Corso di Chimica Fisica II
2011
Marina Brustolon
8. Il moto circolare quantistico,
il momento angolare,
le armoniche sferiche
Il moto quantistico di una
particella su una circonferenza
1. L’equazione di Schrödinger e le soluzioni
2. Le condizioni cicliche e la quantizzazione
dell’energia
3. La conservazione del momento angolare
Il moto su una circonferenza
Abbiamo già considerato il moto
circolare uniforme per un sistema
che si comporti in modo classico.
Si tratta di una particella che si
muove con velocità angolare
costante su una circonferenza.
Il moto avviene in presenza di una forza centripeta radiale, cioè che
punta verso il centro della circonferenza, ed è quindi parallela al
raggio vettore r.
Sappiamo che quando f // r , cioè la forza è parallela al raggio
vettore, il momento della forza, f x r (prodotto vettoriale) è eguale a
zero.
Quando il momento della forza è eguale a zero l’invariante del moto è
il momento angolare.
Il moto circolare classico: richiamo
p
Il prodotto vettoriale di r
è un vettore costante sia in
modulo che in direzione:
m
x
r
J rp
J
p
90
r
Momento angolare
J rp sin rp mvr
Velocità tangenziale
v r
J mr 2 I
mr 2 I
sin 1
Ecin
e p
1 2 J2
I
2
2I
Il moto circolare secondo Schrödinger
p
r
m
x
La particella è dotata di energia solo cinetica,
l’energia potenziale sulla circonferenza è costante
(quindi possiamo porla a zero). Il moto è su un piano.
Quindi l’Hamiltoniano è :
2 2
2
2 2
H
2m x y
Per descrivere un moto sulla circonferenza, dobbiamo
imporre la condizione che:
Un esempio di
passaggio
dalle( x 2 y 2 ) costante
r
coordinate
Questa condizione
cartesiane
a quelle è facile imporla se passiamo ad
un è
sistema
conpiù
coordinate sferiche:
polari
mostrato
avanti per l’operatore
x r cos
y r sin
momento angolare.
Facendo queste sostituzioni di coordinate
l’hamiltoniano diventa:
2
2
1 d
H
2m r 2 d 2
2 1 d 2
H
2m r 2 d 2
Notate che l’operatore hamiltoniano agisce solo sulla
coordinata φ, perché 1/r2 è una costante: il sistema
ha un solo grado di libertà.
2
2
1
d
( )
L’equazione di Schrödinger è quindi:
E ( )
2
2
2m r
d
I Momento
d’inerzia
2 d 2 ( )
E ( )
2
2 I d
Moto uniforme su
una circonferenza
2 d 2 ( x)
E ( x)
2
2m dx
Moto uniforme su
una retta
Notate l’analogia di questa equazione con quella per la
particella libera, una volta sostituita la coordinata φ alla x, e il
momento di inerzia alla massa.
d 2
2 EI
2
2
d
Riscriviamola così:
La soluzione generale di quest’equazione è:
1/ 2
1 im
m e
2
1/ 2
2 IE
m 2
Notate che la forma della funzione d’onda è simile a quella della
particella libera, con x sostituito da φ:
Moto circolare uniforme
e im
e ikx
Moto rettilineo uniforme
e im
e ikx
Ricordiamo che k , il vettore d’onda per la particella libera, può avere
qualsiasi valore (l’energia è un continuo).
E m ? Non abbiamo finora imposto nessuna condizione su m.
Ma dobbiamo accertarci che tutte le soluzioni che abbiamo trovato per
la particella sulla circonferenza siano funzioni che rappresentano stati
reali, cioè abbiano le caratteristiche di essere continue, ad un sol
valore, ecc. Dato che la funzione e im è periodica, dovremo scegliere
le funzioni per la quali:
e
im( 2 )
e
im
m>0
Perché questa condizione sia rispettata, si deve avere
e
im( 2 )
e im2 1
e
im
e
im2
e
im
1
e im2 cos m2 i sin m2 1
e quindi m = 0, 1, 2, ecc.
m<0
Vediamo graficamente cosa succede se m ha un valore diverso
da quelli permessi, considerando la parte reale della funzione
e im cos m i sin m
Per ogni valore di φ ci sono
due valori della funzione
cos m
Proibito!
Inizio secondo
giro
Fine primo
giro
00
22
Perché questo non succeda, bisogna che la lunghezza della circonferenza
sia un multiplo intero della della funzione !
Inizio secondo
giro
m2
Fine primo
giro
cos 2
0
m4
2
cos 4
OK!
2
Abbiamo ora le funzioni che sono soluzioni dell’equazione di S.
e che rappresentano gli stati possibili della particella sulla
circonferenza nell’ambito della trattazione quantistica:
1/ 2
1 im
e
2
m
1/ 2
2 IE
m 2
m = 0, 1, 2, ecc.
Nella funzione d’onda sono contenute tutte le
informazioni che si possono ottenere sullo stato
rappresentato dalla funzione. In particolare, dalla
funzione d’onda è possibile ottenere il valore di tutte
le grandezze fisiche che sono costanti in quello stato.
Quali sono le grandezze costanti nel moto della
particella sulla circonferenza?
Ti ho fatto una domanda, amico… Quali
sono le grandezze costanti nel moto della
particella sulla circonferenza?
Le grandezze costanti sono :
L’energia (infatti le funzioni d’onda sono autofunzioni
dell’Hamiltoniano, che è l’opeartore associato
all’energia);
Il momento angolare (come abbiamo discusso già più
volte).
Se il momento angolare è costante, questo significa che le
funzioni d’onda trovate sono autofunzioni dell’operatore
momento angolare. Proviamo a vedere se è vero.
Qual è la forma dell’operatore momento angolare?
Momento angolare: espressione classica
J rp
r xi yj zk
p pxi p y j pz k
J J xi J y j J z k
Componenti
di r
i
j
k
J J xi J y j J z k x
y
z
px
py
pz
Componenti
di p
J J x i J y j J z k i ( yp z zp y ) j ( xpz zp x ) k ( xpy yp x )
J x yp z zp y
J y zp x xpz
J z xp y yp x
Momento angolare: operatori
ˆ
Jx (y z )
i z
y
Jˆ y ( z x )
i x
z
ˆ
J z (x y )
i y
x
J x yp z zp y
J y zp x xpz
J z xp y yp x
Moto sulla circonferenza: J è diretto lungo z
J
z 0,
z
Jx Jy 0
p
90
r
sin 1
y
x
pz 0
J z (x y )
i y
x
Vogliamo vedere l’effetto
dell’operatore Ĵ
sulla
z
funzione:
ˆ
J z (x y )
i y
x
m
1
2
1/ 2
e im
Ma prima bisogna esprimere
l’operatore in coordinate polari!
x r cos
Ricordiamo le regole per il cambiamento
di variabili nei differenziali:
y dy
x x
y r sin
y
tg
x
arctg
y
x
ˆ
Jz
i
e im
m
(2 )1 / 2
im
1
de
1
im
ˆ
J z m ( )
ime
m m ( )
1/ 2
1/ 2
i (2 )
d
i (2 )
L’operatore momento angolare, agendo sulla funzione, dà la funzione
stessa moltiplicata per una costante: il significato fisico è che per lo
stato rappresentato da quella funzione, il momento angolare si
conserva e ha quel particolare valore.
Notate che lo stato con m=0 non ha momento angolare, è uno
stato di non rotazione.
Notate che per ogni valore del numero quantico |m | ci sono
due stati, corrispondenti a +m e –m, con la stessa energia
(che è proporzionale al quadrato di m), e momento angolare
di segno opposto. I due stati sono quindi degeneri. Possiamo
attribuirli all’equivalente di rotazioni in senso orario e
antiorario.
m>0
m<0
La quantizzazione dell’energia e del
momento angolare
Dalla condizione m = 0, 1, 2, ecc., ricordando che : m
si ottiene:
2 IE
2
m 2 2
Em
2I
Abbiamo visto che :
J z m
Ricordate l’espressione classica
che lega energia e momento
angolare per la particella sulla
circonferenza?
Notate che la relazione tra grandezze classiche è la stessa
che c’è tra gli autovalori dei corrispondenti operatori.
Si notino le corrispondenze tra le espressioni per il moto
lineare e quello circolare:
eikx
px k
1/ 2
eim
J z m
J2
E
2I
“Oooh! Ma guardalo! Fanno tenerezza quando cercano
di seguire le dimostrazioni!”
Riassumendo:
1. Per la particella su una circonferenza a potenziale costante (o nullo)
l’hamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e
r, con r = costante;
2
2
H
1 d
2m r 2 d 2
2. La soluzione generale dell’equazione di S. con questo hamiltoniano è:
1/ 2
1
m eim
2
1/ 2
2 IE
m 2
3. Le soluzioni permesse devono essere trovate imponendo la condizione:
im( 2 )
im
e
e
che si traduce nella condizione che m sia un numero quantico con valori
permessi m = 0, 1, 2, ecc.
4. Quindi l’energia è quantizzata:
m2 2
2
Em
; E0 0, E1
,...
2I
2I
5. Il momento angolare è pure quantizzato:
J z m
Il moto quantistico di una
particella su una sfera
1. L’hamiltoniano in coordinate sferiche per un
moto quantistico nello spazio tridimensionale
2. L’hamiltoniano per la particella sulla
superficie della sfera
3. Le armoniche sferiche
4. Particella sulla sfera = rotatore rigido
Particella sulla sfera
Il modello: una particella che si muove su una
superficie equipotenziale. Se V è costante sulla
superficie, si può assumere V=0 nel trattare il moto.
Quindi l’equazione di S. è:
2 2 2 2
( 2 2 2 ) E
2m dx
dy
dz
Solo l’operatore di
energia cinetica
Come per la particella sulla circonferenza, conviene passare alle
coordinate sferiche, che ci permettono di fissare r = cost.
In questo caso troveremo quindi un hamiltoniano che dipende da
due gradi di libertà, H ( , ) .
Hamiltoniano in coordinate polari
H
( 2 2 2)
2m dx
dy
dz
2
2
2
2
x r sin cos
r = cost
y r sin sin
H ( , ) ?
z r cos
Per esprimere l’hamiltoniano in coordinate polari
dobbiamo trovare la forma degli operatori
differenziali in coordinate polari, come
nell’esempio precedente.
r x 2 y 2 z 2 rsfera
Servono le espressioni di r,
e in funzione di x,y,z.
z
arcos
arctg
x2 y2 z2
y
x
Hamiltoniano in coordinate polari
2 2
2
2
H
( 2 2 2)
2m dx
dy
dz
2 1 2
1 2
H
r 2
2
2m r r
r
dove:
1
2
r
2
1
2
1
2
sin
2
sin d
d
sin
Questo hamiltoniano è importante perché rappresenta l’operatore di
energia cinetica per una particella che si muova nello spazio
espresso in coordinate sferiche: infatti lo ritroveremo quando
parleremo dell’elettrone nell’atomo di idrogeno.
In questo caso tuttavia il moto della particella è confinato alla
superficie di una sfera, e quindi r = rsfera, e la parte dell’hamiltoniano
che contiene la derivata rispetto ad r non può agire.
Hamiltoniano per la particella sulla sfera
In conclusione l’hamiltoniano per la particella sulla sfera è
2
H
2
2mr
1
2
1
2
sin
2
sin d
d
sin
dove r è una costante eguale al raggio della
I Momento
d’inerzia sfera, e gli operatori agiscono solo sulle
funzioni di e φ.
H ( , ) ( , ) E ( , )
Le funzioni che soddisfano questa equazione
rappresentano onde stazionarie sulla superficie della
sfera, e si chiamano armoniche sferiche.
Dipendono da due numeri quantici:
l , ml .
Possiamo quindi scrivere l’equazione come
Come vedremo
l’energia dipende
solo da l
H ( , ) lml ( , ) El lml ( , )
Queste funzioni possono essere immaginate come onde
stazionarie su una superficie sferica. Sono funzioni che
vengono usate in contesti molto diversi, per esempio: per
modellizzare le maree; per descrivere il moto di rotazione di
una molecola biatomica; per descrivere la parte angolare delle
funzioni d’onda di un atomo idrogenoide (un solo elettrone fuori
da un guscio sferico).
Le armoniche sferiche si trovano tabulate anche come
Yl , ml ( , )
Le armoniche sferiche
Si noti che la parte delle funzioni che
dipendono nell’angolo sono le stesse
per la particella su una circonferenza.
Le funzioni dipendono da due
coordinate, e , e dipendono da due
numeri quantici, l e ml. Tra i due numeri
quantici c’è una relazione:
l 0, 1, 2, 3, 4...
ml l , l 1,.... l
Le energie dipendono solo da l
:
2
El l (l 1)
2I
http://www.bpreid.com/poas.php
Le armoniche sferiche sono autofunzioni dell’operatore quadrato
del momento angolare
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
J (J x J y J z )
con autovalori
l (l 1)
2
Le armoniche sferiche sono autofunzioni dell’operatore
momento angolare. Rappresenteranno perciò la forma
delle funzioni angolari in un sistema a simmetria
centrale, nel quale il momento angolare si conserva.
La particella sulla sfera e il rotatore rigido
Le soluzioni dell’equazione di S. per la particella su una superficie
sferica a potenziale costante (le armoniche sferiche) descrivono
anche il moto di un rotatore rigido (due particelle a distanza
costante).
m1 m2
m
m1 m2
m
2d
m1
d
m2
I due moti hanno le stesse funzioni d’onda
Riassumendo:
1. Per la particella su una sfera a potenziale costante (o nullo)
l’hamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e
r, con r = costante;
2
2
H
2mr 2
1
1
2
sin
2
sin d
d
sin
2. Le soluzioni dell’equazione di S. con questo hamiltoniano sono le funzioni
dette armoniche sferiche
Yl ,m ( , ) lm ( ) m ( )
l 0, 1, 2, 3, 4...
ml l , l 1,.... l
3. Gli autovalori dell’energia dipendono solo dal numero quantico l
2
El l (l 1)
2I
quindi per ogni valore di l si hanno 2l+1 funzioni degeneri
4. Le armoniche sferiche sono autofunzioni del quadrato del momento
angolare con valori
l (l 1) 2
5. Le armoniche sferiche descrivono anche il moto del rotatore rigido.
