Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 5 - Alberi
Alberto Montresor
Università di Trento
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1
Alberi radicati
Albero: definizione informale
✦
E' un insieme dinamico i cui elementi hanno relazioni di tipo gerarchico
✦
Albero: definizione ricorsiva
✦
Insieme vuoto di nodi, oppure
✦
Una radice T e 0 o più sottoalberi, con la radice di ogni sottoalbero collegata a T da
un arco (orientato)
✦
T
es.: radice T con n sottoalberi
T1
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T2
Tn
2
Alberi ordinati
T
Radice (root)
Figlio (child) di T
Nodi interni =
Nodi - Foglie
Padre (parent)
dei nodi j e k
Figlio di T
Radice del proprio
sottoalbero
Sottoalbero
a
j
k
...
Foglie (leaf)
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Nodi fratelli
(figli di a)
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Alberi: definizioni
In un albero
✦
Profondità di un nodo: la
lunghezza del percorso dalla
radice al nodo
(i.e., numero archi attraversati)
p=0
✦
p=1
Livello: l'insieme dei nodi alla
stessa profondità
p=2
Altezza dell'albero:
massimo livello delle sue foglie
p=3
✦
✦
Livello 3
Altezza albero: 3
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4
Alberi?
DAG
Radice
Foresta
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5
Alberi: una possibile specifica
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Algoritmi di visita degli alberi
Visita (o attraversamento) di un albero:
✦
Algoritmo per “visitare” tutti i nodi di un albero
✦
In profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS
✦
Vengono visitati i rami, uno dopo l’altro
✦
Tre varianti
✦
In ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS
✦
A livelli, partendo dalla radice
✦
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Visita alberi: in profondità in ordine anticipato (previsita)
T
a
b
c
e
d
f
g
Sequenza: a b c d e f g
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8
Visita alberi: in profondità in ordine posticipato (postvisita)
T
a
b
c
e
d
f
g
Sequenza: c d b f g e a
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9
Visita alberi: in profondità in ordine simmetrico (invisita)
T
a
b
c
e
d
f
g
Sequenza (i=1): c b d a f e g
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Visita alberi: in ampiezza
T
a
b
c
e
d
f
g
Sequenza: a b e c d f g
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Realizzazione con vettore dei figli
/
/
/ / /
/ / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ /
/ / / /
/ / //
/ / / /
Padre
Rischio di sprecare memoria se
molti nodi hanno grado minore del
grado massimo k.
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Nodo
Array
di Figli
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Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
Padre
Nodo
Primo
Figlio
Fratello
Soluzione: usare una lista di
figli (fratelli).
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Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello
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Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello
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Realizzazione con vettore dei padri
L'albero è rappresentato da un vettore i cui elementi contengono
l'indice del padre
✦
Esempio:
✦
0 a
T
1 b
a
1 e
b
2 c
2 d
c
e
d
f
g
3 f
3 g
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Realizzazione con vettore dei padri
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17
Alberi binari
Definizione
✦
Un albero binario è un albero ordinato in cui ogni nodo ha al più due figli e
✦
si fa distinzione tra il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo.
✦
Nota:
✦
due alberi T e U aventi gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni nodo e la stessa
radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato come figlio sinistro di un nodo
v in T e come figlio destro del medesimo nodo in U
✦
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Alberi binari
Figlio sinistro
Radice del
sottoalbero sinistro
Figlio destro
Radice del
sottoalbero destro
Radice
j.parent()
Padre del
nodo j (e k)
Sottoalbero
sinistro
Sottoalbero
destro
a
j
k
a.left()
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a.right()
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Alberi binari: specifica
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Alberi binari: realizzazione
/
/
/
Padre
Figlio
Sinistro
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Figlio
Destro
/
/
/
/
/
/
/
Nodo
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Alberi binari: realizzazione
Per motivi di spazio, le operazioni parent(), left(), right(), read() e write() non sono mostrate; semplicemente, restituiscono il valore della variabile corrispondente.
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Alberi binari: visite in profondità
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Limite inferiore complessità ordinamento
Albero delle scelte in algoritmi di ordinamento
✦
Sequenze di confronti (a due alternative) rappresentabile come albero binario
✦
Nodi interni → confronti,
✦
foglie → soluzioni del problema
Percorso radice-foglia: insieme di confronti per individuare una soluzione
✦
Limite inferiore ordinamento
✦
Sia n la dimensione del vettore
✦
Numero di possibili soluzioni: n!
✦
Altezza minima albero:
log2 n!
✦
Da cui deriva che qualunque
algoritmo di ordinamento
richiede Ω(n log n) confronti
✦
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Semplici esercizi basati su visite
Es. 5.1 - Dato un albero radicato T, calcolare la sua altezza
✦
Dato un albero radicato T, calcolare il numero totale di nodi
✦
Dato un albero radicato T, stampare tutti i nodi a profondità h
✦
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