Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati
Il problema della ricerca
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Esercizio di approfondimento da
correggere
Sia dato un mazzo di n carte scelte in un universo
U di 2n carte distinte, e si supponga di dover
verificare se una certa carta xU appartenga o
meno al mazzo. Progettare un algoritmo per
risolvere tale problema, e analizzarne il costo (in
termine di numero di confronti) nel caso migliore,
peggiore e medio.
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Algoritmo di ricerca sequenziale
Un primo algoritmo è quello di ricerca sequenziale (o
esaustiva), che gestisce il mazzo di carte come una lista L
non ordinata
Contiamo il numero di confronti (operazione dominante):
Tbest(n) = 1
x è in prima posizione
Tworst(n) = n
xL oppure è in ultima posizione
Tavg(n) = P[xL]·n + P[xL e sia in prima posizione]·1 + P[xL
e sia in seconda posizione]·2 +… + P[xL e sia in n-esima
posizione]·n
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Nel caso del mazzo di carte…
• Assumendo che le istanze siano equidistribuite, la probabilità
che una carta appartenga (o non appartenga) al mazzo è ½, e la
probabilità che l’elemento appartenga al mazzo e sia in posizione
i-esima è ½·1/n
 Tavg(n) = ½·n + ½·1/n·1 + ½·1/n·2 +…+ ½·1/n·n=
= ½·n + ½·1/n·[1+2+…+n] = ½·n + ½· 1/n ·[n ·(n+1)/2]=
(3n+1)/4
 Tavg(n) = Tworst(n) = Θ(n)
• L’analisi del caso medio può rivelarsi molto complicata…
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Algoritmo di ricerca binaria
Se ipotizzassimo che il mazzo di carte fosse una lista L
ordinata, potremmo progettare un algoritmo più efficiente:
Confronta x con l’elemento centrale di L e prosegue nella
metà sinistra o destra in base all’esito del confronto
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Esempi su un array di 9 elementi
Cerca 2
Cerca 1
Cerca 9
Cerca 3
3<4 quindi a e b
si invertono
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Analisi dell’algoritmo di ricerca binaria
Contiamo i confronti eseguiti nell’istruzione 3 (operazione dominante):
Tbest(n) = 1
l’elemento centrale è uguale a x
Tworst(n) = Θ(log n) xL
Infatti, poiché la dimensione del sotto-array su cui si procede
si dimezza dopo ogni confronto, dopo l’i-esimo confronto il
sottoarray di interesse ha dimensione n/2i. Quindi, dopo
i=log n +1 confronti, si arriva ad avere a>b.
Tavg(n) = P[xL]· (log n +1 )+ P[xL e sia in posizione centrale]·1
+P[xL e sia in posizione centrale nelle 2 sottometà]·2+
+P[xL e sia in posizione centrale nelle 4 sotto-sottometà]·3 + …+
+P[xL e sia in una delle 2 log n  n/2 posizioni raggiungibili con a=b]· (log n +1 )
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Nel caso del mazzo di carte…
Se il mazzo di carte ci venisse dato ordinato, applicando la
ricerca binaria avremmo:

Tavg(n) = ½·(log n +1) + ½·1/n·1 + ½·2/n·2 + ½·4/n·3 +…
+ ½·n/2·(log n +1 ) <
½·(log n +1) + ½ ·(log n +1) = log n +1
e poiché Tavg(n) > 1/2· log n, ne consegue che Tavg(n) =Θ(log n)
 Tavg(n) = Tworst(n) = Θ(log n)
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Analisi di algoritmi ricorsivi
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Ricerca binaria in forma ricorsiva
L’algoritmo di ricerca binaria può essere riscritto
ricorsivamente come:
Come analizzarlo?
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Equazioni di ricorrenza
Il tempo di esecuzione dell’algoritmo può essere
descritto tramite l’equazione di ricorrenza:
T(n) ≤
Θ(1) + T((n-1)/2) se n≥1
Θ(1)
se n=0
dove Θ(1) è il costo (costante) che viene speso
all’interno di ogni chiamata ricorsiva.
Mostreremo due metodi per risolvere equazioni di
ricorrenza: iterazione e teorema Master
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Metodo dell’iterazione
Idea: “srotolare” la ricorsione, ottenendo una
sommatoria dipendente solo dalla dimensione n del
problema iniziale (già visto per Fibonacci6)
Nel caso della ricerca binaria: T(n) ≤ Θ(1) + T(n/2)
T(n/2) ≤ Θ(1) + T(n/4)
...
T(n) ≤ Θ(1) + T(n/2) ≤ 2·Θ(1)+ T(n/4) ≤ …
≤ ( ∑j=1...i Θ(1)) + T(n/2i) = i ·Θ(1) + T(n/2i)
Per i=log2n: T(n) ≤ Θ(1)·log n + T(1) = Θ(log n)
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Esercizi di approfondimento
Risolvere usando il metodo dell’iterazione le
seguenti equazioni di ricorrenza:
• T(n) = n + T(n-1), T(1)=1;
• T(n) = 9 T(n/3) + n, T(1)=1;
(soluzione sul libro di testo: Esempio 2.4)
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Teorema Master
Permette di analizzare algoritmi basati sulla tecnica del
divide et impera:
- dividi il problema (di dimensione n) in a≥1
sottoproblemi di dimensione n/b, b>1
- risolvi i sottoproblemi ricorsivamente
- ricombina le soluzioni
Sia f(n) il tempo per dividere e ricombinare istanze di
dimensione n. La relazione di ricorrenza è data da:
T(n) =
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a T(n/b) + f(n) se n>1
Θ(1)
se n=1
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Algoritmo di ricerca binaria
a=1, b=2, f(n)=Θ(1)
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