I numeri poligonali - Dipartimento di Matematica

I numeri poligonali
I membri della scuola di Pitagora consideravano l’unità (ή μονάς)
come elemento generatore di tutti i numeri, e la rappresentavano con
un punto tracciato sulla sabbia, oppure un ciottolo. Pare che essi
raffigurassero la sequenza dei numeri naturali come un triangolo
isoscele:
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Fig.1
Le linee orizzontali rappresentano i numeri dispari 1, 3, 5, 7,…
Togliendo la linea mediana rossa si ottengono, sempre in senso
orizzontale, i numeri pari 2, 4, 6,….
Si consideri il triangolo evidenziato nella Fig.1. Esso contiene 6 punti.
Il numero 6 è un numero triangolare, cioè un numero che può
essere raffigurato disponendo i punti a forma di triangolo rettangolo.
Esistono infiniti numeri triangolari, i primi della serie sono:
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1
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3
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10
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Fig.2
È evidente che l’n-esimo numero triangolare è la somma dei primi n
numeri interi positivi.
In modo analogo si definiscono i numeri quadrati:
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1
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4
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9
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Fig.3
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Si osservi che per passare da ogni quadrato al successivo si
aggiungono una riga ed una colonna, disposte a forma di L. Questa
figura, che noi abbiamo evidenziato in grigio, si dice gnomone. Lo
gnomone appartenente ad un quadrato ha due lati, ma si possono
anche costruire gnomoni con un qualunque numero di lati maggiore
di due. Aggiungendo via via uno gnomone con tre lati si ottiene una
sequenza di pentagoni:
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1
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5
12
22
Fig.4
In questo modo si costruisce la sequenza dei numeri pentagonali.
Analogamente si costruiscono i numeri esagonali (con gnomoni a
quattro lati), ed i numeri corrispondenti ad ogni altro tipo di poligono.
Questi numeri vengono detti numeri poligonali. Essi formano,
insieme ai numeri poliedrici, la classe dei numeri figurati. I numeri
poligonali furono oggetto di approfonditi studi fin dall’antichità: il
grande matematico greco Diofanto dedicò ad essi un intero trattato.
Un po’ di aritmetica
I numeri poligonali possono essere ricavati, oltre che col metodo
geometrico che abbiamo appena visto, applicando semplici formule
aritmetiche.
Ricaviamo la formula per l’n-esimo numero triangolare, che
chiameremo Tn. Immaginiamo di raddoppiare il triangolo
corrispondente a questo numero, in modo da formare un rettangolo.
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Fig.5
Questo rettangolo avrà n colonne e n+1 righe, quindi conterrà n(n+1)
punti. Pertanto l’n-esimo triangolo conterrà ½ n(n+1) punti, cioè
Tn = ½ n(n+1).
Per questa formula si può dare anche una dimostrazione che utilizza
il principio d’induzione.
Per venire ai numeri quadrati, è facilissimo rendersi conto che l’nesimo quadrato contiene n2 punti, cioè l’n-esimo numero quadrato è
Qn = n2.
Per finire, l’n-esimo numero pentagonale è
Pn = ½ (3n2-n),
e l’n-esimo numero esagonale è
En = 2n2-n.
Le ultime due formule si ricavano con metodi più complessi dei
precedenti: sarebbe troppo lungo e complicato descriverli qui.
La bellezza dei numeri poligonali
I numeri triangolari e quadrati non solo corrispondono a forme
geometriche molto regolari, ma hanno anche un importante ruolo
nell’insieme dei numeri interi: i Pitagorici l’avevano scoperto, e ne
erano rimasti affascinati.
Vediamo che nell’n-esimo triangolo della Fig.2 le righe contengono
rispettivamente 1,2,3,…,n punti. Da qui si ricava la bella formula:
1 + 2 + 3 + 4 +  + n = Tn,
In altri termini: la somma dei primi n numeri naturali è uguale
all’n-esimo numero triangolare.
Passando ai numeri quadrati, dalla Fig.3 risulta che lo gnomone
dell’n-esimo quadrato contiene 2n-1 punti. È noto che 2n-1 è l’n-esimo
numero dispari. D’altra parte è anche evidente che l’n-esimo quadrato
è formato unendo al primo quadrato della serie tutti gli gnomoni dei
quadrati compresi fra il secondo e l’n-esimo.
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Fig.6
Quindi, riassumendo:
1 + 3 + 5 + 7 +  + (2n-1) = Qn.
In altre parole: la somma dei primi n numeri dispari è uguale
all’n-esimo numero quadrato.
Fin qui ci siamo divertiti a mescolare geometria ed aritmetica:
abbiamo contato i punti di triangoli e quadrati seguendo particolari
percorsi (le colonne, gli gnomoni), e così facendo abbiamo trovato delle
formule interessanti. Adesso continuiamo il gioco, ma con un metodo
più raffinato: quello del “puzzle”. L’abbiamo già usato, anche se in
forma molto semplice, nella Fig.5.
Un semplice calcolo algebrico ci dice che vale la seguente identità:
½ n(n-1)+ ½ n(n+1) = n2.
Questa esprime una relazione generale fra numeri triangolari e
quadrati: infatti Tn = ½ n(n+1), di conseguenza
Tn-1 = ½ (n-1)n,
come si vede sostituendo n-1 ad n nella formula per Tn. Inoltre Qn = n2,
quindi
Tn + Tn-1 = Qn .
Abbiamo appena dimostrato algebricamente che ogni numero
quadrato è somma di due numeri triangolari. L’ha scoperto per
primo Teone da Smirne (365 d.C.), che ne ha trovato una elegante
dimostrazione del tipo “puzzle”:
Fig.7
Un altro “puzzle” ci giunge da Plutarco, notissimo storico greco (46120 d.C.):
Fig.8
Questa è la dimostrazione visiva della formula
8Tn + 1 = Q2n+1,
che ci dice: ogni numero triangolare, moltiplicato per otto, con
l’aggiunta di uno, è uguale ad un numero quadrato.
Diamo un’ultima formula, che mostra la
triangolari e pentagonali:
relazione tra i numeri
3Tn-1 + n = Pn.
Anche in questo caso, la formula nasce da un “puzzle”:
Fig.9
Adesso provate a cimentarvi voi stessi.
Esercizio: Dimostrare, usando l’algebra o un puzzle, la seguente
formula, che lega numeri triangolari, quadrati e pentagonali:
Tn -1 + Qn = Pn.
Nota: Questa formula è dovuta a Nicomaco da Gerasa (o Geraseno)
un tardo seguace della scuola pitagorica, e si trova nella sua opera
Introductio Arithmetica, pervenutaci tramite Boezio.
La ricerca intorno ai numeri poligonali è proseguita fino in epoca
moderna. Fermat enunciò per primo un risultato che fu poi
dimostrato, in tempi diversi, da Gauss, Lagrange e Cauchy: ogni
numero naturale è somma di 1, 2 o 3 numeri triangolari, è
somma di 1, 2, 3 o 4 numeri quadrati, è somma di 1, 2, 3, 4 o 5
numeri pentagonali, è somma di 1, 2, 3, 4, 5 o 6 numeri
esagonali, e così via per tutti gli altri numeri poligonali.
I numeri che nascono da disposizioni regolari nello spazio prendono il
nome di numeri poliedrici. Il tipo più semplice è costituito dagli
analoghi tridimensionali dei numeri triangolari, che sono i numeri
piramidali:
1
4
10
I poligoni
I numeri figurati secondo G.A. Alberti
I numeri poligonali ed il triangolo aritmetico