u 1 - Unical

Corso di Teoria dei Giochi
Laurea specialistica in Economia Applicata
Docente: Giovanni D’Orio
E-mail: [email protected]
Giochi statici (o a mosse
simultanee) con
informazione completa
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
1
Prospetto di sintesi dei giochi statici ad
informazione completa
 Introduzione ai giochi
 Rappresentazione in forma Normale (o
strategica)
 Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
 Equilibrio di Nash
 Ripasso delle funzioni concave,
ottimizzazione
 Applicazione dell’equilibrio di Nash
 Equilibrio di Nash in strategie miste
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
2
Agenda
 Che cosa è la teoria dei giochi
 Esempi
Dilemma del prigioniero
 La battaglia dei sessi
 Matching pennies

 Giochi statici ad informazione completa (o a
mosse simultanee)
 Rappresentazione in forma Normale o
strategica
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
3
Che cosa è la teoria dei giochi?
 Noi ci concentreremo su giochi dove:
 Ci sono almeno due giocatori razionali
 Ogni giocatore ha più di una scelta
 Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i
giocatori; c’è interazione strategica.
 Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante.
 Ogni persona paga il proprio pasto – un problema
semplice di decisione
 Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere
il conto fra tutti i partecipanti – un gioco
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
4
Che cosa è la teoria dei giochi?
 La Teoria dei Giochi è un modo formale di
analizzare l’interazione strategica tra un
gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si
comportano strategicamente
 La teoria dei giochi ha applicazioni
Economiche
 Politiche
 etc.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
5
Esempio Classico: Il Dilemma del
prigioniero
 Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine
rilevante. Non ci sono però prove sufficienti.
 Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola:
 Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un
crimine minore e condannati ad un mese di carcere.
 Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei
mesi di carcere.
 Se uno confessa ma l’altro nega, allora chi confessa sarà rilasciato
ma l’altro sconterà nove mesi di carcere.
Prigioniero 2
Nega
Prigioniero 1
Nega
Confessa
-1 , -1
0 , -9
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Confessa
-9 ,
0
-6 , -6
6
Esempio: La battaglia dei sessi
 In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la
serata all’opera o a un combattimento di boxe.
 Sia Chris che Pat sanno quanto segue:



Entrambi vorrebbero passare la serata insieme.
Ma Chris preferisce l’opera.
Pat preferisce la boxe.
Pat
Opera
Boxe
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Boxe
0 ,
0
1 ,
2
Chris
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
7
Esempio: Matching pennies
 Ognuno dei due giocatori ha una monetina.
 I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare
Testa o Croce.
 Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole:
 Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito
(entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2
vince la moneta del giocatore 1.
 In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore
2.
Giocatore 2
Testa
Croce
Giocatore 1
Testa
Croce
-1 ,
1
1 , -1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
1 , -1
-1 ,
1
8
Gioco statico (o a mosse simultanee) con
informazione completa
Un gioco statico consiste di:
 Un insieme di giocatori
(almeno 2)
 Per ogni giocatore, un
insieme di
strategie/azioni
 Payoffs ottenuti da ogni
giocatore data la
combinazione delle
strategie, o preferenze
per ogni giocatore sulle
combinazioni delle
strategie
 {Giocat. 1, Giocat. 2, ...
Giocat. n}
 S1 S2 ... Sn
 ui(s1, s2, ...sn), per ogni
s1S1, s2S2, ... snSn.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
9
Gioco statico (o a mosse simultanee) con
informazione completa
 Mosse simultanee
Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere
la scelta degli altri.
 Informazione completa
 Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei
payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori.
 Assunzioni sui giocatori
 Razionalità

•
•

I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs
I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori)
Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
10
Gioco statico (o a mosse simultanee) con
informazione completa
 I giocatori cooperano?
No. Questi sono giochi non cooperativi
 Il timing (la sequenza degli eventi)
 Ogni giocatore i sceglie la propria strategia si
senza conoscere la scelta altrui.
 Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio
payoff
ui(s1, s2, ..., sn).
 Il gioco finisce

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
11
Definizione: Rappresentazione in
forma normale o strategica
 La rappresentazione in forma normale (o
strategica) di un gioco G specifica:
 Un
insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
 Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2
... Sn e
 Le funzioni di pay-off u1 u2 ... un
dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
12
Rappresentazione in forma normale:
gioco a 2 giocatori
 Rappresentazione Bi-matriciale
 2 giocatori: Player 1 e Player 2
 Ogni giocatore ha un numero finito di strategie
 Esempio:
S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
Player 2
s21
s22
s11
u1(s11,s21), u2(s11,s21)
u1(s11,s22), u2(s11,s22)
Player 1 s12
u1(s12,s21), u2(s12,s21)
u1(s12,s22), u2(s12,s22)
s13
u1(s13,s21), u2(s13,s21)
u1(s13,s22), u2(s13,s22)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
13
Esempio Classico: Rappresentazione
“normale” del Dilemma del Prig.
 Insieme di giocatori:
{Prigioniero 1, Prigioniero 2}
 Insieme delle strategie: S1 = S2 = {Nega, Confessa}
 Funzioni di Payoff :
u1(N, N)=-1, u1(N, C)=-9, u1(C, N)=0, u1(C, C)=-6;
u2(N, N)=-1, u2(N, C)=0, u2(C, N)=-9, u2(C, C)=-6
Prig. 2
Giocat.
Nega
Strateg.
Nega
Prig. 1
Confessa
-1 , -1
0 , -9
Confessa
-9 ,
0
-6 , -6
Payoffs
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
14
Esempio: La battaglia dei sessi
Pat
Opera
Boxe
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Boxe
0 ,
0
1 ,
2
Chris
 Rappresentazione in forma Normale:
 Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2})
 Insieme strategie: S1 = S2 = { Opera, Boxe}
 Funzioni di Payoff :
u1(O, O)=2, u1(O, B)=0, u1(B, O)=0, u1(B, B)=1;
u2(O, O)=1, u2(O, B)=0, u2(B, O)=0, u2(B, B)=2
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
15
Esempio: Matching pennies
Player 2
Testa
Testa
Player 1
Croce
-1 ,
Croce
1
1 , -1
1 , -1
-1 ,
1
 Rappresentazione in forma normale:
 Insieme giocatori:
{Player 1, Player 2}
 Insieme strategie: S1 = S2 = { Testa, Croce }
 Funzioni di Payoff :
u1(T, T)=-1, u1(T, C)=1, u1(C, T)=1, u1(C, C)=-1;
u2(T, T)=1, u2(T, C)=-1, u2(C, T)=-1, u2(C, C)=1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
16
Esempio: Turisti e Nativi
 Solo due bars (bar 1, bar 2) in città
 Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $5
 6000 turisti scelgono un bar casualmente
 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore
 Esempio 1:
Entrambi fissano $2
 Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000
 Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5
 Bar 1 prende 3000+4000=7,000 clienti e $28,000
 Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
17
Esempio: Il modello di duopolio di
Cournot
 Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1
e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q1 e
q2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere
la quantità scelta dall’altra..
 Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q1+q2.
 Il costo dell’impresa i di produrre qi è Ci(qi)=cqi.
Rappresentazione in forma normale:



Insieme giocatori:
{ Firm 1, Firm 2}
Insieme strategie:
S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
Funzione di Payoff :
u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
18
Ancora un esempio
 Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e
100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato
dal giocatore i.
 Sia y la media di questi numeri
 Il payoff del giocatore i sia = xi – 3y/5
La rappresentazione in forma normale:
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
19
Risolvere il Dilemma del Prigioniero
 Confessare dà sempre un risultato migliore
indipendentemente dalla scelta dell’altro
 Strategia dominata

Esiste un’altra strategia che dà sempre risultati migliori
indipendentemente dalla scelta degli altri.
Prisoner 2
Nega
Confessa
Giocatori
Strategie
Nega
Prigion. 1
Confessa
-1 , -1
0 , -9
-9 ,
0
-6 , -6
Payoffs
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
20
Definizione: strategie strettamente
dominate
Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 ,
u2 , ..., un}, siano si', si"  Si strategie possibili per I
giocatori i. La strategia si' è strettamente dominata
si” è
dalla strategia si" se
strettamente
ui(s1, s2, ... si-1, si', si+1, ..., sn)
meglio di si’
< ui(s1, s2, ... si-1, si", si+1, ..., sn)
Per ogni s1 S1, s2 S2, ..., si-1Si-1, si+1 Si+1, ..., sn
Prig. 2
Sn.
Indipend. Scelta
altrui
Nega
Prig. 1
Confessa
Nega
-1 , -1
0 , -9
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Confessa
-9 ,
0
-6 , -6
21
Riassunto
 Giochi statici ad informazione completa
 Rappresentazione normale o strategica
 Prossimo argomento



Strategie dominate
Eliminazione iterata di strategie strettamente
dominate
Equilibrio di Nash
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
22
Ripasso veloce
 La forma normale di un gioco G specifica:



Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e
Le loro funzioni di payoff u1 u2 ... un
dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R.
Tutte le combinazioni delle strategie.
Una combinazione di strategie è un
insieme di strategie, una per ogni
giocatore
Prig. 2
Nega
Prig. 1
Nega
Confessa
Confessa
-1 ,
-1
-9 ,
0
0 ,
-9
-6 ,
-6
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
23
Definizione: strategie strettamente
dominate
Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 ,
u2 , ..., un}, siano si', si"  Si strategie possibili per I
giocatori i. La strategia si' è strettamente dominata
si” è
dalla strategia si" se
strettamente
ui(s1, s2, ... si-1, si', si+1, ..., sn)
meglio di si’
< ui(s1, s2, ... si-1, si", si+1, ..., sn)
Per ogni s1 S1, s2 S2, ..., si-1Si-1, si+1 Si+1, ..., sn
Prig. 2
Sn.
Indipend. Scelta
altrui
Nega
Prig. 1
Confessa
Nega
-1 , -1
0 , -9
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Confessa
-9 ,
0
-6 , -6
24
Esempio
 Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt.
 Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria
clientela se nessuna fa pubblicità (Ad)
 La pubblicità costa all’impresa $20 milioni
 La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dell’altro
concorrente
Philip
No Ad
Reynolds
Ad
No Ad
60 ,
60
30 ,
70
Ad
70 ,
30
40 ,
40
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
25
Gioco a 2 con strategie finite
 S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
 s11 è strettamente dominata da s12 se
u1(s11,s21)<u1(s12,s21) e u1(s11,s22)<u1(s12,s22).
 s21 è strettamente dominata da s22 se
u2(s1i,s21) < u2(s1i,s22), per i = 1, 2, 3
Player 2
s21
s22
s11
u1(s11,s21), u2(s11,s21)
u1(s11,s22), u2(s11,s22)
Player 1 s12
u1(s12,s21), u2(s12,s21)
u1(s12,s22), u2(s12,s22)
s13
u1(s13,s21), u2(s13,s21)
u1(s13,s22), u2(s13,s22)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
26
Definizione: strategie debolmente
dominate
Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 ,
u2 , ..., un}, siano si', si"  Si strategie possibili per il
giocatore i. La strategia si' è debolmente dominata
dalla strategia si" se
ui(s1, s2, ... si-1, si', si+1, ..., sn)
(ma non sempre =) ui(s1, s2, ... si-1, si", si+1, ..., sn)
per tutte s1 S1, s2 S2, ..., si-1Si-1, si+1 Si+1, ..., sn
Sn.
Player 2
Qualsiasi sia la
scelta altrui
L
R
U
1 ,
1
2 ,
0
B
0 ,
2
2 ,
2
Player 1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
si” è
almeno
tanto
buono
quanto
si’
27
Strategie dominate in modo stretto o in
modo debole
 Un giocatore razionale non sceglie mai
strategie strettamente dominate. Quindi ogni
strategia strettamente dominata può essere
eliminata.
 Un giocatore razionale può scegliere una
strategia debolmente dominata.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
28
Eliminazione iterata di strategie
strettamente dominate
 Se una strategia è strettamente dominata,
eliminatela
 La dimensione e complessità del gioco
risulterà ridotta
 Eliminate ogni strategia strettamente
dominata dal gioco ridotto
 Continuate le eliminazioni finchè non ci
saranno più strategie strettam. dominate
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
29
Eliminazione iterata di strategie
strettamente dominate: un esempio
Player 2
Sinistra
Centro
Su
1 ,
0
1 ,
2
0 ,
1
Giù
0 ,
3
0 ,
1
2 ,
0
Player 1
Destra
Player 2
Sinistra
Centro
Su
1 ,
0
1 ,
2
Giù
0 ,
3
0 ,
1
Player 1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
30
Esempio: Turisti e Nativi
 Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città
 Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $5
 6000 turisti scelgono un bar casualmente
 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore
 Esempio 1:
Entrambi fissano $2
 Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000
 Esempio 2:
Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5
 Bar 1 attrae 3000+4000=7,000 clienti e $28,000
 Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
31
Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2
Bar 1
$2
$2
10 , 10
$4
14 , 12
$5
14 , 15
$4
12 , 14
20 , 20
28 , 15
$5
15 , 14
15 , 28
25 , 25
Payoffs sono in migliaia di dollari
Bar 2
Bar 1
$4
$4
20 , 20
$5
28 , 15
$5
15 ,
25 ,
28
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
25
32
Ancora un esempio
 Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e
100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato
dal giocatore i.
 Sia y la media di questi numeri
 Il payoff del giocatore I sarà = xi – 3y/5
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
33
Un esempio ulteriore
 La rappresentazione in forma normale:
Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n}
 Strategie: Si =[0, 100], per i = 1, 2, ..., n.
 Funzione di payoff:
ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5

 Ci sono strategie dominate?
 Quali numeri dovrebbero essere selezionati?
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
34
Un nuovo concetto di soluzione:
l’equilibrio di Nash
Giocat. 2
L
T
0 ,
4
C
4 ,
0
R
5 ,
3
Giocat. 1 M
4 ,
0
0 ,
4
5 ,
3
B
3 ,
5
3 ,
5
6 ,
6
La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente
proprietà:
Il Giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia
diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R.
Il Giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia
diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
35
Un nuovo concetto di soluzione:
l’equilibrio di Nash
Giocat. 2
L’
0 ,
Giocat. 1 M’
B’
T’
4
C’
4 ,
0
R’
3 ,
3
4 ,
0
0 ,
4
3 ,
3
3 ,
3
3 ,
3
3.5 , 3.6
La combinazione di strategie (B’, R’) ha la seguente
proprietà:
Il giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia
diversa da B’, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R’.
Il giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia
diversa da R’, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B’.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
36
Equilibrio di Nash : l’idea
 L’equilibrio di Nash

Un insieme di strategie, una per ogni
giocatore, tale che la strategia di ogni
giocatore sia la migliore risposta possibile nel
momento in cui gli altri giocatori stanno
giocando le loro strategie di equilibrio.

BR to BR= Best response to a best response
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
37
Definizione: L’equilibrio di Nash
Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 ,
u2 , ..., un}, una combinazione di strategie ( s1* ,..., sn* ) è
un equilibrio di Nash se, per ogni giocat. i,
Data la scelta
*
* *
*
*
altrui, il giocat. i
ui ( s1 ,..., si 1, si , si 1,..., sn )
non può migliorare
se devia da si*
 ui ( s1* ,..., si*1, si , si*1,..., sn* )
per tutte si  Si . Ciò implica che, si* solve
Max ui ( s1* ,..., si*1, si , si*1,..., sn* )
soggetto a si  Si
Prig. 2
Nega
Nega
Prig. 1
Confessa
Confessa
-1 ,
-1
-9 ,
0
0 ,
-9
-6 ,
-6
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
38
Gioco a 2 giocatori con strategie finite
 S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
 (s11, s21)è un equilibrio di Nash se
u1(s11,s21)  u1(s12,s21),
u1(s11,s21)  u1(s13,s21) e
u2(s11,s21)  u2(s11,s22).
Giocatore 2
Gioc. 1
s21
s22
s11
u1(s11,s21), u2(s11,s21)
u1(s11,s22), u2(s11,s22)
s12
u1(s12,s21), u2(s12,s21)
u1(s12,s22), u2(s12,s22)
s13
u1(s13,s21), u2(s13,s21)
u1(s13,s22), u2(s13,s22)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
39
Ricerca dell’equilibrio di Nash:
ispezione cella a cella
Player 2
Left
Middle
Right
Up
1 ,
0
1 ,
2
0 ,
1
Down
0 ,
3
0 ,
1
2 ,
0
Player 1
Player 2
Left
Middle
Up
1 ,
0
1 ,
2
Down
0 ,
3
0 ,
1
Player 1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
40
Riassunto
 Strategie dominate
 Eliminazione iterata
 Equilibrio di Nash
 Prossimo argomento


Equilibrio di Nash
Funzione di risposta ottima
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
41
Equilibrio di Nash : idea
 Equilibrio di Nash
 Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale
che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore
possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno
giocando la loro migliore strategia o
 Una situazione stabile nella quale nessun giocatore
vuole deviare se gli altri confermano la propria
posizione
Prig. 2
(Confessa, Confessa) è
un equilibro di Nash.
Prig. 1
Nega
Nega
Confessa
Confessa
-1 ,
-1
-9 ,
0
0 ,
-9
-6 ,
-6
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
42
Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2
Bar 1
$2
$2
10 , 10
$4
14 , 12
$5
14 , 15
$4
12 , 14
20 , 20
28 , 15
$5
15 , 14
15 , 28
25 , 25
Payoffs sono in migliaia di dollari
Bar 2
Bar 1
$4
$4
20 , 20
$5
28 , 15
$5
15 ,
25 ,
28
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
25
43
Ancora quell’esempio
 Rappresentazione in forma normale:
Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n}
 Strategie: Si =[0, 100], for i = 1, 2, ..., n.
 Funzioni di Payoff :
ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5

 Quale è l’equilibrio di Nash?
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
44
Funzione di risposta ottima: esempio
Player 2
Player 1




T’
L’
0 ,
4
C’
4 ,
M’
B’
0
R’
3 ,
3
4 ,
0
0 ,
4
3 ,
3
3 ,
3
3 ,
3
3.5 , 3.6
Se Player 2 sceglie L’ allora la strategia ottima di Player 1 è M’
Se Player 2 sceglie C’ allora la strategia ottima di Player 1 è T’
Se Player 2 sceglie R’ allora la strategia ottima di Player 1 è B’
Se Player 1 sceglie B’ allora la strategia ottima di Player 2’ è R’
 Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore,
data la strategia scelta da altri giocatori
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
45
Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2
Bar 1
$2
$2
10 , 10
$4
14 , 12
$5
14 , 15
$4
12 , 14
20 , 20
28 , 15
$5
15 , 14
15 , 28
25 , 25
Payoffs in migliaia di dollari
 Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle
strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5?
 Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle
strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5?
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
46
Gioco a 2 giocatori con strategie finite
 S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
 La strategia di Player 1 s11 è la migliore risposta alla
strategia di Player 2 s21 se
u1(s11,s21)  u1(s12,s21) e
u1(s11,s21)  u1(s13,s21).
Player 2
s21
s22
s11
u1(s11,s21), u2(s11,s21)
u1(s11,s22), u2(s11,s22)
Player 1 s12
u1(s12,s21), u2(s12,s21)
u1(s12,s22), u2(s12,s22)
s13
u1(s13,s21), u2(s13,s21)
u1(s13,s22), u2(s13,s22)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
47
Utilizzo delle funzioni di risposta
ottima per trovare l’equilibrio di Nash
 In un gioco a due giocatori, ( s1, s2 ) è un
equilibrio di Nash se e solo se la strategia di
player 1’ s1 è la migliore risposta alla strategia
di player 2 s2, e la strategia di player 2 s2 è la
migliore risposta alla strategia di player 1 s1.
Prisoner 2
Mum
Confess
Mum
Prisoner 1
Confess
-1 , -1
0 , -9
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
-9 ,
0
-6 , -6
48
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per
trovare l’equilibrio di Nash : esempio
Player 2
Player 1






T’
L’
0 ,
4
C’
4 ,
M’
B’
0
R’
3 ,
3
4 ,
0
0 ,
4
3 ,
3
3 ,
3
3 ,
3
3.5 , 3.6
M’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L’ di Player 2
T’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C’ di Player 2
B’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R’ di Player 2
L’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T’ di Player 1
C’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia M’ di Player 1
R’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia B’ di Player 1
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
49
Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2
Bar 1
$2
$2
10 , 10
$4
14 , 12
$5
14 , 15
$4
12 , 14
20 , 20
28 , 15
$5
15 , 14
15 , 28
25 , 25
I Payoffs sono in migliaia di dollari
Usate la funzione di rsposta ottima per trovare
l’equilibrio di Nash.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
50
Esempio: La battaglia dei sessi
Pat
Opera
Prize Fight
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Prize Fight
0 ,
0
1 ,
2
Chris
 Opera è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Opera
 Opera è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Opera

Quindi, (Opera, Opera) è un Equilibrio di Nash
 Fight è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Fight
 Fight è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Fight

Quindi, (Fight, Fight) è un Equilibrio di Nash
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
51
Esempio: Matching pennies
Player 2
Head
Head
Player 1
Tail
-1 ,
Tail
1
1 , -1
1 , -1
-1 ,
1
 Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Tail
 Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Tail
 Tail è la risposta ottima di Player alla strategia di Player 2 Head
 Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Head

Quindi, NON c’è equilibrio di Nash
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
52
Definizione: funzione di risposta
ottima
Nel gioco in forma normale
{S1 , S2 , ..., Sn , u1 , u2 , ..., un},
Se i giocat. 1, 2, ..., i-1, i+1, ..., n scelgono rispettivamente
s1,..., si 1, si 1,..., sn , strategie,
Allora la funzione di risposta ottima del giocatore i è
definita da
Bi ( s1 ,..., si 1 , si 1 ,..., sn ) 
{si  Si : ui ( s1 ,..., si 1 , si , si 1 ,..., sn )
 ui ( s1 ,..., si 1 , si, si 1 ,..., sn ), per tutte le si  Si }
Date le
strategie
degli altri
La risposta ottima
di Player i
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
53
Definizione: funzione di risposta ottima
Una definizione alternativa:
La strategia di Player i si  Bi ( s1,..., si 1, si 1,...sn ) se e solo
se risolve (o è soluzione d’ottimo)
Max ui ( s1,..., si 1, si , si 1,..., sn )
oggetto a si  Si
dove s1, ..., si 1, si 1, ..., sn sono date.
La risposta ottima di Player 1 alle strategie altrui è una soluzione d’ottimo di
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
54
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per
la definizione degli equilibri di Nash
Nel gioco in forma normale {S1, ..., Sn , u1, ..., un},
una combinazione di strategie ( s1* ,..., sn* ) è un
equilibrio di Nash se per ogni giocatore i,
si*  Bi ( s1* ,..., si*1, si*1, ..., sn* )
 Insieme di strategie, una per giocatore, tale che la
strategia di ogni giocatore è per lui la migliore,
assunto che gli altri stanno giocando le loro strategie
ottime, o
 Una situazione stabile che nessun giocatore vuole
cambiare se gli altri non cambiano
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
55
Riassunto
 Equilibrio di Nash
 Funzione di risposta ottima
 Utilizzo della funzione di risposta ottima per la
definizione dell’equilibrio di Nash
 Utilizzo della funzione di risposta ottima per la
determinazione dell’equilibrio di Nash
 Prossimo argomento
 Funzioni concave e ottimizzazione
 Applicazioni
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
56
Riassunto
 In un gioco a
n-giocatori in forma normale, se
l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
elimina tutte le strategie tranne ( s1*, s2*, ..., sn*), allora (s1*,
s2*, ..., sn*) è l’unico equilibrio di Nash.
 In un gioco a n-giocatori in forma normale, se le strategie
( s1*, s2*, ..., sn*) è un equilibrio di Nash allora esse
sopravvivono all’eliminazione iterata di strategie
strettamente dominate. Male strategie che superano
l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
non necessariamente sono equilibri di Nash.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
57
Il modello del duopolio di Cournot
 Un prodotto è realizzato solo da due imprese:
impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono
denotate rispettivamente da q1 e q2,. Ogni
impresa sceglie la propria quantità senza
conoscere la scelta dell’altra.
 Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove a è una
costante e Q=q1+q2.
 Il costo dell’impresa i per produrre la quantità
qi è Ci(qi)=cqi.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
58
Il modello del duopolio di Cournot
La rappresentazione in forma normale:
Insieme dei giocatori: { Impresa 1, Impresa 2}
 Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
 Funzioni di payoff:
u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c)
u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
59
Il modello del duopolio di Cournot
 Come trovare l’equilibrio di Nash:
 Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia
la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2*
dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa
2 alla quantità q1* dell’impresa 1
 Ciò significa che, q1* risolve
Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)
soggetto a 0  q1  +∞
e q2* risolve
Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)
soggetto a 0  q2  +∞
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
60
Funzioni concave
Una funzione f (x) è concava se, per ogni x e y,
f (x  (1   ) y )  f ( x)  (1   ) f ( y )
per tutti 0    1.
f(x)
x
0
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
61
Funzioni convesse
Una funzione f (x) è convessa se, per ogni x e y,
f (x  (1   ) y )  f ( x)  (1   ) f ( y )
per tutti 0    1.
f(x)
0
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
x
62
Concavità e convessità
Alcuni risultati utili:
 Una funzione
f (x)
è concava se e solo se
f ( x)  0.
 Una funzione
f (x)
è convessa se e solo se
f ( x)  0.

f (x)
è concava se e solo se
 f (x)
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
è convessa.
63
Concavità e convessità
Esempio 1: f ( x)  3x 2  6 x  4 , f ( x)  6 x  6 ,
f ( x)  6  0. Quindi, f (x) è concava.
Esempio 2: f ( x)  e x , f ( x)  f ( x)  e x  0 .
Quindi, f (x) è convessa.
Esempio 3: f ( x, y)  2 xy  4 y  x 2  3 y 2
Per ogni dato y, f ( x, y ) è concava in x perchè
f x( x, y)  2 y  2 x e f x( x, y)  2  0
Per ogni dato x, f ( x, y ) è convessa in y perchè
f y ( x, y )  2 x  4  6 y e f y( x, y )  6  0
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
64
Massimi e minimi
 Un massimo di f (x) è un punto x' tale che f ( x)  f ( x) per
ogni x .
 Un minimo di f (x) è un punto x* tale che f ( x*)  f ( x) per
ogni x .
f(x)
0
x*
x’
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
x
65
Massimo e minimo
 Condizioni di primo ordine (FOC): se un punto x è un
massimo o minimo allora x soddisfa le condizioni di primo
ordine (FOC): f ( x)  0 .
 Se f (x) è concave e x soddisfa le FOC, allora x è un
massimo.
 Se f (x) è convessa e x * soddisfa le FOC, allora x * è un
minimo.
f(x)
f(x)
0
x’
0
x
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
x*
x
66
Trovare il massimo di una funzione
concava
Trovare il max di una funzione concava f (x)
 Calcolate f (x)
 Calcolate f (x) e controllate se f ( x)  0
 Se f ( x)  0 allora risolvete f ( x)  0 .
 La soluzione è un massimo
Esempio 1: f ( x)  3x 2  6 x  4 , f ( x)  6 x  6 ,
f ( x)  6  0. Quindi, f (x) è concava.
Risolvendo f ( x)  0 da x=1, il massimo.
Esempio 3: f ( x, y)  2 xy  4 y  x 2  3 y 2
Per ogni y fisso, f ( x, y ) è concava in x.
Per ogni y fisso, trovate il massimo di f ( x, y )
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
67
Massimo e minimo
Un massimo di f (x) nel dominio [x1, x2] è un punto x'
in [x1, x2] tale che f ( x)  f ( x) per ogni x  [ x1, x2 ].
Un minimo di f (x) nel dominio [x1, x2] è un punto x*
in [x1, x2] ale che f ( x*)  f ( x) per ogni x  [ x1, x2 ].
f(x)
x1
0
x*
x’
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
x2
x
68
Trovare il massimo di una funzione
concava con vincoli
Trovare il massimo di una f (x) concava nel dominio [ x1, x2 ]
 Trovate il max x di f (x) senza vincoli
 Se x è in [ x1, x2 ] allora x è anche un max per il
problema vincolato
 Altrimenti,
a. se f ( x1 )  f ( x2 ) o x  x1 allora x1 è un massimo;
b. se f ( x1 )  f ( x2 ) o x  x2 allora x2 è un massimo;
c. se f ( x1 )  f ( x2 ) allora ogni punto in [ x1, x2 ] è un
massimo.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
69
Trovare il massimo di una funzione
concava con vincoli
Esempio 4:
Max f ( x)  3x 2  6 x  4
s. a  2  x  2
Risolvere il problema senza vincolo dà come
soluzione x=1. Dato che 1 è nel dominio, 1 è anche il
punto di massimo del problema vincolato.
Esempio 5:
Max f ( x)  3x 2  6 x  4
x2
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
70
Trovare il massimo di una funzione
concava con vincoli
f(x)=-3x2+6x-4
x
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
71
Utilizzo della funzione di risposta ottima per
la ricerca dell’equilibrio di Nash
 In un gioco a due gioc., ( s1, s2 ) è un equilibrio
di Nash se e solo se la strategia s1 del gioc.1
è la rsipsota ottima alla strategia s2 del gioc.
2, e se la strategia s2 del giocatore 2 è la
risposta ottima alla strategia s1 del giocatore 1
Prig. 2
Nega
Nega
Prig. 1
Confessa
-1 , -1
0 , -9
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Confessa
-9 ,
0
-6 , -6
72
Il modello del duopolio di Cournot
 Come trovare l’equilibrio di Nash:
 Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia
la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2*
dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa
2 alla quantità q1* dell’impresa 1
 Ciò significa che, q1* risolve
Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)
soggetto a 0  q1  +∞
e q2* risolve
Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)
soggetto a 0  q2  +∞
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
73
Il modello del duopolio di Cournot
 Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvete
Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)
s. a 0  q1  +∞
FOC: a - 2q1 - q2*- c = 0
q1 = (a - q2*- c)/2
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
74
Il modello del duopolio di Cournot
 Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvete
Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)
s. a 0  q2  +∞
FOC: a - 2q2 – q1* – c = 0
q2 = (a – q1* – c)/2
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
75
Il modello del duopolio di Cournot
 Ricerca dell’equilibrio di Nash

La coppia (q1*, q2*) è un equilibrio di Nash se
q1* = (a – q2* – c)/2
q2* = (a – q1* – c)/2

Risolvere queste due equazioni ci dà:
q1* = q2* = (a – c)/3
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
76
Il modello del duopolio di Cournot
 Funzione di risposta ottima

La funzione di risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2
dell’impresa 2
R1(q2) = (a – q2 – c)/2 if q2 < a– c; 0 negli altri casi, e

La funzione di risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1
dell’impresa 1
R2(q1) = (a – q1 – c)/2 if q1 < a– c; 0 negli altri casi

q2
a–c
Equilibrio di
Nash
(a – c)/2
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
(a – c)/2 a – c
q1
77
Il modello del duopolio di Cournot a n
imprese
 Un prodotto è realizzato da n imprese:
dall’impresa 1 all’impresa n. La quantità
dell’impresa i sia qi.Ogni impresa effettua la
propria scelta senza sapere ciò che fanno le
altre.
 Il prezzo di mkt. è P(Q)=a-Q, dove a è una
costante e Q=q1+q2+...+qn.
 Il costo dell’impresa i di produrre la quantità qi
è Ci(qi)=cqi.
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
78
Il modello del duopolio di Cournot
La rappresentazione in forma normale:
 Insieme
dei giocatori: { Impresa 1, ...
Impresa n}
 Insieme delle strategie:
Si=[0, +∞),
per i=1, 2, ..., n
 Funzioni di payoff:
ui(q1 ,..., qn)=qi(a-(q1+q2 +...+qn)-c)
for i=1, 2, ..., n
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
79
Il modello del duopolio di Cournot
 Come trovare l’equilibrio di Nash
 Trovate le quantità (q1*, ... qn*) tali che qi* e la risposta
ottima dell’impresa i alle quantità delle altre imprese.
 Ciò significa che q1* risolve
Max u1(q1, q2*, ..., qn*)=q1(a-(q1+q2* +...+qn*)-c)
s. a 0  q1  +∞
e q2* risolve
Max u2(q1*, q2 , q3*, ..., qn*)=q2(a-(q1*+q2+q3*+ ...+ qn*)-c)
s. a 0  q2  +∞
.......
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
80
Riassunto
 Equilibrio di Nash
 Funzioni concave e massimizzazione
 Il modello del duopolio e dell’oligopolio di
Cournot
 Prossimo argomento

Il modello del duopolio di Bertrand
Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
81