Diapositiva 1 - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"
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UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA“ A.A 2003/2004 ATTIVITA’ FORMATIVA Docente: Roberta Dal Passo Studenti: Enzo Ferrazzano Luca Burini Moto in un fluido viscoso continuo ui p ui u j ui fi x, t t x j xi j 1 n ui div u 0 i 1 xi n semplificazione dx f x , y , z y x 1 dt dy f 2 x, y , z rx xz y dt dz f x , y , z xy bz 3 dt semplificazione xi 1 1 yi ax yi 1 bxi 2 i semplificazione y nx(1 x) Concetti preliminari Le equazioni di ricorrenza Definizione Le equazioni del tipo con xt 1 f ( xt ) , t f :X X , f Cr ( X ) sono dette x0 f ( x0 ) x1 f ( f ( x0 )) x2 ..... f ( x0 ) xn n -concetti preliminariLe equazioni di ricorrenza Le Mappe e i Sistemi dinamici Definizione Come orbita di infinita se x sotto l’azione di f intendiamo la seguente sequenza bi- f è invertibile n 1 n ...., f ( x ),...., f ( x ), x , f ( x ),...., f ( x),.... Oppure, se f non è invertibile x, f ( x),...., f n ( x ),.... -concetti preliminariLe Mappe e i Sistemi Dinamici Classificazione dei Sistemi Dinamici in Sistema base alla natura dinamico delle Mappe lineare f Sistema dinamico NON lineare -concetti preliminariLe Mappe e i Sistemi dinamici Definizione Un punto xf è un punto fisso se xf è un punto fisso f (xf ) x f intorno V(x f ) , se un intorno U ( x f ) : x U (x f ) f ( x) V(x f ) , n n Asintoticamente stabile se non è stabile se lim f ( x) x f n n Teorema 1 Se f ( x f ) 1 -concetti preliminariPunti fissi Definizione Un punto p è detto periodico di ordine k se f k ( p) p Definizione L’insieme x1, x2 ,..., xk è detto ciclo k-periodico se f ( xi ) xi 1 e i 1,...., k 1 f ( xk ) x1 Definizione Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p un punto periodico attrattore se intorno V( p ) , un intorno U (p ) : x U (p ) f nk ( x) V(p ) , n 1 p un punto periodico repulsore se non è attrattore -concetti preliminariPunti fissi Ordine di Sharkovsky Nuovo ordinamento dei numeri naturali 3 5 7 .... Prima tutti i numeri dispari … 3 2 5 2 7 2 ... … poi i numeri dispari moltiplicati per 2… 3 22 5 22 7 22 ... ................................... … e per le potenze di 2… 3 ... 2 2 2 1 2 1 … e quindi le potenze di 2 in ordine decrescente Teorema di Sharkovsky Sia f: , con f una mappa. Se f ha un punto di periodo k, essa avrà anche punti di periodo m, con m un numero qualsiasi che segue k nell’ordine di Sharkovsky. logistica -concetti preliminariOrdine di Sharkovsky Metodi di rappresentazione delle Mappe y x f (x ) y unidimensionali • COBWEB DIAGRAM = 1 x1 f ( x0 ) x0 -concetti preliminariMetodi di rappresentazione x La Mappa Logistica CORREZIONE yt 1 nyt (1 yt ) yt 1 nyt xt 1 nxt (1 xt ) -La crescita logistica- Considerazioni analitiche Dinamica delle popolazioni f ( x ) nx (1 x ) 0 xt 1 nxt (1 xt ) 0 x 1 Inoltre 1 x 2 f ( x ) n 2nx 0 Quindi f ( x ) f max n f (1 2) 4 Per garantire la reiterabilità di f n f ( x ) nx (1 x ) 4 0 f max 1 0n4 -La mappa logistica- Strutture nella x nx (1 x ) 1 x 0 x 1 0 x 1 n mappa 0 nlogistica 1 Due punti fissi Teorema 1 t t t con 1. 1 1 0 n Poichè f (0) n 1 x 0 L’unico punto fisso accettabile è x0 Non sono contemplate popolazioni negative punto fisso stabile Un parametro di controllo inferiore all’unità condanna la specie all’estinzione -Crescita logisticaConvergenza 2. n 1 Due punti fissi x0 e ( positivi ) f (0) n 1 x 0 1 x 1 n instabile 1 f 1 2 n 2 n 1 1 n 3 n Quindi per 1 n 3 il punto fisso x 1 Convergenza • seme x=0,2 • seme x=0,8 -Crescita logisticaConvergenza 1 n è stabile Ritorno Ritorno n3 La mappa perde il punto stabile Periodo 2 Andamento pre-caotico Oscillazione n0 3 n n1 Periodo 4 n1 1 6 n n2 In particolare, esiste un successione nk , per cui n : nk 1 n nk la mappa k ammette un attrattore di periodo 2 . n nc 3.569945 L’orbita oscilla tra un numero infinito di punti Esistono tuttavia particolari valori del parametro di controllo che garantiscono Finestre di Periodicità un andamento periodico della mappa -Crescita logisticaConvergenza -concetti preliminariRitorno Ritorno Ritorno Dipendenza al variare del n parametro n Evoluzione della mappa al variare di Proprietà qualitative comuni a tutte le mappe unimodali differenziabili • Ascisse: • Ordinate: valori assunti dalla mappa parametro di controllo dopo alcune iterazioni di assestamento -Crescita logisticaVariazione del parametro Ritorno Nicholas C. Metropolis Le leggi Universalit della mappa strutturale La dipendenza al variare del parametro non è propria solo della mappa logistica, ma di tutte le mappe unimodali differenziabili. Paul Stein Myron Stein nk converge Successione nk a nc La successione Mitchell Feigenbaum nk nk 1 4.6692 k n k 1 nk con costante di Feigenbaum lim Detta d la distanza tra le “punte” della prima biforcazione, le successive distanze tra le punte delle biforcazioni saranno con 2.5023 d d 2 d3 d n ; 2 ; 3 .... n a parametro di riduzione (oppure Costante di Omotetia) Parametri e esistono e sono costanti in tutte le mappe unimodali differenziabili Esperimenti Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford III nel caso unidimensionale. -Crescita LogisticaUniversalità Metrica Se complichiamo la mappa, cosa succederà alle iterazioni? fl ess o 0 0 1 1 Mappa di prova Mappa logistica -I nostri esperimenti- -I nostri esperimenti - -I nostri esperimenti - -I nostri esperimenti - -concetti preliminari- La nostra funzione si comporta come la mappa logistica -I nostri esperimenti - Analisi qualitativa dell’Universalità Metrica Studio x f (x ) x f (x ) x delle biforc f f f f azioni 1 1 b , 2 2 Allora 2 ( x0 ) x2 poichè a a f f ( x2 ) f x2 f x1 f x2 f 2 ( x2 ) Nei punti x1 e 1 ( x0 ) f( x0 ) fx0 f (2x1 ) f f ( x1 ) f x1 f x2 f x1 f f x , x 2 ( x1 ) 2 ( x2 ) x2 l’andamento locale è identico Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del grafico -Universalità MetricaAnalisi qualitativa 1 2 La prima biforcazione Mappa iterata due volte xt 2 f ( f ( xt )) n 2 xt 1 xt 1 nxt nxt2 n<3 n=3 - Universalità Metrica La prima biforcazione n>3 x1 n 1 Analiticamente i punti fissi sono n3 3 n 1 6 3.449 1 6 n n2 3.54409 nc n 1 8 n 1 n 3 2n x3 0 x2 n 1 1 x4 1 x3 0 n n 1 n 3 2n 1 x4 1 n x1 e x2 costituiscono un ciclo 2-periodico Raddoppio del periodo Orbita di periodo 3 Per il teorema di Sharkovsky - Universalità Metrica - Successione nk Orbite di ogni periodo Similitudine tra la prima e la seconda biforcazione Mappa iterata due volte n = 3.2 n = 3.46 - Universalità Metrica - L’evoluzione della zone evidenziate segue un andamento simile a quello della mappa iterata una sola volta (da n=1,5 a n=3 ). Vale anche per le iterazioni successive Similitudine e ricorsività tra i grafici Sequenza infinita di raddoppi di periodo successione nk La Costante di Feigenbaum è indipendente ad un cambio di parametro della successione nk Le mappe delle iterate successive si comporteranno come la mappa della prima iterata - Universalità Metrica - Dipendenza dalle condizioni iniziali Gli Esponent i di Lyapuno v Regime dinamico caotico Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano enormemente fino a produrre traiettorie completamente diverse. stima delle velocità medie di convergenza o divergenza esponenziali delle traiettorie di un sistema caotico - Gli esponenti di Lyapunov - t 1 1 ( xt ) 1 * : lim lim ln lim ln f xk t ( x0 )0 t t t ( x ) k 0 0 Esponente di Lyapunov per una mappa f 0 • Punto fisso • Orbita stabile Esponenti negativi sono tipici di sistemi dissipativi 0 • Punto fisso neutrale Esponenti nulli sono tipici di sistemi conservativi - Gli esponenti di Lyapunov - 0 • Orbita instabile e caotica Ulteriori informazioni - Gli esponenti di Lyapunov - Mappa Logistica e Equazioni di Navier-Stokes V. Franceschini (1979, Università di Modena) Studio di fluidi idrodinamici e del passaggio alla turbolenza Simulazione numerica Sistema di 5 equazioni differenziali accoppiate del primo ordine Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes Eckmann Kollet Koch In un sistema dissipativo multidimensionale guidato dopo lungo tempo tutte le variabili meno che una tendono a scomparire Nel raddoppio del periodo si presentano le costanti di Feigenbaum Universalità Metrica Mappa Logistica e Modello di Lorenz Al variare di un parametro r, il modello di Lorenz ha un comportamento simile a quello della mappa logistica. In particolare 13.926 r 24.06... Periodo transitorio pre-caotico I processi nascono come caotici, ma a lungo termine diventano periodici r 30.1 Regime caotico alternato a finestre di periodicità Le finestre di periodicità sono il dominio di diversi attrattori periodici Attraverso un’applicazione chiamata Zoccolo di Smale è possibile dimostrare alcune caratteristiche generali dei sistemi dissipativi -concetti preliminari- Lo zoccolo di Smale Applicazione bidimensionale punti in un piano S x, y f :S 2 2 che trasforma un insieme di | 0 x 1, 0 y 1 H 0 x , y H1 x , y 2 2 1 | 0 x 1,0 y | 0 x 1,1 y 1 1 I S : F( I ) I Insieme invariante L’insieme invariante I non costituisce un attrattore. Tra tutti i possibili punti iniziali di S, quelli che sono ricorrenti in costituiscono un insieme di misura nulla. dipende dalla misura utilizzata Con probabilità 1, un punto scelto arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel quadrato solo per un periodo transitorio. Traiettorie divergenti vengono riavvicinate Ulteriori informazioni I L’applicazione di Henon Diagramma di biforcazione incredibilmente simile a quello di Feigenbaum “Not only in research, but also in everyday world of politics and economics, we would all be better off if more people realize that simple non-linear system do not necessarily possess simple dynamical proprieties” Robert M. May, 1976 -conclusioni-
