INTERFERENZA

Il fenomeno dell’ interferenza si osserva in vari campi della Fisica:
Onde acustiche,onde meccaniche sulla superficie di un liquido, onde luminose etc.
Il fenomeno è consequenza della sovrapposizione in un punto dello spazio di due
o più onde.
Interferenza
1
Interferenza
2
I fenomeni di interferenza e diffrazione della luce
fanno parte della cosiddetta Ottica fisica.
Le soluzioni delle equazioni di Maxwell soddisfano il
principio di sovrapposizione e ciò implica che i campi
elettrici e magnetici di due segnali presenti
contemporaneamente si sommino rispettivamente tra
loro. Poichè la somma è vettoriale si possono avere
fenomeni di interferenza costruttiva o distruttiva.
ATTENZIONE: dato che la somma è vettoriale
occorre fare attenzione oltre che al verso anche alla
direzione
Interferenza
3
Nel caso dell’ottica pur essendo sempre
l’interferenza la sovrapposizione di due
onde, quello che interessa è l’energia che
incide e quindi una quantità proporzionale
al quadrato del campo.
Interferenza
4
INTERFERENZA
Quello che si vede su uno schermo è l' energia
media che arriva. Per una onda e.m. la densità
di energia W è data da
1 2 1 B2
w  E 
2
2 
e poichè è:
By   E z B  E
2
y
2
z
si ha:
Interferenza
1 2 1 2
w= εE  εE  εE 2
2
2
5
1 2 1 2
2
w  E  E  E
2
2
L' energia che arriva su una superficie DS in un tempo Dt
sarà quella contenuta nel volume
V = velocità DS Dt se Dt = 1 sec e DS = 1 m2:
ε 2
W=vεE =
E
μ
2
questo se E fosse costante. Se invece E
varia sinusoidalmente allora :
x
E  AM sin[(t  )  ]
v
Interferenza
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e dovremmo mediare su un periodo:
1
wdt 

T
=
 2 1
x
2
A M  sin [(t  )  ]dt 

T
v
 A2M
 2

E eff  I
 2

Interferenza
7
Due onde
Supponiamo adesso di avere due onde ciascuna
con la sua lunghezza d’onda l e la sua fase f
• In generale si può avere una sovrapposizione di 2
onde:
con l uguali o differenti e
con Df costante o non costante.
Interferenza
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x
E 1  A1 sin[  1 ( t  )   1 ]
v
x
E 2  A2 sin[ 2 (t  )   2 ]
v
La somma di queste onde produce un campo elettrico
E  E1  E2
e quindi:
2
2
2
E  E1  E2  2E1E2
Da cui:
x
x
2
2
E  A sin [1 (t  )  1 ]  A 2 sin [ 2 (t  )  2 ] 
v
v
2
2
1
2
x
x
2A1 sin[ 1 (t  )  1 ]A2 sin[ 2 (t  )   2 ]
v
v
Interferenza
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per avere l’energia su DS=1 e Dt=1 si dovrà moltiplicare per
v e per avere l’energia media si dovrà integrare su un
periodo (o comunque su un comune multiplo dei periodi T1
e T2).
E nergia
1
x
2
 vA
sin [1 (t  )  1 ]dt +

T
v
2
1
1
x
2
+ vA  sin [ 2 (t  )   2 ]dt +
T
v
1
x
x
+ v2A1A 2  {sin[1 (t  )  1 ]sin[ 2 (t  )   2 ]}dt =
T
v
v
2
2
=
 A21

 2
Interferenza
 A22

1
x
x

2A1 A2  {sin[1 (t  )  1 ]sin[ 2 (t  )   2 ]}dt
 2

T
v
v
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se al posto di A1 metto
2A1eff
se al posto di A2 metto
2A2 eff
troviamo:
 2
 2
A1eff 
A2 eff 


I1
+I2 +

1
x
x
2A1 A2  {sin[ 1 (t  )   1 ]sin[ 2 (t  )   2 ]}dt

T
v
v

1
x
x
2A1A 2  {sin[1 (t  )  1 ]sin[ 2 (t  )   2 ]}dt

T
v
v
Il terzo termine risulta = 0:
se 1 ≠ 2
Interferenza
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
1
x
x
2A1A 2  {sin[1 (t  )  1 ]sin[ 2 (t  )   2 ]}dt

T
v
v
Quindi onde di differente frequenza hanno una intensità
che è la somma delle due intensità.
se 1 = 2 e f2 - f1 = D il termine risulta:

A1A2 cos D

(infatti basta pensare al cambiamento di variabili:
x
X  (t  )  
v
I  I1  I 2 
Interferenza
e f2 - f1 = D


A1A2 cos D  I1  I 2 
2A1eff A 2 eff cos D  I1  I 2  2 I1I 2 cos D


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I  I1  I 2 


A1A2 cos D  I1  I 2 
2A1eff A 2 eff cos D  I1  I 2  2 I1I 2 cos D


Se f2 - f1 varia rapidamente, l' occhio umano vede un valore
medio di cos(f2 - f1 )=0 e quindi il termine è di nuovo nullo
Se A1 = A2 e f2 - f1 = π
2
2
<cosπ> = -1 allora:
2
A  A1  A2  2A1A2  0
e si ha interferenza distruttiva
Se A1 = A2 e f2 - f1 = 0
2
2
2
A  A1  A2  2A1A 2  4A
Interferenza
< cos0> = 1 allora:
2
e si ha interferenza costruttiva.
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CONDIZIONI DI INTERFERENZA
Supponiamo di avere due raggi aventi fasi uguali ed
uguale ampiezza che al tempo t = 0 viaggino in mezzi
differenti aventi indice di rifrazione n1 e n2.
x1
Dalla equazione generale E  Acos[(t  )  ]
v
si ha al tempo t:
x
E 1  Acos[(t  1 )  ]
v1
x2
e E 2  Acos[(t  )  ]
v2
essi quindi (al tempo t) avranno la differenza di fase:
 x1 x 2   x1
x2 
Δ =ω  -  =ω  n1 - n 2 
c

 v1 v2   c
Interferenza

2

c l vuoto
e poichè è:
si ottiene:
14
2
D 
(x1 n1  x 2 n 2 ) ove (x1n1  x2 n2 ) è la differenza dei
lvuoto
cammini ottici.
Si ha interferenza COSTRUTTIVA se Df = 0, 2π,.....
==> n(2π) cioè se
2
n 2 
(x1 n1  x2 n 2 )
l

n l  (x1n1  x2 n2 )
cioè se la differenza dei cammini ottici è pari ad un
multiplo della lunghezza d' onda.
Interferenza
15
Si ha interferenza DISTRUTTIVA invece se
Df = π, 3π,....==> (2n+1)π cioè se
2
2π
(2n+1)π= (x1n1 -x 2 n 2 )  (2n+1)= (x1n1 -x 2 n 2 )
λ
λ
ATTENZIONE che nelle riflessioni da un mezzo n1 ad uno
n2 se n1 < n2 si ha una variazione di fase di π
Interferenza
16
Esperienza di Young
Interferenza
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Sono sorgenti coerenti quelle che mantengono costante
la loro differenza di fase.
Per sorgenti di tipo termico ciò non si verifica dato che la
radiazione emessa è la somma di tanti eventi (emissione
per frenamento) indipendenti.
La maniera migliore (a parte Laser o radiazione di
sincrotrone) è quella di avere due immagini della stessa
sorgente.
Ciò può essere fatto con vari metodi.
Interferenza
18
SPECCHI DI FRESNEL
S2
S
1
S
r1
r2
P
Ciò si può ottenere ad es. con uno
specchio piano (si ricorda che uno
specchio piano ha una immagine in
posizione simmetrica). Meglio due
specchi (di Fresnel) posti uno "quasi"
parallelo all' altro.
Si supponga che in S sia x = 0 e
f=0 allora la formula generale:
x
E  Acos[(t  )  ]
v
diviene (in S)
Interferenza
0
E  Acos[(t  )  0]  A cos[(t)]
v
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r2
r1
E 1  Acos[(t  )] oppure E 2  Acos[(t  )]
v
v
e in P
S2
S
1
S
r1
r2
r1
r2
P
a seconda del cammino
percorso.
Date le relazioni tra v l ed  le equazioni
precedenti possono anche essere scritte
come:
t r1
E 1  Acos[2(  )] e
T l
t r2
E 2  Acos[2(  )]
T l
A è la stessa purchè S’ e S” abbiano distanza da P
"approssimativamente" uguale.
Interferenza
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Il campo risultante sarà allora:
t r1
t r2
E  E1  E 2  A{cos[2(  )] cos[2(  )]}
T l
T l
e quindi la intensità risultante sarà:
I tot  I  I  2I cos1  2 
essendo:
r1  r2
1   2  2
l
A seconda della differenza di r1  r2 si ha
dunque che Jtot varia da 0 a 4J.
Si osservano quindi frange di interferenza.
Interferenza
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SPECCHI DI LLOYD.
Qui il fascio diretto proveniente dalla
sorgente luminosa S interferisce con il
fascio riflesso dallo specchio; la sorgente
S e quella virtuale S1 fornita dallo
specchio servono come sorgenti di onde
coerenti. L'esperimento di Lloyd presenta
una caratteristica interessante.
Se si porta lo schermo AA a contatto con l'estremità dello specchio, il bordo dello
specchio cade al centro di una frangia scura e indica una interferenza distruttiva tra la
luce diretta e quella riflessa in quel punto. Poichè lo specchio è equidistante dalle due
sorgenti S e S1, questo implica che, nella riflessione, il campo subisce una variazione di
fase di π radianti;
Ciò si può ricavare anche dalle equazioni di Maxwell, cioè che quando una onda viene
riflessa da un mezzo n1 ad uno n2 se n1 < n2 si ha una variazione di fase di π
Interferenza
22
Anelli di Newton
Interferenza
23
LAMINA A FACCE PARALLELE.
Interferenza
24
LAMINA A FACCE PARALLELE.
D  n(x2  x3 )  x1
d
x 3  x2 
cos r
i
4
2
r
4
3
x1  x 4 cosi 
d
2nd nx2

 D
cos r tgi
x2
nx
nx
n d
cos i  2 cosi  2 
sin r
seni
tgi tgi cosr
2nd nx 2 2nd
1
D 


(1  )
cosr tgi cos r
tgi
Interferenza
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Doppia lamina
Interferenza
26
Filtro interferenziale
Interferenza
27
Fabry Perot
Interferenza
28
Fabry Perot
Interferenza
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INTERFEROMETRO DI MICHELSON
La luce proveniente da una sorgente
L incide sulla lastra di vetro AB
inclinata ad angolo di 450 rispetto al
fascio di luce in arrivo. La lastra è
leggermente argentata sulla
superficie posteriore, cosicchè giunta
a questa facciata della lastra circa
metà della luce viene inviata allo
specchio S1 mentre I'altra metà viene
riflessa verso lo specchio S2. La luce
che arriva su S1 viene riflessa indietro
e incontra la lastra AB dove, in parte,
viene riflessa in direzione
dell’osservatore; il fascio 2 che ritorna
da S2 viene trasmesso da AB e
raggiunge anch'esso l’osservatore.
Interferenza
30
Al variare della lunghezza tra AB e S1 si verifica
interferenza costruttiva o distruttiva secondo che la
differenza tra i cammini ottici dei fasci 1 e 2 sia un
multiplo intero o semintero della lunghezza d’onda.
Rispetto al caso in cui si studiano i fenomeni di
interferenza in pellicole sottili, adesso si hanno i seguenti
vantaggi:
1) non esistono fasci da riflessione multipla,
2) è abbastanza facile rendere uguali le ampiezze dei
fasci 1 e 2.
3) è possibile misurare differenze tra i cammini ottici dei
fasci 1 e 2

r1  r2
1   2  2
 r1  r2
l
v
misura di l di v
Interferenza
31
Interferenza
32