Presentazione di PowerPoint - Università degli Studi di Roma "Tor

M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
1
Interruttore ideale


interruttore di chiusura
i(t) = 0
per t < t0
v(t) = 0
per t > t0
i(t)
+ v(t)
t = t0
interruttore di apertura
v(t) = 0
per t < t0
i(t) = 0
per t > t0

i(t)
+ v(t)
Esempio:
interruttore ideale di apertura
Caso reale
Nell’intervallo
(intervallo di apertura), v(t) , i(t) e
Per t < t0, i(t) èdinderminata
la
potenzadal
dissipata
p(t) sono diverse
da zero.
Potenza
dissipata
(dipende
circuito)
p(t)
Gli interruttori sono caratterizzati
da:= v(t) i(t) = 0
Per t > t0, v(t) è inderminata
l’intervallo d (interruttori rapidi, extrarapidi, ecc.)
(dipende dal circuito)
la massima corrente e la massima tensione
t = t0
i(t)
v(t)
d
t
t
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Scarica del condensatore
i(t)
t=0
+
vC (t)
+
vR (t)
C
R
Sicircuito
definiscono
gli istanti
Il
è formato
da tre componenti
til=condensatore
0- (lim per t C 0 da sinistra)
R t  0 da destra)
til=resistore
0+ (lim per
l’interruttore,
che sidiscontinuità
chiude per t =di0
Non
essendo possibili
tensione
sul condensatore
Si supponga
che vC(t) = V0 , per t < 0
vC (0+) =iniziale
vC (0-) = V0
V0 condizione
Per t < 0
Per t > 0 , interruttore chiuso : vC (t) = vR(t) ; i(t) = A e - t / RC
i(t) = 0
Calcolo dell’integrale
particolare
Determinazione
equazione
risolvente
Risoluzione
equazione
risolvente
RC di(t) / dt + i(t) = 0
+) = A e - t / RC | a t= A = v (0+) / R = Va t/ R
at=
i(0scelga
0
Si
i(t)
= - C di(t)
v =(t)A /edt = - C d v RC
(t) / Adta =e - C+dARei(t)
/ dt
vC(t) = V0
vR(t) = 0
C
t=0
CR
0
Equazione
caratteristica
RC
a + 1 particolare
=0
Attenzione
l’integrale
è
t
/
RC
i(t)
=
(V
/
R)
e
RC
di(t)
/
dt
+
i(t)
=
0
ai segni coordinati
t / RC
a0 = - 1 / RC
stato
la
i(t)calcolato
= A e -utilizzando
sul
condensatore
integrale
particolare
Equazione
condizione
risolvente
iniziale
Integrale generale
2
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
3
Scarica del condensatore
i(t)
t=0
+
vC (t)
C
+
vR (t)
R
 di t dipende la velocità

Dal valore
ERdecadimento
Q
== i(t)
R i2dt
(t) dtdella tensione e
di
0-  
della corrente
= 
(V0 /R ) e2 – t –/ RC
dt
2
t
/
RC4dt
= R0C(V=0 1/RmF,
) e t = 10
R = 10 MW,
s

0

(più di 2 ore
45 minuti)
– t e/ RC
= [ - C V0 e 2
]t /0RC
–
2
½ CpF,
V0t =e 10-10 s
R = 10 W,=C[=- 10
0
= C V0
= 100 ps
]
= ½ C V0 2
Determinazione
Conservazione
dell’area
Q =della
t<0
i(t) dell’energia
= 0 , vC (t)
V0 ,forma
vR(t) = 0
d’onda
i(t) E immagazzinata
Perdi
t <corrente
0, l’energia
C
t //RC
t
indipendente
t > 0dal
Si ha
Q
i(t)==C(V
V00 /èR)
condensatore
ECee=-- t½
C V02da R
tdal
Q è Per
la quantità
elettrica
-- tt //RC
e
t > 0,
vC l’energia
(t)totale
= vR di
(t)Ecarica
=
assorbita
V
e
R 0
che resistore
transita nel
circuito
per
è: ER = ½ C V0t2> 0
t = RC
costante di tempo
L’area della forma d’onda i(t) è
E
C = rispetto
costante
di E
tempo
t Rin secondi
invariante
aR (s)
|
i(t)piccoli
=
(V0 / R)
e - t / RC
grandi
valori
valori
diditt>t0
iv(t)
C (t)
R
V0 V
0
al variare di R
R minore
R maggiore
V0 /R
Q
t
t
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Analisi nel dominio del tempo
Metodo di analisi diNel
uncaso
circuito
contenente
interruttori:
della scarica
del condensatore
è presente
IlC metodo
nel interruttore
dominioche
delsi tempo
perché
t = 0 è detto analisi
un
solo
chiude
per
t=0
+
a) determinare
l’equazione
differenziale
risolvente
R
tutte
grandezze
elettriche
considerate
funzioni
V0 ledell’equazione
L’ordine
differenziale
èconsiderando
detto ordinesono
deli seguenti
circuito
(il
L’analisi
è risolvente
effettuata
circuito
RC è unecircuito
del primo
ordine).
L’ordine
unutilizzano
circuito non è mai
intervalli
sull’asse
deiditempi:
del
tempo
le equazioni
differenziali
il
maggiore della somma del numero dei condensatori e degli induttori presenti
Intervallo
t < come
0 . In questo
intervallo l’analisi è banale, essendo il circuito aperto
tempo
variabile
indipendente
b)
determinare
l’integrale
generale
Intervallo 0 < t < 0 + . In questo intervallo
l’analisi è banale, poiché la condizione
L’integrale generale
un numero
di costanti
arbitrarie
pari all’ordine del
inizialedipende
V0 nonda
subisce
variazioni
alla chiusura
dell’interruttore
circuitot > 0 .di
In
presenza
interruttori
è spesso
necessario
Intervallo
In questo
intervallo l’analisi
è effettuata
per mezzo di una equazione
differenziale
ordinariaparticolare
del primo ordine.
c) suddividere
determinare
l’integrale
l’asse
dei tempi
in più tratti contigui ed
Le costanti
arbitrarielepresenti
nell’espressione
generale
devono
essere
In circuiti
più complessi
analisi per
t < 0 e per 0 - dell’integrale
< t < 0+ possono
risultare
non banali.
effettuare
analisi
calcolate in funzione
delleindipendenti
condizioni iniziali (scelte fra le tensioni iniziali dei
L’analisi nell’intorno di t = 0 nasce dal fatto che, quando scattano gli interruttori, il
condensatori
e le correnti
iniziali degli
induttori)
circuito
si modifica
e le grandezze
elettriche
possono cambiare istantaneamente
4
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
5
Funzione gradino unitario
definizione
0 per t < 0
u-1(t) =
1 per t > 0
u-1(t)

il gradino
unitario èche
una
funzione
Schemi
equivalenti
utilizzano
discontinua
utile per analizzare
il gradino
unitario
circuiti contenenti interruttori,
generatore
di
generatore
di tensione
corrente attivato
attivato
evitando
di suddividere
l’asse
dei
per
t
=
0
per tratti
t = 0 separati
tempi in più
In molte applicazioni lo schema
la
u-1(essere
t ) non
è definita
di funzione
sinistra può
sostituito
per t = 0
con il seguente
1
t
Notazione
t=0
tt=
= 00 unitario è usato il simbolo
Per il gradino
u-1(t) perché questa
di
A funzione fa parte A
un insieme numerabile di enti matematici,
indicati con il simbolo uk(t) (che verranno
B
B
definiti in seguito)
+
+
ivgg(t)
(t) uu-1
(t)
(t) trattazioni sono spesso
-1(t)
Inivgg(t)
altre
usate
notazioni differenti
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
6
Funzione gradino unitario
Rappresentazione di funzioni discontinue mediante gradini unitari
Funzione
Ladetermini
funzione
di tipo
f(t) sinusoidale
Si
l’equazione
Attenzione:
int /tutte
=–funzione
AB)[u
( f(t)
t leB]
) applicazioni
-ha
u-1
)]( t - T )]
La
funzione
f(t)
si
esprimere
f(t)
=f(t)
[(A
T+
[u
(( tt) -- T
uè -1essenziale
Si
può disattivare
lapuò
La
la
Gradino
di
ampiezza
A,
-1
-1
Prodotto
di
un
gradino
con
rappresenta
inizio
per
un
t
=
impulso
0
r(t) della retta r
distinguere
funzione
f(t)
sinusoidale
f(t)f(t)
=A
) -[ tandamento
=laug(t)
u- -1t0(t
)
-1(t
0
nel
modo
seguente
funzione
g(t)
per
t
>
t
seguente
espressione
traslato
all’istante
t
perAuna
funzione
g(t) per ogni
0 0T
t ] dalla funzione f0 (t) [ = 0 per t < 0 ]
ditraslato
ampiezza
e durata
Infatti
Infatti
Infatti
r(t)f(t)
= (A=–FB)cos
t / T+
(wBt + j )
Essendo presenti due discontinuità
per
0 : u:-1(ut-1g(t
=èu0;-1(ut-1-( T
t -) T= )0;= f(t)
0; f(t)
per
tLa
< t=
0<funzione
)( =t )t0;
= 0= 0
)
f
(t)
F
cos
(
w
+
j
)
u
(
t
)
per
t
<
t
u
(
t
t
)
=
0
;
f(t
) r(t)
== A
At [1
-) (,usono
( t - t0 )] per
0f(t)
-1
=
g(t)
u
(
t
)]
0[1
-1
0-( tT
(f(t)
per
t(t)
=r(t)
0=
e=[u
per
=
T
per
0
<
t
<
T
:
u
(
t
)
=
1;
u
t
T
)
=
0;
f(t)
A
-1
0
<
t
<
T
:
u
(
t
)
=
1;
u
(
t
)
=
0;
f(t)
=
-1
0
-1
-1
f0=f(t)
f(t)
u
t
)
-1
-1
( t ) -1
- u-1( t - T )]
-1
attivata
per
t
>
t
( u1;
-(utt-10 -()Tt =-) T=1)1;
;= f(t)
f(t)f(t)
0-1
necessari due gradini unitari
tT> Tt >
)1;=
1;
perper
t >per
: tu:0-1(ut-1)(u
=t -1
==0=00

r(t)
r(t)==(A
a t– +B)bt / T+ B
fg(
fg(t
f (t(t)
(tt)))
0f(t
r(t) = a t + b | t = 0 = B
r(t) = a t + b | t = T = A
b = B ; a = (A - B) / T
A
A
A
A
B
t0
f(t) = [(A – B) ftf(t)
/ T+
B]
[u
(t)t+
)))]
=f(t)
Ff(t)
cos
t -u+(uwj
-1
f(t)
=
(t
)
f(t)
=A-1=
cos
=
( (t
--u--tT-1tjt0T(t)
)]
A
[u
(F(([1
twg(t)
)t )-A
)]
-1
0(t) =
r
f(t) = g(t)-1[1 - u-1-1(-1t - t00 0)]
t0
T T t0 t0
t
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Approssimanti
La
funzionedi
u-1(tu)-1,non
può essere
Esempio
e (t )
usata C
senza
accorgimenti
t=0
+ particolari
nell’analisi dei circuiti
in
Rtelettrici,
0
per
<
0
i(t)
quanto nonVè0 derivabile
0 per t <per
0 t = 0.

t /e per 0 < t < e
u-1,e (t)
u-1,
e (t)==
-t /e uper
del1condensatore,
–
e
InNella
tuttiscarica
gli altri
istanti,
-1(te) tè> 0
1 per t >
l’andamento della corrente i(t) è una
derivabile
con derivata nulla.
approssimante dell’impulso

u-1,0e ( t )
Esempio:0induttore
per t <
i(t ) =
(V0 /R1)e - t /RC per t > 0
1
e
iL(t) = u-1(t)
corrente
- t /e
t
/RC
(C
V
/
e
)
e
(V
/R
)
e
=
decrescente
0
0 = L d iL(t)/dt
vL(t)
tensione
risulta:
con
e e = RC
t
per t =/ 0,
vL(t) = 0
Si tratta dell’approssimante dell’impulso
per t = 0,
v (t) non calcolabile
unitario moltiplicataLper C V
0
Approssimante
dell’impulso
Approssimante
di u-1(t )unitario

u0,e (t ) = d u-1,e (t ) / dt
derivabile per ogni t
u-1,e (t ) lim
00 per
tt<
per
e tu>
e)
u-1,
(t00) =
e<
-1 (t
(t)== e 0
uu0,0,ee(t)
-t /e0per
<t<
(11 //ee )eper
t >e 0
con e > 0
Definizione u0,e ( t )
1/
1/ ee
Approssimante
A unitario
dell’impulso
A
du
e -1,e (t )
t
u0,e (t ) =
Perogni
ogniee, ,
d t Per
l’areaAAèèuguale
ugualeaa11
l’area
7
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Impulso unitario
 di u (t) non
Poiché
l’integrale
varia per
T < 0èedefinito
per T > nell’ambito
0, risulta: di una
Affinché
l’impulso
di Dirac
0
u0(t) dt
u0 (tdistribuzioni.
)
u-1=(t1 ) =teoria
lim matematica,
u-1,e (t ) detta teoria delle
Per
il gradino
risulti
e
0 Al crescere di t , la variazione del
-
u (t) = 0 per t < 0
unitario
valore
dell’integrale
in un
Tale0 teoria è un’estensione della teoria
delle
funzioni,impulso
in avviene
cui risultano
Per l’impulso
u0 (t ) = lim
u0,intorno
dell’origine
o
modificate
derivata e di
integrale
e (t ) diinfinitesimo
u0(t) = opportunamente
0 per
t > 0e le definizioni
0
(integrale
sensoimpulso
delle distribuzioni)
di Dirac
L’integrale di u0(t) è effettuato nel senso
dellenel
distribuzioni

impulso
di Dirac
Proprietà
fondamentale delle
funzioni
u0,e (t)di Dirac è rappresentato come una
L’impulso
Nell’ambito
della
teoria delle distribuzioni,
0

funzione nulla, con una discontinuità
unitario
u0(t) è definito
dalla
enell’origine.
> 0 , e quindi
u0, e1(t) d t =l’impulso
1 per ogni
u0, e (t) d t = 1
lim
e 0 -
-
seguente relazione
Definizione
u (t)



discontinuità
è caratterizzata
dal valore
Questa proprietà non è soddisfatta La
dall’impulso
unitario
u0 (t). Infatti
:
T
dell’integrale,
che è T
uguale

0 per
< 0a 1

t dt=0
lim 0u0, e (t)
u0(t) dt =
e 0
Tale valore
1 non
perè l’altezza
T > 0dell’impulso
-
- - 
Questo risultato non è soddisfacente per le applicazioni



u (t) dt =
8
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
9
Impulso unitario
Alcune proprietà dell’impulso unitario u0(t)
Impulso di un
ampiezza
A,u0 (t)
Prodotto
impulso
traslato
all’istante
t
traslato
per
un gradino
per
unaufunzione
f(t)
-1(t)0
h(t) = Ah(t)
u0(t==-f(t)
h(t)
ut0-1)(tu0)(tu-0(tt0))
h(t)
impulso nel
A èh(t)
il valore
dell’integrale,
Per determinare
èè
unun
impulso
f(t) u0(t -l’ampiezza
t0 ) = f(t0non
) u0si(t può
- L’ampiezza
t0usare
)
l’espressione u-1(t ) u0(t ) = u-1(0) usenso
0(t )
delle distribuzioni,
un intorno
di ampiezza
f (t0 ) ½di t0
di in
ampiezza
in particolare
(t ) = f(0)
perché
il gradinof(t)
non u
è 0definito
per tu=0(t
0)
 dd d
d
Estensione della
uA-1f(t)
(tu0)(tuu-00(t
==
u-1f(t
(t0)) d u-1(t ) =
(tt0)-)dt
tdt
dt A=
0 ) gradino
definizione
di
= ½ [ u-1

d dè un
qualunque
intervallo
è un
qualunque
intervallo
in
[anche
[ancheinfinitesimo]
infinitesimo]
comprendente
comprendente
comprendente
questo
modol’origine
sit0 tha:
h(t)
0
h(t)
h(t)
h(t)
==f(t)
=u-1A(tuu0)0(t(t
u-0-(tt0t)0))
u-1(t )
f(t0 A
)
½
0] ba =per
½
t<0
u-1 ( t ) = ½ per t = 0
1 per t > 0
2(t )
h(t )
½
a
b
d
f(t)
u-1(t )
t0
dd
= u-1(t ) u0(t ) = u-1(0 ) u0(t ) = 1/2 u0(t )
t
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
10
Esempio
i (t)
V0 +
C
V0 /R
R
i(t)
Q
t=0
t
EC = ½ CV02 assorbita da R
i(t) = (V0 / R) e - t / RC u-1 (t) ;
Q = CV0
Questa soluzione vale per ogni valore di R , ma non per R = 0
V0 +
C
v(t)
i(t)
iv(t)
(t)
I
v(t) = V0 [1 – u-1(t)]
Q
i(t) = C V0 u0(t)
V0
t=0
2
t
EC = ½ CV0 assorbita da I




Q = C V0
Questa
congrua
con
precedente, vale
solo
Energia
assorbita
Sono
componenti
ideali:
illacondensatore
e l’interruttore
I
i(t) =presenti
-C
dv/dtdue
=soluzione,
-C
d V0 [1
– uE
(t)]
/dt
=
p(t)
dt
=
v(t)
i(t)
dt
=
-1 I
nell’ambito
della teoria 
delle distribuzioni.
dall’interruttore


i(t)
= Cteoria
V0 u0(t)
L’analisi del
circuitolaè derivata
possibile
della
delle
effettuando
di solo
u-1(t)nell’ambito
2
2
= Vdistribuzioni
–l’interruttore
u-1(t)] CV
dt = può
CV0uassorbire
[1
–
½
]
=
½
CV
Se i(t) [ onel
v(t)senso
] è impulsiva,
ideale
energia
0[1
0 ue
0(t)
0
distribuzioni,
utilizzando
il gradino
u-1(t)
l’impulso
(t)
delle
0


M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Distribuzioni successive
Derivate successive dell’impulso unitario
L’impulso unitario può essere
derivato infinite volte, nel
senso delle distribuzioni
Notazione
d
u
(t)
k-1
uk(t) = ----------- , k = 1, 2, …
dt
Esempio:successivi
u1(t) del gradino
Integrali
Esempio: uu-2
(t)
integrazioneu0,e (t)
1,e (t)
derivazione
doppietto
Il gradinounitario
unitario può essere
rampa1/e
unitaria
1/e
rimanendo
uintegrato
= duuinfinite
(t) / dtvolte,
1(t)…..
0(t)
u-2
(t) …..
u
(t)
u
(t)
u
(t)
u
(t)
-2
-1
0
1
2
nell’ambito delle funzioni
e
…..
rampa
gradino
impulso
doppietto tripletto
…..
Approssimanti
1
Notazione
e
t
t
u1,e (t) = d u0,et (t) / funzioni
dt
distribuzioni
-1/e
u-k-1(t) = u-k(t) Al
dtdiminuire
, k = 1,
di e2,il …
doppietto è assimilabile a due
1
nulle
< 0 di area opposta
nullenell’intorno
per t =/ 0dell’origine
t
- per timpulsi

11
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Analisi nel dominio di Laplace
Circuiti con
Circuiti
senza
Metodo
della trasformata
di
memoria Laplace memoria
Circuiti privi di
condensatori, induttori,
induttori accoppiati
Circuiti contenenti
condensatori, induttori,
induttori accoppiati
1. Definizione
2. Analisi
Trasformate
elementari
Analisinel
neldominio
dominiodi
delLaplace
tempo
3.equazioni
Proprietà
equazioni
4.algebriche
Applicazione ai componenti
differenziali
algebriche
elettrici
L’analisi di circuiti con memoria
è5.
differente
è Antitrasformazione
simile all’analisi
dall’analisi
di di
circuiti
circuiti
senza
senza
memoria
memoria
ed
edèèmolto
moltosemplificata
complessa
12
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
13
Trasformata di Laplace: definizione
Trasformata di Laplace
1. Definizione
T
2. Trasformate elementari
3. Proprietà
4. Applicazione ai
00 componenti elettrici
5. Antitrasformazione
F(s) = lim
T 

Notazione
f(t) e-s t dt
F(s) = L [ f(t) ]
F(s) L-trasformata di f(t)
piano
s tensioni
Antitrasformata
: di
Proprietà
del
limite
per
Nell’analisi
deidicircuiti,
tutte
le reale
grandezze
elettriche,
e= correnti,
w perché
Im[s] i
f(t) : funzione
variabile
contributo
L’andamento
f(t)
per
t < 0Tnon
dà
all’integrale,
sonooperatore
sostituiteinverso,
con le rispettive L-trasformate Notazione
tempi
sono
esclusi
(trasformata unilatera).
F(s)
:limite
funzione
diedvariabile
complessa
Se il negativi
esiste
è finito dall’integrazione
per
s = s0
perallora
passare
f(t)
Conviene
considerare
f(t)aNotazione
=per
0 per
esistedaedF(s)
è finito
ognitT<s 0
-1
V(s)
=
L
[
v(t)
]
Dimensioni
F(s)
t dt
f(t)
=
tale cheV(s)
Re[ =
s Con
]lim
> Re[
s0v(t)
] e-sminuscola,
la
lettera
p.es.
v(t),
è
indicata
la
a
Esiste una formula integrale,
s = Re[s]

L [
 0 nel tempo, con la lettera maiuscola, p.
Tgrandezza
Calcolo
dell’integrale
nel
senso
Estremo
inferiore
di
Re[
s0 ] : delle distribuzioni
I(s)utilizzata
= L [ i(t)nell’analisi
]
poco
dei circuiti
]
-1) es.adimensionale
V(s), la
trasformata
tempo
di(sconvergenza
a rispettiva
variabile
sascissa
: sec -1
V(s)
: volt . sec (per
V s t) = 0
contribuiscono
all’integrale
eventuali
impulsi,
in particolare
LaSe
variabile
di inferiore
Laplace
immediato
significato
e (viene
il limite non
esiste
o nons ènon
finitoha
perunanalogamente
- fisico
I(s)
:
ampère
.
sec
As)
l’estremo
di
integrazione
è
indicato
con
0
semipiano
di
convergenza
Metodi
operativi
di
antitrasformazione
di
Laplace
saranno
descritti
in
seguito
alcun
valore
di
s
,
f(t)
non
è
L-trasformabile
considerata come una variabile complessa
M. Salerno
Laplace
Trasformate elementari
Tor Vergata
Trasformata di Laplace
a t u (t)
Esponenziale
Gradino
f(t)==uf(t)
u
(t)
=
e
Impulso
f(t)
(t)
Antitrasformate
-1
-1
0
1. Definizione
a : reale o complesso
T
2. TrasformateT
elementari
F(s)
== lim
u
ee-s-st tdtdt
Tu0-1(t)
3. Proprietà
F(s)
lim
(t)
=

-a t dt
 00 u
4. Applicazione
ai
F(s)
=TT lim
(t)
e-s t e-1
-1
 0 -elettrici
T
componenti
-s t
= TTlim
e
t=0 = 11 -s t T
5. Antitrasformazione
-s t
at
F(s) = lim
T
14


T
f(t) e-s t dt
0-
Trasformate
L [ u-1(t) ] = 1s
L-1[ 1s ] u (t)

[
]
-1
----1
----1
at u (t)]
dt =]lim
= lim
e
[
e
]
1
L
[
e
L
[
=
e
u
(t)
=
s -1 0
-1
= lim 
u
(t)
e
dt
=

s-a
s-a
0

s
a

per ogni0 valore di s
1-1
1a = =- 1
ascissa
di
convergenza
=
lim
[
e
]
+
Lss- a ][>10 ;=Re[su0s(t)] >sRe[ a ]
L [u0(t)] = 1
per Re[
T
T
T
-1
- (s-a)
T t
-s T
T
ascissa
dièRe[
= Redistribuzioni
[a]
l’integrale
calcolato
senso
1 a delle
per
s ] > nel
0antitrasformata
1convergenza
-1 Una
ulteriore
n-1 eat u (t)
=
t
n
-1
èl’integrale
essenziale
l’estremo
(s-a)
èche
identico
aè(n-1)!
quello
relativo
al
d’interesse
lainferiore
seguente
ascissa
di
convergenza
a =di0:integrazione
L
[------ ] -----
sia
0 - eccetto la sostituzione di s con s-a
gradino,
Queste sono le uniche
trasformate di cui sarà effettuato
il calcolo dell’integrale
M. Salerno
Laplace
Trasformata di Laplace: proprietà
Trasformata di Laplace
Linearità
Derivazione
Traslazione
1. Definizione
Tor Vergata
L [ f(t)
f (t)]]==F(s)
F1(s) ; L [ f2(t) ] = F2(s)
-) + c F (s)
-sT–c f (0
f –(t)/T)dt
+]c]=2=fF(s)
s
(t)
F(s)
]
=
F
(s)
L[[dcf(tf(t)
e
allora
allora L
2
1 1
2 2
2. Trasformate elementari
3. Proprietà
1
4. Applicazione ai
componenti elettrici
1 1
5. Antitrasformazione
Se
ove
ove
(te --c)T)
è
la
f(t)
traslata
dell’intervallo
T
cff1(0
è
sono
il
valore
due
costanti
di
f(t)
per
reali
t
o
=
complesse
0
2
La proprietà di derivazione
linearità permette
permette
di applicare
di sostituire
il metodo
operazioni
delledifferenziali
trasformata
neldi
La proprietà di traslazione è molto utile per tenere conto di ritardi nella
Laplace del
dominio
a tutti
tempo
i circuiti
con operazioni
(e sistemi)algebriche
lineari nel dominio di s
trasmissione di segnali elettrici (è poco usata nei circuiti elementari)
Sono
lineari
quelli contenenti
componenti
nei qualidiviLaplace
è una relazione
Se
f(t)circuiti
presenta
discontinuità,
la derivata
e la trasformata
devono
Molte fra
altre
della trasformata
Laplace sono
omesse perché
non
lineare
le proprietà
grandezze
Tutti i di
componenti
considerati
in questo
essere
applicate
nel sensoelettriche.
delle distribuzioni
assolutamente
essenziali alla trattazione
corso
sono lineari
L’istante
0 - è considerato
per tenere
di eventuali
discontinuità
Altri
componenti
(come il diodo)
sonoconto
non lineari
e allora
il metodo della
nell’origine. di
Nell’ambito
delle
funzioni
si considera semplicemente f(0)
trasformata
Laplace non
può
essere applicato
15
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
16
Proprietà di derivazione: esempi
Verifica proprietà di derivazione
f(t) = e t u-1(t)
f(0-) = 0
F(s) = L[f(t)] = 1/ (s-1)
dalla proprietà di derivazione
L[df(t)/dt] = sF(s) – f(0-)
verifica
df(t)/dt = e t u-1(t) + e t u0(t)
= e t u-1(t) + u0(t)
dalla proprietà di linearità
L[df(t)/dt] = 1/(s-1)
= s/(s-1)
+1
= s/(s-1)
Trasformate delle distribuzioni successive
uk(0-) = 0 , k = 0, 1, 2, …
uk(t) = d uk-1(t) / dt , k = 1, 2, …
L[u0(t)] = 1
L[uk(t)] = s L[uk-1(t)]
L[uk(t)] = sk
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
17
Proprietà di linearità: esempi
Trasformata della funzione
sinusoidale
Notazione
f(t) = F cos (wt + j ) u-1(t)
nel campo complesso
jwt ] ujwt(t) , con-jwF
f(t)La
= lettera
Re[
F½
e “F”
Fe
f(t) =
(F e ha
F* significati:
e t )=u-1
(t)jj
vari
-1 +
ove F = Fe jj è il fasore di f(t)
(minuscolo)
F(s) =f Re[
F /(s - jwè) ]la funzione del tempo f(t)
dalle
F(s)trasformate
= ½ [FF(s)
/(selementari
- j=
w)½
+ F*/(s
+ -jwjw
) ];) + F*/(s + jw) ]
[F
/(s
ove
l’operatore
Re[.]
applicato considerando
F (maiuscolo) è èl’ampiezza
(modulo)s reale
+ jwt u (t)] = 1/(s jw2)
2
F = Fe jj = F (cos=L[
jF
+ ej(s
sin
j )j
cos
-1 - w sin j ) /(s + w )
F(s) F
= F(maiuscolo
Re[(cos j e+sottolineato)
j sin j ) /(s - èjwil) fasore
]=
dalla proprietà di linearità
+
F(s) è una funzione razionale (rapporto fra polinomi) a coefficienti reali
F(s) = ½ F[(cos jF(s)
+ j sin
j ) /(s - jw) +è(cos
j - j sin j ) /(s +dijwLaplace
)2] = 2
(maiuscolo)
la trasformata
L[ ]
F Re[(cos
j +=valori
j½sin
j/(s
) per
(s
] /(s
=perché assume
f(t)
[F
- j+
)jw+)F*/(s
F(s) è detta razionale=F(s)
reale,
reali
swreale
+ jww) ]
= ½F[(cos j + j sin j )(s + jw) + (cos j - j sin j )(s - jw) ]/(s2 + w2) =
sufficiente
i termini
reali del
prodotto)
F(s) è anche espressa(ècome
somma calcolare
di due funzioni
complesse
coniugate,
per s reale
L’espressione trovata può essere considerata soddisfacente in vari casi
2 + w2)
2 + w2)
=
F
(s
cos
j
w
sin
j
)
/(s
=osservazioni,
F (s cos
- w precedenti
sin
j ) /(s
Tuttavia
è possibile
ulteriormente
i calcoli
Sulla base
di F(s)
questesviluppare
ijcalcoli
possono
essere semplificati
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
18
Proprietà di traslazione: esempi
Trasformata della funzione

f(t)
f(t) = A [ u-1(t) - uk -1(t-T)]
f(t) = A S [(-1) u-1(t – k T)]
A
k=0 di traslazione
dalle proprietà
e diproprietà
linearità di
: traslazione e linearità :
Dalle
La forma d’onda è costituita
-sT)/s dalla somma di infiniti gradini
T
t
F(s)
=
A
(1
e

alternativamente positivi e negativi, di ampiezza A e traslati
Si ricordi che
k –k sT ]
F(s) = (A/s)
dell’intervallo
di tempo[(-1)
T l’uno erispetto all’altro
1 =
k=0
1 + x indefinitamente,
L’impulso di ampiezza
A
e
durata
T
può
essere
replicato
A
=
ottenendo un’onda
= 1t–<x 0+ x2 – x3 + x4 - …
s ( 1 +quadra.
e – sT Tale
) funzione è nulla per
S
f(t)
A
T
2T
3T
4T
5T
t
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
19
Bipoli nel dominio di Laplace
Trasformata di Laplace
Trasformate
di Laplace
1. Definizione
di2.tensione
Trasformate elementari
e corrente
3. Proprietà
4. Applicazione ai
= V(s)
componenti elettrici
5. Antitrasformazione
L [ v(t) ]
;
+
i(t)
I(s)
L [ i(t) ] = I(s)
Si definisce un istante iniziale, tipicamente t = 0
All’istante t = 0- sono assegnate le condizioni iniziali
tensione: v(t) in Volt (V)
; V(s) in Volt.sec (V.s)
corrente: i(t) in Ampère (A) ; I(s) in Ampère.sec (A.s)
V(s)
v(t)
bipolo nel
dominio
dominio di
delLaplace
tempo
Il
si dice
nel dominio
del tempo
Il bipolo
bipolo indicato
nel dominio
di Laplace
è utilizzato
solo a scopi di calcolo
Indicando le trasformate invece delle grandezze nel tempo si ottiene
Nel
bipolo
le grandezze
elettriche sono sempre funzioni del tempo
il bipolo
nelreale
dominio
di Laplace
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Resistore
Nel dominio del tempo
Nel dominio
di Laplace
+
v(t) = R i(t)
V(s) = R I(s)
v(t) = R i(t)
L [ v(t) ] = L [ R i(t) ]
per la linearità
L [ v(t) ] = R L [i(t) ]
V(s) = R I(s)
R
v(t) = R i(t)
+
R
V(s) = R I(s)
20
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Induttore
+
a
Nel dominio del tempo v(t) = L d i(t) / d t
Nel dominio
-)
V(s)
=
s
L
I(s)
–
L
i(0
di Laplace
i(0 -) condizione iniziale
caso generale
i(0L-)d=/i(t)
0 /dt
v(t): =
A
-)
sL
L
i(0
LI(s)[ v(t) ] = L [L d i(t) / +
dt]
B
per le proprietà di linearità e di derivazione
+
21
L
v(t) = L d i(t) / d t
Caso particolare
condizione iniziale nulla:
i(0 -) = 0
V(s) = s L I(s)
+
sL
V(s)
-)]
L
[
v(t)
]
=
L
[
s
L
[
i(t)
]
i(0
Li(0 ) tensione impressa del generatore,
Equivalenza:
V(s) = sL I(s)
dominio
tempo a: bipolo
con
segnodel
positivo
destra ab
-)
dominio
di =
Laplace:
bipolo
completo
V(s)
s L I(s)
– LABi(0
V(s),
I(s)
grandezze
elettriche
esterne
s L impedenza
b
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
22
Induttore: schemi equivalenti
Dominio del tempo
Dominio del
di Laplace
tempo
A
I(s)
i(t)
+
L Li(0
i(0-) -u) 0(t)
sL
L
+
B
i(t)
b
R
-1
L [L i(0-)] = L i(0-)u0(t)
+
v
g
L

Equivalenza
Si
ricordi chefra generatori
I(s)
i(t)
+
L
i(0 -)
V(s)
-) -u (t)
i(0i(0
)/s
-1
A
a
+ v(t)
B
V(s)
v(t)
La corrente impressa dal generatore di corrente
In questi schemi equivalenti, gli induttori sono
è pari a L i(0 -) / sL = i(0 -) / s
considerati con condizioni iniziali nulle
L-1[i(0-)/s] = i(0-v) u-1/ (t)
R=i
g
espressioni permettono
igQueste
R nel dominio del
di interpretare
tempo gli schemi equivalenti
dell’induttore
l’impedenza sL svolge lo stesso
ruolo della resistenza R
g
M. Salerno
Tor Vergata
Condensatore
Nel dominio del tempo i(t) = C d v(t) / d t
Laplace
a
+
23
C
i(t) = C d v(t) / d t
Nel dominio
Caso particolare
di Laplace I(s) = s C V(s) – C v(0 ) condizione iniziale nulla:
v(0 -) condizione iniziale
v(0 -) = 0
caso generale
/0 /dt
i(t): =v(0
C -d) =
v(t)
1/sC
+
L [ i(t) ] = CLv(0
[C d) v(t) / d t ]
I(s)
s CV(s)
V(s)
I(s) ==sC
per le proprietà di linearità e di derivazione
I(s)
A
B
s C ammettenza
L [ i(t) ] = C [s L1/sC
[ v(t) ] - v(0 )]
V(s)
+
1/sC impedenza
I(s)
s C V(s)
–C
)
V(s),
I(s)
elettriche
esterne
bipolo
ab=grandezze
bipolo
ABv(0
completo
b
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
24
Condensatore: schemi equivalenti
Dominio del tempo
Dominio del
di Laplace
tempo
-) u-) (t)
C v(0
C v(0
0
+ v(t)
a
A
A
I(s)
i(t)
+
i(t)
b
+
I(s)
i(t)
+
C
1/sC
C
V(s)
v(t)
C
1/sC
B

Equivalenza
Si
ricordi chefra generatori
R-1
L [C v(0 )] = C v(0-)u0(t)
+
v
-) -u)/s(t)
v(0v(0
-1
+
v(0 -)
g
B
V(s)
v(t)
Intensione
questi schemi
equivalenti,
i condensatori
La
impressa
dal generatore
di tensione
è sono
pari aconsiderati
C v(0 -) /con
sC condizioni
= v(0 -) / s iniziali nulle
L-1[v(0-)/s] = v(0-v) u=-1(t)R i
g
g
espressioni permettono
igQueste
R nel dominio del
di interpretare
tempo gli schemi equivalenti
del
condensatore
l’impedenza
1/sC svolge lo
stesso ruolo della resistenza R
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
25
Esempio: circuito RC
circuito nel
dominio di s
a
C +
A
+
t=0
v0
i(t)
R
v0 /s
I(s)
R
1/sC
b v0 condizione iniziale
B
Il bipolo completo fra i morsetti AB è l’equivalente del condensatore
nel dominio del tempo, inclusa la condizione iniziale
analisi nel
dominio di s
I(s) (R + 1/sC) = v0 /s
I(s) (sRC + 1)/C = v0
I(s) = v0 C/(sRC + 1)
I(s) = (v0 /R)/(s + 1/RC)
antitrasformazione
i(t) = L-1[I(s)] =
= L-1[(v0 /R)/(s + 1/RC)] =
= (v0 /R) e –t /RC u-1 (t)
M. Salerno
Laplace
26
Esempio: circuito RCC
Tor Vergata
vc(t)
t=0
a
C +
+ v(t)
C1
R
v0
b
dominio di t
condizioni iniziali
condensatore C : v0
condensatore C1 : 0
A + V(s)
C v0
C
-t/R(C + C1)
vc(t) = v0 C e-t/R(C + C1 ) |t > 0
condensatore serie
V(s)
(sC + s Cv01 + 1/R)
C = CCv+0 C1
C1
(condensatore visto
dall’interruttore)
V(s)
= C v0 / (sC + s C1 + 1/R)
v0 C/(C+C1 )
EP è pari all’energia immagazzinata dal condensatore
V(s)serie,
= v0caricoCalla tensione 1iniziale v0
1
C + C1 s +
EP è assorbita dall’interruttore,
per t=0
R(C + C1 )
E1 è assorbita dal resistore, per t>0
t
R
1/sC
il condensatore C equivale
all’intero bipolo a sinistra
dei morsetti AB
vc(t)
=
v(t)
= di
v0vs0 |t < 0 e
u-1 (t)
analisi
nel
dominio
C
+
C
C
C
/(C+C
v 1(t)
1
C C1 /(C+C
)
1
1)
1/sC1
B
dominio di s
Bilancio
La
costante
energetico
di tempo è : t = R (C + C1 ).
antitrasformazione
t<0:
E0 = ½ C vo2
-1[V(s)parallelo
C +v(t)
C1 condensatore
=
] C/(C+C )] 2 +
+
t(condensatore
=0 :
Evisto
C [voresistenza
1 = ½dalla
1 R dopo
+ ½ C1 [vo C/(C+C1 )] 2 =
la chiusura dell’interruttore)
-1
da L [1/(s+a)]
= e-at u-11 )](t)< E0
= ½ C vo2[C/(C+C
e dalla proprietà di linearità
C perduta
C1
Energia
C+C1
EPv(t)
= E0=
- Ev1 = ½C
C vo2 [1
-t/RC/(C+C
(C + C1)1 )] =
0 = ½ v 2 [CeC /(C+C )]u-1 (t)
C + oC1 1
1
L
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
27
Esempio: circuito RL
t=0
+
sL
L
+
i(t)
R
v0
i(t) = 0 | t < 0
I(s)
R
v0 /s
dominio di t
analisi nel i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t)
i (t) di s I(s) (sL + R) = v0 /s
dominio
Costante di tempo t = R / L
I(s) = [v0 / L]/[s (s + R/L)]
v0 /R
dominio di s
antitrasformazione
i(t) = L-1[I(s)] =
L-1[(v0 / R) / s - (v0 / R) / (s + R/L)]
Per antitrasformare I(s) si pone
=
I(s) = A/s + B /(s + R/L)
Risulta
A (s + R/L)] + B s = v0 / L
A = v0 / R ; B = - v0 / Rt
Per la proprietà di linearità
i(t) = (v0 /R) (1 - e
– t L/R
) u-1 (t)
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Antitrasformazione
Trasformata di Laplace
Metodo delle Trasformata di Laplace
1. Definizione
1.2. Trasformate
Dal circuitoelementari
nel dominio del tempo determinare il circuito nel
dominio di Laplace
3. Proprietà
4. Applicazione
ai
Per i componenti
R, L, C, utilizzare i circuiti equivalenti
componenti elettrici
Per i generatori, calcolare la trasformata delle grandezze impresse
5. Antitrasformazione
2. Risolvere il circuito nel dominio di Laplace
Tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono funzioni di s
3. Antitrasformare le grandezze di interesse per ottenere le relative
funzioni del tempo
Le funzioni di s da antitrasformare sono funzioni razionali (rapporto di
polinomi) nella variabile s
F(s) = N(s)
D(s)
28
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
29
Funzioni razionali: notazioni
F(s) = N(s)
D(s)
funzione razionale nella variabile complessa s
m
N(s) = S bk
k=0
n
D(s) = S ak
k=0
m
sk =
P (s - zk )
k=1
n
sk =
P (s - pk )
k=1
polinomio a numeratore di grado : gr [N] = m
zk radici di N(s) ; zeri di F(s)
polinomio a denominatore di grado : gr [D] = n
pk radici di D(s) ; poli di F(s)
F(s) funzione razionale reale nella variabile complessa s
F(s) reale per s reale :
coefficienti ak e bk reali
F(s) funzione razionale propria : m = gr [N] < n = gr [D]
F(s) funzione razionale impropria : m = gr [N] > n = gr [D]
s0 polo di F(s) se lim F(s) =
s
s0

poli di F(s)

pk
radici di D(s)
se gr [N] > gr [D]
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Caso di funzioni razionali proprie
Ipotesi:
F(s) = N(s)
D(s)
funzione razionale reale propria,
con poli pk semplici: radici di D(s) distinte
Sviluppo in frazioni parziali
n
ck
N(s)
=
S
F(s) =
D(s) k=1 s - pk
ck residuo di F(s) sul polo pk
lim (s(s––ppkk))F(s)
F(s) = N (s)
cckk== lim
Dk(s) s = pk
ss ppkk
polo ph
nn
n
c
cD(s)
k
kn
Antitrasformazione
Nota: il termine
(s - (s
pk –) èpun
fattore
del
polinomio
lim
lim
lim
)
(s
–
ph )(s c– p=h )N =(s)ch
F(s)
=
S
S
S
h
-1
s
p
s
p
s
p
s
p
s
p
k h] = S
k c e kpk t u (t)
k=1
k=1
h k=1
[ F(s)
D(s) ==(seat-hu
pk-1)(t)Dk(s),f(t) = L
da L-1[1/(s-a)]
D
k
-1k(s) s = p
k
k=1
e dalla proprietà
linearità
ove Ddi
(s)
è
pari
a
D(s)
privato
del
fattore
(s
p
)
=
0
per
k

h
k
k
= ch per k  h
Calcolo dei residui
{
30
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Caso di funzioni razionali proprie
Ipotesi:
F(s) = N(s)
D(s)
funzione razionale reale propria,
con poli multipli: radici di D(s) coincidenti
Sviluppo in frazioni parziali
F(s) = N(s)
D(s)
Lo sviluppo in frazioni parziali nel caso di poli multipli
(noto anche come sviluppo di Hermite) è piuttosto
complesso. Per l’algoritmo si rimanda al libro di testo
Antitrasformata
Si ricorda che:
1
1
-1
---------L [(s-a)n ]= (n-1)! tn-1 eat u-1(t)
1
-1
-----L [(s-a)2 ]= t eat u-1(t)
caso di un polo di ordine n
caso di un polo di ordine 2
31
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
32
Esempio di antitrasformazione
F(s) =
s+1
s+1
1 + 1 - 2
=
=
6s 2(s+2) 3(s+3)
s3 + 5s2 + 6s
s (s+2)(s+3)
Sviluppo
Antitrasformata
in frazioni parziali
1 + 1 e-2t - 2 e-3t ] u (t)
f(t)
=
[
Fattorizzaziones + 1
A
B
C
-1
2
6
3
F(s)
=
= s + s+2 + s+3
del denominatore
s (s+2)(s+3)
3
2
andamento
s + 5s + 6sf(0=+) = 1/6 + ½ - 2/3 = 0 f( ) = 1/6
+ 1 e –2t + 3(2/3)
e –3t = 0
= 1/6
A
= =per s-2(1/2)
max
= =s(ss2F(s)
+ 5s|s=0
+f(t)6)
- e –2t + (s+2)(s+3)
2 e –3t = 0; e t =s=0
2; t = ln 2 = 0.69
= s(s + 2)(sf(t)
+ 3) = f(0.69) = 0.21 > 1/6
max
= 1/2
B = (s+2) F(s)|s= -2 = s + 1
s= -2
Radici di s2f(t)
+ 5s + 6 = s(s+3)
0
1/6
sC1,2= =(s+3)
½ (-5F(s)
+ |s=52-3–=4 .s6+) 1= ½ (-5= +-2/3
1)
0.69
t
s(s+2) s= -3
Poli di F(s)
s0 = 0; s1 = -2; s2 = -3
w = Im[s]
piano s
x x
-3 -2
poli
x
0
s = Re[s]
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
33
Esempio di antitrasformazione
½+¼j ½-¼j
s
s
F(s) = 2
=
=
+
s+1-2j
s+1+2j
s + 2s + 5
(s+1-2j)(s+1+2j)
Sviluppo
Antitrasformata
in frazioni parziali
-t cos(2t + 0.46)
(-1+2j)t
(-1-2j)t ]Bu (t)
A
f(t)
=
1.12
e
u
(t)
f(t)
=
[
(½+
¼
j)e

(½
¼
j)e
s
-1
-1
Fattorizzazione
F(s) =
= s+1-2j + s+1+2j
(s+1-2j)(s+1+2j)
del denominatore
Andamentocomplessi coniugati per ogni t
2

s + 2s + 5f(t)=
s
polo
:+-1
+2j
;
residuo
A
=
½
+¼
j =
A==(s(s+1-2j)F(s)
|
=
1.12
(-1+2j)t ] u (t)
-1+2j
1-2j)(s
+s=j)e
1+2j)
f(t) = 2 Re
[
(½+ ¼
=
s+1+2j
-1
s= -1+2j B = A*
1
polo :-1+2j
-1 - 2j ; residuo
B=½ -¼j
-t
2jt
= ½ j)e
+ ¼ ]j u-1(t) =
==e Re
4j [(1+
1+ ½ j =
In generale:
0.46
t j
-t Re[e j(2t+0.46) ] u (t) =
=
1.12
e
= 1.12
e
-1 s reale (cioè a
ogni funzione5razionale
B
=per
(s+1+2j)F(s)
=0s+1-2j
=
Radici
di s2 + 2ss=+-1-2j
=
-t
reali),
a poliu-1complessi
s=coniugati
-1-2j
=coefficienti
1.12
e cos(2t
+ 0.46)
(t)
-1-2j
-1.12
s1,2=corrispondono
= -1 += ½
1 –- residui
5 j= -1complessi
+ 2j coniugati
¼
-4j
Poli di F(s)
s1 = -1+2j; s2 = -1-2j
w = Im[s]
piano s
x
2
s = Re[s]
-1
|
x
poli
-2
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
34
Caso di funzioni razionali improprie
Ipotesi:
F(s) = N(s)
D(s)
funzione razionale reale impropria
gr [N] > gr [D]
gr[Q]
Divisione fra polinomi
F(s) = N(s) = Q(s) + R(s)
D(s)
D(s)
Q(s) = S qk sk : polinomio quoziente
k=0
grado : gr [Q] = gr [N] - gr [D]
R(s) : polinomio resto
funzione razionale
propria
Antitrasformazione
da L-1[sk] = uk(t)
e dalla proprietà di linearità
Le funzioni razionali improprie possono
essere antitrasformate solo nell’ambito
della teoria delle distribuzioni
grado : gr [R] < gr [D]
f(t) = L-1 [ F(s) ] =
gr[Q]
L-1 [ k=0
S qk sk ] + L-1 [ R(s)
]=
D(s)
gr[Q]
S
qk uk(t) + L-1 [ R(s) ]
D(s)
k=0
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
35
Esempio di antitrasformazione
s2 + 3s + 5
3
F(s) =
= s+ 2 + s+ 1
s+ 1
Divisione fra polinomi
s2 + 3s + 5 s + 1
N(s) = s2 + 3s + 5
s2 + s
s+ 2
D(s) = s + 1
2s + 5
2s + 2
Q(s) = s + 2
3
R(s) = 3
3
F(s) = N(s) = Q(s) + R(s) = s + 2 + s + 1
D(s)
D(s)
Antitrasformata
f(t) = u1(t) + 2 u0(t) + 3 e-t u-1(t)
Poli di F(s)
s1 = -1 ; s2 =

M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
36
Esempio: circuito RLC
vu(t)
+
V u-1(t)
dominio di t
R
C
Vu(s) +
+
+
L V/s
condizioni iniziali nulle
R
1/sC
sL
dominio di s
Poli di Vu(s)
1/3 ; L = 1/2
1/4
½ ; ;CC=1
1/4
=1
Esempio : R= 1/2
u
RC s2 + s/(RC) + 1/(LC)
Radici di s2 + s/(RC) + 1/(LC) = 0
Vu (sC + 1/sL) + (Vu - V/s)/R = 0
jV3V
A +-jV
B = A*
3V
1
2V
1
3V
A
=
=
V
=
2V
=
=
+
+
V
=
3V
Discriminante
1
4
V
u (sC + 1/sL
VuuV
V/(sR)
s + 2 ss +2+s1+j
+
1 s+2
1-j
1+j
s22 ++
23+ss1/R)
++ 22 = =
(s + 1-j)
1) (s2(s+ +2)1+j)s + 1ss ++ 1-j
u=4V
2
2
D = 1/(R C ) – 4 /(LC)
s +4s+4
(s + 2)
2
complessi
reali
distinti:
VPoli
+ s/(RC)
+coniugati:
1/(LC)] = V/(RC)vu(t) 2V
u [s reale
Polo
doppio:
vu(t) 3V D > 0 = 3Vpoli reali distinti
A
=
A= s+2
= -j V
-1;-1+j
-2-2 ; -1-j
s + 1+j ss==-1-1+j
V -t
1t
D[-j
= 0e j t ] upoli
reali
coincidenti
(-1+j)
- t Re
V
=
-2t
3V
(t)==RC
2VVe
Re
V
t
e
u
(t)
]
u
(t)
=
2
Ve
(t)
=
2-2t
t
vvuuu(t)
43V
(e
t se-t[-j
–sin
e
u
(t)
)
u
(t)
-1
-1
-1
B=
= - 3V
-1
+ -1s/(RC)
+ 1/(LC)
s + 1 s = -2
t coniugati
= 2 Ve- t Re [-j (cos t +j sin t) ] u (t) =D2<Ve0- t sinpoli
t ucomplessi
(t)
Analisi
V dominio di1s
V = nel
-1
-1
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Esempio: partitore
G
R1
V
Vs
37
+
Vu(s)
VApplicazioni:
u(s)(sC+G) + [Vu(s) – V/s](sC1+G1) = 0
Assegnati
i due)+G
resistori
il=condensatore
C,
due condensatori,
possono
VDati
+G1ie]resistori
(sC1+G
u(s) i[s(C+C
1
1 ) V/s
t=0
C
C
sC1 1 sC
dominio di st
G
R
ammettenze
condizioni
iniziali nulle
conduttanze Gi = 1/Ri

parassita, la tensione
vu(t)diè dispersione
distorta rispetto
rappresentare
le correnti
fra le
alla tensione
del
(partitore
sC1+G
Vgeneratore
armature.
Appena
applicata
la 1tensionenon
di
V
(s)
=
u
compensato).
s partizione
alimentazione, la
dipende
s(C+C1 )+G
+G1dai
Ponendo
C
,
tale
che
R
C
=
R
C
,dipende
si ottiene
1 Dopo il transitorio,
1 1
condensatori.
vu(t)
priva
di=distorsioni
Poli
: s0resistori
0 ; s1di=dispersione.
-(G+G1 ) / (C+C1 )
invece
dai

Andamento
Sviluppo
Antitrasformata
in frazioni parziali
C1
G1
-t (G +G1 ) / (C+C1 )
G1
C1
v
(t)
=
V
+
e
uG-11(t)
G
B +G
u
1
Vu(s) = A
sC
B
=
V
con
e
+
V
C+C
1G +G1
AA+=
1 VG+G
1 B
=
)
G
+G
Vu(s) = s s+(G +G1 )1 / (C+C
C+C1 G+G1
1
1
s
C+C1 s [s+(G +G1 ) / (C+C
)]
s+(G
+G
)
/
(C+C
)
1
1
1
vu(t)
C1
+
vu(0 ) = G1
C1
G1
-t (G +G1 ) / (C+C1 )
vu(t)
= V V C+C1+ sC1+G
e
u-1(t)
G1
1
VA =
G +G1
C+C1 G+G1 = V
partizione
capacitiva
v)(
)
C+C
s+(G
+G
/ (C+C
G +G1
1
1u
1) s=0
C
C1
G1
vu(0+) = VV 1GsC
partizione capacitiva V se G+G
+G
C
G11C
1
G1C1 = G
1=
vuB(=) = VC+C1 1 1
=
V
=
C
+G
C+C1 1G+G1 1
G+G1
G
+G
s
s
=
C+C
G+G
C+C
C+C1 G+G1t
1
1
1
1
1
vupartizione
() = V resistiva
partizioneC+C
resistiva
1
+
)1 = R C
partitore compensato
vu(0 ) =
> vR
<
partitore compensato
G +G1
u(
1C


M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Funzioni di rete
Esempio
Dominio del tempo
Vu +
Generatori indipendenti
+
+
R
R
circuito
e(t)
u(t)
(di
tensione
e
di
corrente)
V
Vu
Ie
nel dominio
sL
Condizioni
del tempoiniziali
(su induttori e condensatori)

sL Ie =
u
Dominio
diVLaplace
sL
impedenza di trasferimento
(R+sL) Ie = Vu
V
IU(s)
(s)
circuito
IE(s)
V
(s)
(s)
uu(s)
R+sL impedenza
di ingresso
eeeGeneratori
indipendenti
E(s)
V
IIV
(s)Z(s)
F(s)
Y(s)
===V
V
IU(s)
(s)
nel
dominio
ee(s)
e(s)
uu(s)
sL/(R+sL)
Ve =corrente)
Vu
(di
tensione
e
di
di
Laplace
sL/(R+sL) funzione di trasferimento
L [
in tensione
Classificazione
funzioni
di
rete E(s) F(s) = U(s)
-1
e(t) = L -1delle
[ E(s)
]
E(s) Se la tensione e la
e(t) =
Ve(s)F(s)
= V-1udi
Iu(s) funzione
Funzione
eccitazione
o corrente)
u(t) = L
[(s)U(s)
] Ve(s)Y(s) =(tensione
F(s)
di rete
]
corrente si riferiscono
funzione di trasferimento
ammettenza di
alla stessa coppia di
ingresso
inIn
tensione
trasferimento
un
circuito
deve
essere
Un
circuito
privo
di generatori
Si suppone che E(s) sia l’unica eccitazione presente
morsetti,
le impedenze
presente almeno una funzione
indipendenti e con condizioni
F(s)
dipende=dal
circuito e Idalla
coppia
risposta
Ie(s)Z(s)
Vu(s)
(s)F(s)
= Ieccitazione
(s) nulle /rimane
e le ammettenze
ututte
di eccitazione
diversa da ezero
iniziali
a riposo
E(s) eimpedenza
U(s) sonoditrasformate
di
Laplace
di
e(t)
e
u(t),
rispettivamente
funzione di trasferimento
sono dette
Iingresso
generatori controllati non in
danno
luogo a funzioni di eccitazione
trasferimento
corrente
ingresso
F(s)qualunque
non
è una trasformata
di elettrica
Laplace
grandezza
d’interesse deldi circuito
-1
u(t) =L [ U(s) ]
Risposta (tensione o corrente)
38
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
39
Risposta impulsiva
Dominio del tempo
ue(t)
0(t)
circuito
e(t)
h(t) = u(t)
nel* dominio
del tempo
u(t)
h(t)
Dominio di Laplace
E(s)
1
L [ ]
prodotto di convoluzione
-1 1 = u (t) relazione diretta
e(t) e(t)
= * h(t)
0
= u(t)
fra e(t), h(t), u(t)
u(t) = h(t) : risposta impulsiva

 = L -1[ F(s) ]
h(t)
e(t-t ) h(t ) d t = u(t)
e(t ) h(t-t ) d t = u(t)
0-
0-
U(s)
F(s)
E(s) F(s) = U(s)
F(s)==1U(s)
seE(s)
E(s)
[E(s)]
e(t)
= L=-1U(s)
F(s)
h(t) = L [F(s)]
il prodotto di
la risposta impulsiva-1 è
convoluzione è
[U(s)]
u(t) = L
l’antitrasformata
della
commutativo
funzione di rete
-1
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
40
Risposta impulsiva
La risposta impulsiva h(t) caratterizza il circuito nel dominio del tempo e
può essere rilevata sperimentalmente
Da h(t) si può determinare la funzione di rete F(s) : F(s) = L[h(t)]
e(t)
Circuito in regime impulsivo
u(t) = h(t) per e(t) = u0 (t)
e(t)
approssimante
di u0 (t)
A
d
t
e(t) forma d’onda generica
=
/ 0 per 0 < t < d

d

e(t) * h(t) = u(t)

u(t) = e(t ) h(t-t ) d t =
0-
u(t)
d
 e(t ) h(t-t ) d t =
0
Ipotesi: d tale che h(t-t) @ h(t)
per ogni t e per 0 <t <d

d
= e(t ) h(t) d t =

d
h(t) e(t ) d t = A h(t)
A = e(t ) d t
0
0
0
La risposta u(t) è pari alla risposta impulsiva h(t), moltiplicata per l’area A della forma
d’onda d’ingresso [A in Volt sec]
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
41
Stabilità
u0(t)
e(t) * h(t) = u(t)
h(t)
circuito stabile
lim h(t) = 0
t

rispetto alla risposta
impulsiva h(t)
xxbdxb
xx
-a
poli
x
a g
xs = Re[s]
x
-c
xx-b x-b
-d
stabilità instabilità
polo reale
coppia
di poli
negativo
semplice
semplici
multipli
complessi
multipli,
o
L[h(t)della
] coppia
F(s)in=funzione
eccitazione - risposta.
Un circuito può dare luogo a più risposte impulsive
semplice:con
multiplo:
multiplo
coniugati,
coniugati
complessi
ssemplici,
coniugati
coniugati,
semplici
= parte
-a
reale
ocon
Un circuito è stabile, se lo è rispetto a tutte le
parte
multipli,
sull’asse
con
negativa:
parte
n
positiva:
s =(s+a)
a reale
possibili risposte impulsive
fattorereale
diimmaginario:
D(s):
t
positiva: s =
s =+ ajsb+= j-cb + jd
n
fattore
di D(s):
D(s): (s(s+c
(s
fattori di
(s-2+b
a
g )2n)jd)
jb n)n
++
w = Im[s]
piano s
forma
d’onda
forma
d’onda stabile
andamento
andamento
andamento
stabile
instabile
andamento
al limite
di stabilità
illimitata
limitata
illimitata
regione di stabilità semipiano sinistro del piano s
regione di instabilità semipiano destro del piano s
limite di stabilità
asse immaginario del piano s
Re[s] < 0
Re[s] > 0
Re[s] = 0
poli
semplici
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
Stabilità dei circuiti
Circuiti reattivi
Componenti reattivi:
induttori, condensatori,
induttori accoppiati,
trasformatori ideali
Circuiti passivi
Componenti reattivi + resistori
Circuiti attivi
Componenti reattivi + resistori,
generatori controllati, nullori
F(s) = L[h(t)]
L’eccitazione, u0(t) , fornisce l’energia E al
circuito.
E non può né aumentare né diminuire. Le
risposte impulsive h(t) rimangono tutte
limitate, senza tendere a zero
E può diminuire. Le h(t) possono tendere a
zero, o rimanere limitate
E può aumentare. Le h(t) possono tendere a
zero, rimanere limitate o divergere
al limite di stabilità
poli per Re[s] = 0 semplici
stabile
poli per Re[s] < 0
poli per Re[s]=0 multipli
poli per Re[s]>0
instabile

42
M. Salerno
Laplace
43
Stabilità: esempi
Tor Vergata
+
RL
sL
Ve(s)
1/sC
Circuito passivo
reattivo
Ipotesi:
RdiL /rete:
L = 1/(CRC ) = D
Funzione
Vu(s)
sL
+ RL di= trasferimento
L(s+ RL /L) in
=L(s+D)
funzione
tensione= Lp
RC
sC + 1/R
c = C(s+ 1/CR
c )=C(s+D)1=Cp
Vu(s)
1/sC
F(s) =
=
= 2
sL
1/sC
s LC + 1
D +
reale
e positivo
p=s+
VeD
(s)
+

+ impulsiva
Nella variabile p, il
Risposta
h(t) = L-1[F(s)]+
pL
1
1
circuito è reattivo
Ve = 2 11
F(p)
=
1
1
V
2
2
u
LC1+ 1 = LC1 p2 +1w02
w0 L’analisi
= (LC)-1/2
F(s) = ps2LC
è identica
s 2+1/pC
w0 2
F(p) = p2LC++11 =LC
LC p + w0
a quella del circuito
F(p) = 2 Re[ A
]
;
A
1/LC
LC= ½ (LC)-1/2 j
jw0 ] ; A = 1/LC
F(s) = 2 Re[ p + A
-1/2 j
F(p) = 2 Re[s + jw0 ] ; A =s - jw0 s=- jw
=
½
(LC)
Il
piano
p
è
traslato
0
p + jw
p - jw0 p=- jw0
1/pC 0
1
a destra di D
F(p)
=
A
=
-j
w
t
-1/2
2
-D
t
-1/2
0sin
F(s+D)
= 2pL
]u=;-1+(LC)
h(t)
2 Re
[Re
A+ee[1/pC
]+wuj0w-1p(t)
sinin
w0s t: -D
ual-1piano
+(t)jw0s
rispetto
h(t)
== (LC)
t0 LC
(t)1 poli
s+D
piano ps
w0
w = Im[p]
Im[s]
x w0 x
-D
-w0 x-w0 x
poli
s
x == Re[p]
Re[s]
x=s+D
h(t)
h(t)
= 2 Reche
[A e(-D-jw0 )t ] u-1(t)
Si ricordi
L’espressione è identica a quella del circuito LC, eccetto il
A + fattore
A* e-Dt= .2 Re[ A ]
F(s)
=
-D
t
-j
w
t
= 2[Ae e-jwRe
[A e 0 ] su-1+(t)jw0-1/2 j s(cos
-Pertanto
jww
s +at)jsinistra
w
-1/2della
dei poli
0 t0 lo
0= (LC)
0 t ] = 2 Re[½(LC)
2 Re
t -spostamento
j sin w
]
sinquantità
w0 t D
0
corrisponde allo smorzamento della risposta impulsiva
= (LC)-1/2 e-D t sin w0 t u-1(t)
andamento al
andamento
limite di stabilità
stabile
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
44
Stabilità: esempi
sL
+
I1
Ve
Circuito attivo
Funzione di rete:
1/sC
I1
8
funzione di trasferimento in tensione
+
I1 = Ve / sL
Vu
Vu = - (1/sC) I1
F(s) =
Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)]; polo : s = 0, doppio
Vu(s)
= -1/(s2LC)
Ve(s)
piano s
w = Im[p]
h(t) = L-1[F(s)] = L-1[-1/(s2LC)] = (-1/LC) u-2(t)
h(t)
rampa
xx s = Re[p]
andamento
t
instabile
poli
Il polol’applicazione
doppio all’origine
(s = 0)una
dà corrente
luogo adcostante
andamento
instabile.
Dal punto
di vista della
Dopo
dell’impulso,
percorre
l’induttore
e, proseguendo
nel
condensatore,
lo carica
L’energia
corrispondente
fornita
dal noratore.
stabilità, l’origine
del indefinitamente.
piano s ha le stesse
proprietà
degli altrièpunti
dell’asse
immaginario
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
45
Regime permanente
U(s) Ipotesi
E(s)

E(s) F(s) = U(s)
E(s) = ½ [
E
E*
+
s - jw
s + jw
e(t) = L-1[E(s)] = E cos(w t + j ) u-1(t )
circuito stabile
]
E
E*
U(s) = ½ [ s - jw + s + jw
]F(s)
Poli di U(s) : Poli di E(s) : per s = + jw + Poli di F(s) : per Re [s ] < 0
U(s) =
Up(s)
+
Ut (s)
Sviluppo
in frazioni
parziali
sviluppo sui poli di E(s)
u(t) =
up(t)
sviluppo sui poli di F(s)
+
ut (t)
andamento sinusoidale permanente tende a zero per la stabilità: transitorio
Calcolo
di che:
Up(s)
Si ricordi
½ U = U(s)(s – jw )|s=jw =
L[e(t)] = L[E cos(w t + j ) u-1(t )] =
U E(s) =U*
E
E*
jj [
U
Ep(s)
= E=e½
= ½ F(s) [ s - jw + s + jw
|s=jw
s - jw + s + jw ]
E ](s – jw )E*
j
w
t
j
w
t
= L[½[E e + E* e ] u-1(t = ½ [ s - jw + s + jw ]
fasore di e(t)
U = F( jw ) E
= ½ F( jw ) E
)]
M. Salerno
Tor Vergata
Laplace
46
Regime permanente
E(s)
U(s)
Laplace
E(s) F(s) = U(s)
Regime
permanente
E
U
E F(s)|s=jw = U
Al jcrescere
w è un polo
di t ,dialcune
F(s), la
risposte
suddivisione
impulsive
della
non
risposta
tendono
ina zero e
Circuito instabile
stabile:
al
limite alSe
crescere
di
t , tutte
le
risposte
impulsive
tendono
a zero
permanente
possono divergere
e transitorio non può essere effettuata
di stabilità
Al crescere
t , alcune
risposte impulsive
tendono
a zero, ma
L’analisi
in di
regime
permanente
può esserenon
effettata
formalmente,
p.es. circuiti reattivi
F( jw) =/

tutte le risposte transitorie tendono a zero
rimangono
limitate
ma
può perdere
di validità, perché alcune risposte transitorie
possono mascherare
il regime permanente
L’analisi
in regimetutte
permanente
può essere
effettata,
alcune
le grandezze
elettriche
delma
circuito
risposte
di tipo
si sovrappongono
alle i
L’analisitransitorie
con il metodo
dei sinusoidale
fasori non permette
di determinare
sono
in
regime
sinusoidale
permanente
sinusoidi
permanente
transitori,del
néregime
di verificare
la stabilità, o meno, del circuito
Analisi nel dominio di Laplace
Analisi in regime permanente
Grandezze elettriche:
L-trasformate di tensioni e correnti
Grandezze elettriche:
fasori di tensioni e correnti
Funzioni di rete F(s)
Funzioni di rete F(s), con s = jw
La sostituzione s = jw può essere effettuata
in qualunque punto del procedimento
M. Salerno
Laplace
47
Regime permanente: esempio
Tor Vergata
t=0
+
V
risposta
completa
V
V
V*
A
=
Re
[
]
jj]
IV(s)
= =½[ ;
==
- Re[I
]
;
V
V
e
jw L+R s - jw + s + jwjtransitorio
w L+R
sL
L
i(t)
I(s)
V
V(s)
cos(w t+j )
i(t) = 0 | t < 0
i(t)
R
dominio
dominiodidit s
V
(cos j + j sin j )(- jw L+R)
Re
[
]
=
V Re[
]
(sL+R)I(s)
=
V(s)
w2 L2+R2
A jw L+R
R cos j V*
+ w L sin j1
V
=
V
I(s)] = ½ s - jw + w
Re[I
+R2 sL+R
s 2+Lj2w
[
=
]
j + wdiL rete:
sin j = 0
A = - Re[I ] 1= 0 per R cos
funzione
F(s) = sL+R
tan j = - R
/wL
ammettenza
d’ingresso
permanente
Andamenti
tempo
in frazioni
parziali
Il circuito
rilevante
in molte applicazioni, inSviluppo
quanto rappresenta
l’inserzione
di di
un I(s)
carico
poli
di I(s)è nel
I
I*
induttivo
(p.+es.i (t)
un trasformatore, un motore, ecc.) su un generatore
sinusoidale
(p. es. la
A
i(t) =s ip(t)
piano
t= Im[p]
I(s)
=
½
+
+
w
tensione di alimentazione dis rete)
s+R/L
s - jw
s + jw
= + jw
j
w
t
ip(t) = Re[I e ] u-1(t)
permanente
transitorio
poli
della
Nelle applicazioni
tutti
i
parametri
sono
noti,
eccetto
l’angolo
j
,
che
dipende
dall’istante
di
w
- (R/L) t u (t)
x
i
(t)
=
A
e
I
=
V
/
(
j
w
L+R)
½ Vcompleta
eccitazione
t
-1 Risulta così non prevedibile l’andamento della risposta
inserzione,
in genere casuale.
-R/L
½ I = I(s)(s - jw )|s = jw = jw L+R
x
[
]
R cos j + w L sin j
0s = Re[p]
s = -R/L
IlAll’istante
caso più favorevole
si ha quando
il transitorio
0 ; tan j = - R / w L)=e la
- Re[I ]
AAè==assente
- I(s)(s
V (A+=R/L
x
=
2 L)2|+R
2
+
+
-w
polo
della
s
=
-R/L
w
corrente
massima
è
pari
a
|
I
|
.
it(0 ) = A ; ip(0 ) = Re[I ]
V
V*
1
funzione di rete
+tan-R/L
Nel+caso
della corrente
dij 2 =| I+-| R
poli
i(0
) = Apeggiore,
+ Re[Iil]valore
= 0 assoluto
A = =può
- Re[I
]-R/L
= 0 - per
circuito stabile
2Lraggiungere
jilwvalore
jw/ w L
+
[
]
t