Moto Armonico

Moto Armonico
Un materiale elastico è un materiale che ha la capacità di riacquistare la
forma iniziale dopo essere stato compresso o deformato (p.es. la molla)
La forza necessaria per allungare o
accorciare una molla (caso 1D) è
linearmente proporzionale
all’allungamento stesso. La costante di
proporzionalità k è detta costante elastica
F  k ( x  x0 )
L’osservabile x0 rappresenta l’estensione della molla quando non è
soggetta a forze, l’osservabile x indica l’attuale estensione della
molla
• Se comprimo la molla la forza che esercito è negativa
x  x0
F  k ( x  x0 )  0
• Se estendo la molla la forza che esercito è positiva
x  x0
F  k ( x  x0 )  0
Per motivi di semplicità si considera sempre la molla di estensione
nulla, cioè x0 = 0. E’ facile rimpiazzare x con x-x0 quando è il caso.
Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW
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Per il principio di azione e reazione la forza che esercita la molla è di
modulo e direzione uguale ma opposta in verso, ovvero è
F  k ( x  x0 )
che per semplicità viene scritta con x0 = 0
F  kx
Il moto associato ad una forza del tipo F = -kx è detto moto armonico
semplice ed l’andamento della coordinata x in funzione del tempi è
rappresentato da una sinusoide
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L’escursione massima dalla posizione di
equilibrio A è detta ampiezza del moto.
L’intervallo di tempo T impiegato per
compiere un ciclo è detto Periodo.
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T
2

T
 
F  kx
ma  kx
Frequenza
Pulsazione o
Velocità angolare
d 2x
m 2  kx
dt
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Equazione Oraria del moto armonico
x(t) = A cos(t +)
F   kx
ma   kx
d 2x
m 2   kx
dt
d 2x
2



x
2
dt
d 2x
k


x
2
dt
m
k
 2
m
Equazione Armonica
L' equazione ha una soluzione del tipo
x  xo sin t   
v   xo cost   
x o e φ sono due costanti
x o e φ dipendono dalle condizioni iniziali
x(t  0)  xo sin  
v(t  0)   xo cos 
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Esempio
Sia K  16 N / M
m  0.01 Kg
Condizioni iniziali per t  0 x  5 e v  0
F  16 x
d 2x
0.01 2  16 x
dt
0.01 a  16 x
x  5 sin 40t 
d 2x
 1600 x  0
dt 2
v  200 cos40t 
a  8000 sin( 40t )
X (metri)
Diagramma Orario
10
0
-10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
25
30
35
40
25
30
35
40
tempo (secondi)
velocita
(m/s)
Diagramma di Velocità
500
0
-500
0
5
10
15
20
tempo (secondi)
accelerazion
e (m2/s)
Diagramma di Accelerazione
500
0
-500
0
5
10
15
20
tempo (secondi)
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La forza elastica, che induce una oscillazione armonica, è una forza
conservativa con potenziale
Rif. A
F
U ( A)   LRif
 A

ds
XA
  Kxdx
X Rif
X
A
1
1
1 2 
2
2
U ( A)   Kx 
  KX A  KX rif
2
2
2
 X Rif
Se X rif  0
1
U ( A)  KX A2
2
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La forza elastica è lo stereotipo di un gran numero di sistemi fisici,
in pratica di tutti i fenomeni in cui è presente una oscillazione come
ad esempio il pendolo
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Pendolo

F  ma   mg j  
Y
Fx   mg sin  

Fy    mg cos    0

X
max   mg sin  
  mg cos  

-mg
Lo spostamento su una circonferenza può essere scritto come
x  r
se l’angolo  è sufficientemente piccolo allora
sin(  )  
l’equazione che descrive dal pendolo
d 2x
d 2 r 
d 2
Fx  max  m 2  m
 mr 2
dt
dt 2
dt
d 2
mr 2  mg
dt
Fx  mg sin    mg
 g 
   0 sin  t    0 sin t 
 r 
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