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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Grandezze omogenee,
commensurabili e incommensurabili
Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze omogenee se:
 due qualsiasi elementi di G sono sempre confrontabili fra loro, cioè per ogni a, b appartenenti a G
è vera una sola fra le relazioni a < b, a = b, a > b
 si può definire in G un’operazione di addizione (che sia commutativa, associativa e che abbia
elemento neutro), cioè tale che per ogni a, b appartenenti a G anche l’elemento c = a+b
appartenga a G.
Inoltre:
Una grandezza B è multipla di una grandezza A ad essa omogenea secondo il numero naturale n>0
se B è la somma di n grandezze uguali ad A (se n=1 allora B=A) e scriviamo che B=nA.
Diciamo anche che A è sottomultipla di B secondo n.
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Grandezze omogenee,
commensurabili e incommensurabili
Due grandezze di una stessa classe si dicono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune,
incommensurabili in caso contrario.
ESEMPIO DI GRANDEZZE INCOMMENSURABILI:
il lato di un quadrato e la sua diagonale
D
L
Date de grandezze omogenee P e Q fra loro commensurabili, si dice misura di P rispetto a Q il numero
razionale
n
n
tale che P  Q . La grandezza Q si dice unità di misura.
m
m
Se P e Q sono incommensurabili la misura di P rispetto a Q è un numero irrazionale.
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Grandezze proporzionali
Si dice rapporto fra due grandezze omogenee A e B la misura di A rispetto a B. Il rapporto fra A e B si
indica con il simbolo
A
.
B
Si verifica che:
il rapporto fra due grandezze omogenee A e B è uguale al quoziente delle loro misure rispetto alla
stessa unità;
quattro grandezze A, B, C, D, di cui le prime due omogenee fra loro e le seconde due omogenee fra
loro, si dicono in proporzione se il rapporto
A
C
è uguale al rapporto
.
D
B
Per indicare che A, B, C e D sono in proporzione si scrive:
A C

B D
Proporzione continua: proporzione con i medi uguali A : B = B : C,
oppure
B si dice medio proporzionale
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Grandezze proporzionali
Valgono i seguenti teoremi sulla proporzionalità:
quattro grandezze, omogenee fra loro le prime due e omogenee fra loro le seconde due, sono in
proporzione se e solo se lo sono le loro misure;
teorema (di unicità della quarta proporzionale). Date tre grandezze A, B, C, con A e B omogenee fra
loro, esiste sempre ed è unica una quarta grandezza D, omogenea a C, che forma una proporzione con
le prime tre, cioè tale che A : B = C : D.
Data la proporzione a : b = c : d individuata dalle misure di quattro grandezze proporzionali si ha che:
 proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
bc = ad
 proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una
proporzione
b:a=d:c
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Grandezze proporzionali
 proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi oppure gli estremi si ottiene ancora una proporzione
a:c=b:d
oppure
d:b=c:a
 proprietà del comporre: la somma tra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la
somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto)
(a + b) : a = (c + d) : c
oppure
(a + b) : b = (c + d) : d
 proprietà dello scomporre: la differenza fra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo)
come la differenza fra il terzo ed il quarto sta al terzo (o al quarto)
(a − b) : a = (c − d) : c
oppure
(a − b) : b = (c − d) : d
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Proporzionalità
diretta e inversa
Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono:
• direttamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto
fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati
• inversamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto
inverso fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati
ESEMPI:
• il perimetro di un quadrato è direttamente proporzionale alla lunghezza del lato
• la velocità di un’automobile è inversamente proporzionale al tempo impiegato a
percorrere una distanza stabilita
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Proporzionalità
diretta e inversa
Se passiamo dalle grandezze alle misure possiamo introdurre ulteriori proprietà:
 sei due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali, allora il rapporto fra le misure delle
grandezze che si corrispondono è costante, cioè non cambia al variare della coppia scelta
 se i due insiemi di grandezze sono inversamente proporzionali, allora il prodotto fra le misure
delle grandezze che si corrispondono è costante.
Il numero che esprime il rapporto costante viene detto costante di proporzionalità diretta;
analogamente il numero che esprime il prodotto costante viene detto costante di proporzionalità
inversa.
ESEMPI:
 il perimetro di un quadrato di lato 1m è 4m, quello del quadrato di lato 5m è 20m,
quello del quadrato di lato 6m è 24m; il rapporto fra il perimetro p e il lato l è sempre
uguale a 4:
p
=4
 per percorrere 200km occorrono 2 ore viaggiando a 100km/h, 4 ore viaggiando a
50km/h, 10 ore viaggiando a 20km/h; il prodotto fra il tempo t e la velocità v è
sempre uguale a 200: v · t = 200
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Proporzionalità
diretta e inversa
Per stabilire se due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali si può applicare il criterio generale:
condizione necessaria e sufficiente affinché due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano
direttamente proporzionali è che:
a.
a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo
b.
alla somma di due o più grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti
grandezze del secondo.
ESEMPIO:
archi e angoli al centro di una circonferenza sono insiemi di grandezze proporzionali
Infatti:
a.
ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti
b.
alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Proporzionalità
diretta e inversa
Teorema. Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettangolo dei medi è equivalente al rettangolo
degli estremi.
a:b=c:d
R1
R2
Di questo teorema vale anche l’inverso.
Teorema. Se due rettangoli sono equivalenti, i lati consecutivi dell’uno sono i medi e i lati consecutivi
dell’altro sono gli estremi di una proporzione.
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Il teorema di Talete
Teorema (di Talete). Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due
insiemi di segmenti direttamente proporzionali.
Teorema (inverso del teorema di Talete). Date due rette r e s tali che i loro
punti siano ordinati e in corrispondenza biunivoca, se:
 i segmenti che hanno per estremi punti corrispondenti sono proporzionali
 le rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti sono parallele
allora tutte le rette che congiungono coppie di punti corrispondenti sono
parallele alle prime due e fra loro.
Applicazione ai triangoli:
 una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali
 viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo e li divide in parti
proporzionali, essa è parallela al terzo lato.
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Il teorema di Talete
 teorema (della bisettrice dell’angolo interno). La bisettrice di un angolo interno di un triangolo
divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
CAD ≅ DAB
DB : AB = CD : CA
 teorema (della bisettrice dell’angolo esterno). La bisettrice di un angolo esterno di un
triangolo, se non è parallela al lato opposto, incontra la retta di quest’ultimo in un punto che
individua con quel lato segmenti proporzionali agli altri due lati.
BAP ≅ PAR, AP non parallela a BC
CP : CA = PB : BA
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Le aree dei poligoni
Dal teorema sulla misura dell’area del rettangolo e dai teoremi di equivalenza tra poligoni
possiamo derivare le principali formule per il calcolo delle aree:
rettangolo di dimensioni b e h
b·h
quadrato di lato l
l2
parallelogramma di base b e altezza h
triangolo di base b e altezza h
oppure, se p è il semiperimetro e a, b, c i lati (formula di Erone)
b·h
1
b·h
2
p( p  a)( p  b)( p  c)
trapezio di basi b e B e altezza h
1
(B + b) · h
2
rombo di diagonali d1 e d2
1
d1 · d2
2
poligono di semiperimetro p circoscritto a circonferenza di raggio r
p·r
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Teoremi di
Pitagora ed Euclide
Riformuliamo da un punto di vista metrico alcuni teoremi sui triangoli rettangoli.
 Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati
delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell’ipotenusa;
in simboli:
c2 = a2 + b2
 Primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della
misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per
la misura della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa; in simboli:
a2 = c · d
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Teoremi di
Pitagora ed Euclide
 Secondo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato
della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle
misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; in simboli:
h2 = d · m
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Relazioni metriche
Conseguenze del teorema di Pitagora:
 indicata con l la misura del lato di un quadrato e con d quella della sua
diagonale si ha che
d l 2
 indicata con l la misura del lato di un triangolo equilatero e con h quella
della sua altezza si ha che
h
l 3
2
 Analoghe relazioni valgono nei triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 45° oppure di
30° e
60° che sono rispettivamente la metà di un quadrato e la metà di un triangolo equilatero
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Relazioni metriche
 indicata con r la misura del raggio di una circonferenza e con l la misura
del lato del quadrato inscritto si ha che
l  r 2
 indicata con r la misura del raggio di una circonferenza, con l la misura del
lato del triangolo equilatero inscritto e con h quella della sua altezza si h
a:
3
lr 3
e
h r
2
 il lato dell’esagono inscritto in una circonferenza di raggio r è lungo r
l r
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
La lunghezza
della circonferenza
Dall’assioma: ogni arco di circonferenza è maggiore della corda che lo sottende e
minore della somma dei due segmenti di tangente condotti dagli estremi dell’arco fino
al loro punto di intersezione : AB < AB < AP + PB
possiamo dedurre che se consideriamo un qualunque poligono inscritto nella
circonferenza e un qualunque poligono circoscritto, accade che:
• il perimetro p del poligono inscritto è minore della lunghezza della circonferenza
• il perimetro p’ del poligono circoscritto è maggiore della lunghezza della
circonferenza
Alla lunghezza di una circonferenza possiamo allora associare il segmento che si ottiene
considerando il perimetro del poligono in essa inscritto o quello del poligono ad essa
circoscritto con un numero infinito di lati; a tale segmento si dà il nome di circonferenza
rettificata. Due circonferenze rettificate sono proporzionali ai rispettivi diametri.
Indicando con  la costante di proporzionalità
C

2r
da cui ricaviamo che
C  2 r
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Grandezze, misura, proporzionalità e aree
Area del cerchio
Analogamente si può definire l’area del cerchio come il “confine” fra le aree dei poligoni
inscritti e le aree dei poligoni circoscritti al crescere del numero dei lati.
Teorema. Un cerchio ha la stessa area di un triangolo che ha per base la circonferenza rettificata e per
altezza un segmento congruente al raggio della circonferenza.
S
1
(2 r )r
2
cioè
S   r2
Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e la
lunghezza l dei corrispondenti archi si deduce la relazione:
l  2 r 

360
Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e l’area T dei corrispondenti
settori circolari si deduce la relazione:
T   r2 

360
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