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Analisi delle Decisioni
Probabilita’ condizionate
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Probabilità condizionate
• Le probabilità in gioco non sempre
sono indipendenti da specifici eventi
• Quando ciò non è più vero, si hanno
probabilità condizionate
P(A|B)
probabilità che si verifichi A
supponendo che si verifichi B
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Esempio: ecografia
• Si considerino i seguenti eventi
relativi alla nascita di un bambino:
• M il nascituro è maschio
• F il nascituro è femmina
• EM l’ecografia prevede “maschio”
• EF l’ecografia prevede “femmina”
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Esempio: ecografia
• Si consideri dapprima la probabilità
che due eventi si verifichino entrambi
(probabilità congiunta):
P(M,EM)
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Esempio: ecografia
• Valgono le seguenti espressioni:
P(M,EM) = P(M|EM) P(EM)
P(M,EM) = P(EM|M) P(M)
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Teorema di Bayes
• Quindi:
P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M)
ossia
P(M|EM) =
P(EM|M) P(M)
P(EM)
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Esempio: ecografia
Supponiamo
• P(M) = 0.5
P(F) = 0.5
• P(EM|M) = 0.9
P(EM|F) = 0.05
e di conseguenza
• P(EF|M) = 0.1
P(EF|F) = 0.95
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Esempio: ecografia
Possiamo ora calcolare
P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F)
= 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475
P(EF) = 1- P(EM) = 0.525
Possiamo ora applicare la formula di
Bayes
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Esempio: ecografia
P(M|EM) =
=
P(EM|M) P(M)
P(EM)
0.9
0.5
0.475
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= 0.947
Esempio: ecografia
P(F|EF) =
=
P(EF|F) P(F)
P(EF)
0.95
0.5
0.525
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= 0.904
Teorema di Bayes
• In generale, dati due eventi A e B:
P(A|B) =
P(B|A) P(A)
P(B)
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Teorema di Bayes
Probabilità condizionate
P(A|B) =
Probabilità a-priori
P(B|A) P(A)
P(B)
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Teorema di Bayes
• È uno strumento per integrare in
modo quantitativo le informazioni
disponibili (prob. a-priori) con quelle
rilevabili o misurabili (prob.
condizionate)
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Esempio: il concerto
• Supponiamo ora che sia disponibile
ulteriore informazione sul tempo di
domani
• Questa informazione non è perfetta
• Come determinare il valore di questa
informazione?
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Attendibilità dell’informazione
• Caratterizziamo l’attendibilità della
nuova informazione in termini di
probabilità condizionata:
P(“Sereno”|Sereno) = 0.8
P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8
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Attendibilità dell’informazione
• L’informazione a-priori in questo caso
è data da:
P(Ser) = 0.4
P(Piog) = 0.6
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Attendibilità dell’informazione
• La probabilità che la nuova
informazione indichi “sereno”sarà:
P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) +
P(“Ser”|Piog) P(Piog) =
0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44
P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56
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Attendibilità dell’informazione
• Con Bayes possiamo calcolare
P(Ser|”Ser”) =
P(“Ser”|Ser) P(Ser)
P(”Ser”)
= 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727
P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273
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Attendibilità dell’informazione
• E analogamente
P(Piog|”Piog”) =
P(“Piog”|Piog) P(Piog)
P(”Piog”)
= 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857
P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) =
0.143
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Valore dell’informazione
imperfetta
• Per molti decisori il valore
dell’informazione si determina ancora
come differenza tra equivalente certo
della decisione con informazione
gratuita e equivalente certo della
decisione in assenza di informazione
• Attenzione: ora le probabilità in gioco
sono probabilità condizionate
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Informazione gratuita
(Avi)
L’oracolo prevede
“sereno” (0.44)
sereno (0.727)
aperto
0.727
chiuso
0.597
0.778 0.778
portico
pioggia (0.273)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
1
0
0.57
0.67
0.95
0.32
0.709
sereno (0.143)
0.655
aperto
0.143
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.56)
chiuso
0.655
0.178
portico
€ 5,470
pioggia (0.857)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
1
0
0.57
0.67
sereno (0.143)
0.95
pioggia (0.857)
0.32
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Il valore dell’informazione (Avi)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta
per Avi è:
equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 5,470
equivalente certo della decisione in assenza
di informazione: € 4,600
= € 870
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Informazione e decisioni
• Il valore dell’informazione perfetta per
Avi era di € 2,000
• L’imperfezione nell’informazione
determina un cambiamento di
decisione (Portico anziché Aperto nel
caso in cui l’oracolo preveda tempo
sereno)
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Informazione gratuita
(Inat)
sereno (0.727)
aperto
0.727
L’oracolo prevede
“sereno” (0.44)
chiuso
0.427
0.727 0.709
portico
pioggia (0.273)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
1
0
0.4
0.5
0.9
0.2
0.59
sereno (0.143)
0.485
aperto
0.143
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.56)
chiuso
0.485
0.3
portico
€ 5,900
pioggia (0.857)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
1
0
0.4
0.5
sereno (0.143)
0.9
pioggia (0.857)
0.2
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Il valore dell’informazione (Inat)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta
per Inat è:
equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 5,900
equivalente certo della decisione in assenza
di informazione: € 4,800
= € 1,110
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Confronto tra decisori: Avi
• Senza informazione: Chiuso
• Con informazione imperfetta: se
l’oracolo prevede sereno, allora
Portico, altrimenti Chiuso
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Confronto tra decisori: Inat
• Senza informazione: Portico
• Con informazione imperfetta: se
l’oracolo prevede sereno, allora Aperto,
altrimenti Chiuso
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Confronto tra decisori
• Il valore dell’informazione imperfetta
per Inat è di € 1,110, per Avi è di € 870
• Il motivo per cui Inat, pur essendo più
propensa al rischio rispetto a Avi, sia
disposta a pagare di più è che ancora,
in assenza di informazione, le scelte
sono diverse
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Analisi di sensibilità rivista
Una volta introdotti il concetto di
probabilità soggettiva e il teorema di
Bayes, possiamo estendere l’analisi
di sensibilità effettuata per la
determinazione della funzione di
utilità anche alla assegnazione delle
probabilità soggettive.
Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di
decisione.
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Stati di natura
Decisioni
< -3
[-3,+2]
> +2
a1
110
110
110
a2
100
105
115
a3
90
100
120
0.2
0.4
0.4
probabilità
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I valori di utilita’ degli eventi
elementari erano:
u(90)=0
u(100)=0.4
u(105)=0.6
u(110)=0.8
u(115)=0.95
u(120)=1
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Osserviamo nuovamente che
P(2) = P(3).
Supponiamo che il decisore abbia
espresso qualche dubbio sul fatto che
effettivamente queste due probabilità
fossero uguali.
Poniamo allora
P(2) = p
P(3) = q
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P(1) = 1 - p - q
Inoltre
U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56.
Ne consegue che
U[a1] > U[a2]
 0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95
 8 > 4p+11q
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Analogamente
U[a1] > U[a3]
 0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1
 4 > 2p + 5q
U[a2] > U[a3]
(1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95
> (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1
 8 > 4p+9q
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q
1.0
D
4p + 9q = 8
C
2p + 5q = 4
B
0.5
4p + 11q = 8
A
(0.4,0.4)
p+q=1
0
0.5
1.0
p
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Nella regione A si ha U[a1] > U[a2] > U[a3]
Nella regione B si ha U[a2] > U[a1] > U[a3]
Nella regione C si ha U[a2] > U[a3] > U[a1]
Nella regione D si ha U[a3] > U[a2] > U[a1]
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Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della
regione A. Quindi l’investimento a1
sembra essere il più conveniente,
coerentemente con quanto visto in
precedenza.
Quello che dobbiamo verificare, e che in
questo caso è evidente, è che per
piccole variazioni di p e q il punto
stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della
regione A.
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