Diapositiva 1 - Share Dschola

Bambini, slittini e piccole mamme stanche
ovvero
La Fisica del piano inclinato con attrito
Attività Orientamento Formativo A.A. 2009-2010
Dipartimento di Fisica
Politecnico di Torino
Testi di riferimento:
• P. A. Tipler, Corso di Fisica vol. I, Zanichelli, 1995
• P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica vol. I, EdiSES, 1991
Orientamento Formativo 2009-2010
1
Le forze tra un oggetto e la superficie su cui poggia
Quando un oggetto è in contatto con una superficie, essa esercita
sempre una forza sull’oggetto. La componente di tale forza
perpendicolare alla superficie è la forza normale.
Se il corpo è in equilibrio la seconda
legge di Newton ci dice che

F  0
 
N W  0
N  mg
Attenzione: in generale la forza normale N non è uguale alla forza peso
anche se la superficie è orizzontale !!
Orientamento Formativo 2009-2010
2

(a)  F  0


N  W
N  mg
(b)

F  0

(c)  F  0
  
N W  F  0
N  mg  F
  
N W  F  0
N  mg  F
Orientamento Formativo 2009-2010
3
Se mettiamo il corpo in moto sulla superficie, dandogli una certa velocità
iniziale, tutti sappiamo che esso si muoverà lungo una linea retta con
velocità via via decrescente. Nel linguaggio della fisica ciò significa che
esso ha un’accelerazione e quindi

F  0
Deve quindi esistere una forza parallela alla superficie che
provoca questa accelerazione. Tale forza è la forza di
attrito radente (dinamico) e fa sì che
   

F

N

W

f

m
a

d
Orientamento Formativo 2009-2010
fd
4

N

W

F
Ma sappiamo anche dall’esperienza che per mettere in moto un corpo
appoggiato su una superficie è necessario spingerlo, cioè applicargli una
forza F, e che se questa forza non è sufficiente il corpo non si muove.
Finché il corpo resta fermo, deve quindi esistere una forza parallela alla
superficie che annulla la forza orizzontale con cui spingiamo. Tale
forza è la forza di attrito radente (statico) e fa sì che
    
 F  N W  F  fs  0
Orientamento Formativo 2009-2010

N

fs

F

W
5
Forza d’attrito radente
• E’ sempre parallela alla superficie di contatto tra i due materiali
• Si oppone sempre al moto relativo (reale o potenziale) tra corpo e superficie
• E’ praticamente indipendente dall’area di contatto
Infatti a livello microscopico il contatto
effettivo avviene soltanto in una
piccolissima frazione dell’area di contatto
apparente!
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Orientamento Formativo 2009-2010
6
Considero un oggetto fermo su una superficie
scabra (=con attrito)
a) Inizio a tirarlo orizzontalmente con una forza
che cresce via via (supponiamo, in modo lineare
col tempo
b) Finché il corpo non si muove, è evidente
che la risultante delle forze agente su di esso
è nulla  ne consegue che la forza di attrito
(statico) è sempre uguale (in modulo) alla
forza con cui tiro, e varia con essa
fs = F
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Orientamento Formativo 2009-2010
7
Considero un oggetto fermo su una superficie
scabra (=con attrito)
c) Ad un certo punto arrivo alla condizione
limite e se aumento anche di pochissimo la
forza,il corpo inizia a muoversi. Nella
condizione limite cioè la forza di attrito è
massima. Il valore massimo è proporzionale
alla forza normale N
Immagine tratta da:
Hugh D. Young, Roger A. Freedman
UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed.
@ 2008 Pearson Addison-Wesley
fs max= sN
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Orientamento Formativo 2009-2010
8
Considero un oggetto fermo su una superficie
scabra (=con attrito)
d) Una volta che la forza che applico diventa
uguale alla forza di attrito statico massimo, il
corpo inizia a muoversi. A questo punto
scopro che per mantenerlo in moto a velocità
costante devo ridurre un po’ la forza. Ciò
significa che la forza di attrito dinamico è
minore della massima forza di attrito statico:
Immagine tratta da:
Hugh D. Young, Roger A. Freedman
UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed.
@ 2008 Pearson Addison-Wesley
fd = dN
con
d < s
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Orientamento Formativo 2009-2010
9
N
Attrito statico
F
fs = F  sN
Quando la forza esterna applicata è maggiore di sFn
 il corpo si muove ed entra in gioco l’attrito dinamico
fs
P
N
Attrito dinamico
fd = dN
F
con
d < s
fd
P
Questa relazione è vettoriale?
Orientamento Formativo 2009-2010
10
Il problema iniziale…
Un papà ed una mamma portano i figli Andrea e Beatrice a
sciare con uno slittino. Entrambi riportano i bambini in cima
ad una collinetta alta 16.6 m per 10 volte, risalendo un
pendio di 80 m. Il padre è molto più alto della madre. Alla
fine della giornata la madre ha la netta impressione di
aver lavorato più del padre… sarà vero?
16.6 m
80.0 m
Orientamento Formativo 2009-2010
11
I dati del problema sono:
Massa dei bambini
mA = mB = 20.0 Kg
16.6 m

80.0 m
mslittino = 5.0 Kg

Angolo  (dipende dalla statura di chi tira):
Padre  p=45°
Madre  m=30°
Coefficienti di attrito tra neve e slittino: dinamico d = 0.150
statico
s = 0.300
Numero di risalite:
Orientamento Formativo 2009-2010
n = 10 (a testa)
12
Questo problema semplice ci serve per illustrare un metodo generale per
affrontare la risoluzione dei problemi usando le leggi di Newton. Esso è basato
su alcuni passi fissi che vanno affrontati sempre nello stesso ordine.
1. Si fa un disegno chiaro che schematizza la situazione fisica spesso
sostituendo agli oggetti i loro sistemi fisici equivalenti (punti materiali)
h=16.6 m
s=80 m
Potrei schematizzare lo slittino con una sfera?
Orientamento Formativo 2009-2010
13
2. Si isola il corpo (punto materiale) che interessa e si disegna un diagramma
di corpo libero, indicando ogni forza esterna che agisce sullo slittino. Se
più corpi sono presenti nel problema, si disegna un diagramma di corpo
libero per ciascuno di essi.
h
  arcsin  
s

T

N

fd

h
s

W
Dove sono applicate le forze? E’ importante saperlo?
Orientamento Formativo 2009-2010
14
3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo
y
x

T

N

fd

h
s

W
Orientamento Formativo 2009-2010
15
3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si
scrive la seconda legge di Newton F = ma, poi la si scompone lungo gli
assi.
    

 F  W  N  T  f d  Ma
M  mA  mB  mslittino
y

T  Txiˆ  Ty ˆj  T cos  iˆ  T sin  ˆj

W  Wxiˆ  Wy ˆj  Mg sin  iˆ  Mg cos  ˆj


N  N ˆj
f d  f d iˆ  d N iˆ

T
 Ty
N


fd
Wx
h
Tx


x
Wy
s

W
Orientamento Formativo 2009-2010
16
3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si
scrive la seconda legge di Newton F = ma, poi la si scompone lungo gli
assi.
    

 F  W  N  T  f d  Ma
 T cos   Mg sin   f d  Ma x  0
M  mA  mB  mslittino
 T sin   Mg cos   N  Ma y  0
y

T
 Ty
N


fd
Wx
h
Tx


x
Wy
s

W
Perché si è posto ax= 0 ?
Orientamento Formativo 2009-2010
17
3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle
incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono
essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune
delle forze. In questo caso l’incognita è la forza T.
1)
 T cos   Mg sin    d N  0
2)
 T sin   Mg cos   N  0
Quanto valgono gli angoli?
s


h
h  s sin 
h
s
  arcsin    12
I valori di  dipendono dalla statura di chi tira lo slittino.
Sono dati del problema e valgono
 p  45
per il papà
 m  30
per la mamma
Orientamento Formativo 2009-2010
18
3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle
incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono
essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune
delle forze. In questo caso l’incognita è la forza T.
1)
 T cos   Mg sin    d N  0
2)
 T sin   Mg cos   N  0
Dalla (2) N  Mg cos   T sin 
Che sostituito nella (1) dà
 T cos   Mg sin   d Mg cos   T sin    0
T (cos   d sin  )  Mg ( d cos   sin  )
T  Mg
sin    d cos 
cos    d sin 
Orientamento Formativo 2009-2010
19
4. Si inseriscono i valori numerici e le relative unità di misura nelle
equazioni risolutive. Nel nostro caso
M  mA  mB  mslittino  (20.0  20.0  5.0) kg  45.0 kg
 p  45
 m  30
h
s
  arcsin    12
Per cui la forza con cui il papà tira lo slittino è
Tp  193 N
Mentre la mamma tira con una forza
Tm  167 N
Notiamo che la forza maggiore è applicata dal papà…
Ma se considero le componenti orizzontali
Tpx = Tpcosp =136.3 N
Tmx = Tmcosm =144.2 N
Perché il papà deve tirare con una forza maggiore,
ma con componente orizzontale minore?
Orientamento Formativo 2009-2010
20
Ora dobbiamo verificare se davvero la mamma compie più lavoro del
papà.
Ricordiamo che, nel caso semplice di forza costante agente su un corpo in moto
rettilineo, il lavoro compiuto dalla forza durante lo spostamento da A a B è
espresso dall’equazione

r  xiˆ

r  xiˆ
x  xB  xA
LAB

F

P

F||
O iˆ
Quindi il lavoro compiuto dal papà è
 

 F  r  F | x | cos   F|| | x |
Nel nostro caso
- Lo spostamento |Δx| è s=80 m per
ogni risalita
- La forza è T
- Le risalite compiute sono n=10
L p  nTpx s  136.3 N  80 m 10  109040 J
e il lavoro compiuto dalla mamma è
Lm  nTmx s  144.2 N  80 m 10  115384 J
Orientamento Formativo 2009-2010
21
La differenza di lavoro (ossia di energia spesa dall’organismo) è data da:
L  Lm  L p  6344 J
che equivale al lavoro che si compie sollevando per ben 100 volte una
massa di 6.5 Kg da terra ad un metro di altezza!!
 la madre aveva ragione!
Orientamento Formativo 2009-2010
22
1) Qual è la forza che lo slittino esercita sulla superficie
della neve mentre scende?
2) Se l’attrito tra i pattini dello slittino e la neve fosse nullo,
quale sarebbe l’accelerazione dello slittino durante la
discesa?
Orientamento Formativo 2009-2010
23
Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero
per lo slittino
Poi scegliamo gli assi…
N
…e scomponiamo le forze
C
Wx = Mgsin
Wy = - Mgcos
Wx

Ny = N
h
Wy
B
lungo x 
lungo y 
W


Poi scriviamo l’equazione di
Newton lungo gli assi
A
Fx = Mgsin = Max
Fy = N - Mgcos = May = 0
Com’è fatta la risultante delle forze?
Orientamento Formativo 2009-2010
24
Risolviamo le equazioni per ottenere N e l’accelerazione
lungo x 
lungo y 

Mgsin = Max
N - Mgcos = 0
Usando i valori numerici
M = 45.0 kg
ax = gsin

N = Mgcos

 = 12° g=9.81 m/s2
otteniamo
ax = 9.81m/s2  0.208  2.04 m/s2
N = 45.0 kg  9.81 m/s2  0.98  433 N
Orientamento Formativo 2009-2010
25
Tenendo invece conto dell’attrito tra i pattini dello slittino e la
neve (d=0.150 ), qual è l’accelerazione dello slittino
quando scende dalla sommità del pendio?
Orientamento Formativo 2009-2010
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Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero
per lo slittino. Stavolta c’è anche la forza di attrito! Poi scegliamo gli
assi, scomponiamo le forze e scriviamo l’equazione di Newton in
componenti
N
C
Wx = Mgsin
Wy = - Mgcos
Ny = N
fd,x = -fd = -dN = - dMgcos
fd
Wx

h
Wy
B
lungo x 
lungo y 
W


A
Fx = Mgsin - dMgcos = Max
Fy = N - Mgcos = May = 0
Orientamento Formativo 2009-2010
27
Risolviamo le equazioni per ottenere N e l’accelerazione
x 
y 

Mgsin - dMgcos = Max  ax = g(sin - dcos)
N - Mgcos = 0
Con i dati originari:
M = 45.0 kg,
 = 12°,

N = mgcos
g = 9.81 m/sec2,
d = 0.150
ax = 9.81 m/s2 (0.21 – 0.10.98) = 1.10 m/sec2
Orientamento Formativo 2009-2010
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Tenendo conto dell’attrito con la neve, qual è la velocità
dello slittino quando arriva al fondo del pendio?
La velocità finale dello slittino si può facilmente ottenere applicando le
equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato lungo la direzione
x parallela al piano inclinato e usando l’accelerazione appena calcolata.
Proviamo invece qui a fare il calcolo usando considerazioni energetiche.
Orientamento Formativo 2009-2010
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Energia e sua conservazione
• In un sistema isolato soggetto a forze solo conservative (attrito assente*) vale il
principio di conservazione dell’energia meccanica E:
E = U + K = cost
E = U + K = 0

dove U = energia potenziale, K = energia cinetica = ½mv2
Uf – Ui + Kf – Ki = 0
ossia:

Ui + Ki = Uf + Kf
• In un sistema che contiene forze non conservative (attrito presente) il lavoro di
tali forze dissipative è uguale alla variazione totale di energia meccanica E del
sistema:
Lnc = E = U + K = Uf – Ui + Kf – Ki
dove se la forza non-conservativa Fnc è costante (vettorialmente!) si ha:
 
Lnc  Fnc  s
s è lo spostamento (vettore) lungo cui Fnc ha lavorato
Perché un sistema sia conservativo è proprio
necessario che non ci sia attrito?
Orientamento Formativo 2009-2010
30
Nel nostro caso
fd
fd,x = -fd = -dN = - dMgcos
y
Fn
C
Lnc = - dMgcoss
x
h
P
s
ΔE = 0 - Mgh + ½ Mvf2 - 0

Uf
B
Ui
Kf
Ki
A
da cui, scrivendo h=s sin:
d g s cos = g s sin - ½ vf2
v  2 gs(sin   d cos  )  2 gh(1  d cot  )
Con i dati originari:  = 12°, g = 9.81 m/sec2, d = 0.150, s = 80.0 m h=16.6 m
vf = 9.80 m/s 35 km/h
(senza attrito sarebbe stata vf = 2gh = 18.0 m/sec)
Orientamento Formativo 2009-2010
31
Quesiti
1) La forza che il papà deve applicare allo slittino per farlo avanzare a
velocità costante su un tratto orizzontale è maggiore se spinge come in
(a) o se tira come in (b)? Si usino i dati del problema e gli angoli indicati
in figura.
M = 45.0 kg
d = 0.150
s = 0.300
M
Immagini tratte da:
Raymond A. Serway - John W. Jewett
Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione
EdiSES ©2009
Orientamento Formativo 2009-2010
32
Quesiti
2) Lo slittino è inizialmente fermo. La mamma, esausta, riesce solo più
ad applicare una forza orizzontale pari a 100 N.
(a) Dimostrare che lo slittino non si muove.
(b) Il papà cerca di aiutarla tirando verso l’alto lo slittino. Quale forza
minima verticale deve applicare per far spostare lo slittino?
(c) Quale forza addizionale dovrebbe invece applicare il papà se,
anziché sollevare, si limitasse a spingere?
M = 45.0 kg
d = 0.150
Fp
s = 0.300
Fp
Fm
Fm
Domanda (b)
Domanda (c)
Immagini tratte da:
Raymond A. Serway - John W. Jewett
Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione
EdiSES ©2009
Orientamento Formativo 2009-2010
33
Quesiti
3) E’ corretto dire che la forza di attrito è sempre opposta al moto?
Il camion sta accelerando (a= +1.50
m/s2). La cassa (m= 120 kg) non
scivola sul pianale.
Quale forza fa accelerare la cassa ?
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Orientamento Formativo 2009-2010
34
Quesiti
4) Che cosa NON sarebbe possibile fare in un mondo senza
attrito? Provate a immaginare…
Camminare?
Andare in bici?
Lavarsi i denti?
Guidare?
Pattinare?
Mangiare?
Scrivere?
Farsi una spremuta?
Pulire i vetri?
Salire su una scala?
Immagini tratte da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
Raymond A. Serway - John W. Jewett
Fisica per scienze ed ingegneria 4° ed.
EdiSES ©2009
Orientamento Formativo 2009-2010
35
Quesiti
5) Quando siete in auto e fate una curva, che cosa vi permette di
cambiare la direzione dell’auto?
Immagine tratta da:
John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson,
Physics, 7° Edition
Wiley Higher Eucation ©2007
6) Applicando la conservazione dell’energia e trascurando l’attrito con
l’aria, stimate a quale velocità arriverebbe a terra una goccia di pioggia.
Vi serve sapere la massa della goccia?
Orientamento Formativo 2009-2010
36
Quesiti
7) Dovete progettare una rotaia di montagne russe con un giro
della morte. Chiamate R il raggio del cerchio. Trascurando
l’attrito, da quale altezza partireste con il vostro carrello per
essere sicuri di non cadere?
Immagine tratta da:
Hugh D. Young, Roger A. Freedman
UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed.
@ 2008 Pearson Addison-Wesley
Orientamento Formativo 2009-2010
Immagine tratta da:
Raymond A. Serway - John W. Jewett
Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione
EdiSES ©2009
37
Quesiti
8) Su quale principio si basa l’ABS (sistema anti-bloccaggio
delle ruote) nelle auto? Perché è importante che le ruote non
scivolino?
Con ABS
Orientamento Formativo 2009-2010
38
Quesiti
8) Su quale principio si basa l’ABS (sistema anti-bloccaggio
delle ruote) nelle auto? Perché è importante che le ruote non
scivolino?
Senza ABS
Orientamento Formativo 2009-2010
39