4. Potenziale elettrico

4. Potenziale elettrico ed energia potenziale
Il Campo Elettrico è un concetto legato alla nozione di forza;
è la forza che agisce sulla carica unitaria E = F / q
ed è una proprietà dello spazio e della distribuzione di carica che
genera il campo.
Vogliamo ora applicare i concetti di lavoro ed energia allo studio
dei fenomeni elettrici.
Come già nel campo della meccanica otterremo delle conseguenze
molto interessanti.
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico ed energia potenziale
Campo elettrostatico uniforme
Consideriamo il campo elettrico uniforme E generato da un piano infinito di
carica (positiva)
e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al
punto B. Spostamento AB = s = d
E
+
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
q0
B
A
+
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico ed energia potenziale
Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento
dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe opposta alla
forza F esercitata dal campo:
Fe =  F dove F = q0 E
E
+
+
+
+
+
Fe
B
F
A
+
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Potenziale elettrico ed energia potenzialeE
+
Il lavoro fatto dall’esterno We sarà:
 
We  Fe xs  Fe  s  cos0  Fe  s  0
O anche:
+
+
+
+
Fe
+
 
 
We  Fe xs  q0 Exs  q0 E  s  cos180 
We  q0 E  s   1  q0 E  s  0
Il lavoro fatto We non viene perso ma si trova accumulato nella carica
q0 che occupa la posizione B, è diventato energia di posizione della
carica, cioè energia potenziale elettrica U
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F
Potenziale elettrico ed energia potenziale
Se alla carica q0 nel punto A associamo un’energia potenziale UA, in B
la carica avrà l’energia potenziale
UB = UA + U = UA + We = UA + q0 E s
E
+
Quindi, anche:
U = UB  UA = We
+
+
+
+
Fe
F
A
B
+
L’energia potenziale U e la variazione di energia potenziale U
dipendono dal campo elettrico e, in particolare, dalla carica (di prova) e
dal suo segno.
Sono grandezze scalari, hanno le stesse dimensioni del lavoro e sono
misurate in Joule.
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Potenziale elettrico ed energia potenziale
Variazione di Potenziale (elettrico)
Si definisce variazione di potenziale V fra due punti del campo
elettrico la variazione di en. potenziale tra i due punti diviso la carica q0
V 
U
q0
J
 
C
Potenziale Elettrico
Analogamente al concetto di campo possiamo definire, quindi, una
grandezza che non dipende dalla carica ma solo dalle proprietà del
campo.
Tale concetto è il Potenziale Elettrico V.
U
V
q0
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Potenziale elettrico ed energia potenziale
U
V 
q0
quindi la variazione di potenziale V è la variazione di en. Potenziale
relativa all’unità di carica.
Dalle relazioni precedenti si ha:
U = UB  UA = We ==>
UB = UA + U ==>
V 
W
U U B U A


 VB  V A  e
q0
q0
q0
q0
VB 
U B U A U


 V A  V
q0
q0
q0
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico ed energia potenziale
Il potenziale V e la variazione di potenziale V si misurano in Volt (V)
1 Volt = 1 Joule/ 1 Coulomb
1 Joule = 1 Volt  1 Coulomb
da cui
Un’altra unità di misura molto utilizzata per l’energia è l’elettronvolt =
prodotto della carica dell’elettrone per 1 volt
1 eV = (1,60 1019 C)  (1 V) = 1,60 1019 Joule
1 eV è uguale alla variazione di energia che subisce un elettrone che si
muove tra due punti che hanno la differenza di potenziale di 1 volt.
Esempio 1 pag 45
Prof Biasco 2007
Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
Studiamo meglio la relazione che intercorre tra campo elettrico e
potenziale.
Se spostiamo la carica q0 da A a B (contro il campo) il potenziale
aumenta
E
+
+
+
+
+
F
Fe
B
s
A
C
+
 
We  Fe xs  Fe  s  cos0  Fe  s  0
We
VB  V A 
 VA
q0
Prof Biasco 2007
Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
se invece la spostiamo è da A a C (nel verso del campo) il potenziale
diminuisce.
E
+
+
+
+
+
F
Fe
B
A
s
C
+
 
We  Fe xs  Fe  s  cos180   Fe  s  0
We
VC  VA 
 VA
q0
Prof Biasco 2007
Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
Queste osservazioni ci consentono di scrivere la relazione tra variazione
del potenziale e campo elettrico in questo modo:
V 
 We  q0  E  s 

  E  s
q0
q0
V   E  s
quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0
quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0
Prof Biasco 2007
Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0
quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0
s
s
B
A
C
spostamento
Prof Biasco 2007
Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
Inoltre
V   E  s
==>
E 
V
s
Allora il campo E può essere misurato sia in
F
Newton
V
Volt
E



q Coulomb
s metro
Quindi, tanto più intenso è E tanto più velocemente varia il potenziale al
variare dello spostamento.
Esempio 2 pag 46
Esempio 3 pag 47
Prof Biasco 2007
2 Conservazione dell’Energia
Il campo elettrostatico, come il campo gravitazionale, è un campo
conservativo. Quindi per esso vale il principio di conservazione dell’energia
meccanica.
E cinetica(A) + E potenziale(A) = E cinetica(B) + E potenziale(B) = Costante
K A  U A  K B  U B  costante
Cioè:
1
1
2
2
mvA  U A  mvB  U B  costante
2
2
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Conservazione dell’Energia
Consideriamo un campo elettrostatico E uniforme e una carica di prova q0
di massa m posta in H.
Sotto l’azione del campo la carica è soggetta alla forza F = q0 E costante e,
se è libera di muoversi, si muove di moto uniformemente accelerato con
accelerazione a = F/m = q0 E / m .
- parte da H con velocità nulla,
- transita per A con velocità vA
- e per B con velocità vB allontanandosi poi all’infinito.
E
+
+
+
+ H
+
+
F
A
B
+
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Conservazione dell’Energia
E
+
Esaminiamo quello che succede nel tratto AB.
Essendo il moto unif accelerato
+
+
+
+
vB  v A  2a  s
2
ed essendo
2
vB  v A
2
E  s  V  VB  VA   VA  VB
vB  v A
2
quindi
H
A
B
+
q0 E
F
a

m
m
avremo:
ma
F
2
2
q0 E
2
s
m
q0 (V )
2
m
Moltiplicando 1° e 2° membro per m/2
1
1
2
2
mvB  mvA  q0 (V )
2
2
Prof Biasco 2007
Conservazione dell’Energia
1
1
2
2
mvB  mvA  q0 (VA  VB )
2
2
1
1
2
2
mvB  mvA  q0VA  q0VB
2
2
e infine
1
1
2
2
mvA  q0VA  mvB  q0VB
2
2
1
1
2
2
mvA  U A  mvB  U B
2
2
Conservazione dell’energia In un campo elettrostatico la somma delle
energie cinetica e potenziale è costante (in ogni punto del campo).
Prof Biasco 2007
Conservazione dell’Energia
Osservazione
• Le cariche positive accelerano nella direzione in cui il potenziale
diminuisce: si muovono da punti a potenziale più alto a punti a potenziale
più basso.
• le cariche negative accelerano nella direzione in cui il potenziale
aumenta: si muovono da punti a potenziale più basso a punti a potenziale
più alto.
• In tutti i casi una carica qualunque passa sempre da punti a energia
potenziale più alta a punti ad energia potenziale più bassa.
E
+
+
+
+
+

A
vB B
H
+
Prof Biasco 2007
3 Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Vogliamo calcolare ora il potenziale prodotto da una carica puntiforme.
Consideriamo il campo elettrico E = k Q/r2 generato da una carica
puntiforme (positiva)
e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al
punto B. Spostamento AB = s =rB - rA
F
Fe
+Q
B
s
A
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento
dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe (variabile)
opposta alla forza F esercitata dal campo:
Fe =  F dove F = q0 E = q0 kq/r2
Il lavoro elementare dWe (relativo ad un piccolo spostamento ds in cui
F si possa considerare costante) fatto dall’esterno sarà:
 
dWe  Fe xds  Fe  ds  cos0  Fe  ds
e il lavoro totale We relativo allo spostamento AB
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
B
B
kQq0 kQq0
We  lim
F  ds   dWe   F  dr 


n 
rB
rA
1
A
A
n
E quindi, la variazione di energia potenziale U
kQq0 kQq0
U  U B  U A 

rB
rA
e la variazione di potenziale V
kQ kQ
V  VB  VA 

rB
rA
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Ora se consideriamo i punti all’ a potenziale zero e supponiamo di
portare la carica da A (dall’infinito rA = ) al punto B
Avremo la differenza di potenziale
V  V B  V 
kQ kQ

rB

Per cui ad ogni punto del campo sarà associato il potenziale:
kQ
V
r
e l’energia potenziale:
kQq0
U  q0V 
r
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Diagramma del Potenziale in funzione della distanza del campo generato
da una carica puntiforme positiva +Q.
V
kQ
r
Poiché la distanza dalla carica deve
essere sempre considerata positiva
il segno del potenziale dipende solo
dal segno della carica.
Il potenziale di una carica positiva
tende a + quando ci si avvicina
alla carica e a zero quando ci si
allontana all’ 
+Q
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Diagramma Potenziale- distanza del campo generato da una carica
puntiforme negativa  Q.
V 
kQ
r
Q
Il potenziale di una carica negativa
tende a  quando ci si avvicina
alla carica e a zero quando ci si
allontana all’ 
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Picco di potenziale di una carica puntiforme positiva +Q.
V 
kQ

r
kQ
x2  y2
Diagramma del potenziale per ogni
punto P di un piano passante per
la carica +Q
Prof Biasco 2007
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Buca di Potenziale di una carica puntiforme negativa Q.
V 
kQ

r
kQ
x2  y 2
Diagramma del potenziale per ogni
punto P di un piano passante per
la carica Q
Prof Biasco 2007
Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico e l’energia potenziale elettrostatica soddisfano il
principio di sovrapposizione
Principio di Sovrapposizione
Il potenziale elettrico totale di una distribuzione di più cariche è uguale
alla somma algebrica dei potenziali delle singole cariche.
Analogamente per l’energia potenziale elettrostatica.
Vediamo alcuni esempi..
Esempio 7 pag 52
Carica q = 4,11 10-9 C posta nell’origine e una carica -2q posta
sull’asse x nel punto di ascissa 1,00 m.
Prof Biasco 2007
Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Il potenziale in un punto qualsiasi dell’asse x è dato da:
V k
q
q
 2q
k
x
x 1
-2q
Prof Biasco 2007
Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q
e -2q
V k
q
x2  y2
k
 2q
( x  1) 2  y 2
Prof Biasco 2007
Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Esempio 7 pag 52
Due cariche q1= q2 = 4 10-9 C poste sull’asse x nei punti di ascissa 1,0
m e -1,0 m.
V k
q
q
q
k
x 1
x 1
q
Prof Biasco 2007
Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q
e +q
V k
q
( x  1)  y
2
2
k
q
( x  1) 2  y 2
Prof Biasco 2007
4 Superfici equipotenziali e campo elettrico
Isobare: curve che uniscono tutti i punti alla stessa pressione. Isoipse: curve
che uniscono tutti i punti aventi stessa altitudine.
Superfici Equipotenziali: sono superfici che uniscono tutti i punti di un
campo elettrico che hanno lo stesso potenziale. (nella nostra
rappresentazione sul piano appaiono come linee equipotenziali).
Se consideriamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q
positiva, i punti a potenziale costante saranno tutti quelli che si trovano a
distanza r = kQ/V dalla carica Q
V 
kQ
 cost
r
x2  y2 
kQ
V


r
kQ
V
x2  y2 
oppure
kQ
V
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Cioè sono sfere aventi centro nella carica Q e, nella rappresentazione
piana, sono circonferenze aventi centro nella carica Q..
Oss
Le sup equipotenziali
danno informazioni
sull’intensotà
e sulla direzione del
campo elettrico.
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Intensità del Campo: il campo è più intenso dove le sup equipotenziali sono
più vicine: infatti essendo E =  V/ s il campo è più intenso dove
maggiore è la variazione del potenziale rispetto alla distanza.
Direzione
Il campo E è orientato
nella direzione in cui
diminuisce il potenziale
5V
3V
1V
ed è sempre perpendicolare
alle sup equipotenziali.
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Osservazione Il lavoro che bisogna fare per spostare una carica lungo una
sup. equipotenziale e sempre NULLO,
infatti tra due suoi punti qualsiasi V = 0, quindi anche U = 0 e poichè
W = U ==> W = 0
5
V
3
V
1
V
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Essendo W = q0E x s = 0
Il campo elettrico E deve essere sempre perpendicolare allo
spostamento s e quindi alla sup equipotenziale.
ds
E
+Q
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
E
Oss. Le superfici equipotenziali di
un piano infinito carico sono, piani
paralleli al piano stesso.
E
+
+
+
+
+
+
-
+
+Q +
+
+
- -Q
-
+
25 V
+
Oss. Le superfici equipotenziali del
campo tra le armature di un
condensatore sono piani paralleli alle
armature.
20
15
10
5
0V
Prof Biasco 2007
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Superfici equipotenziali del campo
generato da due cariche puntiformi
positive.
==>
<== Superfici equipotenziali del campo
generato da due cariche puntiformi una
positiva e l’altra negativa (dipolo elettrico)
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Nei corpi conduttori gli elettroni più esterni sono liberi di muoversi per cui,
quando carichiamo un conduttore o lo immergiamo in un campo elettrico
esterno, si verifica sempre una ridistribuzione di carica tale che tutti i punti
del conduttore, interni e della superficie, si portano allo stesso potenziale.
Tutto il volume del conduttore è equipotenziale
Se così non fosse, tra i punti del conduttore vi sarebbe una d.d.p.  0 (quindi
un campo elettrico E  0) che determinerebbe un movimento di carica,
mentre il conduttore è in equilibrio elettrostatico.
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Rappresentiamo graficamente l’andamento del campo elettrico E e del
potenziale V nel caso di un conduttore sferico carico positivamente.
• Il campo elettrico all’interno
è nullo Ei = 0
• All’esterno è max sulla
superficie e decresce in
ragione del quadrato della
distanza E = k Q/d2
• Il potenziale V all’interno e
sulla superficie ha valore max
ed è costante.
m
+Q
• All’esterno decresce in
ragione della distanza
V= kQ/d quindi decresce più
lentamente del campo E.
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Se il conduttore non è sferico, il potenziale rimane sempre costante e ciò
determina una concentrazione della carica in corrispondenza delle zone più
appuntite dove anche il campo elettrico è più intenso.
Consideriamo il conduttore in figura
+
+
+
+
+
+ + +
+ + +
+
+
+
+
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Per semplificare il ragionamento possiamo schematizzare il conduttore
mediante due conduttori sferici di raggio R e R/2 collegati da un filo
conduttore in modo che le due sfere siano allo stesso potenziale.
+
+
+ +
+
R
+
+
+
+ + R/2
+
Se la distanza tra i due
conduttori è abbastanza
grande rispetto ai loro
raggi, il potenziale di
ciascuna sfera è
praticamente dovuto alla
sola carica posseduta dal
conduttore, l’effetto
dell’altra sfera è
trascurabile.
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Potenziali 1° e 2° conduttore
V1  k
+
Q1
R
V2  k
Q2
Q
 2k 2
R
R
2
ma i potenziali sono uguali
+
+ +
+
R
+
+
+
+ + R/2
+
Q1
Q2
k  2k
R
R

Q1  2Q2
La carica del 1° conduttore è doppia della carica del 2° conduttore
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Ma passando al calcolo della densità superficiale di carica dei due conduttori
avremo:
Q
4 1
Q1
Q2
4Q2
2  2Q1  2
1 




2
1
2
4R 2
4R 2 4R 2 4R 2
R
4  
2
+
+
+ +
+
R
+
+
+
+ + R/2
+
La densità superficiale di carica
del conduttore più piccolo (di
raggio R/2) è doppia di quella
del conduttore più grande (di
raggio R).
Cioè la carica è più concentrata sulla sfera più piccola
Prof Biasco 2007
Potenziale nei Conduttori
Mentre per i campi elettrici sulla superficie dei due conduttori avremo:
E1 
1
0
+
E2 
+
+ +
+
R
+
+
+
+ + R/2
+
2
2 1

 2 E1
0
0
Il campo elettrico E2, sulla
superficie della sfera più piccola,
ha intensità doppia di quella del
campo elettrico E1 sulla
superficie del conduttore più
grande.
Prof Biasco 2007
5 Capacità, Condensatori e dielettrici
+
+
+
+
2Q
Carica Q
Se ad un corpo conduttore forniamo una carica
Q esso assume il potenziale V
se raddoppiamo la carica
2Q il potenziale raddoppia 2V
se
3Q
----->
3V
se
Q/2
------>
V/2
Q
V
2V
Potenziale V
Prof Biasco 2007
Capacità, Condensatori e dielettrici
Le due grandezze sono direttamente proporzionali, il loro rapporto C è
costante è rappresenta la carica del conduttore per unità di potenziale.
Definizione: Si dice Capacità di un conduttore il rapporto tra la sua carica e
il suo potenziale, cioè la carica per unità di potenziale
+
+
+
C
Q
V
Capacità 
Carica
Potenziale
+
Prof Biasco 2007
Capacità, Condensatori e dielettrici
L’unità di misura nel S. I. è il Farad F
Un conduttore ha la capacità di 1 farad se trovandosi al potenziale di 1 volt
possiede la carica di 1 coulomb
1F 
1 Coulomb
1 Volt
Il farad è capacità molto grande, capacità Terra = 103 F
microfarad F = 106 F
nanofarad nF = 109 F
picofarad
pF = 1012 F
Prof Biasco 2007
Capacità, Condensatori e dielettrici
La capacità di un conduttore dipende
- dalla sua forma
- dalla presenza di altri conduttori
- dall’isolante interposto (dielettrico).
Capacità di un conduttore sferico isolato
Calcoliamo la capacità di un conduttore avente la carica Q, potenziale V e
raggio R.
Q
Q
Q
R
V k
C



 4 0 R
R
+
Q
V
k
k
R
+
+
C  4 0 R
+
La capacità del conduttore sferico isolato dipende
solo dal raggio e dal dielettrico.
Prof Biasco 2007
Capacità, Condensatori e dielettrici
Capacità della Terra
Il risultato precedente ci permette di calcolare la capacità del globo terrestre
che è un conduttore.
R 6,37  10 6 m
3
C 

0
,
708

10
F  708 F
2
k
9 Nm
9  10
C2
Nonostante la Terra sia un conduttore enorme la sua
capacità è solo dell’ordine di 103 Farad
Prof Biasco 2007
Capacità, Condensatori e dielettrici
Condensatori
Sono dispositivi che consentono di ottenere capacità massime in dimensioni
relativamente ridotte.
Cioè permettono di immagazzinare carica elettrica e accumulare energia.
Anche la capacità di un condensatore è data dal rapporto tra carica e
potenziale
C
Q
V
Esempio 10 pag 59
Prof Biasco 2007
Condensatori a facce piane e parallele
La schema più semplice di condensatore è rappresentato dal condensatore a
facce piane e parallele.
Si tratta di 2 piastre conduttrici (armature) disposte di fronte parallelamente
a distanza d, tra esse c’è il vuoto o del materiale isolante (dielettrico) aria,
carta, ceramica, ecc.
+
Il condensatore viene caricato,
+Q
-Q
principalmente, collegandolo ad una
+
batteria. La piastra collegata al polo
+
positivo acquista carica +Q e la piastra
+
collegata al polo negativo carica opposta
+ d
Q, la carica può considerarsi
uniformemente distribuita con densità
superficiale  = Q/A
+
-
Prof Biasco 2007
Condensatori a facce piane e parallele
La capacità del condensatore è data da
C
Q
V
Dove Q è il valore assoluto della carica presente su una delle due armature
e V il valore assoluto della d.d.p. tra le armature.
+
+Q
-
E
+
-
+
-
+
-
+
-
d
-Q
Tra le armature si stabilisce la stessa
differenza di potenziale della batteria
che chiameremo semplicemente V
invece di V
Tra le armature del condensatore si
forma un campo elettrico E uniforme
di intensità E =  /0 legato alla
d.d.p. dalla relazione V = E d
+
-
Prof Biasco 2007
Condensatori a facce piane e parallele
Oss. Nel caso dei condensatori a facce piane e parallele la capacità
dipende in modo semplice dalle sua caratteristiche geometriche
+
+Q
C 
-
E
+
-
+
-
+
-
+
-
d
+
-
-Q
0 A
d
Infatti essendo
E
 Q

0 0 A
e
V   Ed  
Qd
0 A
Avremo:
0 A
Q
Q
C


Qd
V
d
0 A
Prof Biasco 2007
Condensatori e dielettrici
La capacità di un condensatore aumenta di un fattore r se tra le sue
armature si pone un dielettrico.
C   r C0
+-
+
-
+
-
+-
+
-
+
-
-
+
-
+
+Q +
+
-
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
Dove
C0 = capacità nel vuoto
r = costante dielettrica relativa
del dielettrico
-Q
E0 = campo elettrico nel vuoto
Ep = Campo elettrico di
polarizzazione
V0 = d.d.p. nel vuoto
Prof Biasco 2007
Condensatori e dielettrici
+-
Il dielettrico, sotto l’azione del campo E0 si
+
-
+
E0 + -
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+Q +
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
Ep
polarizza generando un campo opposto Ep.
Allora il campo elettrico risultante sarà
E = E0 + Ep minore di E0.
-Q
Nella situazione in figura (condensatore
carico staccato dalla batteria) la carica Q
sulle armature non cambia, ma si verifica una
diminuzione del potenziale e quindi un
aumento della capacità del condensatore
C = Q/V.
Prof Biasco 2007
Condensatori e dielettrici
Il campo elettrico risultante è dato da:
+-
+
-
+
E0 + -
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+Q +
-
+
-
+
+
+
quindi
-
+
+
-
+
+
-
Ep
-Q
-
C   r C0  C0
E
E0
r
Per cui, la d.d.p. tra le armature
diviene
V  Ed 
E0
r
d
E0 d
r

V0
r
 V0
E la capacità del condensatore sarà:
C
Q
Q
Q

 r
  r C0
V0
V
V0
r
anche
C  r
0 A
d
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Condensatori e dielettrici
Osservazione
+-
+
-
+
E0 + -
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+Q +
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
Ep
Se il condensatore rimane collegato alla
batteria il potenziale rimane invariato e
aumenta la carica sulle armature Q’ = r Q.
-Q
Si verifica comunque un aumento della
capacità
C = Q’/V= r Q/V = r C0 > C0
Prof Biasco 2007
Condensatori e dielettrici
Nella seguente tabella sono
riportati i valori della costante
dielettrica relativa di alcune
sostanze
+-
+
-
+
-
+-
+
-
+
-
-
+
-
+
+Q +
+
-
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
materiale
Vuoto
Aria secca (1 atm)
elio (1 atm)
Acqua
glicerina
benzene
-Q
Carta
ceramica
vetro
bachelite
nylon
polietilene
polistirolo
teflon
Costante dielettrica
relativa
1
1,00059
1,00087
80
43
3,1
3,5
35 - 50.000
5-7
4,9
3,4
2,3
2,6
2,1
Prof Biasco 2007
Condensatori e dielettrici
Rottura del Dielettrico
Se la d.d.p. V tra le armature supera un certo valore allora scocca una
scintilla che perfora il dielettrico “rottura del dielettrico”, il condensatore si
scarica e non è più utilizzabile.
Il potenziale al quale si verifica la rottura dipende dalla rigidità dielettrica dei
materiali.
Rigidità dielettrica
Massima d.d.p. che può essere
applicata ad un dielettrico senza
che si verifichi la scarica
disruptiva
materiale
Aria
Neoprene
Vetro pyrex
Carta
Teflon
Mica
Rigidità dielettrica
V/m
3,0
12
14
16
60
100
106
106
106
106
106
106
Prof Biasco 2007
Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Accumulo di Energia Elettrica
Un condensatore oltre ad accumulare Carica accumula anche Energia.
Per semplificare il calcolo dell’energia accumulata possiamo immaginare di
caricare un condensatore, inizialmente neutro, spostando piccole cariche
positive Q da un’armatura all’altra.
-
E
F
F
+
-
+q
+
+
- -q
-
-
-
-
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Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Dopo aver spostato la carica Q tra le armature del condensatore vi
sarà la d.d.p. V1= Q/C,
spostando un’altra carica Q avremo una d.d.p. V2= 2 Q/ C =
2(Q/C) = 2 V1, e via di seguito
spostando la terza carica Q la d.d.p. diverrà V3 = 3 V1
-
+
+
E
Energia
Carica
+5q
+
- -5q
+
-
+
-
Q
Il potenziale aumenta in modo direttamente
proporzionale alla carica.
Prof Biasco 2007
Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Il diagramma Potenziale- Carica
V-Q è una retta uscente dall’origine.
Diff Potenziale
V
Carica
Q
L’area delimitata dal diagramma V-Q è uguale al lavoro necessario a
caricare il condensatore e quindi all’energia in esso accumulata.
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Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Quindi per caricare il condensatore al potenziale V con la carica Q bisogna
fare un lavoro W equivalente all’area del triangolo giallo
1
W  VQ
2
Diff Potenziale
V
Energia
Carica
Ed essendo anche C = Q /V
Q
2
1
Q
W  CV 2 
2
2C
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Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Densità di energia:
Possiamo pensare che l’energia accumulata nel condensatore sia associata al
campo e distribuita all’interno del volume tra le due armature. Quindi
definiamo una Densità di Energia
+
+Q
+
-
E
-
+
-
+
-
+
-
-Q
Densità Energia 
Energia
Volume
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Densità di energia - Condensatori
Energia
Densità Energia 
Volume
Tenendo conto che
Avremo:
A
C 
d
e che
V  Ed
1
1 A
1
2
2
E  d     E 2   Ad 
W  CV 
2
2 d
2
Densità di Energia:
W
Energia 1

   E2
Ad Volume 2
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Densità di energia - Condensatori
Oss.
La formula precedente associa l’energia accumulata al campo elettrico tra le
armature del condensatore.
Può essere generalizzata a qualunque campo elettrico comunque generato.
Densità energia di E 
1
  E2
2
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Conservatività del campo elettrostatico
La relazione tra campo elettrico e potenziale V = E d vale soltanto per i
campi elettrici uniformi.
Nel caso di campi elettrici non uniformi la relazione è più complessa.
Per calcolare la differenza di potenziale tra due punti A e B si
procede in questo modo:
• Si suddivide il percorso in tanti
piccoli spostamenti rettilinei s in cui il
campo si possa considerare costante.
E
A
ds
• Si calcola il prodotto E s
• Si sommano tutti i prodotti ottenuti
B
V = E s
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Conservatività del campo elettrostatico
Il calcolo sarà tanto più preciso quanto maggiore è la suddivisione del
percorso, il valore esatto sarà:
n
B
i 1
A
V  VB  VA   lim  E  ds    E  ds
n 
Osservazione
Il campo elettrostatico è un Campo Conservativo cioè la Differenza di
potenziale tra due punti non dipende dal percorso scelto per congiungere i due
punti ma solo dalle posizioni iniziale A e finale B.
Oppure, in modo equivalente, il lavoro fatto per portare una carica da A a B
non dipende dal particolare percorso seguito, ma solo dalle posizioni iniziale e
finale.
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Conservatività del campo elettrostatico
A
1
2
2
B
Il lavoro che bisogna fare per andare da A a B è sempre lo stesso
qualunque sia il percorso scelto.
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Conservatività del campo elettrostatico
E
A=B
In particolare se si considera un
percorso chiuso il punto di partenza e
arrivo coincidono A = B e quindi, per
la conservatività del campo elettrico,
V = VB  VA = VA  VA = 0
quindi
E  ds  0
Cioè la circuitazione del
campo elettrico è zero
Osservazione
Essendo il campo elettrico un campo conservativo la circuitazione di E lungo
un qualsiasi percorso chiuso è sempre nulla.
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