Relazione sugli insiemi numerici

Algebra dei Numeri
Istruzioni per l’uso…….
Prodotto dalla I D
Relazione sui Numeri
Naturali
Nell’insieme dei numeri naturali, non si possono compiere
tutte le operazioni, precisamente non si possono compiere,
quasi sempre, sottrazioni e divisioni, perché potrebbero
dare un risultato decimale, cioè che non appartiene
all’insieme dei numeri naturali. Le operazioni che si
possono sempre svolgere sono sempre addizioni e
moltiplicazioni. Le caratteristiche di questo insieme sono:
1. I numeri sono sempre separati da una unità;
2. In questo insieme non ci sono numeri decimali o frazioni;
3. Sono sempre in ordine crescente;
4. In questo insieme non ci sono numeri al di sotto di zero,
cioè non ci sono numeri negativi.
R&C
0 1 2
3
4
U
1.I numeri sono sempre separati da una unità:
R&C
2. In questo insieme non ci sono numeri decimali
e frazioni:
R
Z
Q
N
N=N.Naturali;
Z=N.Relativi;
Q=N.Razionali;
R=N.Reali.
R&C
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.
11.12.13……
3.Sono sempre in ordine crescente
R&C
4.In questo insieme non ci sono numeri al di
sotto di zero, cioè non ci sono numeri
negativi.
NO
-5
0 1 2 3 4 5...
-4 -3 -2 -1
R&C
Operazioni con i numeri naturali
Nell’insieme N, le operazioni che si possono fare (che
danno un risultato appartenente all’insieme), sono
somma e prodotto. Bisogna fare attenzione a
differenza, divisione e potenza, perché per la
differenza il minuendo deve essere maggiore del
sottraendo; per la divisione, il dividendo deve essere
maggiore del divisore; per la potenza, se ci sono
divisioni con la stessa base, il primo termine deve
essere più grande del secondo, altrimenti il risultato
non potrebbe appartenere all’insieme N.
Es:
3+7=10
3x7=21
7-3=4
3-7=-4
33:11=3
11:33=0,33333…
R&C
Potenze dei numeri naturali
2
1. 3 x 4
2
=
2
(3x4)
2. 32 X 33 = 35
3.73 X 23 = 14 3
Prodotto di potenze con
lo stesso esponente e
base diversa
Prodotto di potenza con
la stessa base ed
esponente diverso.
Questo è l’unico caso in cui
il prodotto ha la
precedenza sulla potenza.
R&C
La divisione intera
La divisione intera si può svolgere quando il
dividendo è maggiore del divisore e suo multiplo. Se
invece non è così, quando il dividendo è minore del
divisore, il quoziente è zero, se esso non è un
multiplo esatto, si prende il più piccolo multiplo
vicino ad esso ed il resto è detto MODULO.
Potenze
Nell’Insieme N, la divisione di potenze con la stessa
base è data dalla base comune elevata alla
differenza degli esponenti. C’è quindi un limite a
questa operazione, cioè quando la differenza degli
esponenti è zero.
Es: 4:3=1 MOD 1
39 : 36 = 33
R&C
Potenze fra numeri negativi
I numeri negativi elevati a potenza sono positivi o
negativi a seconda se l’esponente sia pari o
dispari.Se l’esponente è pari il risultato è
positivo, se l’esponente è negativo il risultato
conserva il suo segno.
Es: (-3)2=+9 (-3)3=-27
R&C
Altre regole sulle potenze ed
altre operazioni (* /)
Quando da operazioni su potenze della stessa
base il risultato dà un esponente negativo si
opera anche su di esso,facendo l’inverso del
risultato: (5)-3 = (1/5)3
Altro Es: (+)x(-)=(-)
(+)x(+)=(+)
(-)x(-)=(+)
Altro Es: n:0= impossibile
00= impossibile
R&C
Tabella sulle quattro operazioni
+
1+0=1
-
1-0=1
X 1x1=1
1x0=0
:
1:1=1
1:0=0
^
10 =1
11 =1
R&C
La somma algebrica
Nell’insieme dei numeri negativi le operazioni di somma
e di differenza si svolgono in un unico modo
detto:”Somma algebrica“.
-Lo stesso segno si somma e i segni opposti si
sottraggono;
-Se l’operazione include una differenza il segno dei
termini va cambiato prima di svolgere l’operazione.
Es: (-15-20-13)+4
=-48+4=-44
R&C
Rappresentazione della somma algebrica:
La somma algebrica di numeri relativi si può fare
utilizzando:
-Il metodo tradizionale;
-L’asse cartesiano;
Vettori
-I vettori.
Es:
F=+4
0
F=-2
-2
0
+4
-2
+4
Asse
cartesian
o
R&C
Prodotto tra numeri relativi
Il prodotto di più numeri relativi è governato dalla
regola dei segni: un numero pari di fattori negativi da
un segno del prodotto il segno +, i numeri dispari danno
come segno-.
Es: (+2) (-3) (1) (-2) (-3)= -36
Proprietà: Commutativa;associativa.
-(n pari)= +
-(dispari)= -
La stessa regola dei segni vale anche per la divisione.
R&C
Potenze di numeri relativi
Essendo la potenza una moltiplicazione ripetuta di
fattori tutti uguali, la potenza di esponente dispari di
un negativo, mentre quella pari è positiva.
Es:-35= -22= +
Le operazioni connesse con la moltiplicazione e la
divisione sono la scomposizione in fattori primi, MCD e
mcm.
16=24 8=23
12=22 x 3
mcm= 24 x 3
MCD=22
R&C
Rappresentazione q e Q
q= ±
Q Z
n(nominatore)
d(denominatore)
N
Un numero razionale si rappresenta sotto forma di
frazione dotata di segno positivo o negativo; dividendo
l’intero per il denominatore abbiamo 3 casi:
-Risultato intero;
-Cifre decimali finite;
-Cifre decimali infinite (numero periodico).
R&C
Generatrice di numeri decimali periodici
La generatrice dei numeri decimali illimitati periodici è
data da:
Il numero scritto senza la virgola –
Il numero composto dalle cifre che precedono il periodo
Tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti
Zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
N.B.:Questa regola vale per tutti i numeri periodici tranne
per quelli che hanno come periodo 9.
R&C
Trasformazione numeri razionali
Per trasformare un numero razionale non periodico in
frazione, si divide numeratore per denominatore, il
risultato ottenuto si scrive senza virgola come
numeratore e il denominatore con 1 seguito da tanti
zeri quante sono le cifre decimali.
Es:7/8 = 0.875 = 875/100= ¾ = 0.75 = 75/100
6/5 = ½ = 12/10 = 6/5 = 1.2 = 12/10
9/7 = 1.2857143 = 12857143/10000000
R&C
Frazioni Equivalenti
Ogni frazione ha infinite frazioni equivalenti che si
ottengono moltiplicando numeratore e denominatore per
lo stesso numero:
Es:¾ = 6/8 = 12/16 = 36/48 = ¾ = …
Per effettuare la somma di due frazioni vanno scelte
le frazioni equivalenti a ciascuna, aventi tutte lo stesso
denominatore che è il minimo comune multiplo(mcm).
R&C
Frazioni
7/8 < 1 = Propria
N/D < 1
25/4 > 1 = Impropria
N/D > 1 (da’ resto)
3/1 = 3 > 1 = Apparente N/D > 1 (non da’ resto)
(€ N)
R&C
Proprietà delle frazioni
La moltiplicazione fra frazioni gode delle proprietà
commutativa e distributiva (il numeratore è dato dal
prodotto dei numeratori e il divisore dal prodotto dei
divisori).
Es: ½ x ¾ = 3/8
¾ x ½ = 3/8
Proprietà commutativa
La divisione, invece, gode solo della proprietà
distributiva (il secondo numero frazionario si
capovolge e la divisione diventa moltiplicazione).
Es: 12/5 : 4/3 = = 4/3 : 12/5 No P.Commutativa
R&C
Approssimazione
L’approssimazione è un metodo per bilanciare l’errore
quando si troncano le cifre decimali. Ed è per eccesso
e per difetto. In quanto le cifre sono ugualmente divise
in due blocchi (da 0 a 4 oppure 5 a 9).
Es: (16.4:8+24.6:6)-2.5=15.375=15.38=15.4
per eccesso
N.B.La divisione intera usa un’approssimazione all’intero
più vicino ed è sempre per difetto (sbilanciata).
Es: 1.964= 1.96
per difetto; 2.0
per eccesso
R&C
Espressioni in Q
Quando troviamo una serie di operazioni concatenate
in Q contenenti numeri razionali esistono delle regole
di precedenza che se non rispettate non permettono
di semplificare correttamente l’espressione. La prima
regola è quella della precedenza delle parentesi: si
svolgono prima le operazioni indicate nelle parentesi
tonde, poi quelle nelle quadre e infine nelle
graffe.All’interno delle singole parentesi hanno la
precedenza prima le potenze,poi allo stesso livello
moltiplicazioni e divisioni e per ultime addizioni e le
sottrazioni. Il risultato finale dell’espressione
,essendo un numero razionale può essere trasformato
in decimale ed approssimato a scelta.
R&C
Avendo imparato tutte queste regole
possiamo ora usare i numeri razionali in
espressioni anche complesse:
l’importante è scegliere bene l’ordine di
svolgimento delle operazioni in esse
contenute!
R&C
* :
{ }
[ ]
( )
^
+ Uffi…
che
traff
ico
Rispettare le
precedenze
R&C
R&C