GEOMETRIA PIANA
IL VERTICE
Il vertice,
nella geometria
piana è:
•il punto di incontro di
due lati di
un poligono (triangolo,
quadrilatero, ecc).
•il punto di incontro di
due semirette, che
formano un angolo
(vertice dell'angolo);
L’ANGOLO
Prendiamo DUE SEMIRETTE a e b che abbiano la stessa STESSA
ORIGINE O, che non siano appartenenti alla stessa retta e che
giacciano su uno STESSO PIANO.
Possiamo notare che le due semirette dividono il piano in due parti
(colorate con tonalità diverse).
Ognuna di queste due parti, nelle quali risulta diviso il piano,
prende il nome di ANGOLO.
Quindi possiamo dire che l'ANGOLO è la PARTE DI PIANO
LIMITATA da DUE SEMIRETTE aventi la STESSA ORIGINE.
Le due SEMIRETTE a e b rappresentano i due LATI dell'angolo.
L'ORIGINE delle due SEMIRETTE, O, è il VERTICE dell'angolo.
La PARTE DI PIANO contenute nell'angolo è detta AMPIEZZA
DELL'ANGOLO.
Per indicare l'angolo che abbiamo disegnato si indica:
prima la lettera a che indica una semiretta; poi la lettera O che
indica il vertice. Il vertice viene contraddistinto da un accento
circonflesso Ô; poi la lettera b che indica l'altra semiretta.
Il nostro angolo si scriverà:
aÔb.
ANGOLO PIATTO – GIRO - NULLO
• Disegniamo un angolo i cui lati siano due semirette
opposte. L'angolo così formato:
aÔb prende il nome di ANGOLO PIATTO.
L’angolo piatto non è né un ANGOLO
CONCAVO, né un ANGOLO CONVESSO.
L'ANGOLO PIATTO misura 180°.
• Ora disegniamo un angolo i cui lati coincidono:
(si legge “la linea a coincide con la linea b)
L'angolo così formato:
aÔb prende il nome di ANGOLO GIRO.
L'ANGOLO GIRO misura 360°.
“Quindi possiamo dire che l'ANGOLO
GIRO è DOPPIO dell'ANGOLO PIATTO o anche che l'ANGOLO
PIATTO è la META' dell'ANGOLO GIRO”
• Notiamo che l’angolo giro è un angolo concavo. Infatti, esso
contiene i prolungamenti dei suoi lati.
L’angolo convesso in questo caso è l'ANGOLO NULLO che non
contiene i prolungamenti dei suoi lati:
L'ANGOLO NULLO misura 0°.
ANGOLI CONSECUTIVI – ADIACENTI
• Abbiamo disegnato due angoli:
l'angolo aÔb;
l'angolo bÔc.
Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso
vertice O e che uno dei lati (il lato b) è comune ad
entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (a e c)
si trovano dalla parte opposta rispetto al lato
comune (b).
I due ANGOLI si dicono CONSECUTIVI.
• Anche in questo caso abbiamo disegnato due
angoli:
l'angolo dÔe;
l'angolo eÔf.
Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso
vertice O, che uno dei lati (il lato e) è comune ad
entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (d e f)
si trovano dalla parte opposta rispetto al lato
comune (e).
Quindi anche questi
due ANGOLI sono CONSECUTIVI. Però notiamo
anche che i due lati non comuni
(d e f) APPARTENGONO AD UNA STESSA RETTA.
In questo caso i due ANGOLI si
dicono ADIACENTI.
ANGOLI CONCAVI – CONVESSI
Le due semirette a e b formano due angoli, uno
evidenziato con il colore ARANCIO e l'altro con il
colore MARRONE.
Ora ci concentriamo su quest'ultimo angolo, quello
indicato nella figura in MARRONE.
Disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo,
ovvero i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali
prolungamenti a' eb‘.
Osserviamo che le semirette a' e b' sono contenute
nell'angolo disegnato. Per questa ragione tale angolo
si dice CONCAVO.
Quindi possiamo affermare che:
Un angolo si dice CONCAVO
quando contiene i prolungamenti
dei suoi lati.
In caso contrario si dice CONVESSO.
ANGOLI COMPLEMENTARI,
SUPPLEMENTARI, ESPLEMENTARI
• Consideriamo due angoli, l'angolo Alfa e l'angolo Beta.
Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli dati
è un ANGOLO RETTO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI
COMPLEMENTARI.
• Consideriamo ora i seguenti angoli.
Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è
un ANGOLO PIATTO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI
SUPPLEMENTARI.
• Infine consideriamo i seguenti angoli.
Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è
un ANGOLO GIRO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, per questa
ragione, ANGOLI ESPLEMENTARI.
• Poiché l'ANGOLO
RETTO è la metà di
un ANGOLO PIATTO
e quest'ultimo è, a sua
volta,
la metà dell'ANGOLO
GIRO,
è evidente che l'ANGOLO
RETTO è la QUARTA
PARTEdell'ANGOLO GIRO.
Un angolo MINORE dell'ANGOLO RETTO si
dice ANGOLO ACUTO
Un angolo MAGGIORE dell'ANGOLO RETTO si
dice ANGOLO OTTUSO
BISETTRICE DI UN
ANGOLO
la BISETTRICE DI UN
ANGOLO è
la SEMIRETTA che ha
per ORIGINE il
VERTICE dell'angolo e
che divide l'angolo
in DUE PARTI UGUALI.
IL POLIGONO
In geometria un poligono è
una figura
geometrica piana
delimitata da una linea
spezzata chiusa. I segmenti
che compongono la
spezzata chiusa si
dicono lati del poligono e i
punti in comune a due lati
consecutivi si
dicono vertici del poligono.
Una prima classificazione di un POLIGONO riguarda il suo numero di lati
3
Triangolo
18
Ottadecagono
4
Quadrilatero
19
Ennadecagono
5
Pentagono
20
Icosagono
6
Esagono
21
Endeicosagono
7
Ettagono
22
Doicosagono
8
Ottagono
23
Triaicosagono
9
Ennagono
24
Tetraicosagono
10
Decagono
25
Pentaicosagono
11
Endecagono
26
Esaicosagono
12
Dodecagono
30
Triacontagono
13
Tridecagono
50
Pentacontagono
14
Tetradecagono
257
257-gono
15
Pentadecagono
1 000
Chiliagono
16
Esadecagono
10 000
Miriagono
17
Eptadecagono
65537
65537-gono
POLIGONO SEMPLICE - COMPLESSO
Un poligono è:
• semplice se i lati del
poligono non si
intersecano.
• complesso (o intrecciato)
se non è semplice.
POLIGONO CONVESSO - CONCAVO
•
•
•
•
Disegniamo due POLIGONI: il poligono ABCDE e il poligono FGHIL.
Entrambi i poligono disegnati hanno 5 lati, quindi entrambi sono
dei PENTAGONI. Eppure è molto evidente che i due poligoni sono
profondamente diversi l'uno dall'altro.
Esaminiamo il primo poligono ABCDE:
Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i
LATI del poligono, essi sono TUTTI ESTERNI al poligono stesso.
In questo caso il POLIGONO si dice CONVESSO.
Ora esaminiamo il secondo poligono FGHIL:
Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i
LATI del poligono, alcuni sono ESTERNI al poligono stesso, mentre altri
sono INTERNI.
In questo caso il POLIGONO si dice CONCAVO.
Ricapitolando:
1. se il PROLUNGAMENTO di TUTTI i LATI sono ESTERNI al
poligono, esso si dice CONVESSO (ogni angolo interno è
minore o uguale a un angolo piatto);
2. se il PROLUNGAMENTO di QUALCHE LATO è INTERNO al
poligono, esso si dice CONCAVO (anche un solo angolo
interno è maggiore di 180°).
Quando non è diversamente indicato si fa riferimento a poligoni convessi.
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI
DI UN POLIGONO
Generalizzando, se indichiamo con n il
numero di lati di un poligono (e dunque
anche il numero di angoli) la SOMMA
DEGLI ANGOLI INTERNI è pari a:
SI = (n-2) x 180°
DIAGONALE DI UN POLIGONO
Consideriamo il POLIGONO ABCDE.
Ora prendiamo il VERTICE B e scegliamo un altro VERTICE del
poligono, uno qualsiasi, purché NON CONSECUTIVO.
Ricordiamo che due vertici si
dicono consecutivi quando APPARTENGONO AD UNO STESSO LATO.
Quindi, nel nostro esempio, possiamo scegliere qualsiasi altro vertice
ad eccezione di A e C.
Scegliamo, ad esempio, il vertice E:
Quindi disegniamo il SEGMENTO che unisce i PUNTI B ed E.
Quella che abbiamo disegnato si chiama DIAGONALE del poligono.
Ovviamente possiamo fare la stessa cosa con ciascun vertice e i suoi
vertici non consecutivi. Abbiamo così disegnato tutte le diagonali del
nostro poligono.
Generalizzando possiamo affermare che si dice DIAGONALE di un
poligono, ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON
CONSECUTIVI.
POLIGONO
TRIANGOLO:
NUMERO DIAGONALI
NESSUNA DIAGONALE
QUADRILATERO:
DUE DIAGONALI
PENTAGONO:
CINQUE DIAGONALI
ESAGONO:
NOVE DIAGONALI
OTTAGONO:
VENTI DIAGONALI
QUADRILATERI
Un QUADRILATERO è un POLIGONO che ha QUATTRO
LATI e QUATTRO ANGOLI.
I QUADRILATERI possono essere classificati a seconda delle
caratteristiche dei loro LATI e dei loro ANGOLI.
•Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO
ANGOLI CONGRUENTI e QUATTRO LATI
CONGRUENTI, prende il nome
di QUADRATO.
•Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO
ANGOLI CONGRUENTI, cioè di uguale
ampiezza, prende il nome di RETTANGOLO.
•Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO
LATI CONGRUENTI, cioè aventi tutti la
stessa lunghezza, prende il nome
di ROMBO.
QUADRILATERI
• Il quadrilatero con 1 COPPIA di LATI
OPPOSTI PARALLELI si dice TRAPEZIO.
• Il TRAPEZIO che ha ENTRAMBE le
COPPIE DI LATI OPPOSTI
PARALLELI e CONGRUENTI prende il
nome di PARALLELOGRAMMA.
• Il quadrilatero con 2 COPPIE di LATI
CONSECUTIVI CONGRUENTI si
dice DELTOIDE.
• Il quadrilatero con 4 LATI GENERICI,
cioè senza particolari proprietà, si
dice QUADRILATERO SCALENO.
AREA DEL RETTANGOLO
L'AREA del RETTANGOLO è uguale al PRODOTTO della BASE
per l'ALTEZZA.
A=bxh
dove A é l'area del rettangolo, b è la base, h è l'altezza.
Disegniamo il RETTANGOLO ABCD:
la cui base AB misura 6 cm e la cui altezza AD misura 4 cm.
Moltiplichiamo la base del rettangolo (6
cm) per la sua altezza (4 cm).
Infatti: 6 cm x 4 cm = 24 cm2.
L'AREA del rettangolo misura 24 cm2.
Quindi possiamo affermare che l'AREA del
RETTANGOLO è uguale al PRODOTTO
della BASE per l'ALTEZZA.
AREA DEL QUADRATO
• Il QUADRATO presenta le caratteristiche del RETTANGOLO, in
quanto ha tutti e quattro gli ANGOLI CONGRUENTI e retti.
• Il QUADRATO è un RETTANGOLO PARTICOLARE in quanto, a
differenza del rettangolo che ha i lati opposti congruenti, il
quadrato ha TUTTI I LATI CONGRUENTI.
Di conseguenza, per calcolare AREA del QUADRATO possiamo
applicare la stessa formula vista per il calcolo dell'area del
rettangolo, ovvero:
A=bxh
dove A é l'area del quadrato, b è la base, h è l'altezza.
Poiché nel quadrato b = h = l (dove l é il lato del quadrato)
possiamo scrivere
A = l x l = l2.
In altre parole, l'AREA del QUADRATO si
ottiene MOLTIPLICANDO la misura del LATO per SE STESSA.
AREA DEL PARALLELOGRAMMA
•
•
•
•
•
•
•
•
Disegniamo su un foglio di carta
il PARALLELOGRAMMA ABCD.
Disegniamo l'altezza DH rispetto alla base AB.
Ritagliamo il triangolo DHA (per rendere più
evidente il disegno in basso, abbiamo indicato il
triangolo in questione con un azzurro più scuro).
Ora posizioniamo in modo diverso il triangolo
appena ritagliato… abbiamo ottenuto
un RETTANGOLO.
E' evidente che il parallelogramma e il rettangolo
disegnati sopra, sono EQUICOMPOSTI. Di
conseguenza essi sono anche EQUIVALENTI.
Quindi, per conoscere l'area del parallelogramma è
sufficiente trovare l'area del rettangolo ad esso
equivalente.
Quindi possiamo affermare che
un PARALLELOGRAMMA è EQUIVALENTE ad
un RETTANGOLO avente la STESSA BASE e la STESSA
ALTEZZA.
Di conseguenza, per trovare l'area del
parallelogramma sarà sufficiente trovare l'area del
rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.
A=bxh
AREA DEL TRAPEZIO
•
•
•
•
•
•
•
Disegniamo un TRAPEZIO ABCD:
Ora disegniamo un trapezio ad esso congruente che
chiamiamo A'B'C'D': ritagliamo i due trapezi e li
posizioniamo uno accanto all'altro. Abbiamo ottenuto
un PARALLELOGRAMMA.
Ora osserviamo attentamente il parallelogramma e
confrontiamolo con il trapezio di partenza. Il
nostro PARALLELOGRAMMA ha per altezza la STESSA
ALTEZZA del trapezio, per base la SOMMA delle BASI
del trapezio.
L'AREA DEL TRAPEZIO è esattamente la META'
dell'area del parallelogramma.
In altre parole un TRAPEZIO è EQUIVALENTE alla META'
di un PARALLELOGRAMMA che ha per altezza
la STESSA ALTEZZA del trapezio e per base la SOMMA
DELLE BASI del trapezio.
Quindi, l'AREA del TRAPEZIO si
ottiene MOLTIPLICANDO la SOMMA delle misure
delle BASI per la misura dell'ALTEZZA e DIVIDENDO il
prodotto ottenuto per 2.
La formula sarà:
AREA DEL ROMBO
•
•
•
•
•
Disegniamo il ROMBO ABCD.
Indichiamo con d1 e con d2 rispettivamente la DIAGONALE
MAGGIORE e la DIAGONALE MINORE.
Ora disegnamo le rette parallele alle diagonali passanti per i 4
vertici
I punti di intersezione di tali rette individuano
il RETTANGOLO EFGH, che può essere scomposto in 8
triangoli congruenti, mentre il ROMBO ABCD può essere
scomposto in 4 triangoli congruenti. Questo significa che
il RETTANGOLOha una ESTENSIONE DOPPIA rispetto a quella
del ROMBO.
la BASE del RETTANGOLO e la DIAGONALE MINORE del
rombo sono congruenti; l'ALTEZZA del RETTANGOLO e
la DIAGONALE MAGGIORE sono congruenti.
Quindi, se noi moltiplichiamo tra loro le due diagonali
otteniamo l'area del rettangolo EFGH. L'area del rombo è
esattamente la metà dell'area del rettangolo.
La formula per trovare l'AREA DEL ROMBO, dunque è:
A = (d1 x d2)/2
dove A é l'area del rombo, d1 è la diagonale maggiore e d2 è
la diagonale minore.
AREA DEL DELTOIDE
Dallo studio dei quadrilateri abbiamo appreso che
il DELTOIDE ha i LATI CONSECUTIVI CONGRUENTI e
le DIAGONALI PERPENDICOLARI:
Quindi, essendo il DELTOIDE un QUADRILATERO con le DIAGONALI
PERPENDICOLARI, per poterne determinare l'AREA, possiamo applicare
le formule per il calcolo dell'area del ROMBO, ovvero:
A = (d1 x d2)/2
dove
A é l'area del deltoide
d1 è la diagonale maggiore
d2 è la diagonale minore.
I TRIANGOLI
I TRIANGOLI possono essere classificati secondo i LATI e
secondo gli ANGOLI.
Secondo i LATI i triangoli possono essere classificati in:
TRIANGOLO EQUILATERO
Il triangolo con tutti e TRE LATI CONGRUENTI, cioè aventi
la stessa lunghezza, si dice EQUILATERO.
TRIANGOLO ISOSCELE
Il triangolo con DUE LATI CONGRUENTI, cioè aventi
la stessa lunghezza, si dice ISOSCELE.
TRIANGOLO SCALENO
Il triangolo che ha TRE LATI DISUGUALI, cioè aventi tutti
diversa lunghezza, si dice SCALENO.
TRIANGOLI
Secondo gli ANGOLI i triangoli possono
essere classificati in:
TRIANGOLO RETTANGOLO
Il triangolo che ha un ANGOLO RETTO si
dice TRIANGOLO RETTANGOLO.
TRIANGOLO ACUTANGOLO
Il triangolo con tutti e TRE gli ANGOLI
ACUTI si dice TRIANGOLO
ACUTANGOLO.
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
Il triangolo che ha un ANGOLO
OTTUSO si dice TRIANGOLO
OTTUSANGOLO.
CARATTERISTICHE DEI TRIANGOLI
Essendo il TRIANGOLO un POLIGONO valgono, per esso, tutte le caratteristiche proprie
dei poligoni.
Come sappiamo in un qualsiasi POLIGONO,
OGNI LATO è sempre MINORE rispetto alla SOMMA di TUTTI GLI ALTRI LATI.
Per i TRIANGOLI, essendo i lati solamente tre, potremo dire che
OGNI LATO è sempre MINORE della SOMMA DEGLI ALTRI DUE.
Inoltre OGNI LATO è sempre MAGGIORE della DIFFERENZA DEGLI ALTRI DUE.
Il TRIANGOLO è un POLIGONO che NON HA DIAGONALI.
Essendo la DIAGONALE di un poligono,
ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON CONSECUTIVI
è evidente che nel triangolo non possiamo disegnarne.
La SOMMA degli ANGOLI ESTERNI del TRIANGOLO misura 360°.
La SOMMA degli ANGOLI INTERNI del TRIANGOLO misura 180°.
ELEMENTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
• Gli ELEMENTI DEL TRIANGOLO sono i LATI e
gli ANGOLI.
• Oltre ad essi, esistono anche altri elementi del
triangolo, che prendono il nome di ELEMENTI
NOTEVOLI.
• Gli ELEMENTI NOTEVOLI di un triangolo sono:
1.
2.
3.
4.
le ALTEZZE;
le MEDIANE;
le BISETTRICI;
gli ASSI dei tre lati.
1 - ALTEZZE DI UN TRIANGOLO
Disegniamo il TRIANGOLO ABC:
Ora disegniamo il segmento AH che parte dal vertice A e
interseca, perpendicolarmente, il lato opposto BC:
Il segmento AH si dice ALTEZZA del triangolo relativa al lato BC.
Il punto H si chiama PIEDE dell'ALTEZZA, mentre il lato BC è la BASE del
triangolo.
Quindi possiamo dire che l'ALTEZZA di un triangolo rispetto ad un suo
lato, che in questo caso prende il nome di BASE, è la DISTANZA di
questo LATO dal VERTICE OPPOSTO.
Ricordiamo che la DISTANZA di un PUNTO da una RETTA è
la LUNGHEZZA DEL SEGMENTO DI PERPENDICOLARE condotta da quel
punto alla retta.
Poiché il triangolo ha TRE LATI, ognuno di essi può essere considerato
come BASE del triangolo. Di conseguenza, per ogni triangolo, possiamo
disegnare TRE ALTEZZE, ognuna delle quali unisce perpendicolarmente
un lato con il suo vertice opposto:
RETTE PERPENDICOLARI
Nel piano due rette si
dicono perpendicolari,
o equivalentemente
ortogonali, se si
incontrano formando
angoli uguali (che si
dicono retti).
2 - MEDIANE DI UN TRIANGOLO
Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC:
Ora disegniamo il PUNTO MEDIO del lato BC e lo chiamiamo P:
Ora congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato
opposto:
Quella che abbiamo disegnato prende il nome di MEDIANA e più
esattamente essa è la MEDIANA del triangolo ABC relativa al
lato BC.
Possiamo allora dire che una MEDIANA di un triangolo è
il SEGMENTO che UNISCE un VERTICE al PUNTO MEDIO DEL LATO
OPPOSTO.
Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, noi possiamo costruire
tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice
con il punto medio del lato opposto.
Notiamo che le tre mediane passano tutte per uno stesso punto
detto BARICENTRO che nell'immagine sopra abbiamo indicato
con la lettera O.
3 - BISETTRICI DI UN TRIANGOLO
Dallo studio degli ANGOLI abbiamo appreso che si
chiama BISETTRICE DI UN ANGOLO la SEMIRETTA che ha
per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE
PARTI UGUALI. Ora disegniamo il triangolo ABC:
Quindi disegniamo un segmento che partendo
dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo
l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza:
Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome
di BISETTRICE di VERTICE A del triangolo.
Quindi possiamo dire che la BISETTRICE di un triangolo RELATIVA
AD UN VERTICE è il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO
OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo.
Ora disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al
verticeB e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C:
Come possiamo osservare le TRE BISETTRICI si INCONTRANO in un
punto detto INCENTRO che nel nostro disegno abbiamo
evidenziato con la lettera O.
4 - ASSI DI UN TRIANGOLO
Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC.
Ora disegniamo il punto medio del lato BC e lo chiamiamo P.
Ora disegniamo la RETTA p (minuscolo) PERPENDICOLARE a BC e
PASSANTE per il PUNTO P.
La RETTA p che abbiamo disegnato si chiama ASSE del LATOBC.
Ora disegniamo anche il punto medio del lato AB (R) e il punto
medio del lato AC (Q) e disegniamo, rispettivamente, la retta
perpendicolare ad AB passante per R che chiamiamo r e la retta
perpendicolare ad AC passante per Q che chiamiamo q.
Abbiamo così disegnato gli ASSI dei TRE LATI DEL TRIANGOLO.
Quindi possiamo dire che l'ASSE di un TRIANGOLO relativo ad un lato è
la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del
lato considerato.
Come possiamo notare gli assi del triangolo passano tutti per UNO
STESSO PUNTO che chiamiamo CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO e che
abbiamo indicato con la lettera O:
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
• Nel triangolo ci sono dei punti detti PUNTI
NOTEVOLI. Essi sono dei PUNTI nei quali
si INTERSECANO gli ELEMENTI NOTEVOLI di
un triangolo.
• I PUNTI NOTEVOLI di un triangolo sono:
1.
2.
3.
4.
l'ORTOCENTRO;
il BARICENTRO;
l'INCENTRO;
il CIRCOCENTRO.
PUNTI NOTEVOLI
1.
2.
3.
4.
ORTOCENTRO. Abbiamo appreso che un triangolo ha TRE ALTEZZE.
Come possiamo notare le tre altezze si incontrano in un punto che
chiamiamo O. Il punto O prende il nome di ORTOCENTRO. Quindi
l'ORTOCENTRO è il PUNTO in cui si INCONTRANO le ALTEZZE di un
triangolo.
BARICENTO. Abbiamo visto che le tre mediane di un triangolo passano
tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO e indicato, nel disegno
sottostante, con la lettera O. Quindi il BARICENTRO di un triangolo può
essere definito come il PUNTO DI INTERSEZIONE delle tre MEDIANE del
triangolo.
INCENTRO. Abbiamo parlato delle BISETTRICI di un triangolo e abbiamo
appreso che si chiama BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN
VERTICE il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO
DIVIDENDO a META' l'angolo. LE TRE BISETTRICI di un
triangolo si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO.
CIRCOCENTRO. Abbiamo visto che l'ASSE di un TRIANGOLO relativo ad
un lato è la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO
MEDIO del lato considerato. Inoltre abbiamo osservato che gli assi del
triangolo si incontrano tutti in UNO STESSO PUNTO detto CIRCOCENTRO
DEL TRIANGOLO che abbiamo indicato con la lettera O
AREA DEL TRIANGOLO
Disegniamo su un foglio di carta un qualsiasi TRIANGOLO ABC.
Partendo dal vertice C disegniamo la parallela al lato AB.
Ora partendo dal vertice B disegniamo la parallela al lato AC.
Indichiamo con la lettera D il punto di intersezione tra le due rette appena
disegnate.
La figura che abbiamo ottenuto è quella di un PARALLELOGRAMMA.
Ora analizziamo con attenzione il nostro parallelogramma:
esso ha la STESSA BASE e la STESSA ALTEZZA del triangolo ABC.
Quindi possiamo dire che un TRIANGOLO è EQUIVALENTE alla META' di un
PARALLELOGRAMMA che ha la STESSA BASE e la STESSA ALTEZZA.
Di conseguenza, l'AREA del TRIANGOLO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura
della BASE per quella dell'ALTEZZA ad essa relativa e DIVIDENDO il prodotto
ottenuto PER DUE.
La formula, quindi, per calcolare l'area del triangolo è la seguente:
A = (b x h)/2
dove
A é l'area del triangolo
b è la base
h è l'altezza.
FORMULE INVERSE AREA TRIANGOLO
L'AREA DEL TRIANGOLO è uguale alla META' del PRODOTTO della misura della
base per la relativa ALTEZZA.
In altre parole l'area del triangolo è data da:
A = (b x h)/2
dove
A = area del triangolo
b = base
h = altezza.
Vediamo, ora, quali sono le formule inverse da applicare nel caso in cui
conosciamo l'area e la base e dobbiamo trovare l'altezza oppure conosciamo l'area
e l'altezza e dobbiamo trovare la base.
Ecco le FORMULE INVERSE:
b = (A x 2)/ h
h = (A x 2)/ b.
TEOREMA DI PITAGORA
Disegniamo su un cartoncino, di spessore costante, un TRIANGOLO
RETTANGOLO.
Ora, sempre usando lo stesso cartoncino, costruiamo TRE
QUADRATI che chiamiamo rispettivamente Q1, Q2, Q3 aventi
come LATI rispettivamente l'ipotenusa AB e i due cateti AC e CB.
Ora ritagliamo i tre quadrati Q1, Q2, Q3 e li PESIAMO su una bilancia di
precisione.
Noteremo che il peso complessivo dei due quadrati Q2 e Q3 è uguale
al PESO del quadrato Q1.
Ma se il peso complessivo di Q2 e Q3 è uguale al peso del
quadrato Q1 evidentemente Q2 e Q3 insieme hanno la
stessa ESTENSIONE di Q1.
Inoltre possiamo verificare che quanto detto è vero per qualsiasi
triangolo rettangolo da noi disegnato.
Possiamo allora affermare che in OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO,
il QUADRATO costruito sull'IPOTENUSA è EQUIVALENTE alla SOMMA
dei QUADRATI costruiti sui DUE CATETI.
Possiamo, allora enunciare il TEOREMA DI PITAGORA. Esso afferma che
in ogni TRIANGOLO RETTANGOLO l'AREA DEL QUADRATO costruito
sull'IPOTENUSA è UGUALE alla SOMMA delle AREE dei
QUADRATI costruiti sui due CATETI.
Possiamo allora affermare che la misura dell'IPOTENUSA di un
triangolo rettangolo si ottiene estraendo la RADICE QUADRATA della
SOMMA dei QUADRATI delle misure dei DUE CATETI.
essendo i2 = c12 + c22.
TERNE PITAGORICHE
• Prendiamo la seguente TERNA di numeri: 3, 4, 5.
Osserviamo che: 32 + 42 = 52.
Infatti:
32 = 9
42 = 16
52 = 25
9 + 16 = 25.
• Una terna di questo tipo prende il nome di TERNA
PITAGORICA.
• Una TERNA PITAGORICA sono tre numeri tali che la SOMMA
dei QUADRATI dei DUE NUMERI PIU'
PICCOLI è UGUALE al QUADRATO del NUMERO MAGGIORE.
• Potremmo anche dire che una terna pitagorica sono tre
numeri che soddisfano il TEOREMA DI PITAGORA.
FORMULA DI ERONE (Calcolare l’area conoscendo i lati)
Esiste la possibilità di calcolare l'AREA DEL TRIANGOLO conoscendo la misura dei suoi LATI.
In questo caso si applica la seguente formula:
dove
A = area del triangolo
P = perimetro del triangolo
a, b, c = lati del triangolo.
Questa formula è detta FORMULA di ERONE dal nome del matematico greco,
vissuto nel I secolo a.C., che la scoprì come calcolare l'area del triangolo
conoscendo la misura dei suoi lati.
Tale formula ci dice che l'AREA di un TRIANGOLO si ottiene estraendo la RADICE
QUADRATA del PRODOTTO del suo SEMIPERIMETRO (P/2) per
le DIFFERENZE tra ilSEMIPERIMETRO e CIASCUNO dei suoi LATI.
IL CERCHIO
Osserviamo l'immagine.
Quella che abbiamo disegnata è una LINEA CURVA CHIUSA. Tale linea
ha una particolarità: essa è formata da tutti punti del piano che hanno
la stessa distanza da un punto interno alla linea che abbiamo
chiamato con la lettera O.
La linea che abbiamo disegnato prende il nome di CIRCONFERENZA.
Possiamo dire, quindi, che la CIRCONFERENZA è una LINEA CURVA
CHIUSA formata dall'insieme dei PUNTI del piano che sono
tutti UGUALMENTE DISTANTI da un PUNTO O interno a tale piano.
Il punto O è detto CENTRO della circonferenza.
I SEGMENTI che UNISCONO il CENTRO con un QUALSIASI PUNTO
DELLA CIRCONFERENZA prendono il nome di RAGGI.
Indichiamo il raggio di una circonferenza con la lettera r. Quindi
r = raggio della circonferenza.
E' evidente che, data la definizione di circonferenza, i RAGGI sono
tutti UGUALI tra loro.
ATTENZIONE!!! Non confondiamo la circonferenza con il cerchio.
La circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie.
CORDE - DIAMETRO
Chiamiamo CORDA un SEGMENTO che UNISCE DUE PUNTI QUALSIASI di
una CIRCONFERENZA.
Nell'immagine sopra abbiamo scelto due punti qualsiasi della
circonferenza: il punto A e il punto B.
Quindi abbiamo tracciato il segmento che unisce questi due punti: il
segmento AB è una CORDA della CIRCONFERENZA.
Ora disegniamo la corda MN tale che essa passi per il centro O.
La corda che abbiamo disegnato prende il nome di DIAMETRO della
CIRCONFERENZA.
Quindi diciamo che il DIAMETRO è la CORDA che PASSA per il CENTRO.
Essa viene indicata con una d minuscola.
E' abbastanza evidente che il DIAMETRO è il DOPPIO del RAGGIO.
Quindi
d = 2r.
CIRCONFERENZA
Disegniamo una circonferenza.
Ora prendiamo un filo di ferro sottile e, partendo da
un punto qualsiasi che chiameremo A, facciamolo
aderire perfettamente alla circonferenza fino a
raggiungere nuovamente il punto A.
Se ora noi raddrizziamo il filo di ferro in modo da
ottenere un segmento, che nell'immagine
sottostante abbiamo indicato con LM, avremo quella
che viene detta CIRCONFERENZA RETTIFICATA.
La lunghezza del segmento LM non è altro che la
lunghezza della circonferenza data.
Ora confrontiamo la misura del diametro AB con la
lunghezza della circonferenza LM.
Notiamo che la lunghezza della circonferenza è poco
più del triplo della lunghezza del diametro.
Per l'esattezza, se dividiamo la lunghezza della
circonferenza per la lunghezza del diametro
otteniamo come quoziente il numero 3,14
approssimando il calcolo alla seconda cifra decimale.
Possiamo ripetere la prova con qualsiasi
circonferenza e arriveremo sempre allo stesso
risultato.
PI GRECO π - CALCOLO CIRCONFERENZA
Il valore esatto che otteniamo dividendo la lunghezza della circonferenza per il diametro
è 3,141592..., cioè un numero non periodico con infinite cifre decimali che viene indicato con il
simbolo
π che si legge pi greco.
Allora, indicando con
C la lunghezza della circonferenza
r la lunghezza del raggio
2r la lunghezza del diametro
possiamo scrivere:
C / 2r = 3,14
e quindi:
C = 2r * 3,14 oppure C = r * 2π (dove π = 3,14)
In altre parole possiamo dire che la LUNGHEZZA di una CIRCONFERENZA è uguale
al PRODOTTO della misura del suo RAGGIO per 2π.
Dalla formula precedente possiamo ricavare la formula inversa, ovvero:
r = C/ 2π.
In altre parole possiamo dire che la MISURA del RAGGIO di una circonferenza si
ottiene DIVIDENDO la lunghezza della CIRCONFERENZA per 2π.
ESEMPI CIRCONFERENZA
Problema 1:
Calcolare la lunghezza di una circonferenza che ha il raggio di cm 6.
Per risolvere il problema è sufficiente applicare la formula: C = 2π x r
dove C è la lunghezza della circonferenza r è la lunghezza del raggio che nel nostro caso misura cm 6 π = 3,14.
Quindi avremo:
C = 2π x r = 2 x 3,14 x 6 = 37,68 cm. La lunghezza della circonferenza è pari a 37,68 cm.
Vediamo, ora, come applicare la formula inversa.
Problema 2:
Calcolare il raggio di una circonferenza che è lunga m 31,40.
In questo caso è nota la misura della circonferenza e dobbiamo trovare la misura del raggio.
Applichiamo la formula inversa e abbiamo:
r = C/ 2π = 31,40/ (2 x 3,14) = 31,40/ 6,28 = 5 m.
Il raggio della nostra circonferenza è lungo 5 m.
Problema 3:
Quanti metri ha percorso un corridore se la ruota della sua bicicletta che ha il raggio di 30 cm ha fatto 500 giri?
“Cominciamo col dire che se la ruota della bici ha fatto 500 giri significa che il corridore ha percorso una
distanza pari al numero di giri della ruota per la circonferenza della stessa.”
Ora noi non conosciamo la circonferenza della ruota, ma sappiamo la misura del raggio, quindi possiamo dire che
C = 2π x r = 2 x 3,14 x 30 = 188,40 cm.
Ora possiamo calcolare la lunghezza percorsa, ovvero: 188,40 x 500 = 94.200 cm.
Esprimiamo la misura trovata in metri sapendo che occorrono 100 cm per fare 1 metro:
94.200 cm = 942 m.
Il nostro corridore ha percorso 942 metri.
AREA DEL CERCHIO
AREA del CERCHIO è uguale a A = (C x r)/ 2
Dove A = Area del cerchio C = Circonferenza r = raggio.
Noi però sappiamo che la lunghezza della circonferenza si calcola nel modo seguente:
C = 2π x r.
Sostituendo questa formula in quella dell'area otteniamo A = (2π x r x r)/ 2.
Se in questa formula semplifichiamo il 2 a numeratore e a denominatore e
moltiplichiamo, a numeratore, r per r, avremo: A = π x r2.
Possiamo allora affermare che l'AREA del CERCHIO è data dal PRODOTTO tra
il QUADRATO DEL RAGGIO per 3,14.
Da questa formula otteniamo anche la formula inversa che ci permette di calcolare
il RAGGIO conoscendo l'area del cerchio, cioè
r2 = A/ π ovvero
FORMULE PERIMETRO - AREA
FORMULE PERIMETRO - AREA
