Le Geometrie non euclidee
Prof. Claudio Rosanova
Liceo Scientifico E. Medi
Barcellona P.G.
L’opera “Elementi” di Euclide
Prof. Claudio Rosanova
Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria
in forma sistematica di tipo ipoteticodeduttivo
Raccoglie tutte le conoscenze dei
matematici in 13 libri
Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali
della geometria piana
Il Primo Libro degli Elementi
Prof. Claudio Rosanova
23 definizioni: descrizione intuitiva dei
concetti geometrici con riferimento al
reale
• “”Punto è ciò che non ha parti”
Assiomi o nozioni comuni: verità di
carattere generale che hanno validità
universale
5 postulati: verità evidenti, caratteristiche
della geometria
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Costruzione della geometria
euclidea
DEFINIZIONI
POSTULATI
TEOREMI
ASSIOMI
Il V Postulato
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“Se due rette con una trasversale formano
angoli coniugati interni la cui somma è
minore di due retti, quelle due prolungate
si incontrano dalla stessa parte in cui
stanno gli angoli”
A
B
P
Altre formulazioni
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“Due rette parallele formano con una
trasversale angoli coniugati interni
supplementari” (Tolomeo)
“Due rette complanari equidistanti sono
parallele” (Posidonio)”
“Per un punto fuori da una retta si può
condurre una ed una sola retta parallela
alla retta data” (Proclo)
Il gesuita Saccheri (1677-1733)
Prof. Claudio Rosanova
Opera: “Euclide emendato da ogni macchia”
(1733)
Tenta di dare una dimostrazione per
assurdo del quinto postulato
“Ammettiamo i primi 4 postulati e
neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema
T e il nonT allora il V è valido!”
L’opera di Saccheri
Prof. Claudio Rosanova
Trovò teoremi poco intuibili, ma
logicamente validi, e credette di aver
trovato la contraddizione! Getta invece le
basi per le geometrie non euclidee.
Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero
Birettangolo Isoscele”
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Il QUADRILATERO BIRETTANGOLO
ISOSCELE
D
M
C
A
N
B
L’ipotesi dell’angolo retto
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D
C
A
• AB=CD
• Somma angoli interni triangolo = 180°
• Corrisponde alla geometria euclidea
B
L’ipotesi dell’angolo ottuso
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D
C
• AB>CD
A
B
• Somma angoli interni triangolo > 180°
• Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi
dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.
L’ipotesi dell’angolo acuto
D
C
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• AB<CD
A
B
• Somma angoli interni triangolo < 180°
• Conduce all’esistenza di rette complanari asintotiche:
Saccheri la esclude perché contraria all’intuizione, sebbene
logicamente valida.
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Lambert e Legendre
Riprendono l’opera di Saccheri ma le loro
ricerche sono viziate da un errore
filosofico: “il V postulato è una verità
assolutamente indimostrabile e non può
essere negato!”.
Il russo Lobatceskij
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Gauss (1824)
afferma che una geometria
fondata sui primi 4 postulati e sulla
negazione del V non è contraddittoria, ma
non ha il coraggio di pubblicare la sua
opera
Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria
iperbolica
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Il ragionamento di Lobatceskij
P
s
l’
l
O
t
A
B
r
Il ragionamento di Lobatceskij
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Per P passano secanti e non secanti: l e l’
sono le due rette parallele ad r
() è l’angolo di parallelismo
La somma degli angoli interni di un
triangolo è minore di due retti
2R-(++)= è il difetto angolare
L’area del triangolo vale A=k2
Il ragionamento di Lobatceskij
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Se A tende a 0, tende a zero e la somma
degli angoli interni di un triangolo vale 2R
Allora la geometria euclidea è il limite
della geometria iperbolica al tendere di A a
zero
In generale, A k2 (se = allora la somma
degli angoli vale zero)
La geom. euclidea vale su scala terrestre e
astronomica
Riemann (1826-66)
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Costruisce la geometria ellittica
Assioma di Riemann: “Due rette hanno
sempre in comune un punto”, quindi non
esistono rette parallele
Viene modificato il postulato dell’infinità
della retta, introducendo il concetto di
ILLIMITATO
La teoria di Riemann
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L’illimitato come relazione di estensione:
non legittima lo spazio come infinito
L’infinito come relazione metrica
Se lo spazio ha curvatura costante, allora
sarebbe finito appena la curvatura avesse
un valore positivo
Non vi è accordo tra relazioni metriche e
postulato di Euclide
Caratteri della geometria
ellittica
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La retta è una linea chiusa
Non vale la relazione d’ordine euclidea
Per ordinare i punti è necessaria la
relazione di separazione
• S(A,B/C,D) A,B separano C,D
A
D
C
B
Caratteri della geometria
ellittica
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Segmento AB:
• per Euclide “insieme dei punti di r che stanno
tra A e B”
• Per Riemann: PR Q non S(A,B/C,D) è una
relazione di equivalenza e vi sono due classi r1
e r2 dette segmenti
r1
.
.
B
A
r2
r1
Caratteri della geometria
ellittica
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Una retta non divide il piano
.
.
A
B
r
.
.
A
B
r
Il modello di Beltrami (1835-1900)
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Esistono linee su una superficie che hanno
le stesse proprietà delle rette nel piano: le
GEODETICHE
Le geodetiche sono linee i cui tratti
rappresentano la minima distanza tra due
punti della superficie
Il modello di Beltrami (1835-1900)
Prof. Claudio Rosanova
Si hanno tre casi:
1)
la curvatura vale zero: si ha il piano e
quindi la geometria euclidea;
2) la curvatura è negativa: si ha la
superficie a curvatura negativa e quindi la
geometria iperbolica;
3) la curvatura è positiva: si ha la
superficie a curvatura positiva e quindi la
geometria ellittica;
Il modello di Beltrami (1835-1900)
Prof. Claudio Rosanova
Intoduce tre superfici curve dello spazio:
La sfera (geom. ellittica)
il cilindro (geom. euclidea)
la pseudosfera (geom. iperbolica)
Il modello di Klein (1849-1925)
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Sostituisce il V postulato con il seguente:
“Per un punto P fuori da una retta passano
due rette parallele alla retta data”
P
B
A
