Diapositiva 1

Metodi Quantitativi per Economia, Finanza
e Management
Lezione n°8
Il modello di regressione lineare
1. Introduzione ai modelli di regressione
2. Obiettivi
3. Le ipotesi del modello
4. La stima del modello
5. La valutazione del modello
6. Commenti
Case Study – Club del Libro
La classificazione dei
clienti/prospect in termini predittivi
Il problema di analisi
anzianità
CAT 1
CAT n
L’obiettivo dell’analisi
Prevedere la redditivita’
del socio fin
dalle prime evidenze
L’impostazione del problema
Redditività = ricavi - costi

redditività var. continua

classi di redditività ( < 0 ; >= 0)
I dati di input


Y:
Redditività consolidata
X:
# ordini
pagato ordini
pagato rateale mensile
sesso (dicotomica)
area (dicotomiche)
…..
Predisposizione
Banca Dati
Costruzione Var.
Obiettivo
Il
Analisi
Preliminari
percorso
di analisi
Stima del
Modello
Validazione
Implementazione
Analisi preliminari

lo studio della distribuzione

lo studio della concentrazione

la struttura di correlazione
L’impostazione del problema

Redditività var. continua
Regressione Lineare

Redditività var. dicotomica
Regressione Logistica
Il modello di regressione lineare
1. Introduzione ai modelli di regressione
2. Obiettivi
3. Le ipotesi del modello
4. La stima del modello
5. La valutazione del modello
6. Commenti
I modelli di regressione
Modelli di dipendenza per la rappresentazione di relazioni non
simmetriche tra le variabili
• Y “variabile dipendente” (variabile target da spiegare)
• X1,…,Xp “variabili indipendenti” (variabili esplicative o
regressori)
Il modello di regressione lineare
Si vuole descrivere la relazione tra Y e X1,…,Xp con una
funzione lineare
• se p=1  osservazioni in uno spazio a due dimensioni
(i=1,…,n)
Yi  f ( Xi1)
• se p>1  osservazioni in uno spazio a p+1 dimensioni
(i=1,…,n)
Yi  g ( Xi1,..., Xip)
Il modello di regressione lineare
• se p=1  spazio a due dimensioni  retta di regressione
lineare semplice
Y
X
Il modello di regressione lineare
Y
• se p>1  spazio a p+1 dimensioni  “retta” di regressione
lineare multipla
X1
Il modello di regressione lineare
Obiettivi
• Esplicativo - Stimare l’influenza dei regressori sulla
variabile target.
• Predittivo - Stimare il valore non osservato della variabile
target in corrispondenza di valori osservati dei regressori.
• Comparativo - Confrontare la capacità di più regressori, o
di più set di regressori, di influenzare il target (= confronto
tra modelli di regressione lineare diversi).
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
Y
y1
y2
y3
…
…
…
yn
(nx1)
X1
x 11
x 21
x 31
…
…
…
x n1
X2
x 12
x 22
x 32
…
…
…
x n2
X3
x 13
x 23
x 33
…
…
…
x n3
…
…
…
…
…
…
…
…
(nxp)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Xp
x 1p
x 2p
x 3p
…
…
…
x np
• n unità statistiche
• vettore colonna (nx1) di n misurazioni su una variabile
continua (Y)
• matrice (nxp) di n misurazioni su p variabili quantitative
(X1,…,Xp)
• la singola osservazione è il vettore riga (yi,xi1,xi2,xi3,…,xip)
i=1,…,n
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
Equazione di regressione lineare multipla
Yi   0   1 Xi1   2 Xi 2  ...  pXip  i
i-esima
oss. su Y
intercetta
i-esima
oss. su X1
errore relativo
all’i-esima oss.
coefficiente
di X1
La matrice X=[1,X1,…,Xp] è detta matrice del disegno.
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
L’errore presente nel modello si ipotizza essere di natura
casuale. Può essere determinato da:
•
•
•
•
variabili non considerate
problemi di misurazione
modello inadeguato
effetti puramente casuali
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
1. Errori a media nulla
2. Errori con varianza costante
(omoschedasticità)
3. Errori non correlati
(per ogni i≠j)
4. Errori con distribuzione Normale
* 1 – 3  hp deboli
1 – 4  hp forti
E ( )  0
Cov( )   2 In
Cov(i, j )  0
 ~ N (0,   In)
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
Da un punto di vista statistico
• Y è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica
realizzazione campionaria  hp sulla distribuzione
• X è una matrice costante con valore noto  no hp sulla
distribuzione
• beta è un vettore costante non noto
• l’errore è un vettore aleatorio di cui si osserva una
specifica realizzazione campionaria  hp sulla
distribuzione
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
• in media Y può essere rappresentata come funzione
lineare delle sole (X1,…,Xp)
  E (Y )  X
• ogni osservazione di Y è uguale ad una combinazione
lineare dei regressori con pesi=coefficienti beta + un
termine di errore
Y  X  
Il modello di regressione lineare
1. Introduzione ai modelli di regressione
2. Obiettivi
3. Le ipotesi del modello
4. La stima del modello
5. La valutazione del modello
6. Commenti
Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
Equazione di regressione lineare multipla
Yi   0   1 Xi1   2 Xi 2  ...  pXip  i
i-esima
oss. su Y
intercetta
i-esima
oss. su X1
errore relativo
all’i-esima oss.
coefficiente
di X1
La matrice X=[1,X1,…,Xp] è detta matrice del disegno.
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di
punti
Y
X
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Equazione teorica  coefficienti non noti
Y   0   1 X 1   2 X 2  ...  pXp  
Equazione stimata  coefficienti stimati (una delle infinite
rette possibili)
Y  bo  b1 X 1  b 2 X 2  ...  bpXp  ˆ
stime dei
coefficienti
Y  Yˆ  ˆ
previsione
errore di
previsione
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Stimando la retta di regressione si commette un errore di
previsione: Metodo dei Minimi Quadrati
Y
VALORE
OSS.
Yi
ERRORE

Yi
VALORE
STIMATO
X
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Obiettivo  trovare la miglior approssimazione lineare
della relazione tra Y e X1,…,Xp (trovare le stime dei
parametri beta che identificano la “migliore” retta di
regressione)
Metodo dei minimi quadrati  lo stimatore LS è la
soluzione al problema
2
n
min 
 y  X  
i 1
i
i
 min   ' 
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS
• è funzione di Y e X
• ha media
• ha varianza
1
ˆ
 LS   X ' X  X ' Y
E(ˆLS )  
Var ( ˆ LS )  ( X ' X ) 1 
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Proprietà dello stimatore LS
• non distorto
• consistente (se valgono certe hp su X’X)
• coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto
hp forti
 BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM
• total sum of squares
 variabilità di Y
2
SST   Yi  Y 
n
i 1
• error sum of squares
 variabilità dei residui
n
i 1
• model sum of squares
 variabilità spiegata

SSE   Yi  Yˆi
n
SSM  
i 1


Yˆi  Y
2

2
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Indicatori sintetici di bontà del Modello
• R-quadro  OK valori alti
SSM
R 
SST
2
• R-quadro adjusted  OK valori alti
• Test F  OK p-value con valori bassi
AdjR2  1  (1  R 2 )
n 1
n  p 1
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
R-quadro= SSM/SST
 misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello =
capacità esplicativa del modello
misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta
di regressione.
SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega
SSM=SST (R-quadro=1) OK
• R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1)
come R-quadro ma indipendente dal numero di
regressori
 combina adattabilità e parsimonia
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Test F per valutare la significatività congiunta dei
coefficienti
• ipotesi nulla
• statistica test
H 0 :   ...   p  0
F
SSM / p
~ F ( p, n  p  1)
SSE / n  p  1
• valutazione  se p-value piccolo (rifiuto l’hp di
coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità
esplicativa