insieme finito linearmente ordinato Xi.
Un algoritmo di backtracking genera, esplicitamente o
implicitamente, un albero i cui nodi rappresentano t-ple parzialmente
costruite durante i vari passi dell’algoritmo.
La radice contiene la t-pla vuota.
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Dalla t-pla j-esima alla j+1-esima
A partire dalla t-pla j-esima w = (x1 x2 … xj) , si genera la t-pla (j+1)-esima v = (x1 x2 …
xj+1) con xj+1 primo elemento in Xj+1 non ancora considerato.
Si ha:
1.
v è una soluzione finale del problema: la soluzione viene memorizzata (termina se
una soluzione è sufficiente)
2.
v è una soluzione parziale del problema: l’algoritmo passa dalla t-pla j+1-esima
alla t-pla j+2-esima
3.
v non è né soluzione finale né soluzione parziale:
- se vi sono ancora elementi da scegliere in Xj+1, si prende il primo disponibile
come nuovo xj+1 e si torna al passo 1;
- se non vi sono più elementi da scegliere in Xj+1, ,si torna alla t-pla j-esima, si
sostituisce xj con il primo elemento elegibile in Xj e si torna al passo 1. Se ancora
non vi sono più elementi da scegliere, si torna alla t-pla (j-1)-esima e si sostituisce
xj-1, se possibile.
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Backtrack per le 8 regine
Vincoli espliciti:
Si ={1,2,3,4,5,6,7,8}
1≤ i≤ 8
Conseguentemente lo spazio delle soluzioni è di 88 8-ple
Vincoli impliciti:
•Tutte le regine debbono essere in colonne differenti
Conseguentemente lo spazio delle soluzioni è costituito da tutte le permutazioni
delle 8-ple {1,2,3,4,5,6,7,8} e quindi è ridotto da 88 a 8!
•Tutte le regine debbono essere in diagonali differenti
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Regine sulle stesse diagonali
La scacchiera S è rappresentata da una matrice quadrata di dimensioni nxn. Le righe e le colonne sono
numerate da 1ad n. si considerino due regine nelle posizioni (i,j) e (k,l), rispettivamente.
•Tutte le diagonali dall’alto a sinistra verso in basso a destra mantengono costante
numero colonna - numero riga
per esempio S[2,1], S[3,2], S[4,3] hanno 1 quale valore costante pari alla differenza fra numero di riga e
numero di colonna.
•Tutte le diagonali dall’alto a destra verso in basso a sinistra mantengono costante
numero colonna + numero riga
per esempio S[2,4], S[3,3], S[4,2] hanno 6 quale valore costante pari alla somma fra numero di riga e
numero di colonna.
Quindi due regine sono sulla stessa diagonale sess j-l =i-k
Dato che vale o
(1) i-j = k-l o (2) i+j = k+l
Dalla (1) si ha j-l = i-k e dalla (2) si ha j-l = k-i
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Controllo del posizionamento
PLACE(k,i) ritorna vero o falso a seconda che la k-esima regina possa essere
posizionata nella k-esima riga e i-esima colonna o no
PLACE(k,i)
For j=1 to k-1 do
If x[j] = i or j-l=i-k then return false;
return true;
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Algoritmo n-regine
ALGORITMO n-regine(k,n) stampa tutte i possibili posizionamenti senza conflitto
di n regine su una scacchiera nxn
Algoritmo N-regine(k,n)
For i=1 to n do
if PLACE(k,i) then
x[k] = i;
if k=n then write x[1…n];
else N-regine(k+1,n);
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Somma di sottoinsiemi
INPUT: m>0 , wi>0 (1≤i≤n)
PROBLEMA: trovare tutti i sottoinsiemi di wi la cui somma è uguale ad m
ESEMPIO: dati (w1w2 w3 w4 ) = (11,13,24,7) e m =31, i sottoinsiemi cercati sono
(11,13,7) e (24,7)
Queste due soluzioni si possono indicare come t-ple:
a. xi = indici dei wi scelti (1,2,4) e (3,4), ovvero con t-ple di diversa dimensione;
b. xi = 1 / 0 a seconda che wi sia stato selezionato o no (1,1,0,1) e (0,0,1,1), in questo caso
le t-ple sono di dimensione fissata uguale ad n.
VINCOLI ESPLICITI:
a. xi in j/ j intero, 1≤j≤k e 1≤k≤n
b. xi in 0,1
VINCOLI IMPLICITI:
a. xi ≠ xj e xi ≤ xi+1 per 1≤ i <k e 1≤j≤k
b. ∑wixi ≤ m 1≤ i <k, 1≤k≤n
SPAZIO DELLE SOLUZIONI:
2n t-ple distinte
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Funzione soglia per somma di sottoinsiemi
INPUT: m>0 , wi>0 (1≤i≤n)
1. wi in ordine casuale
2. wi ordinate in modo non decrescente
PROBLEMA:
trovare tutti i sottoinsiemi di wi la cui somma è uguale ad m
RAPPRESENTAZIONE: con t-ple di uguale dimensione
FUNZIONE SOGLIA:
1. ∑wixi+∑wj ≥ m
2. ∑wixi + wk+1 > m
1≤i≤k e k+1≤j≤n
1≤i≤k
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