Lezione 10
Ordinamento ottimo
Ricerca
Sommario
•
•
•
•
Ordinamento Ottimo O(n lg n)
Ordinamento O(n)
Alberi e Grafi
Alberi Binari di Ricerca
Ordinamento Ottimo
• In un ordinamento per confronto si usa il confronto tra
elementi per ottenere informazioni sull’ordine della
sequenza degli elementi
• dati a e b per determinare l’ordine relativo fra questi
si deve eseguire uno dei seguenti confronti:
–
–
–
–
a>b
a<b
ab
ab
• I confronti sono tutti equivalenti, nel senso che
forniscono tutti la stessa informazione
sull’ordinamento relativo tra a e b
• consideriamo pertanto solo a b
Albero di decisione
• Un algoritmo di ordinamento per confronto può
essere rappresentato a livello astratto come un
albero di decisione
• un albero di decisione rappresenta i confronti eseguiti
da un algoritmo su di una sequenza di ingresso di
data dimensione e indica sulle foglie la permutazione
dell’ingresso che corrisponde alla sequenza ordinata
dei dati in ingresso
Albero di decisione
• In un albero di decisione non si rappresenta niente
altro che i confronti (niente istruzioni per il controllo,
copia dati, etc)
• ogni nodo interno ha etichetta ai:aj con i,j
nell’intervallo dei dati in ingresso
• ogni foglia ha una etichetta del tipo [3,5,1,...] con la
quale indichiamo una permutazione degli elementi in
ingresso (cioè in questo caso consideriamo come
risultato prima il terzo elemento, poi il quinto, poi il
primo, etc)
Albero di decisione
• Ad ogni nodo interno si compie un confronto:
– se ai aj allora si va nel nodo sinistro, altrimenti destro
• L’esecuzione di un algoritmo consiste nel compiere
un cammino nell’albero di decisione a partire dalla
radice fino ad una foglia
• perché si abbia sempre una soluzione si deve
garantire che ognuna delle n! permutazioni
dell’ingresso sia rappresentato come una foglia
dell’albero di decisione
Albero di decisione per Ordinamento
a1:a2
a2:a3
a1:a3
[1,2,3]
a1:a3
[2,1,3]
[1,3,2]
a2:a3
[3,1,2]
[2,3,1]
[3,2,1]
Nota: 3 elementi, 3! combinazioni, 6 foglie
Limite inferiore
• Il cammino più lungo in un albero di decisione dalla
radice ad una qualunque foglia rappresenta il numero
di confronti che l’algoritmo deve eseguire nel caso
peggiore
• questo è pari all’altezza dell’albero
• un limite inferiore sull’altezza dell’albero di decisione
di un algoritmo è dunque un limite inferiore sul tempo
di esecuzione di un algoritmo di ordinamento per
confronti
Teorema sull’ordinamento ottimo
• Teorema:
– qualunque albero di decisione che ordina n elementi ha
altezza (n ln n)
• Dimostrazione:
– Dato che vi sono n! permutazioni di n dati ed ogni
permutazione rappresenta un possibile ordinamento allora
l’albero binario di decisione deve avere n! foglie
– un albero binario di altezza h ha al più 2h foglie
– pertanto: 2h n! (approssimazione di Stirling) nn
– passando ai logaritmi: ln 2h ln nn
– ovvero: h n ln n = (n ln n)
Conseguenze
• Un qualunque algoritmo di ordinamento per confronto
non può fare asintoticamente meglio di n ln n
• Ne consegue che il merge sort e lo heap sort sono
algoritmi ottimi in quanto limitati superiormente come
O(n ln n)
Ordinamento O(n)
• E’ tuttavia possibile scrivere algoritmi di ordinamento
che operano in tempo O(n)!!
• Per farlo si deve abbandonare il metodo di
ordinamento per confronto
• Se le chiavi da ordinare sono interi in un intervallo
prefissato allora si può utilizzare direttamente il
valore della chiave per posizionare l’elemento nella
giusta posizione nel vettore ordinato finale
Counting Sort
• Il Counting Sort si basa sull’ipotesi che ognuno degli
n elementi in ingresso sia un intero nell’intervallo da 1
a k.
• Se k=O(n) allora il tempo di esecuzione del
CountingSort è O(n).
• L’algoritmo prende in ingresso un vettore, restituisce
un secondo vettore ordinato ed utilizza un vettore di
appoggio per l’elaborazione
Spiegazione Intuitiva di Counting Sort
• Per ogni elemento x si determinano quanti elementi
minori di x vi siano
• si usa questa informazione per assegnare ad x la sua
posizione finale nel vettore ordinato
• se ad esempio vi sono 8 elementi minori di x allora x
andrà messo nella posizione 9
• bisogna fare attenzione al caso in cui vi siano
elementi coincidenti. In questo caso infatti non
vogliamo assegnare a tutti la stessa posizione.
Counting Sort
CountingSort(A,B,k)
1 for i 1 to k
2 do
C[i] 0
3 for j 1 to length[A]
4 do
C[A[j]] C[A[j]]+1
5 for i 2 to k
6 do
C[i] C[i]+C[i-1]
7 for j length[A] downto 1
8 do
B[C[A[j]]] A[j]
9
C[A[j]] C[A[j]]-1
Visualizzazione
A
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3 6 4 1 3 4 1 4
C 2 0 2 3 0 1
C 2 2 4 7 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
B
B
4
1 2 3 4 5 6
C
1
4
1 2 3 4 5 6 7 8
B
C
1 2 4 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
B
1 1 3 3 4 4 4 6
4 4
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 7 8
1
C
1 2 4 5 7 8
Tempo di calcolo del Counting Sort
• Esaminando l’algoritmo si osserva che vi sono due
cicli di lunghezza k e due di lunghezza n
• Si può far vedere che la complessità è (k+n)
• se k= (n) allora la complessità del Counting Sort è
complessivamente (n)
Stabilità del Counting Sort
• L’algoritmo Counting Sort è un metodo di
ordinamento stabile
• infatti elementi con lo stesso valore compaiono nel
vettore risultato B nello stesso ordine che avevano
nel vettore di ingresso A
Radix Sort
• Il Radix Sort è un algoritmo di ordinamento usato per
ordinare record con chiavi multiple
• Un esempio di record con chiavi multiple è dato dalla
data gg/mm/aaaa. Per ordinare per data si deve
ordinare l’anno e a parità di anno si deve ordinare per
mese e a parità di mese per giorno
• Un altro esempio di record a chiave multipla è dato
dal considerare le cifre di un intero come chiavi
separate. Per ordinare interi si ordina per la cifra di
posizione maggiore e in caso di parità per quelle di
ordine via via minore
Spiegazione intuitiva
• Il Radix Sort opera in modo contro intuitivo ordinando
prima sulle cifre meno significative e poi su quelle via
via più significative
• Supponiamo di dover ordinare una sequenza di
numeri a 3 cifre
• Utilizzando un ordinamento di tipo stabile possiamo
procedere ordinando prima per le unità, poi le decine
e in ultimo le centinaia
• ad ogni passo la stabilità ci garantisce che le cifre
precedenti sono già ordinate
Esempio
329
720
720
329
457
355
329
355
657
436
436
436
839
457
839
457
436
657
355
657
720
329
457
720
355
839
657
839
Sequenza
in ingresso
PseudoCodice
Radix-Sort(A,d)
1 for i 1 to d
2 do
metodo di ordinamento stabile su cifra i
Tempo computazionale
• Il tempo di esecuzione dipende dall’algoritmo di
ordinamento stabile scelto per ordinare le singole
cifre
• se si usa il Counting Sort si ha che per ognuna delle
d cifre si impiega un tempo (k+n) pertanto si ha
• (dk+dn)
• se d è una costante rispetto a n
• se k=(n)
• allora per il radix sort si ha (n)
Nota sulle prestazioni
• Se vogliamo ordinare 10^6 numeri a 3 cifre
– con il radix sort si effettua per ogni dato 3 chiamate al
counting sort
– con algoritmi O(n lg n) per ogni dato si effettuano lg n=20
operazioni
• Andando a estrarre le costanti numeriche nascoste
nella notazione asintotica si vede che il radix sort può
essere conveniente
• Lo svantaggio sta nel fatto che il metodo non è un
ordinamento in loco e ha bisogno di più del doppio
della memoria dei metodi in loco
Definizioni per Grafi e Alberi
• Di seguito vengono date delle definizioni su grafi ed
alberi che saranno utili per comprendere le strutture
dati presentate successivamente
Grafi
• Un grafo orientato (o diretto) G è una coppia (V,E)
dove V è un insieme finito detto dei vertici e E è una
relazione binaria su V che forma l’insieme degli archi.
Gli archi sono delle coppie ordinate di vertici.
V={1,2,3,4,5,6}
1
4
2
5
3
6
E={(1,2),(2,2),(2,4),
(2,5),(4,1),(4,5),
(5,4),(6,3)}
Grafi
• Un grafo non orientato è un grafo in cui gli archi sono
coppie non ordinate di vertici, cioè un arco fra i vertici
u,v è un insieme di due elementi {u,v} piuttosto che
una coppia (u,v)
• tuttavia si indica l’arco sempre con notazione (u,v)
1
2
3
4
5
6
Grafi
• Sia (u,v) è un arco di un grafo orientato, si dice che:
– l’arco esce dal vertice u
– l’arco entra nel vertice v
• un arco (u,v) di un un grafo non orientato si dice che
è incidente sui vertici v e u
• si dice che v è adiacente a u
– in un grafo non orientato la relazione di adiacenza è
simmetrica
– in un grafo orientato v è adiacente a u, ma non è vero il
viceversa, e si indica con la notazione uv
Grafi
• Il grado di un vertice in un grafo non orientato è il
numero di archi incidenti sul vertice
• in un grafo orientato il grado uscente (entrante) di un
vertice è il numero di archi uscenti (entranti) dal
vertice
Grafi
• Un cammino di lunghezza k da un vertice a ad un
vertice b in un grafo G=(V,E) è una sequenza di
vertici < v0, v1,…,vk> tali che
– a= v0
– b= vk
– (vi-1 ,vi) E per i=1,…,k
•
•
•
•
La lunghezza di un cammino è il suo numero di archi
un cammino < v0, v1,…,vk> è un ciclo se v0= vk
un grafo senza cicli si dice aciclico
un grafo non orientato è connesso se ogni coppia di
vertici è collegata con un cammino
Alberi
• Un albero è un grafo non orientato, connesso e
aciclico.
• Un albero radicato è un albero in cui si distingue un
vertice (chiamato radice) dagli altri vertici
• i vertici in un albero sono chiamati nodi
• sia x un nodo di un albero con radice r: qualunque
nodo y sull’unico cammino da r a x è chiamato
antenato di x e x si dice discendente di y
• il sottoalbero radicato in x è l’albero indotto dai
discendenti di x, radicato in x
Alberi
• Se l’ultimo arco di un cammino dalla radice r ad un
nodo x è l’arco (y,x) allora y è il padre di x e x è il
figlio di y
• la radice è l’unico nodo che non ha padre
• due nodi con lo stesso padre si dicono fratelli
• un nodo senza figli si dice nodo esterno o foglia
• un nodo non foglia è un nodo interno
• il numero di figli di un nodo x è il grado di x
Alberi
• la lunghezza di un cammino da r a x è la profondità di x
• la profondità massima di un qualunque nodo di un
albero è l’altezza dell’albero
• un albero ordinato è un albero radicato in cui i figli di
ciascun nodo sono ordinati (cioè si distingue il primo
figlio, il secondo, etc)
Alberi binari
• Un albero binario è una struttura definita su un
insieme finito di nodi che:
– non contiene nessun nodo, oppure
– è composto da tre insiemi disgiunti di nodi: un nodo radice,
un albero binario chiamato sottoalbero sinistro e un albero
binario chiamato sottoalbero destro
• un albero binario che non contiene nessun nodo è
detto albero vuoto o albero nullo (denotato con NIL)
• se il sottoalbero sinistro (destro) non è vuoto allora la
sua radice è detta figlio sinistro (destro)
• se un sottoalbero è l’albero nullo si dice che il figlio è
assente o mancante
Alberi binari
• Un albero binario non è un albero ordinato con nodi
con grado al più due: in un albero ordinato non si
distingue fra figlio destro o sinistro (ma si considera
solo il numero di figli)
Alberi
• in generale si parla di alberi posizionali per quegli
alberi in cui i figli dei nodi sono etichettati con interi
positivi distinti
• l’i-esimo figlio di un nodo è assente se nessun figlio è
etichettato con l’intero i
• Un albero k-ario è un albero posizionale in cui per
ogni nodo tutti i figli con etichetta più grande di k
sono assenti
Alberi
• Un albero k-ario completo è un albero k-ario in cui
tutte le foglie hanno la stessa profondità e tutti i nodi
interni hanno grado k
• Il numero di foglie di un albero k-ario è:
– la radice ha k figli a profondità 1
– ognuno dei figli ha k figli a profondità 2 per un totale di k.k
foglie
– a profondità h si hanno kh foglie
• il numero di nodi interni di un albero k-ario completo
di altezza h è:
1+k+ k2 + … +kh-1 = i=0..h-1 ki = (kh -1)/(k-1)
• quindi un albero binario ha 2h -1 nodi interni
Implementazione alberi binari
• Gli alberi si rappresentano ricorrendo agli stessi
metodi usati per rappresentare le liste
• In genere si usano strutture dati con puntatori
• Per gli alberi binari si usano strutture dati per
rappresentare i nodi che hanno un campo key e 2 o 3
puntatori ad altri nodi (si può non utilizzare il
puntatore a padre)
struct Node{
int key;
Node* p;
Node * left, * right;
};
Implementazione alberi binari
• Se x è un nodo allora
– se p[x]=NIL il nodo è la radice dell’albero
– se left[x]=NIL (right[x]=NIL) allora il nodo non ha figlio sinistro
(destro)
• Si mantiene il puntatore alla radice dell’albero T
memorizzandola nell’attributo root[T]
– se root[T]=NIL l’albero è vuoto
Visualizzazione alberi binari
key p left right
2 Ø
2
5
5
Ø
Ø
2
2
4
3
4
Ø
Ø
3
Ø
Ø
Implementazione alberi
• Se vogliamo rappresentare alberi con un numero
illimitato di figli potremmo pensare di riservare un
numero max di link ai figli come:
key p 1st 2nd 3rd 4th...
2 Ø
• ma in questo modo dobbiamo porre un limite sul
massimo grado di un nodo
• inoltre viene sprecato molta memoria per
rappresentare i puntatori NIL
Implementazione alberi
• Per rappresentare alberi con un numero illimitato di
figli conviene usare la rappresentazione figlio-sinistro
fratello-destro
• Ogni nodo conserva il campo key e puntatore a
padre
• invece di avere un puntatore per ogni figlio i nodi
hanno solo due puntatori:
– puntatore al figlio più a sinistra
– puntatore al fratello immediatamente a destra
Visualizzazione
2
2
5
4
3
3
4
5
6
9
4
8
3
4
3
3
4
6
9
4
8
3
Visualizzazione
2
2
5
4
3
3
4
5
6
9
8
3
4
4
3
4
6
3
9
8
4
3
Algoritmi su gli alberi binari: visite
• Dato un puntatore alla radice di un albero vogliamo
scandire in modo sistematico tutti i nodi di tale albero
• In una lista abbiamo una unica possibilità: quella di
seguire il link al nodo successivo
• Con un albero binario sono possibili 3 strategie:
– preordine o ordine anticipato: si visita prima il nodo e poi i
sottoalberi sinistro e destro
– inordine o ordine simmetrico: si visita prima il sottoalbero
sinistro e poi il nodo e poi il sottoalbero destro
– postordine o ordine posticipato: si visita prima il sottoalbero
sinistro, poi quello destro e poi il nodo
Visita in ordine simmetrico
Inorder-Tree-Walk(x)
1 if x NIL
2 then Inorder-Tree-Walk(left[x])
3
stampa(key[x])
4
Inorder-Tree-Walk(right[x])
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•si parte in 2
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•siamo in 1
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 1
•stampiamo 1
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•torniamo in 1
•la funzione termina
•torniamo in 2
•stampiamo 2
•….
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•siamo in 8
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•siamo in 4
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 4
•stampiamo 4
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•la funzione termina
•torniamo in 8
•stampiamo 8
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•siamo in 9
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 9
•stampiamo 9
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•torniamo in 9
•la funzione termina
•torniamo in 8
•la funzione termina
•torniamo in 2
•la funzione termina
Visita in ordine anticipato
Inorder-Tree-Walk(x)
1 if x NIL
2 then stampa(key[x])
3
Inorder-Tree-Walk(left[x])
4
Inorder-Tree-Walk(right[x])
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•si parte in 2
•stampiamo 2
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•siamo in 1
•stampiamo 1
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 1
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•torniamo in 1
•la funzione termina
•torniamo in 2
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•siamo in 8
•stampiamo 8
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•siamo in 4
•stampiamo 4
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 4
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•la funzione termina
•torniamo in 8
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•siamo in 9
Visualizzazione
2
1
8
4
9
•viene chiamata la funzione sul figlio sinistro
•non esiste figlio sinistro e la ricorsione termina
•torniamo in 9
•viene chiamata la funzione sul figlio destro
•non esiste figlio destro e la ricorsione termina
•torniamo in 9
•la funzione termina
•torniamo in 8
•la funzione termina
•torniamo in 2
•la funzione termina
Visita in ordine posticipato
Inorder-Tree-Walk(x)
1 if x NIL
2 then Inorder-Tree-Walk(left[x])
3
Inorder-Tree-Walk(right[x])
4
stampa(key[x])
Algoritmi ricorsivi su alberi binari
• Capita di dover determinare dei parametri strutturali
di un albero avendo in ingresso solo il link alla radice
• Si può sfruttare la struttura ricorsiva degli alberi ed
realizzare versioni ricorsive delle funzioni di interesse
• Consideriamo una funzione per determinare il
numero di nodi ed una per determinare l’altezza
dell’albero
Funzioni ricorsive
int count(link h)
{
if (h == NULL) return 0;
return count(h->l) + count(h->r) + 1;
}
int height(link h)
{ int u, v;
if (h == NULL) return -1;
u = height(h->l); v = height(h->r);
if (u > v) return u+1; else return v+1;
}
Ricerca
• Molte applicazioni richiedono un insieme dinamico
che fornisca solo operazioni di
inserimento/cancellazione e ricerca o al più la ricerca
di elementi particolari della collezione come il
massimo/minimo o il predecessore/successore
Alberi Binari di ricerca
• Gli alberi binari di ricerca sono strutture dati
dinamiche che forniscono le operazioni richieste
(insert, delete, search, maximum, predecessor, etc)
in tempo limitato asintoticamente dall’altezza
dell’albero, cioè per le varie operazioni si ha
T(n)=O(h)
• Quando gli alberi sono bilanciati questo comporta
avere tempi di calcolo asintotici O(ln n)
• Tuttavia si possono avere alberi sbilanciati. Un albero
può degenerare in un lista lineare. In questo caso si
hanno tempi O(n)
Alberi Binari di Ricerca
• Un albero binario di ricerca è un albero binario in cui
le chiavi soddisfano la proprietà dell’albero binario di
ricerca:
– sia x un nodo
– key di left[x] key di x
– key di right[x] key di x
2
1
8
4
9
Ordinamento delle chiavi
• In un albero binario di ricerca l’operazione di
ordinamento viene eseguita semplicemente
attraversando i nodi dell’albero in modo ricorsivo
• la visita deve essere una visita in ordine simmetrico
Visualizzazione
Root[t]
2
1
2
8
1
8
9
4
9
8
4
9
2
8
4
1
4
2
1
2
1
9
Sequenza stampata: 1 2 4 8 9
8
4
9
La ricerca
• L’idea è di confrontare la chiave di un nodo x con la
chiave cercata
• nel caso che non coincidano si cerca solo nel
sottoalbero in cui potrà trovarsi
• è possibile sapere quale sia il sottoalbero perché tutti
i nodi del sottoalbero destro contengono chiavi
maggiori della chiave di x (e nel sottoalbero sinistro
chiavi minori)
PseudoCodice per la Ricerca
(versione ricorsiva)
Tree-Search(x,k)
1 if x = NIL o k=key[x]
2 then return x
3 if k < key[x]
4 then return Tree-Search(left[x],key)
5 else return Tree-Search(right[x],key)
Tempo di calcolo
• La procedura discende a partire dalla radice l’albero
e restituisce un puntatore al nodo la cui chiave
coincide con la chiave cercata
• nel caso in cui essa non esista la procedura discende
comunque fino ad una foglia e restituisce un
puntatore nullo
• Il tempo impiegato è proporzionale alla lunghezza del
cammino percorso, ovvero limitato dalla altezza
dell’albero
• pertanto T(n)=O(h)
Nota
• E’ possibile scrivere qualsiasi procedura ricorsiva in
forma non ricorsiva (e viceversa)
• La forma ricorsiva è spesso più elegante e compatta
ma non la più efficiente
• Di seguito si da una procedura non ricorsiva per la
ricerca in un albero binario
PseudoCodice per la Ricerca
(versione iterativa)
Iterative-Tree-Search(x,k)
1 while x NIL e k key[x]
2 do
if k < key[x]
4
then
x left[x]
5
else
x right[x]
6 return x
Determinazione della chiave massima e
minima
• La chiave massima in un albero binario dovrà trovarsi
nel sottoalbero destro della radice
• e nel sottoalbero destro del figlio destro della radice
• e così via
• Analogamente per la chiave minima che dovrà
essere nel sottoalbero sinistro
• Pertanto per determinare l’elemento massimo è
sufficiente discendere tutti i nodi da figlio destro in
figlio destro fino ad arrivare alla foglia (e
analogamente con i figli sinistri per il minimo)
Minimo e massimo
Tree-Minimum(x)
1 while left[x] NIL
2 do
x left[x]
3 return x
Tree-Maximum(x)
1 while right[x] NIL
2 do
x right[x]
3 return x
Successore e predecessore
• Dato un nodo nell’albero di ricerca talvolta si richiede
di determinare il suo successore (o predecessore)
secondo l’ordinamento fornito dalle chiavi.
• Se tutte le chiavi sono distinte, il successore di un
nodo x è il nodo con la più piccola chiave maggiore
della chiave di x
• Con gli alberi binari di ricerca è possibile determinare
il successore (predecessore) di un nodo senza dover
confrontare le chiavi
Idea intuitiva
• Si considerano due casi:
– il nodo x ha un figlio destro
– il nodo x non ha un figlio destro
• Nel primo caso si considera il sottoalbero destro che
contiene sicuramente nodi con chiavi maggiori della
chiave di x
• in questo sottoalbero il nodo con la chiave più piccola
è la foglia alla estrema sinistra, cioè il nodo restituito
dalla procedura Tree-Minimum
Idea intuitiva
• Nel caso in cui x non ha un figlio destro allora il
predecessore deve essere un antenato p di x
• per p, x deve essere un discendente appartenente ad
un sottoalbero sinistro (così la chiave di p è maggiore
della chiave di x)
• perché la chiave di p sia la più piccola possibile allora
p deve essere l’antenato più prossimo
– altrimenti se consideriamo il nonno di x, padre di p, è vero
che questo ha chiave > chiave[x] ma non è la minima,
perché anche chiave[p]>chiave[x] ma
chiave[p]<chiave[nonno]
Idea intuitiva
• Per determinare questo nodo antenato è sufficiente
risalire gli antenati di x fino a quando non si trova un
nodo che è un figlio sinistro di qualche altro nodo y. Il
nodo y sarà il nodo cercato
• si mantengono pertanto i puntatori x e y ai nodi figlio
e padre e si risale fino a quando x=left[y]
Visualizzazione
15
18
6
7
3
2
17
20
13
4
Successore di 13
9
PseudoCodice Successore
Tree-Successore(x)
1 if right[x] NIL
2 then return Tree-Minimum(right[x])
3 y p[x]
4 while y NIL e x = right[y]
5 do
x y
6
y p[x]
7 return y
Predecessore
• La procedura per la determinazione del predecessore
è simmetrica a quella vista per il successore
• il predecessore si troverà nel sottoalbero sinistro (se
questo esiste), e sarà l’elemento massimo di questo
sottoalbero
• se non esiste sottoalbero sinistro il predecessore
sarà l’antenato più prossimo che ha un figlio destro
che è antenato del nodo in questione
PseudoCodice Predecessore
Tree-Predecessore(x)
1 if left[x] NIL
2 then return Tree-Maximum(left[x])
3 y p[x]
4 while y NIL e x = left[y]
5 do
x y
6
y p[x]
7 return y
Inserzione
• Per inserire un nuovo valore k in un albero binario di
ricerca:
– si passa alla procedura un nodo z tale che key[z]=k, e
left[z]=right[z]=p[k]=NIL
– si modificano i campi del nuovo nodo per inserirlo
opportunamente all’interno dell’albero binario di ricerca
• l’idea è di muoversi all’interno dell’albero a partire
dalla radice spostandosi sul sottoalbero destro o
sinistro come appropriato (confrontando le chiavi)
• una volta arrivati ad una foglia si inserisce il nuovo
nodo
Visualizzazione
15
18
6
7
3
2
17
13
4
9
14
20
Pseudocodice Inserzione
Tree-Insert(T,z)
1 y NIL
2 x root[T]
3 while x NIL
4 do
y x
5
if key[z]<key[x]
6
then x left[x]
7
else x right[x]
8 p[z] y
9 if y=NIL
10 then root[T] z
11 else if key[z] < key[y]
12
then
left[y] z
13
else
right[y] z
Cancellazione
• La procedura di cancellazione è più laboriosa in
quanto si deve tenere conto di tre casi possibili
• dato un nodo z i casi sono:
– z non ha figli
– z ha un unico figlio
– z ha due figli
• Nel primo caso si elimina direttamente il nodo z
• il secondo caso è identico al caso di eliminazione di
un nodo da una lista concatenata
• Nel terzo caso si determina il successore di z e lo si
sostituisce a z
Visualizzazione caso 1
15
15
16
5
20
12
3
10
6
13
18
23
20
12
3
10
6
7
16
5
7
18
23
Visualizzazione caso 2
15
15
16
5
20
12
3
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6
5
13
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23
10
6
7
20
12
3
7
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23
Visualizzazione caso 3
15
15
16
5
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3
10
6
6
13
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23
10
7
7
20
12
3
18
23
PseudoCodice Cancellazione
Tree-Delete(T,z)
1 if left[z]=NIL o right[z]=NIL //identifica il nodo da
cancellare o sostituire
2 then y z
3 else y Tree-Successor(z)
4 if left[y] NIL
5 then x left[y]
6 else x right[y]
7 if x NIL //ripristina il padre (cancellazione implicita)
8 then p[x] p[y]
9 if p[y] = NIL //ripristina i figli corretti
10 then root[T] x
11 else if y=left[p[y]]
12
then
left[p[y]] x
13
else
right[p[y]] x
14 if y z
15 then key[z] key[y]
17 return y //per eventuale deallocazione
Implementazione C++
#include <iostream>
using namespace std;
template<class T, class LessClass >
class TreeClass{
private:
struct Node{Node *left, *right, * parent; T key;};
Node *root;
public:
TreeClass():root(0){}
void insert(T);
void print(){p_print(root); cout<<endl;}
bool search(T user_key){return p_search(root, user_key);}
T minimum();
T maximum();
private:
void p_print(Node *);
bool p_search(Node * x, T user_key);
};
Implementazione C++
template<class T, class LessClass >
void TreeClass<T, LessClass>::p_print(Node *x){
if(x!=0){
p_print(x->left);
cout<<x->key<<" ";
p_print(x->right);
}
}
template<class T, class LessClass >
bool TreeClass<T, LessClass>::p_search(Node * x, T usr_key){
LessClass less;
if(x==0) return false;
if(!less(x->key,usr_key) && !less(usr_key,x->key)) return
true; //ugualianza
if(less(usr_key,x->key)) p_search(x->left, usr_key);
else p_search(x->right, usr_key);
}
template<class T, class LessClass >
void TreeClass<T,LessClass>::insert(T usr_key){
LessClass less;
//inizializzazione del nodo da aggingere
Node * z=new Node;
z->key=usr_key; z->left=0; z->right=0; z->parent=0;
//ricerca della giusta posizione di inserzione
Node * y=0;
Node * x=root;
while(x != 0){
y=x;
if(less(z->key, x->key)) x=x->left;
else x=x->right;
}
//settaggio dei puntatori
z->parent=y;
if(y==0) root=z;
else if(less(z->key, y->key)) y->left=z;
else y->right=z;
}
Implementazione C++
template<class T, class LessClass >
T TreeClass<T, LessClass>::minimum(){
Node * x=root;
while(x->left !=0) x=x->left;
return x->key;
}
template<class T, class LessClass >
T TreeClass<T, LessClass>::maximum(){
Node * x=root;
while(x->right !=0) x=x->right;
return x->key;
}
Implementazione C++
template<class T> struct LessClass{
bool operator()(const T & a, const T & b)const{return a<b;}
};
int main(){
//integer example
int v[]={2,5,8,1,3,4,7,9,6,0};
TreeClass<int, LessClass<int> > T;
for(int i=0;i<10;i++)
T.insert(v[i]);
T.print();
cout<<"Seraching 5:"<<
(T.search(5)? "Found":"Not found")<<endl;
cout<<"Seraching 11:"<<
(T.search(11)? "Found":"Not found")<<endl;
cout<<"Searching maximum:"<<T.maximum()<<endl;
cout<<"Searching minimum:"<<T.minimum()<<endl;
Implementazione C++
//char example
char c[]="this_is_a.";
TreeClass<char, LessClass<char> > Tc;
for(int i=0;i<10;i++)
Tc.insert(c[i]);
Tc.print();
cout<<"Seraching
(Tc.search('s')?
cout<<"Seraching
(Tc.search('v')?
cout<<"Searching
cout<<"Searching
cout<<endl;
return 0;
}
s:"<<
"Found":"Not found")<<endl;
v:"<<
"Found":"Not found")<<endl;
maximum:"<<Tc.maximum()<<endl;
minimum:"<<Tc.minimum()<<endl;
