l-melon1 - Dipartimento di Matematica

l-melon1.doc da l-melon0.htm (Gabriele Lucchini, 2014-04-14)
Informazioni generali e programma 2011-2012 di
Logica matematica di GIANCARLO MELONI
per il Corso di Laurea in Filosofia dell’Università degli Studi di Milano
(estratto da internet con “copia e incolla”)
INFORMAZIONI GENERALI
Obiettivi dell'insegnamento: Lo scopo del corso è triplice.
Da un lato si tratta di insegnare agli studenti a ragionare usando la logica
intuizionista e la logica lineare.
Da un altro si tratta di familiarizzarsi con il modo di pensare interno alla teoria
delle categorie.
Infine si tratta di vedere qualche teoria matematica moderna in azione usando i
metodi descritti precedentemente.
Metodi didattici: Modalità di esame:
A scelta dello studente: Orale o Scritto o Ricerca
Modalità di frequenza: Consigliata
Modalità di erogazione: Tradizionale
PROGRAMMA
Programma: Programma dei Corsi
di
LOGICA MATEMATICA I e II
Prof. Giancarlo Meloni
Il corso non richiede propedeuticità e può quindi essere seguito durante il primo
triennio da studenti particolarmente interessati a conoscere subito una
impostazione moderna della matematica, basata sulla teoria delle categorie e sulle
logiche non classiche.
Il corso non è rivolto a nessun indirizzo particolare, ma uno studente che desidera
sviluppare gli aspetti piú legati alla matematica pura o applicata o alla didattica,
potrà farlo senza nessuna difficoltà.
I corsi di Logica Matematica I e Logica Matematica II constano di due moduli
indipendenti, senza alcuna propedeuticità tra gli stessi.
Ogni singolo studente può modificare, in tutto o in parte, il programma d'esame,
per soddisfare eventuali esigenze individuali. L'esame usuale può inoltre essere
sostituito, sempre in tutto o in parte, da una ricerca piú o meno avanzata
(eventualmente scritta) su argomenti di particolare interesse per lo studente. In
questi casi le variazioni vanno discusse con il docente, che deve approvarle con un
congruo anticipo.
Gli argomenti scelti come programma alternativo o come ricerca possono anche
non avere alcun rapporto con quelli illustrati in seguito.
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Il contenuto dei corsi varierà di anno in anno e sarà scelto all’inizio dei moduli
usualmente fra gli argomenti che seguono, tenendo conto anche degli interessi
degli studenti, oltre che dello stato di avanzamento delle ricerche.
TEMA DEL CORSO
Presentazione di alcune specifiche teorie matematiche che stanno ai fondamenti
della reale pratica quotidiana di un matematico (ricercatore, utilizzatore,
insegnante) che vive all'inizio del XXI secolo (Stone, Schwartz, Mikusinski,
Eilenberg, Grothendieck, Robinson, Knuth, Lawvere, Joyal, ecc) e che hanno
stretti rapporti con la teoria delle categorie e con le logiche non classiche.
Presentazione di alcuni punti nodali nella storia reale dei matematici (Archimede,
Bombelli, Leibniz, Eulero, Boole, Grassmann, Riemann, Peano, Heaviside, ecc.),
con uno sguardo ai possibili sviluppi futuri (nuove funzioni generalizzate di
Colombeau, teoria delle specie e dei tipi di Joyal, teoria dei giochi e comunicazioni
di Joyal, teorie puramente algebriche per le funzioni generalizzate e per il calcolo
operazionale (Meloni), ecc.).
Rapporti tra le varie teorie, problemi che sono stati alla base del loro sorgere e
problemi che determinano, a tutt'oggi, il loro sviluppo, tenuto conto dei legami
con la pratica scientifica nel campo della matematica, fisica, ingegneria,
informatica, linguistica e filosofia.
Elenco di alcuni degli argomenti che potrebbero essere trattati:
TEORIE PROPOSIZIONALI
Classiche, intuizioniste, co-intuizioniste, lineari.
Reticoli distributivi, algebre di Boole e di Heyting.
Operatori modali e temporali, operatore locale.
Semantiche negli insiemi, nei crivelli, negli spazi topologici, nelle categorie.
Teoremi di completezza.
Logiche intermedie e teoremi di corrispondenza.
Logica classica, funzioni booleane e circuiti digitali.
TEORIE DEL PRIMO ORDINE
Classiche, intuizioniste, co-intuizioniste, di base, lineari.
Dottrine del primo ordine.
Operatori modali e temporali.
Insiemi variabili relazionali e prefasci. Topologia assoluta e relativa.
Condizioni di Beck, Frobenius e co-Frobenius. Sostitutività.
TEORIE DI ORDINE SUPERIORE
Topoi. Valori di verità, parti interne ed esponenziale.
Prefasci e fasci.
Immersione di Yoneda.
TEORIA DELLA DIMOSTRAZIONE
Logica lineare e logica intuizionista.
Studio delle applicazioni multilineari tra bimoduli.
Studio delle applicazioni insiemistiche.
Multicategorie.
MATEMATICA COMBINATORIA
Le specie e i tipi di strutture (Joyal),
come teorie combinatorie
delle serie formali di potenze
(esponenziali, geometriche e pletistiche).
Teorema di Redfield-Pölya sul conteggio delle orbite.
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INTELLIGENZA ARTIFICIALE
Sistemi di riscrittura e loro completamento,
nel senso di Buchberger-Knuth-Bendix,
per monoidi, anelli commutativi,
amplibre (o semianelli commutativi),
reticoli distributivi, algebre di Boole
e varietà algebriche su un tipo di similarità arbitrario
(o algebra universale o logica equazionale)
ad una e a piú sorte.
Teoria dei giochi.
Il teorema fondamentale sull'esistenza di strategie.
Prodotti tensoriali (o somme) di giochi.
Numeri di Sprague-Grundy.
Prodotti tensoriali finiti e somma Nim di numeri naturali.
Reticoli liberi, giochi e comunicazioni (Joyal).
Analogie tra giochi e calcoli logici,
strategie deterministiche e dimostrazioni.
INFINITI E INFINITESIMI.
Analisi non-standard (A. Robinson).
Uso sistematico di filtri, ideali e ultrafiltri
in topologia generale (H. Cartan),
visti come zone ideali e come nuovi punti
(eventualmente infinitesimi o infiniti).
Nilpotenti e geometria differenziale.
Geometria algebrica secondo Grothendieck.
Funzioni generalizzate.
PROGRAMMAZIONE LOGICA
Il Prolog e alcuni programmi significativi
nel campo della logica, della teoria dei giochi,
dell’intelligenza artificiale, della matematica combinatoria.
FILOSOFIA DELLA MATEMATICA
Teoria delle categorie, fondamenti della matematica
e materialismo dialettico (Meloni).
La dialettica materialista secondo F. Engels.
Il concetto di verità in matematica (Meloni).
Si possono ulteriormente affrontare
argomenti come i seguenti:
Breve storia dei fondamenti della matematica,
dai greci ai giorni nostri.
La teoria della calcolabilità,
il teorema di incompletezza di Gödel,
gli universi aritmetici di Joyal
e il topos di Lawvere per la ricorsività.
Calcolo operazionale e funzioni generalizzate
(Boole, Heaviside, Dirac, Schwartz, Mikusinski, Colombeau),
con particolare attenzione agli approcci
puramente algebrici (Meloni).
Applicazioni al caso discreto e continuo,
Con particolare riguardo alla matematica combinatoria.
alla teoria dei linguaggi e automi
ed ai circuiti elettrici concentrati.
L’insegnamento della matematica.
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Fondamenti algebrico-geometrico-logico-categoriali
della meccanica quantistica
(Dirac, von Neumann, Feynman, Cirelli, ecc.).
Breve storia dei fondamenti della geometria,
dai greci ai giorni nostri.
I fondamenti della geometria secondo
Grassmann, Hamilton, Clifford.
Sviluppi attuali, nei loro legami con la fisica teorica.
Teoria geometrica della misura secondo Schanuel.
Uso dei nilpotenti per uno sviluppo semplice
e completamente algebrico
del calcolo differenziale e integrale (Lawvere).
Geometria differenziale in spazi
anche infinito-dimensionali
e non necessariamente varietà
(dinamica categoriale e geometria differenziale sintetica).
Applicazioni alla fisica teorica.
Versione puramente algebrica
del calcolo differenziale e integrale
negli spazi piatti senza l'uso degli infinitesimi,
con il solo rapporto incrementale esteso e il solo valore medio.
Modelli della geometria differenziale
(finito e infinito dimensionale),
con l'uso di quantita' pure nilpotenti,
nei fasci su siti di C∞-algebre (Lawvere).
Il caso puramente algebrico (Grothendieck).
Calcolo delle probabilità secondo De Finetti,
sorpresa e entropia.
La costruzione pratica di un calcolatore.
Argomenti scelti di teoria delle categorie,
con applicazioni a rami specifici della geometria,
della logica, dell'algebra, dell'analisi funzionale,
della topologia algebrica, della fisica teorica,
della linguistica, dell'informatica teorica e dell'ingegneria.
Bibliografia e altri materiali di riferimento: Durante lo svolgimento del corso
non si seguirà, usualmente, alcun particolare libro di testo. Dopo ogni lezione
saranno resi disponibili per gli studenti i trasparenti utilizzati durante l'esposizione
per poter essere fotocopiati.
Non si riporta qui una bibliografia relativa agli argomenti elencati in quanto
sarebbe troppo vasta. All'inizio della trattazione di ogni argomento particolare
verranno fornite delle indicazioni bibliografiche specifiche all'argomento stesso.
Chi è interessato fin d'ora ad avere dei precisi riferimenti bibliografici, può
rivolgersi al docente.
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