I numeri poligonali I membri della scuola di Pitagora consideravano l’unità (ή μονάς) come elemento generatore di tutti i numeri, e la rappresentavano con un punto tracciato sulla sabbia, oppure un ciottolo. Pare che essi raffigurassero la sequenza dei numeri naturali come un triangolo isoscele: Fig.1 Le linee orizzontali rappresentano i numeri dispari 1, 3, 5, 7,… Togliendo la linea mediana rossa si ottengono, sempre in senso orizzontale, i numeri pari 2, 4, 6,…. Si consideri il triangolo evidenziato nella Fig.1. Esso contiene 6 punti. Il numero 6 è un numero triangolare, cioè un numero che può essere raffigurato disponendo i punti a forma di triangolo rettangolo. Esistono infiniti numeri triangolari, i primi della serie sono: 1 3 6 10 15 Fig.2 È evidente che l’n-esimo numero triangolare è la somma dei primi n numeri interi positivi. In modo analogo si definiscono i numeri quadrati: 1 4 9 16 Fig.3 25 Si osservi che per passare da ogni quadrato al successivo si aggiungono una riga ed una colonna, disposte a forma di L. Questa figura, che noi abbiamo evidenziato in grigio, si dice gnomone. Lo gnomone appartenente ad un quadrato ha due lati, ma si possono anche costruire gnomoni con un qualunque numero di lati maggiore di due. Aggiungendo via via uno gnomone con tre lati si ottiene una sequenza di pentagoni: 1 5 12 22 Fig.4 In questo modo si costruisce la sequenza dei numeri pentagonali. Analogamente si costruiscono i numeri esagonali (con gnomoni a quattro lati), ed i numeri corrispondenti ad ogni altro tipo di poligono. Questi numeri vengono detti numeri poligonali. Essi formano, insieme ai numeri poliedrici, la classe dei numeri figurati. I numeri poligonali furono oggetto di approfonditi studi fin dall’antichità: il grande matematico greco Diofanto dedicò ad essi un intero trattato. Un po’ di aritmetica I numeri poligonali possono essere ricavati, oltre che col metodo geometrico che abbiamo appena visto, applicando semplici formule aritmetiche. Ricaviamo la formula per l’n-esimo numero triangolare, che chiameremo Tn. Immaginiamo di raddoppiare il triangolo corrispondente a questo numero, in modo da formare un rettangolo. Fig.5 Questo rettangolo avrà n colonne e n+1 righe, quindi conterrà n(n+1) punti. Pertanto l’n-esimo triangolo conterrà ½ n(n+1) punti, cioè Tn = ½ n(n+1). Per questa formula si può dare anche una dimostrazione che utilizza il principio d’induzione. Per venire ai numeri quadrati, è facilissimo rendersi conto che l’nesimo quadrato contiene n2 punti, cioè l’n-esimo numero quadrato è Qn = n2. Per finire, l’n-esimo numero pentagonale è Pn = ½ (3n2-n), e l’n-esimo numero esagonale è En = 2n2-n. Le ultime due formule si ricavano con metodi più complessi dei precedenti: sarebbe troppo lungo e complicato descriverli qui. La bellezza dei numeri poligonali I numeri triangolari e quadrati non solo corrispondono a forme geometriche molto regolari, ma hanno anche un importante ruolo nell’insieme dei numeri interi: i Pitagorici l’avevano scoperto, e ne erano rimasti affascinati. Vediamo che nell’n-esimo triangolo della Fig.2 le righe contengono rispettivamente 1,2,3,…,n punti. Da qui si ricava la bella formula: 1 + 2 + 3 + 4 + + n = Tn, In altri termini: la somma dei primi n numeri naturali è uguale all’n-esimo numero triangolare. Passando ai numeri quadrati, dalla Fig.3 risulta che lo gnomone dell’n-esimo quadrato contiene 2n-1 punti. È noto che 2n-1 è l’n-esimo numero dispari. D’altra parte è anche evidente che l’n-esimo quadrato è formato unendo al primo quadrato della serie tutti gli gnomoni dei quadrati compresi fra il secondo e l’n-esimo. Fig.6 Quindi, riassumendo: 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n-1) = Qn. In altre parole: la somma dei primi n numeri dispari è uguale all’n-esimo numero quadrato. Fin qui ci siamo divertiti a mescolare geometria ed aritmetica: abbiamo contato i punti di triangoli e quadrati seguendo particolari percorsi (le colonne, gli gnomoni), e così facendo abbiamo trovato delle formule interessanti. Adesso continuiamo il gioco, ma con un metodo più raffinato: quello del “puzzle”. L’abbiamo già usato, anche se in forma molto semplice, nella Fig.5. Un semplice calcolo algebrico ci dice che vale la seguente identità: ½ n(n-1)+ ½ n(n+1) = n2. Questa esprime una relazione generale fra numeri triangolari e quadrati: infatti Tn = ½ n(n+1), di conseguenza Tn-1 = ½ (n-1)n, come si vede sostituendo n-1 ad n nella formula per Tn. Inoltre Qn = n2, quindi Tn + Tn-1 = Qn . Abbiamo appena dimostrato algebricamente che ogni numero quadrato è somma di due numeri triangolari. L’ha scoperto per primo Teone da Smirne (365 d.C.), che ne ha trovato una elegante dimostrazione del tipo “puzzle”: Fig.7 Un altro “puzzle” ci giunge da Plutarco, notissimo storico greco (46120 d.C.): Fig.8 Questa è la dimostrazione visiva della formula 8Tn + 1 = Q2n+1, che ci dice: ogni numero triangolare, moltiplicato per otto, con l’aggiunta di uno, è uguale ad un numero quadrato. Diamo un’ultima formula, che mostra la triangolari e pentagonali: relazione tra i numeri 3Tn-1 + n = Pn. Anche in questo caso, la formula nasce da un “puzzle”: Fig.9 Adesso provate a cimentarvi voi stessi. Esercizio: Dimostrare, usando l’algebra o un puzzle, la seguente formula, che lega numeri triangolari, quadrati e pentagonali: Tn -1 + Qn = Pn. Nota: Questa formula è dovuta a Nicomaco da Gerasa (o Geraseno) un tardo seguace della scuola pitagorica, e si trova nella sua opera Introductio Arithmetica, pervenutaci tramite Boezio. La ricerca intorno ai numeri poligonali è proseguita fino in epoca moderna. Fermat enunciò per primo un risultato che fu poi dimostrato, in tempi diversi, da Gauss, Lagrange e Cauchy: ogni numero naturale è somma di 1, 2 o 3 numeri triangolari, è somma di 1, 2, 3 o 4 numeri quadrati, è somma di 1, 2, 3, 4 o 5 numeri pentagonali, è somma di 1, 2, 3, 4, 5 o 6 numeri esagonali, e così via per tutti gli altri numeri poligonali. I numeri che nascono da disposizioni regolari nello spazio prendono il nome di numeri poliedrici. Il tipo più semplice è costituito dagli analoghi tridimensionali dei numeri triangolari, che sono i numeri piramidali: 1 4 10 I poligoni I numeri figurati secondo G.A. Alberti I numeri poligonali ed il triangolo aritmetico