Ottavio Serra
La Caduta dei gravi
Filo conduttore della
meccanica da Galilei ad
Einstein
Cosenza, 2009
1
Aristotele, 384 – 322 a.C.
2
Secondo Aristotele i corpi
cadono tanto più velocemente
quanto più sono pesanti.
E se sono come le piume, non
cadono neanche verticalmente,
ma oscillando.
3
Galilei, 1564 - 1642
4
Galilei ridicolizza questa
opinione, osservando che in
tal caso un mattone dovrebbe
cadere più velocemente o più
lentamente, a seconda che lo
si pensi intero o formato da
due mezzi mattoni.
5
6
Galilei, dopo alcune incertezze
iniziali, trova le formule corrette per il
moto dei gravi in assenza d’aria:
v v0 gt
1 2
s v0t gt
2
7
Newton, 1642 - 1727
8
Fu però Newton che portò a
compimento il lavoro di Galilei e creò
la nuova meccanica e la teoria della
gravitazione, forgiando anche la
matematica, il calcolo infinitesimale,
necessaria per esprimere le nuove
leggi fisiche e derivarne tutte le
conseguenze.
9
Se la velocità è costante (moto uniforme), lo
spazio percorso è velocità per intervallo di
tempo = anche “area del rettangolo”. E se il
moto non è uniforme…
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Idea: divido l’intervallo di tempo in tanti
intervallini così piccoli che in essi il moto si
possa ritenere uniforme; si ottengono tanti
rettangolini e la somma delle loro aree
approssima lo spazio percorso. Al limite i
rettangolini riempiono esattamente la figura.
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L’area del trapezio dà lo spazio
(lunghezza) percorso nel tempo t.
1 2
s v0t gt
2
12
Se il moto non è uniformemente accelerato,
l’area al di sotto del grafico non è un
trapezio, però dà sempre lo spazio
percorso, solo che il calcolo è più difficile.
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La caduta dei gravi avviene
con accelerazione costante.
Naturalmente, ciò vale in
assenza d’aria o se questa può
essere trascurata, per esempio
per la caduta di un sasso:
MOTO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO.
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Una piuma o un pezzetto di carta sono
talmente soggetti alle più deboli correnti
d’aria, che il loro moto è praticamente
imprevedibile.
Ma in assenza d’aria una piuma cade
come un sasso. Come togliere l’aria
per fare la prova?
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Togliamo l’aria senza pompa
pneumatica:
Mettere un pezzetto di carta su
una moneta da due euro e far
cadere la moneta di piatto:
mentre cade, la moneta fa il
vuoto davanti a sé e il pezzetto
di carta cade come un sasso. Se
non vi riesce, riprovate!
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Perché in prossimità del suolo e in
assenza di vento le gocce di pioggia
cadono a velocità costante?
La resistenza del mezzo. La forza agente sulla
goccia è F = mg – kv, essendo mg il suo peso e kv la
resistenza dell’aria proporzionale alla velocità. Man
mano che la goccia cade, la velocità aumenta e con
essa la resistenza del mezzo, finchà F si annulla. Da
quel momento v = mg/k. (velocità asintotica)
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Il coefficiente k dipende dalla viscosità η del mezzo
(dell’aria) e dalla dimensione del grave. Per una goccia di
pioggia (sferica) k è data dalla legge di Stokes:
k 6 r
Perciò, a parità di viscosità η (a parità del mezzo) la velocità
finale è tanto più piccola quanto più piccolo è il raggio r. (La
velocità finale è proporzionale al quadrato di r). Perciò le
gocce piccole arrivano più lentamente delle gocce grosse. (Per
il paracadute la cosa è diversa: occorre una grande
dimensione (superficie) per avere piccola velocità finale. Come
mai? Giustificare. Fare poi un esperimento con l’ombrello).
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Come è possibile verificare che le gocce di
pioggia arrivano al suolo con velocità costante?
Si consideri un autobus in corsa con velocità v0
Nel riferimento (inerziale) esterno le
gocce cadono verticalmente (se non c’è
vento), ma l’autobus va loro incontro
mentre cadono e queste rigano il vetro
obliquamente dall’angolo superiore
destro all’angolo inferiore sinistro
dell’autobus. Vedi immagine seguente
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Riferimento Inerziale Esterno
Siccome il vetro è rigato rettilineamente,
si conclude che la pioggia arriva con
velocità costante.
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Riferimento inerziale INTERNO
Ora sfrutteremo il principio di relatività di
Galilei.
L’autobus per i passeggeri è FERMO e le cose
vanno come se le gocce di pioggia avessero,
oltre che la loro velocità di caduta, anche
quella dell’autobus cambiata di segno.
Per il principio di relatività di Galilei, il vetro
dovrà essere rigato come nella prima
descrizione.
Vedi immagine seguente.
21
Che le gocce di pioggia arrivino con velocità costante si può
notare osservando come rigano il finestrino di un autobus che
vada a velocità costante.
Il finestrino dell’autobus viene rigato dalla pioggia parallelamente
al vettore w. Siccome le rigature di pioggia sono rettilinee, si
conclude che le gocce di pioggia arrivano con velocità costante.
Come righerebbero il vetro se arrivassero accelerate?
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Ma perché tutti i corpi cadono
con la stessa accelerazione?
Perché i satelliti di Giove girano intorno
a Giove come se il Sole non ci fosse? Lo
stesso dicasi della Luna intorno alla
Terra.
Perché la forza di gravità è
proporzionale alla massa?
E’ l’unica forza per cui ciò accade.
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Per capirlo dobbiamo aspettare
Einstein (1879 – 1955)
Einstein il 1916,
anno della
Relatività
generale.
24
Negli ultimi anni della sua vita
25
Prima citiamo il principio di RELATIVITA’
Galileiano, come è riportato in una pagina
memorabile del capolavoro ”Dialogo sopra i
due massimi sistemi del mondo, tolemaico e
copernicano”. Sintetizzo: se un corpo,
sasso, mosca o altro, si muove
sotto coverta in una nave che va a
velocità costante in mare calmo, il
suo moto è identico a quello che si
avrebbe se la nave fosse ferma.
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Le equazioni della trasformazione di Galilei
nel passaggio da un riferimento inerziale S
(es. mare calmo o terra ferma) a un altro S’
(es. nave o treno in moto rettilineo uniforme)
sono: x’=x - v.t, y’=y, z’=z. (Relatività
galileiana).
Galilei sottintende una quarta equazione:
t’ = t (lo scorrere del tempo è assoluto, è
lo stesso in tutti i sistemi di riferimento
inerziali; ciò non sarà vero nella relatività
einsteiniana).
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Il riferimento K’ si nuove con velocità v
rispetto al riferimento K. (OO’ = vt).
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Da Newton ad Einstein
La forza di inerzia e la forza di gravità.
Se un carrello accelera verso destra in un
riferimento inerziale, i corpi interni al carrello
non sono soggetti ad alcuna forza; se erano
fermi restano fermi. E’ il carrello che gli va
addosso. E’ il caso della pallina poggiata sul
pavimento. Per il pendolo, invece, esso tenta
sì di restare fermo, ma è trascinato dal filo di
sospensione fissato al soffitto, per cui è
costretto ad accelerare verso destra e il filo si
tende, come il guinzaglio di un cane riottoso.
29
30
La risultante tra la forza peso del pendolo
e la tensione del filo dà la forza di
trascinamento del pendolo, che, divisa
per la sua massa, imprime al pendolo
un’accelerazione verso destra pari
all’accelerazione del carrello.
Ora vediamo come si presenta la
situazione per un osservatore interno al
carrello.
31
Tutti i corpi appaiono soggetti ad una
forza diretta verso sinistra
proporzionale alla loro massa, per cui i
corpi cadono verso sinistra con la
stessa accelerazione.
32
Il disegno si riferisce a un carrello
immerso in un campo verticale di
gravità, per cui il basso non è a
rigore la parete verticale sinistra del
carrello, ma il piano perpendicolare
al filo di sospensione del pendolo,
che si allinea con la risultante tra la
forza peso del pendolo e la
misteriosa forza agente sul pendolo
e diretta verso sinistra.
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Componendo questa forza misteriosa
con la tensione del filo e con la forza
peso della pallina del pendolo, si ottiene
forza totale zero e perciò la pallina del
pendolo resta ferma nel riferimento del
carrello. Invece la pallina rossa, essendo
soggetta solo alla forza misteriosa
diretta a sinistra e proporzionale alla
massa, si muove verso sinistra con
accelerazione a = -a0 . (Il suo peso è
bilanciato dalla reazione vincolare del
pavimento).
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Ma questa forza non è di gravità, non è
elettrica o magnetica: fu detta FORZA
APPARENTE. Però quando la pallina va a
sbattere contro la parete sinistra del
carrello si può deformare o rompere e, se
è una persona, si può fare un bernoccolo
che è reale, non apparente. Perciò è più
appropriato chiamarla FORZA di INERZIA,
perché si manifesta in un riferimento non
inerziale, cioè accelerato rispetto al
riferimento inerziale esterno.
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Anche un autobus in corsa lungo un tratto
curvilineo è un riferimento non inerziale.
La forza che costringe l’autobus a seguire
la curva è l’attrito tra le ruote e la strada
(forza centripeta) che, fintanto che
l’autobus tiene la strada, uguaglia il
prodotto tra la massa dell’oggetto e
l’accelerazione centripeta:
2
v
Fc m.ac m.
r
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Chi è dentro l’autobus risente però una
forza apparente diretta verso la fiancata
esterna, detta perciò forza centrifuga.
Essa è il prodotto della massa
dell’oggeto per l’accelerzaione
centripeta cambiata di segno:
F = - Fc = m.(-ac).
Einstein interpreterà questo fenomeno in
modo genialmente diverso.
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Prima però parliamo del famoso
ascensore di Einstein, anche se ora lo
lo sostituiamo con un’astronave.
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A sinistra abbiamo l’astronave ferma a Terra
e la pallina cade verso il basso (il
pavimento) con l’accelerazione di gravità g.
A destra l’astronave è nello spazio
interstellare, lontana da campi di gravità, e
accelera verso l’alto con accelerazione a=-g
sotto la spinta dei suoi motori. Dentro
l’astronave la pallina è soggetta a una forza
di inerzia che la spinge verso il basso con
accelerazione g= -a. La forza di inerzia è
indistinguibile dalla forza di gravità. La
gravità è inerzia.
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Nessun esperimento interno
all’astronave consente di distinguere
tra le due descrizioni: gravità o inerzia?
Einstein introduce a questo punto il
famoso postulato, detto principio di
equivalenza: “A tutti gli effetti un
sistema di riferimento accelerato
rispetto a un riferimento inerziale
esterno è equivalente a un riferimento
inerziale nel quale agisce un campo di
gravità”.
40
Anche la luce cade in un campo di gravità?
41
L’astronave sta accelerando verso l’alto con
accelerazione a, mentre un raggio di luce
parte orizzontalmente dalla parete di sinistra
e punta verso il centro C della parete di
destra; però nell’intervallo di tempo che la
luce impiega per arrivare a destra l’astronave
si è spostata di un certo tratto, perciò la luce
colpisce la parete non in C, ma in un punto
più basso B. Per chi è dentro l’astronave le
cose vanno come se questa fosse ferma ( o
in moto rettilineo uniforme) rispetto a un
riferimento inerziale esterno, ma immersa in
un campo di gravità g = -a.
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Siccome un riferimento accelerato (non
inerziale) rispetto a un riferimento
inerziale senza gravità si comporta come
un riferimento inerziale immerso in un
campo di gravità, si conclude che la luce
cade in un campo di gravità, come un
qualsiasi corpo.
Si noti che nel riferimento inerziale, nel
quale l’astronave si muove di moto
accelerato, la luce va in linea retta a
velocità costante c. (vedi fig. precedente
a pag 41)
43
Questo disegno mostra, aumentata in
modo esagerato, la deflessione della luce
di una stella che passa in prossimità del
Sole.
44
Va ricordato che Newton, immaginando la
luce costituita di particelle, aveva trovato
una deflessione di 0,87” (secondi d’arco),
applicando la sua legge di gravitazione,
secondo la quale α = 2GM/R. (Nessuna
deflessione è prevista nella teoria
ondulatoria: perché?).
Einstein con la relatività generale del 1916
trovò il doppio: α = 4GM/R. Nel caso del
Sole α = 1,75’’ (secondi d’arco). Questo
valore fu confermato, già nel 1919, dal
grande astronomo inglese sir Arthur
Eddington durante un’eclissi di Sole.
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E’ chiaro che più è forte il campo
gravitazionale, maggiore è la
deflessione, per esempio se il raggio
di luce stellare sfiora una nana
bianca o, ancora di più, una pulsar
(stella di neutroni).
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Un’altra conseguenza della gravitazione di
Einstein è l’avanzamentodel perielio dei
pianeti, per cui l’orbita non è una ellisse
come nella teoria di Newton (prima legge di
Keplero), ma una curva aperta. Einstein
spiega così il disavanzo di 42” d’arco per
secolo del perielio di Mercurio.
Nelle tre diapositive seguenti presento due
mie simulazioni con esponente 2 e 2,1
della legge di gravitazione e poi l’orbita
effettivamente osservata in una pulsar
binaria.
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49
50
