Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 2
Modelli di calcolo e
metodologie di analisi
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Riepilogo algoritmi Fibonacci
Numero di linee di
codice
Occupazione di
memoria
fibonacci1
Θ(1)
Θ(1)
fibonacci2
Θ(n)
Θ(n)
fibonacci3
Θ(n)
Θ(n)
fibonacci4
Θ(n)
Θ(1)
fibonacci5
Θ(n)
Θ(1)
fibonacci6
Θ(log n)
Θ(log n)*
* Θ(log n) per le variabili di lavoro e Θ(log n) per le chiamate ricorsive
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Modello di calcolo
• Contare il numero di linee dello pseudocodice di un
algoritmo non è sufficiente a comprenderne la complessità
temporale: quali operazioni reali si celano dietro lo
pseudocodice???
• Per valutare la complessità di un algoritmo, bisogna quindi
prima di tutto stabilire un modello di calcolo di riferimento
su cui esso viene eseguito
• Un modello di calcolo è una macchina astratta che
definisce l’insieme delle operazioni ammissibili ed
eseguibili durante una computazione, e ne specifica i
relativi costi (in termini di tempo e spazio utilizzato)
• Alcuni modelli di calcolo famosi: Macchina di Turing,
Automi a Stati Finiti, Funzioni Ricorsive, Macchina a
Registri, etc… (sono tutti modelli di calcolo equivalenti,
cioè in grado di calcolare le stesse funzioni)
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Il nostro modello di calcolo: la RAM
• La RAM (Random Access Machine) è un tipo particolare di
macchina a registri (locazioni di memoria ad accesso diretto)
• La RAM è definita da:
– un nastro di ingresso e uno di uscita, ove saranno scritti l’input e
l’output, rispettivamente
– una memoria ad accesso diretto strutturata come un array (di
dimensione infinita) in cui ogni cella può contenere un valore
intero arbitrariamente grande
– un programma finito di istruzioni di input/output, operazioni
aritmetiche, e di accesso e modifica del contenuto della propria
memoria
– un registro detto accumulatore (contiene gli operandi
dell’istruzione corrente)
– un registro detto contatore delle istruzioni (contiene l’indirizzo
dell’istruzione successiva)
• La RAM è un’astrazione dell’architettura di von Neumann
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La RAM
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Criterio di costo uniforme
• Nel modello RAM a costi uniformi, ogni istruzione
elementare eseguita dalla RAM ha un costo unitario
• Complessità temporale tempo(I) misurata come
numero di istruzioni elementari eseguite
sull’istanza di input I
– istruzione ingresso/uscita (lettura o stampa)
– operazione aritmetico/logica
– accesso/modifica del contenuto della memoria
• Complessità spaziale spazio(I) misurata come
numero massimo di celle di memoria della RAM
occupate durante l’esecuzione sull’istanza di input I
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Dimensione dell’input
• Misureremo le risorse di calcolo usate da un algoritmo
(tempo di esecuzione / occupazione di memoria ) in
funzione della dimensione dell’istanza I in input
• Esistono due modalità di caratterizzazione della
dimensione dell’input:
– Quantità di memoria effettiva utilizzata per codificare l’input
(ad esempio, numero di bit necessari per rappresentare un
valore in input, come nel problema di Fibonacci)
– Parametrizzazione della dimensione dell’input (ad esempio,
numero di elementi di una sequenza da ordinare)
• In tutti i problemi che incontreremo in futuro, la
dimensione dell’input sarà parametrizzata attraverso il
numero n di elementi dell’istanza
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Domanda di approfondimento
• Qual è la complessità temporale degli algoritmi Fibonacci6,
Fibonacci4 e Fibonacci2 in funzione della
rappresentazione dell’input?
• Abbiamo appena affermato che la complessità temporale viene
misurata in funzione della dimensione dell’input; nel caso dei tre
algoritmi in questione, l’input è un numero n, che può essere
rappresentato usando k=log n bit. Quindi:
– Fibonacci6 costa T(n)=Θ(log n)=Θ(k), ed è quindi polinomiale (più
precisamente, lineare) nella dimensione dell’input;
– Fibonacci4 costa T(n)=Θ(n)=Θ(2k), ed è quindi esponenziale nella
dimensione dell’input;
k
– Fibonacci2 costa T(n)=Θ(n)=Θ(2 ), ed è quindi superesponenziale
nella dimensione dell’input.
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Notazione asintotica
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Notazione asintotica e operazioni dominanti
• Complessità temporale e spaziale saranno espresse in
notazione asintotica rispetto alla dimensione dell’input
• La notazione asintotica è un’astrazione utile per descrivere
l’ordine di grandezza di una funzione ignorando i dettagli
non influenti, come costanti moltiplicative e termini di
ordine inferiore
• Ai fini dell’analisi asintotica, sarà sufficiente considerare
le cosiddette operazioni dominanti, ovvero quelle che nel
caso peggiore vengono eseguite più spesso
• Queste si trovano annidate nei cicli più interni dello
pseudocodice che descrive l’algoritmo
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Notazione asintotica O
f(n) = O(g(n)) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali
che f(n) ≤ c g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = ( g(n) )
cg(n)
f(n)
n0
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n
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Un caso notevole: i polinomi
Sia f(n) = ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0 un polinomio di grado
d (con ad>0); dimostriamo che f(n)=O(nd)
Se scegliamo c = ad + |ad-1| + … + |a0| 
c nd = ad nd + |ad-1| nd+…+ |a0| nd  ad nd + |ad-1| nd-1+…+
|a0|  ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0 = f(n)
 f(n)  c nd  n  0, e quindi posso scegliere n0=0
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Esempi
• Sia f(n) = 2n2 + 3n; vogliamo dimostrare che f(n)=O(n2).
Scegliendo c = a2 + |a1| + |a0| = 2+3+0=5
avremo che 2n2 + 3n ≤ 5n2 per ogni n ≥ n0=0.
• f(n) = O(n3)
(c=1, n0=3, oppure c=2, n0=2)
• f(n) = O(2n)
(c=1, n0=7, oppure c=2, n0=6)
• Invece, f(n)  O(n)
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Legame con il concetto di limite
limn
fn 
 
gn 
fn   Ogn 
fn   O gn 
14


fn   Ogn 
limn
limn
fn 

gn 
fn 
(se esiste)
gn 

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Notazione asintotica W
f(n) = W(g(n)) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali
che f(n) ≥ c g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = W(g(n))
f(n)
c g(n)
n0
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n
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Un caso notevole: i polinomi
Sia f(n) = ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0 un polinomio di grado d (con
ad>0); dimostriamo che f(n)=Ω(nd)
Infatti: f(n)/nd = ad + ad-1 n-1 + … + a0 n-d

 n0: n  n0
ad - |ad-1|n-1 - … - |a0| n-d > 0
Se scegliamo c = ad - |ad-1| n0-1 - … - |a0 | n0-d 
c nd = ad nd -|ad-1| nd n0-1 -…- |a0| nd n0-d
e poiché per n  n0 si ha nd n0-k  nd-k
c nd  ad nd - |ad-1| nd-1-…- |a0|  ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0 = f(n)
  n  n0 c nd  f(n)
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Esempi
• Sia f(n) = 2n2 - 5n; vogliamo dimostrare che f(n)= W(n2).
f(n)/n2 = (2n2 - 5n)/n2 = 2 - 5/n
ma 2 - 5/n > 0 per n ≥ 3 (quindi n0=3);
Scegliendo c = a2 - |a1|/n0 - |a0|/n02 = 2-5/3=1/3
avremo che 2n2 - 5n ≥ (1/3) n2 per n ≥ n0=3.
• f(n) = W(n)
(c=1, n0=2)
• f(n) = W(log n)
(c=1, n0=2)
• Invece, f(n)  W(n3)
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Legame con il concetto di limite
fn 
0
gn 

fn   Wgn 
fn   Wgn 

limn
limn
fn   Wgn 
18

limn
fn 
0
gn 
fn 
(se esiste)  0
gn 
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Notazione asintotica Q
f(n) = Q(g(n)) se  tre costanti c1,c2>0 e n0≥0 tali
che c1 g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = Q(g(n))
c2 g(n)
f(n)
c1 g(n)
n0
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n
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Relazioni tra O, Ω e Θ
fn   Qg(n) 

fn   Ogn 
fn   Og(n) 

fn   Θgn 
fn   Qg(n) 

fn   Wgn 
fn   Wg(n) 

fn   Θgn 
fn   Qg(n)   fn   Wgn  e fn   Ogn 
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Notazione o
Data una funzione g(n): N  R, si denota con o(g(n)) l’insieme delle
funzioni f(n): N R:
o(g(n)) = {f(n) :  c > 0,  n0 tale che
 n  n0 0  f(n)  c g(n) }
Notare:
ogn  
fn   ogn 
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Ogn 

limn
fn 
0
gn 
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Notazione ω
Data una funzione g(n): N  R, si denota con ω(g(n)) l’insieme delle
funzioni f(n): N R:
ω(g(n)) = {f(n) :  c > 0,  n0 tale che
 n  n0 0  c g(n)  f(n) }
Notare:
 gn 
fn    gn 
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Wgn 

limn
fn 

gn 
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Riassumendo …
fn   Θgn 
fn   Ogn 
fn   Wgn 



fn 
 c2  
gn 
asintotica mente
0
fn 
 c2  
gn 
asintotica mente
fn 
0  c1 
gn 
fn   ogn 
fn   gn 
23
0  c1 



asintotica mente
limn 
fn 
0
gn 
limn 
fn 

gn 
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Analogie
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O
W
Q
o





>
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Graficamente
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Proprietà della notazione asintotica
Transitività
fn   Qgn 
e
gn   Qhn 

fn   Qhn 
fn   Ogn 
e
gn   Ohn 

fn   Ohn 
fn   Wgn 
e
gn   Whn 

fn   Whn 
fn   ogn 
e
gn   ohn 

fn   ohn 
fn   gn 
e
gn   hn 

fn   hn 
Riflessività
fn   Qfn 
fn   Οfn 
fn   Wfn 
Simmetria
fn   Qgn 

Simmetria trasposta
gn   Qfn 
fn   Ogn 

gn   Wfn 
fn   ogn 

gn   fn 
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Polinomi
P(n) = ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0
ad > 0
Relazioni asintotiche notevoli
P(n)
P(n)
P(n)
P(n)
= O(nd), P(n) = W(nd)  P(n) = Q(nd)
= O(nk)  k≥d, P(n) ≠ O(nk)  k<d
= W(nk)  k≤d, P(n) ≠ W(nk)  k>d
= o(nk)  k>d, P(n) = (nk)  k<d
Esponenziali
an
f(n) = an
limn d  
a >1
n
an = (nd)  d>0
 an = W(nd)  d>0
Logaritmi
f(n) = logbn b>1
limn 
logbn 
c
nd
 0, c, d  1
Fattoriali
f(n) = n! = n·(n-1)·(n-2)·……·2·1
27
(logbn)c = o(nd)  c,d ≥ 1
 (logbn)c = O(nd)  c,d ≥ 1
n! = o(nn)  n! = O(nn)
n! = (an)  n! = W(an)  a>0
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Metodi di analisi
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Caso peggiore, migliore e medio
• Come detto, misureremo le risorse di calcolo usate
da un algoritmo in funzione della dimensione delle
istanze
• Ma istanze diverse, a parità di dimensione,
potrebbero richiedere risorse diverse! Ad esempio,
se devo cercare un elemento x in un insieme di n
elementi in input, il numero di confronti che farò
dipenderà dalla posizione che x occupa nella
sequenza.
• Distinguiamo quindi ulteriormente tra analisi nel
caso peggiore, migliore e medio
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Caso peggiore
• Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un
algoritmo sull’istanza I
Tworst(n) = max istanze I di dimensione n {tempo(I)}
• Intuitivamente, Tworst(n) è il tempo di esecuzione
sulle istanze di ingresso che comportano più
lavoro per l’algoritmo
• Definizione analoga può essere data per lo
spazio
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Caso migliore
• Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un
algoritmo sull’istanza I
Tbest(n) = min istanze I di dimensione n {tempo(I)}
• Intuitivamente, Tbest(n) è il tempo di
esecuzione sulle istanze di ingresso che
comportano meno lavoro per l’algoritmo
• Definizione analoga può essere data per lo
spazio
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Caso medio
• Sia P(I) la probabilità di occorrenza dell’istanza I
Tavg(n) = ∑ istanze I di dimensione n {P(I) tempo(I) }
• Intuitivamente, Tavg(n) è il tempo di
esecuzione nel caso medio, ovvero sulle
istanze di ingresso “tipiche” per il problema
• Richiede di conoscere una distribuzione di
probabilità sulle istanze
• Definizione analoga può essere data per lo
spazio
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Complessità temporale e spaziale di un
algoritmo
• Denoteremo con T(n) il tempo di esecuzione
dell’algoritmo su una generica istanza di ingresso
di dimensione n. Varrà quindi:
T(n) ≤ Tworst(n)
T(n) ≥ Tbest(n)
• Analogamente, per l’occupazione di memoria:
S(n) ≤ Sworst(n)
S(n) ≥ Sbest(n)
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Esercizio di approfondimento
Sia dato un mazzo di n carte scelte in un
universo U di 2n carte distinte, e si
supponga di dover verificare se una certa
carta xU appartenga o meno al mazzo.
Progettare un algoritmo per risolvere tale
problema, e analizzarne il costo (in termine
di numero di confronti) nel caso migliore,
peggiore e medio.
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