Università degli Studi di Napoli Federico II
Facoltà di Economia
Cristina Tortora
a.a.: 2012/2013
Variabili casuali connesse alla Normale
Cristina Tortora
Esercizio
Determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5
compaia almeno 60 volte
• Lancio di un dado esperimento binomiale
• probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) p=1/6=0,17
• v.c X: numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci
æ
60 - 400 × 0,17 ö
P ( X > 60) = P ç Z >
÷
400 × 0,17 × 0,83 ø
è
Cristina Tortora
P ( Z > -1, 06)
Esercizio5: correzione per la continuità
Funzioni di massa Binomiali che convergono ad una densità Normale.
Correzione per la continuità!
Supponiamo di avere una v.c. X ~ B(6, 0.5) e vogliamo calcolare la P(X ≤ 2):
Calcolando esattamente la P(X ≤ 2) non si includerebbe l’area verde, ovvero
la probabilità calcolata sarebbe inferiore a quella effettiva.
Correzione per la continuità: aumentiamo di 0.5 (0 diminuiamo in caso di P(X≥2))
P(X ≤ 2)→ P(X ≤ 2.5)
Cristina Tortora
Esercizio
Correzione per la continuità
æ
60, 5 - 400 × 0,17 ö
P ( X > 60) = P ç Z >
÷
400 × 0,17 × 0,83 ø
è
Cristina Tortora
P ( Z > -1)
Esercizio1
Si determini P(X<30) quando X è una variabile casuale chi-quadrato con 26
gradi di libertà.
Cristina Tortora
Esercizio1: soluzione
P( X 30) 1 P( X 30)
P( X 30) 0,25
P( X 30) 1 0,25 0,75
Cristina Tortora
Esercizio2
Si trovi quanto vale
Cristina Tortora
2 0,05;15
Esercizio2: soluzione
2
Cristina Tortora
0 , 05;15
Esercizio3
Come cambia la forma della distribuzione della v.c. chi-quadrato al variare
del parametro g (gradi di libertà)?
Cristina Tortora
Esercizio3: soluzione
2 4
0,15
2 8
2 12
0,10
2 20
0,05
0,00
0,0
7,5
15,0
22,5
30,0
• per valori piccoli di g la distribuzione è concentrata su valori piccoli di X;
• all’aumentare di g la distribuzione tende a distendersi su tutti i valori positivi di
X;
• all’aumentare di g la distribuzione tende a distribuirsi come una Normale.
Cristina Tortora
Esercizio4
Si determini P(X<1,2) quando X è una variabile casuale t- student con 12
gradi di libertà.
Cristina Tortora
Esercizio4: soluzione
P( X 1,2) 1 P( X 1,2)
P( X 1,2) 0,10
P( X 1,2) 1 0,10 0,90
Cristina Tortora
Esercizio5
Si trovi quanto vale t0,025; 9
Cristina Tortora
Esercizio5: soluzione
t 0 , 025;9
Cristina Tortora
Esercizio6
Come cambia la forma della distribuzione della v.c. t- student al variare del
parametro g (gradi di libertà)?
Cristina Tortora
Esercizio6: soluzione
t(3), t(11), t(24), Z Distributions
0.45
0.4
0.35
Density
0.3
f(t_3)
0.25
f(t_11)
f(t_24)
0.2
Z~N(0,1)
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
t (z)
• La funzione di densità della v.c. di Student è sempre simmetrica, con valore medio pari a 0,
ed assume una forma molto simile a quella della Normale standardizzata alla quale tende
assai velocemente al crescere dei gradi di libertà.
• Per valori di g piccoli o moderati, la v.c. di Student si caratterizza per una curtosi
leggermente più elevata e per code più “pesanti” della v.c. Normale.
Cristina Tortora
Esercizio7
Usando le tavole della distribuzione F- Fisher trovare:
1. F0,05; 10; 15
2. F0,95; 10, 5
Cristina Tortora
Esercizio7: soluzione (1)
F0, 05;10;15
Cristina Tortora
Esercizio7: soluzione (2)
F0,95;10;5
F0,95;10;5
1
F0,05;5;10
1
0,30
3,33
Cristina Tortora
Esercizio 8
Un’impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato regolato in
modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media, una quantità di
pomodori pari a 13 etti. Lo s.q.m. del peso netto effettivo è 0,1 etti e si suppone
che i pesi siano distribuiti normalmente. Si determini la probabilità che un barattolo
preso a caso contenga una quantità di pomodori compresa tra 13 e 13,2 etti.
Cristina Tortora
Esercizio 9
L’altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media 180cm e
scarto quadratico medio 10cm. Calcolare la probabilità che un ragazzo scelto a
caso dal gruppo abbia una statura superiore a 190cm.
Cristina Tortora
