meccanica

Meccanica
• Cinematica del punto materiale
Velocità, accelerazione, moto rettilineo uniforme,
moto uniformemente accelerato, moto circolare uniforme
• Dinamica
Forza, principi della dinamica, descrizione di diversi tipi di forza,
attrito, quantità di moto, momento di una forza
• Energia e leggi di conservazione
Lavoro di una forza, energia cinetica e potenziale,
conservazione dell’energia, rendimento
• Statica dei corpi rigidi
Condizioni di equilibrio di un corpo rigido, leve
Meccanica
La meccanica si occupa dello studio del
• moto dei corpi (cinematica e dinamica)
• equilibrio dei corpi (statica)
Moto di un corpo rigido esteso definito
dal moto del suo baricentro
y
mi
yi
yB
xi mi

xB 
M tot
xB
z
xi
x
Cinematica del punto materiale
z
Posizione:
definita da un vettore s
sz
Traiettoria:
definita dall’insieme dei vettori
posizione s1, s2, s3, ...
agli istanti t1, t2, t3,...
Legge oraria: s = s (t)
s
sy
sx
y
x
y
s
Vettore spostamento:
Δs = s2 – s1
s1
s2
x
Velocità
Velocità media:
 

 s2  s1 Δs
v

t 2  t1 Δt
Unità di misura:

vi
v
s1
m
s
 
Velocità istantanea:

Δs

Δt
y
s2
x
y
Δt 0
s
In ogni punto la velocità
è tangente alla traiettoria
vi
x
Accelerazione
Accelerazione media:
m
Unità di misura:  2 
s 
 


v 2  v1 v
am 

t 2  t1
t
Accelerazione istantanea:

 v
ai 
t t 0
y
at
a = at + ac
at = accelerazione tangenziale
(variazione modulo di v )
ac = accelerazione centripeta
(variazione direzione di v )
ac
a
x
Moto rettilineo uniforme
a
v = costante
t
In una dimensione:
v
a=0
v = cost
s = so + v·t
t
s
so = posizione iniziale a t=0
so
t
Moto rettilineo uniforme
Esempio:
v5
m
s
so  3 m
Spazio percorso dopo Δt=10 s ?
a=0
v = cost
s = s0 + v·t
m
s  3 m  5  10 s  53 m
s
Moto rettilineo uniformemente accelerato
a = costante
a
t
In una dimensione:
a  cost
v
v  vo  a  t
1 2
s  s o  v o t  at
2
vo
t
s
so = posizione iniziale a t=0
vo = velocità iniziale a t=0
so
t
Moto rettilineo uniformemente accelerato
caduta di un grave in assenza di attrito
m
a  g  9 ,8 2
s
Vo = 0
Accelerazione
di gravità
ag
h
v  gt
s  s0  h 
1
g  t2
2
t
Esempio:
h = 10 m
t
2h
g
2  10 m
2

2
,
04
s
9,8 m/s 2
m
m
v  g  t  9,8 2  1,43 s  14
s
s
 1,43 s
Moto circolare uniforme
ω
Velocità angolare
v ωr
Velocità lineare
Frequenza
Δθ
 cost
Δt
f  n.giri/s
 rad 
 s 

v
r
v
v
v
ac

[s-1 = Hz]
r
Periodo

v  cost
T
1
f
[s]
ω  2π f 
2π
T
no accelerazione tangenziale at=0
v cambia in direzione
acc. centripeta :
2
2
v
v
ac   2 r  2 r 
r
r
Moto circolare uniforme
Esempio: Centrifuga di raggio R = 20 cm,
che ruota a 3000 giri/minuto
a) frequenza:
f 
b) periodo:
T
n.giri 3000giri 3000giri 50giri



 50Hz
s
min
60s
s
1
1
1


 0.02s

1
f 50Hz 50s
c) velocità angolare: ω  2π f 
Tempo per compiere 1
giro completo
2π
2
rad

 314,16
T 0,02s
s
314,16 rad
m Velocità di un
d) velocità lineare
vωR
 0,2m  62,83
punto sul bordo
o periferica:
s
s
della centrifuga
Forza
È quella grandezza fisica che,
applicata ad un corpo,
F
a) ne causa la variazione della
condizione di moto, oppure
b) ne provoca la deformazione.
Esempio: composizione di due forze.
F1
R
F2
È una grandezza vettoriale !
  
R  F1  F2
R è chiamata risultante delle forze
applicate al corpo.
Principi della dinamica
1. Principio di inerzia: un corpo non soggetto a forze permane
nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme
2. Legge di Newton:


F  ma
Unità di misura (S.I.):
kg  m
newton 1 N  1
s2
3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde
una reazione uguale e contraria
Forza peso


P  mg
Accelerazione di gravità:
g = 9,8 m/s2
P
Forza gravitazionale:
m1
m1m 2
FG
d2
G  6,67  10 -11
F
Nm 2
kg 2
F
Terra
d
F
m2
MT m
F  G 2  mg
RT
g = 9,8 m/s2
Forza centripeta
v
ac m
v2
F  m  ac  m
r
F
r
Forza di reazione vincolare
N = -P
P = mg
Forza di reazione del vincolo
sempre perpendicolare alla
superficie.
N
P
Forza d’attrito
N = -P
FA
F
R
FA = μ N
μ coefficiente d’attrito
FA opposta allo spostamento
P
R = F - FA
FA
P
N=P
P = P·cosθ
P
θ
P = P·sinθ
P
θ
FA= μ N
Forza elastica
In generale:
x = spostamento rispetto alla posizione di equilibrio
F=-kx
F = forza di richiamo
Per una barra:
S
F
Δl
l
F
S
rigido
elastico
l
l
F
l
Y
S
l
legge di
Hooke
più elastico
Y piccolo
(caucciù Y~107 N/m2)
più rigido
Y grande
(ossa Y~1010 N/m2)
Forza elastica
Esempio:
F  210 kg  9,8
m
 2000 N
2
s
Per ogni gamba F ~ 1000 N
F
F
l 
S=10 cm2
l = 40 cm
F
l
Y
S
l
Y= 0,9·1010 N/m2 compressione
Y= 1,6·1010 N/m2 trazione
F l
1000 N
40 cm
 

S Y
10 cm2 0,9  1010 N
m2
4  104 m 2

=
11
0,9  10 cm
4
4  10
4  104 m 2
4 9
-5

4,44

10
m


10
m

m

11
-2
9
0,9
0,9  10  10 m
0,9  10
4
1 cm = 10-2 m
Lavoro di una forza
F
m
 
L Fs
F
s
(grandezza
scalare)
Unità di misura (S.I.)
1 J (joule)  1 N  m
F
F
θ
F//
s
 
L  F   s  F//  s
F//  F cos
s
L=F·s
F
s
L=0
Energia
•
Rappresenta la capacità che un corpo ha di compiere lavoro.
•
Concetto comune a molti campi della fisica, può presentarsi
in molteplici forme:
• energia associata a un corpo in movimento (energia cinetica)
• energia associata alla posizione di un corpo (energia potenziale)
• energia di legame molecolare (energia chimica)
• energia associata alla massa (energia nucleare, E=mc2)
• energia termica e calore
• .........
•
Ogni processo naturale coinvolge trasformazioni di energia.
•
In un sistema isolato l’energia totale si conserva sempre
(principio di conservazione dell’energia).
Energia meccanica
Energia cinetica
v
m
1
2
E c  mv
2
Energia potenziale gravitazionale
Ep  mgh
h
Principio di conservazione dell’energia
meccanica
In assenza di forze di attrito, l’energia
meccanica totale ET di un sistema si conserva
Ep  mgh o
Ep  mg h
Ec  0
L = F·s
ho
1
2
E c  m  v 
2
h´
Ep  0
1
Ec  mv 2  mgh o
2
Ec+Ep= ET = cost
L = P·h = mg·h
v  v 0  gt
v  gt
1
s  s 0  v 0 t  gt 2
2
s  s0  h
1
h  gt 2
2
1
mgh  mv 2
2
v  2gh
Conservazione dell’energia meccanica
In assenza
di forze d’attrito:
m
Ep = mgh ; Ec = 0
h
Ep = 0 ; Ec = 1/2mv2 = mgh
v=cost
In presenza di forze d’attrito:
Ep+Ec+Q = cost
energia dissipata (per attrito)
m
Ep = mgh ; Ec = 0
Ep = 0 ; Ec = 1/2m(v')2 < mgh
h
v diminuisce
v' < v
Potenza meccanica
La potenza rappresenta il lavoro compiuto
da una forza nell’unità di tempo
L
P
t
J
Unità di misura (S.I.): 1 W (watt)  1
s
Esempio:
ENEL: Potenza installata: 3 kW=3·103 W
Si pagano: kWh
1 kWh = 103 W·3600 s =
= 103 W·3,6·103 s =
= 3,6·106 W·s = 3,6·106 J
Rendimento η di una macchina
Macchina:
sistema che trasforma energia di vario
genere in lavoro meccanico.
Nel corpo umano: i muscoli
energia chimica
lavoro meccanico
Rendimento: rapporto tra il lavoro meccanico utile
prodotto dalla macchina e l’energia ET
impiegata dalla macchina:
L utile

ETotale
Esempio:
Lutile=25 J
<1
η = 20% = 0,20 = 20/100
Econsumata totale = Lutile/η = 25/0,2 = 125 J
Statica
La statica studia le condizioni di equilibrio dei corpi estesi
Punto materiale
F1
Corpo esteso


F1   F2
F1
???
F2
F2
y
yi
y
Il baricentro è il punto
di applicazione della forza peso P
xi mi

xB 
mi
B
M tot
z
xB
xi
x
Condizioni di equilibrio di un corpo rigido
F
r
r
F

F  0
equilibrio traslazionale

M  0
equilibrio rotazionale
Momento meccanico di una forza
  
Mr F

 F b
r
[N·m] (S.I.)

 
M  r  F  sen θ

b  r  sen θ
F
fulcro
b
(braccio)
90o
θ
Applicazioni
Equilibrio di un corpo su un piano:
la verticale del baricentro deve cadere nella base di appoggio
Stabile
(M=0)
Leve
Instabile
(M0)

M  0
Le leve
Fr : forza resistente
Fm: forza motrice

M  0
br
R= - (Fr +Fm)
bm
Fm
Fr

F  0
Mr  Mm
Fr  br  Fm  bm
  
R  Fr  Fm  0
Leve di I tipo
Fr·br = Fm·bm
br > b m
br
Fm  Fr 
bm
>1
Nel caso specifico:
Fm > Fr
br
bm
(leva svantaggiosa)
In una leva di I tipo si può anche
avere Fm < Fr (leva vantaggiosa)
[dipende dalla posizione del fulcro]
Leve di II tipo
bm
Fm
br
F
r
Fr·br = Fm·bm
br < b m
br
Fm  Fr 
bm
<1
Fm < Fr
(leva vantaggiosa)
Leve di III tipo
Fm
bm
br
Fr
Fr·br = Fm·bm
br > b m
Fm > Fr
(leva svantaggiosa)
Esempio
Fm
br = 30 cm = 0,3 m
bm = 3 cm = 0,03 m
m=3 kg
bm
Fr = m·g = 3·9,8 N ~ 30 N
R
gomito
br

M  0
Fr·br = Fm·bm
br
0,3 m
3  10-1 m
Fm  Fr 
 30 N 
 30 N 
bm
0,03 m
3  10- 2 m
 30 101 2 N  30  101 N  300 N

F  0
Fr + Fm + R = 0
Reazione vincolare
R = Fm – Fr = 300 N – 30 N = 270 N