Diapositiva 1 - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA“
A.A 2003/2004
ATTIVITA’ FORMATIVA
Docente: Roberta Dal Passo
Studenti: Enzo Ferrazzano
Luca Burini
Moto in un fluido viscoso continuo
ui

p
ui   u j
 ui   fi  x, t 
t
x j
xi
j 1
n
ui
div u    0
i 1 xi
n
semplificazione
 dx

f
x
,
y
,
z


y

x




1
 dt

 dy
 f 2  x, y , z   rx  xz  y

dt

 dz

f
x
,
y
,
z

xy

bz


3

 dt
semplificazione
 xi 1  1  yi  ax

 yi 1  bxi
2
i
semplificazione
y  nx(1  x)
Concetti preliminari
Le equazioni di ricorrenza
Definizione
Le equazioni del tipo
con
xt 1  f ( xt ) , t 
f :X 
 X , f Cr ( X )
sono dette
x0  f ( x0 )  x1  f ( f ( x0 ))  x2  .....  f ( x0 )  xn
n
-concetti preliminariLe equazioni di ricorrenza
Le Mappe e i Sistemi dinamici
Definizione
Come orbita di
infinita se
x
sotto l’azione di
f
intendiamo la seguente sequenza bi-
f è invertibile
n
1
n
....,
f
(
x
),....,
f
(
x
),
x
,
f
(
x
),....,
f
( x),....

Oppure, se
f non è invertibile
x, f ( x),...., f
n
( x ),....
-concetti preliminariLe Mappe e i Sistemi Dinamici
Classificazione dei
Sistemi Dinamici in
Sistema
base alla natura
dinamico
delle Mappe
lineare
f
Sistema
dinamico
NON
lineare
-concetti preliminariLe Mappe e i Sistemi dinamici
Definizione
Un punto
xf
è un punto fisso se
xf
è un
punto fisso
f (xf )  x f
 intorno V(x f ) ,
se
 un intorno U ( x f ) : x  U (x f )
f ( x) V(x f ) , n
n
Asintoticamente stabile
se non è stabile
se
lim f ( x)  x f
n
n
Teorema 1
Se
f ( x f )  1
-concetti preliminariPunti fissi
Definizione
Un punto p è detto periodico di ordine k se
f k ( p)  p
Definizione
L’insieme
x1, x2 ,..., xk  è detto ciclo k-periodico se
f ( xi )  xi 1
e
i  1,...., k  1
f ( xk )  x1
Definizione
Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p un punto periodico attrattore
se
 intorno V( p ) ,  un intorno U (p ) : x  U (p )
f nk ( x) V(p ) , n  1
p un punto periodico repulsore se non è attrattore
-concetti preliminariPunti fissi
Ordine di Sharkovsky
Nuovo ordinamento dei numeri naturali
3 5
7 ....
Prima tutti i numeri dispari …
3  2 5  2 7  2 ...
… poi i numeri dispari moltiplicati per 2…
3  22 5  22 7  22 ...
...................................
… e per le potenze di 2…
3
... 2
2
2
1
2
1
… e quindi le potenze di 2
in ordine decrescente
Teorema di Sharkovsky
Sia
f:

, con f una mappa.
Se f ha un punto di periodo k, essa avrà anche punti di periodo m, con m
un numero qualsiasi che segue k nell’ordine di Sharkovsky.
logistica
-concetti preliminariOrdine di Sharkovsky
Metodi di
rappresentazione
delle Mappe
y x
f (x )
y
unidimensionali
• COBWEB DIAGRAM
=
1
x1
f ( x0 )
x0
-concetti preliminariMetodi di rappresentazione
x
La Mappa Logistica
CORREZIONE
yt 1  nyt (1   yt )
yt 1  nyt
xt 1  nxt (1  xt )
-La crescita logistica-
Considerazioni
analitiche
Dinamica delle
popolazioni
f ( x )  nx (1  x )  0
xt 1  nxt (1  xt )
0  x 1
Inoltre
1
x
2
f ( x )  n  2nx  0
Quindi
f ( x )  f max
n
 f (1 2) 
4
Per garantire la
reiterabilità di
f
n
f ( x )  nx (1  x ) 
4
0  f max  1
0n4
-La mappa logistica-
Strutture
nella
x  nx (1  x )
1
x  0  x  1
0

x

1
n
mappa
0  nlogistica
1
Due punti fissi
Teorema 1
t
t
t
con
1.
1
1
0
n

Poichè
f (0)  n  1  x  0
L’unico punto fisso accettabile è
x0
Non sono contemplate popolazioni negative
punto fisso stabile
Un parametro di controllo inferiore all’unità condanna la specie all’estinzione
-Crescita logisticaConvergenza
2.
n 1
Due punti fissi
x0 e
( positivi )
f (0)  n  1  x  0
1
x  1
n
instabile
1

f  1    2  n  2  n  1  1  n  3
 n
Quindi per 1  n  3 il punto fisso x  1 
Convergenza
• seme x=0,2
• seme x=0,8
-Crescita logisticaConvergenza
1
n
è stabile
Ritorno
Ritorno
n3
La mappa perde il punto stabile
Periodo 2
Andamento pre-caotico
Oscillazione
n0  3  n  n1
Periodo 4 n1  1  6  n  n2
In particolare, esiste un successione nk , per cui n : nk 1  n  nk la mappa
k
ammette un attrattore di periodo 2 .
n  nc  3.569945
L’orbita oscilla tra un numero
infinito di punti
Esistono tuttavia particolari valori del
parametro di controllo che garantiscono
Finestre di Periodicità
un andamento periodico della mappa
-Crescita logisticaConvergenza
-concetti preliminariRitorno
Ritorno
Ritorno
Dipendenza
al variare
del
n
parametro
n
Evoluzione della mappa
al variare di
Proprietà qualitative
comuni a tutte le
mappe unimodali
differenziabili
•
Ascisse:
•
Ordinate: valori assunti dalla mappa
parametro di controllo
dopo alcune iterazioni di assestamento
-Crescita logisticaVariazione del parametro
Ritorno
Nicholas C. Metropolis
Le
leggi
Universalit
della

mappa
strutturale
La dipendenza al variare del parametro non
è propria solo della mappa logistica, ma di
tutte le mappe unimodali differenziabili.
Paul Stein
Myron Stein
nk converge
Successione
nk a nc
 La successione
Mitchell Feigenbaum

nk  nk 1
   4.6692
k  n
k 1  nk
con  costante di Feigenbaum
lim
Detta d la distanza tra le “punte” della prima biforcazione, le successive distanze tra le
punte delle biforcazioni saranno
con
  2.5023
d d 2 d3 d n
; 2 ; 3 .... n
  
a
parametro di riduzione (oppure Costante di Omotetia)
Parametri
e 
esistono e sono costanti in
tutte le mappe unimodali
differenziabili
Esperimenti
Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e
dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford III
nel caso unidimensionale.
-Crescita LogisticaUniversalità Metrica
Se complichiamo la mappa,
cosa succederà alle iterazioni?
fl
ess
o
0
0
1
1
Mappa di prova
Mappa logistica
-I nostri esperimenti-
-I nostri esperimenti -
-I nostri esperimenti -
-I nostri esperimenti -
-concetti preliminari-
La nostra funzione si comporta
come la mappa logistica
-I nostri esperimenti -
Analisi qualitativa
dell’Universalità
Metrica
Studio
x  f (x ) x  f (x )
x
delle
biforc


 f    f  f   f
azioni

1
1
b
, 2
2
Allora
2
( x0 )
x2
poichè
a

a
 f f

 
( x2 ) f  x2   f  x1  f  x2 
f 
2
( x2 )


Nei punti
x1
e
1
( x0 )


f( x0 )

fx0 

f (2x1 )  f  f ( x1 ) f x1   f x2  f x1 


 f    f  x , x
2
( x1 )
2
( x2 )
x2 l’andamento locale è identico
Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del grafico
-Universalità MetricaAnalisi qualitativa
1
2
La prima biforcazione
Mappa iterata due volte
xt 2  f ( f ( xt ))  n 2 xt 1  xt  1  nxt  nxt2 
n<3
n=3
- Universalità Metrica La prima biforcazione
n>3
x1 
n 1
Analiticamente i punti fissi sono
n3
3  n  1  6  3.449
1  6  n  n2  3.54409
nc  n  1  8
n 1  n  3

2n
x3  0
x2 

n 1
1
x4  1 
x3  0 n

n 1  n  3

2n
1
x4  1 
n
x1 e x2
costituiscono un ciclo 2-periodico
Raddoppio
del periodo
Orbita di periodo 3
Per il teorema di Sharkovsky
- Universalità Metrica -
Successione
nk
Orbite di ogni periodo
Similitudine tra la prima e la seconda biforcazione
Mappa iterata due volte
n = 3.2
n = 3.46
- Universalità Metrica -
L’evoluzione della zone evidenziate segue un andamento simile a quello della
mappa iterata una sola volta (da n=1,5 a n=3 ).
Vale anche per le
iterazioni successive
Similitudine e ricorsività
tra i grafici
Sequenza infinita di raddoppi di periodo
successione nk
La Costante di Feigenbaum 
è indipendente ad un cambio di
parametro della successione nk
Le mappe delle iterate successive
si comporteranno come la mappa
della prima iterata
- Universalità Metrica -
Dipendenza dalle
condizioni iniziali
Gli
Esponent
i di
Lyapuno
v
Regime dinamico
caotico
Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali
Piccole differenze sulle condizioni iniziali si
amplificano enormemente fino a produrre
traiettorie completamente diverse.
stima delle velocità medie di convergenza o
divergenza esponenziali delle traiettorie di
un sistema caotico
- Gli esponenti di Lyapunov -
t 1


1  ( xt )
1
*

 : lim lim ln 
 lim  ln f  xk 

t   ( x0 )0 t
t  t

(
x
)
k 0
 0 
Esponente di Lyapunov
per una mappa f
 0
• Punto fisso
• Orbita stabile
Esponenti negativi sono
tipici di sistemi dissipativi
 0
• Punto fisso
neutrale
Esponenti nulli sono
tipici di sistemi
conservativi
- Gli esponenti di Lyapunov -
 0
• Orbita instabile e
caotica
Ulteriori informazioni
- Gli esponenti di Lyapunov -
Mappa Logistica e Equazioni di Navier-Stokes
V. Franceschini
(1979, Università di Modena)
Studio di fluidi idrodinamici e del
passaggio alla turbolenza
Simulazione numerica
Sistema di 5 equazioni differenziali
accoppiate del primo ordine
Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes
Eckmann
Kollet
Koch
In un sistema dissipativo
multidimensionale guidato dopo
lungo tempo tutte le variabili
meno che una tendono a
scomparire
Nel raddoppio del
periodo si presentano le
costanti di Feigenbaum
Universalità
Metrica
Mappa Logistica e Modello di Lorenz
Al variare di un parametro r, il modello di Lorenz ha un comportamento
simile a quello della mappa logistica.
In particolare
13.926  r  24.06...
Periodo transitorio pre-caotico
I processi nascono come caotici, ma a lungo termine
diventano periodici
r  30.1
Regime caotico alternato a
finestre di periodicità
Le finestre di periodicità sono il dominio di diversi
attrattori periodici
Attraverso un’applicazione chiamata Zoccolo di Smale è possibile dimostrare
alcune caratteristiche generali dei sistemi dissipativi
-concetti preliminari-
Lo zoccolo di Smale
Applicazione bidimensionale
punti in un piano
S   x, y  
f :S 
2
2
che trasforma un insieme di
| 0  x  1, 0  y  1

H 0   x , y  


H1   x , y  

2
2
1
| 0  x  1,0  y  

| 0  x  1,1 

 y  1


1
I  S : F( I )  I
Insieme invariante
L’insieme invariante I non costituisce un attrattore.
Tra tutti i possibili punti iniziali di S, quelli che sono ricorrenti in
costituiscono un insieme di misura nulla.
dipende dalla misura utilizzata
Con probabilità 1, un punto scelto arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel
quadrato solo per un periodo transitorio.
Traiettorie divergenti
vengono riavvicinate
Ulteriori informazioni
I
L’applicazione di Henon
Diagramma di biforcazione incredibilmente simile a quello di Feigenbaum
“Not only in research,
but also in everyday world of politics
and economics,
we would all be better
off if more people realize
that simple non-linear system do
not necessarily possess simple
dynamical proprieties”
Robert M. May, 1976
-conclusioni-