DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Algebra di Boole
ed elementi di logica
Marco D. Santambrogio – [email protected]
Ver. aggiornata al 10 Ottobre 2013
Obiettivi
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
• Algebra di Boole
Algebra di boole a due valori: algebra di
commutazione
Operazioni logiche
Espressioni logiche
Assiomi e proprietà dell’algebra di
commutazione
2
Cenni all’algebra di Boole
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• L’algebra di Boole (inventata da G. Boole,
britannico, seconda metà ’800), o algebra della
logica, si basa su operazioni logiche
• Le operazioni logiche sono applicabili a operandi
logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i
valori vero e falso
• Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con
il bit 0 (convenzione di logica positiva)
3
Algebra Booleana: definizione
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• Algebra Booleana B è un sistema algebrico
identificato dalla sestupla
(B,+,*,’,0,1) dove:
B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni
(supporto)
+,*,’ sono le operazioni binarie OR e AND e
l’operazione unaria NOT
0,1 sono elementi speciali di B.
• 0 è l’elemento neutro rispetto a +
• 1 è l’elemento neutro rispetto a *
Assiomi
-4-
Algebra Booleana a due valori:
Algebra di Commutazione
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
“Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due
valori........è la più utile. Essa è la base matematica della
analisi e progetto di circuiti di commutazione che
realizzano i sistemi digitali.”
[Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall, 1976]
-5-
Operazioni logiche fondamentali
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• Operatori logici binari (con 2 operandi logici)
Operatore OR, o somma logica
Operatore AND, o prodotto logico
• Operatore logico unario (con 1 operando)
Operatore NOT, o negazione, o inversione
• Poiché gli operandi logici ammettono due soli
valori, si può definire compiutamente ogni
operatore logico tramite una tabella di
associazione operandi-risultato
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Operazioni logiche fondamentali
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• Le variabili dell’algebra booleana a due valori possono assumere solo i due
valori 0 e 1
precisamente, se x indica una variabile, è
• x = 0 se e solo se x 1
• x = 1 se e solo se x 0
• Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e *
(AND) sono definiti come
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
* 0 1
0 0 0
1 0 1
• Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta
complementazione o negazione (NOT) è definita come
‘
0 1
1 0
Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come ’
(esempio x’), !(esempio !x) o sopra segnando la variabile.
Operatori logici di base e loro tabelle di verità
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A B
A or B
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
(somma logica)
A B
A and B
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
(prodotto logico)
A
not A
0
1
1
0
(negazione)
Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso
e il risultato associato a ciascuna combinazione
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Espressioni logiche (o Booleane)
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• Come le espressioni algebriche, costruite con:
Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C 0 oppure 1
Operatori logici: and, or, not
• Esempi:
A or (B and C)
(A and (not B)) or (B and C)
• Precedenza: l’operatore “not” precede l’operatore “and”, che
a sua volta precede l’operatore “or”
A and not B or B and C (A and (not B)) or (B and C)
• Per ricordarlo, si pensi OR come “” (più), AND come “”
(per) e NOT come “” (cambia segno)
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Tabella di verità di un’espressione logica
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A and B or not C
ABC
X = A and B
Y = not C
X or Y
000
0 and 0 = 0
not 0 = 1
0
or
1
=1
001
0 and 0 = 0
not 1 = 0
0
or
0
=0
010
0 and 1 = 0
not 0 = 1
0
or
1
=1
011
0 and 1 = 0
not 1 = 0
0
or
0
=0
100
1 and 0 = 0
not 0 = 1
0
or
1
=1
101
1 and 0 = 0
not 1 = 0
0
or
0
=0
110
1 and 1 = 1
not 0 = 1
1
or
1
=1
111
1 and 1 = 1
not 1 = 0
1
or
0
=1
Due esercizi
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A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
NOT ((A OR B) AND (NOT A))
1
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
( B OR NOT C) AND (A OR
0 1
1 0
1
0
0 0
0 1
0
0
1 1
1 0
1
0
1 1
0 1
0
0
0 1
1 0
1
1
0 0
0 1
0
1
1 1
1 0
1
1
1 1
0 1
1
1
NOT C)
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
11
Pausa 5’
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George Boole
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Vero e falso in C
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• In C non esiste un tipo di dato specifico per
rappresentare i concetti vero e falso
• Una condizione assume un valore intero pari a
0 se la condizione è falsa
1 se la condizione è vera
• In generale, ogni valore diverso da zero è
considerato vero
( 3 ) VERO
( 1 ) VERO
( a – a ) FALSO
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Problema
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Si scriva un programma in C che, dato un
numero, dica se questo è positivo o
negativo
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Soluzione
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1. Si inserisca N
2. N è maggiore di 0?
Vero: N è positivo
Falso: N non è positivo
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In C: positivo
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int main()
{
int n;
printf (“Inserisci un numero\n");
scanf ("%d", &n );
if ( n > 0 )
printf ("Un numero positivo ! \n");
else
condizione
printf ("Un numero negativo o nullo\n");
printf ("Fine del programma\n");
return 0;
}
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Problema: caratteri MaIuScOli
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Si scriva un programma che, preso un
carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a
video l’equivalente maiuscolo
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Maiuscolo: esecuzione
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18
HELP: errori sull’input
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19
Problema: errori sull’input
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• Problema
Preso un dato inserito da tastiera
Per potervi applicare la trasformazione di
nostro interesse
Dobbiamo prima verificare che il dato sia
coerente con quanto ci aspettiamo
• Soluzione
Definire l’insieme dei caratteri validi
Verificare l’appartenenza del carattere
inserito, all’insieme dei caratterei validi
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Pseudocodice
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• Dati
L’insieme dei caratteri ammissibili
{a, b, c, …, z}
1.
2.
3.
4.
Richiedere l’inserimento di un carattere
Se carattere inserito corretto
Allora stampa a video carattere-32
Altrimenti stampa a video un messaggio
di errore
21
Condizione da verificare
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• Dati
L’insieme dei caratteri ammissibili
{a, b, c, …, z}
• Il carattere inserito deve essere
=>a
<= z
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Maiuscolo: solo if
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Condizione da verificare
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
• Il carattere inserito deve essere
X: =>a
Y: <= z
• X e Y devono essere entrambe vere
X Y X and Y
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
(prodotto logico)
24
Maiuscolo: AND
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25
Maiuscolo: codice ottimizzato
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26
Maiuscolo: esecuzione
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A che cosa servono le espressioni logiche?
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• A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento
A è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no) 0
B è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì) 1
A and B è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4 ?
Si ha che A and B 0 and 1 0, dunque no
A or B è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ?
Si ha che A or B 0 and 1 1, dunque sì
• OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici,
perché funzionano come le congiunzioni coordinanti “o” ed “e”,
e come la negazione “non”, del linguaggio naturale
• Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull’uso di
“o”, “e” e “non” (non è molto, ma è utile)
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Che cosa non si può modellare tramite
espressioni logiche?
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• Le espressioni logiche (booleane) non modellano:
Domande esistenziali: “c’è almeno un numero reale x tale che
il suo quadrato valga 1 ?”
x | x2 1
è falso (si sa bene che non c’è)
Domande universali: “ogni numero naturale è la somma di
quattro quadrati di numeri naturali ?”
x | x a2b2c2d2` è vero (“teorema dei 4 quadrati”)
Più esattamente andrebbe scritto:
x a,b,c,d | x a2b2c2d2
• e sono chiamati “operatori di quantificazione”, e sono
ben diversi da or, and e not
• La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and
e not si chiama calcolo proposizionale
• Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il
calcolo dei predicati (che è molto più complesso)
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Tautologie e Contraddizioni
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• Tautologia
Una espressione logica che è sempre vera, per
qualunque combinazione di valori delle variabili
• Esempio: principio del “terzo escluso”: A or not A (tertium
non datur, non si dà un terzo caso tra l’evento A e la sua
negazione)
• Contraddizione
Una espressione logica che è sempre falsa, per
qualunque combinazione di valori delle variabili
• Esempio: principio di “non contraddizione”: A and not A
(l’evento A e la sua negazione non possono essere
entrambi veri)
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Equivalenza tra espressioni
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• Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si
indica con ) se hanno la medesima tabella di
verità. La verifica è algoritmica. Per esempio:
AB
not A and not B not (A or B)
00
1 and 1 = 1
not 0 = 1
01
1 and 0 = 0
not 1 = 0
10
0 and 1 = 0
not 1 = 0
11
0 and 0 = 0
not 1 = 0
• Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi
stati di verità a fronte delle medesime variabili
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Proprietà dell’algebra di Boole
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• L’algebra di Boole gode di svariate proprietà,
formulabili sotto specie di identità
cioè formulabili come equivalenze tra espressioni
logiche, valide per qualunque combinazione di valori
delle variabili
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Algebra Booleana a due valori: Assiomi
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•
Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai
seguenti assiomi (postulati di Huntington):
Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione (·) sono
commutative, cioè per ogni elemento a,b B
a+b = b+a
a·b = b·a
Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato
con 0) e un elemento neutro rispetto a · (indicato con 1), cioè:
a+0=a
a·1=a
Le due operazioni sono distributive rispetto all’altra, cioè per
ogni a,b,c B, risulta:
a+(b·c)=(a+b)·(a+c)
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
Per ogni a B esiste l’elemento a’ B, detto negazione
logica o complemento di a, tale che:
a+a’=1
a·a’=0
Algebra di Commutazione: Proprietà 1
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1: associativa
a+(b+c)=(a+b)+c
a*(b*c)=(a*b)*c
2: idempotenza
a+a=a
a*a=a
3: elemento nullo
a+1=1
a*0=0
4: unicità elemento inverso:
il complemento di a, a’, è unico
5: assorbimento
a+(a*b)=a
a*(a+b)=a
Algebra di Commutazione: Proprietà 2
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6: Semplificazione
a+a’b = a+b
a*(a’+b) = a*b
7: involuzione
((a)’)’ =
a
8: Leggi di De Morgan
(a+b)’ = a’*b’
(a*b)’ = a’+b’
9: consenso
a*b+a’*c+b*c = a*b + a’*c
(a+b)*(a’+c)*(b+c)=(a+b)*(a’+c)
- 35 -
Uso delle proprietà
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• Trasformare un’espressione logica in un’altra, differente
per aspetto ma equivalente:
not A and B or A
(assorbimento)
not A and B or (A or A and B) (togli le parentesi)
not A and B or A or A and B
(commutativa)
not A and B or A and B or A
(distributiva)
(not A or A) and B or A
(legge dell’elemento 1)
true and B or A
(vero and B B)
B or A è più semplice dell’espressione originale
• Si può verificare l’equivalenza con le tabelle di verità
• Occorre conoscere un’ampia lista di proprietà e si deve
riuscire a “vederle” nell’espressione (talvolta è difficile)
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Problemi di fine giornata…
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• Si scriva un programma in C che
richiede l’inserimento di un numero
intero positivo, se l’inserimento e’ errato
ritorna un messaggio di errore
• Si scriva un programma in C che, dati
due caratteri, li ordina in ordine
alfabetico “inverso”
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Fonti per lo studio + Credits
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• Fonti per lo studio
Introduzione ai sistemi informatici, D.
Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed,
McGrawHill
• Capitolo 2
• Credits
Daniele Braga
• http://home.dei.polimi.it/braga/
Cristiana Bolchini
• http://home.dei.polimi.it/bolchini/didattica/retilogichea/index.
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