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MECCANICA
Lo studio del moto: cinematica
Lo studio delle cause del moto: dinamica
CINEMATICA
Un corpo si muove quando, nel tempo, modifica la
sua posizione rispetto a punti di riferimento.
Per poter descrivere il moto dobbiamo poter
“localizzare il corpo” rispetto a corpi
che restano immobili (sistema di riferimento), in
momenti successivi.
Dobbiamo poter misurare delle distanze e dei tempi.
LA MISURA DELLE DISTANZE
Ultrasuoni
Laser
POSIZIONE NELLO SPAZIO
COORDINATE CARTESIANE

P  ( x, y , z )
Avanti 10 passi,
poi 6 passi a
sinistra, 12 passi
verso l’alto.
Z=12 passi
Y=6 passi
X=10 passi
POSIZIONE NELLO SPAZIO
COORDINATE POLARI
La distanza è di 16
passi, 30 gradi a
sinistra, 45 gradi
in verticale.

P  ( R, 1 ,  2 )
1=45°
2=30°
Risoluzione spaziale
Si intende per “Risoluzione spaziale” la precisione con cui viene localizzato
un punto nello spazio : rappresenta la “sensibilità” del metodo utilizzato
Radioisotopi (Gammacamera)
4  5 mm
Ultrasuoni
0,1 1.5 mm
Risonanza Magnetica, TAC
0,5  1mm
Angiografia
0,3  1 mm
Localizzazione spaziale
y
z
y
x
Tumore tonsillare
Dopo radio terapia
Risoluzione spaziale  5 mm
Localizzazione e dimensionamento di strutture
Angiografia a sottrazione
Risoluzione spaziale  0,5 mm
Stenosi Coronarica
Angiografia Diretta
Risoluzione spaziale  0,5 mm
Aneurisma dell’aorta addominale (TC)
Tomografia Computerizzata
Risoluzione spaziale  1 mm
Artrosi scapolo-omerale (NMR)
Angiografia NMR in cardiopatia congenita
Risoluzione spaziale  1 mm
Commento
In campo medico le tecniche di misura della posizione delle strutture interne
al corpo assumono di giorno in giorno crescente importanza, soprattutto per
la crescente applicazione di sistemi automatici o semiautomatici di intervento
Impianto robotizzato di protesi vertebrale
LA MISURA DEL TEMPO
1
3
,
7
TRAIETTORIA
è la linea formata dalle posizioni via via assunte
dal corpo che si muove rispetto a un sistema di
riferimento
SPOSTAMENTO
s è lo spostamento di un
corpo fra A e B cioè la
differenza fra la posizione
del corpo fra la posizione
finale e l’iniziale

s
SPOSTAMENTO NELLO SPAZIO
y
P1
P2
Posizione finale
(x2, y2, z2)

P1  ( x1 , y1 , z1 )

P2  ( x2 , y2 , z 2 )
Spostamento
Posizione iniziale
(x1, y1, z1)
x
z
  
s  P2  P1  ( x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 )
Ogni spostamento nello spazio può essere inteso come
composto da tre spostamenti, lungo l’asse x, lungo
l’asse y e lungo l’asse z
VELOCITÀ
Se s è avvenuto nel tempo t, si definisce velocità
vettoriale media il vettore

 s
v
t
Il vettore v ha la stessa direzione e lo stesso verso
del vettore s e modulo uguale a s/t
18
VELOCITÀ NELLO SPAZIO
Anche la velocità è una grandezza vettoriale e può
essere considerata con le sue 3 componenti nelle
direzioni x, y e z dello spazio.
 

 s
P2  P1
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
v

(
,
,
)
t
t
t
t
t

v  (v x , v y , v z )
VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA
Quando l’ampiezza dell’intervallo t diventa molto
piccola (tende a zero), cioè i punti A e B sono molto
vicini, si ottiene la velocità istantanea che è un
vettore tangente alla traiettoria orientato nel verso del
moto.

v

s
20
VELOCITÀ MEDIA E ISTANTANEA
x x(t 2 )  x(t1 )
vx 

t
t 2  t1
x(t)
x(t2 )
dx
x
vx (t )  lim
t 0 t
x(t1)
t1
dt
t2
t
dx(t )
vx (t ) 
dt
UNITÀ DI MISURA DELLA VELOCITÀ
Nel SI: m/s
nel cgs: cm/s
Anche se è frequentemente indicata con km/h
ACCELERAZIONE VETTORIALE
Si ha accelerazione
quando la velocità del
punto P varia nel tempo
P1

v1

v1

v2
P2 
v2

v
L’accelerazione vettoriale media del punto P che
si sposta da P1 con v1 a P2 con v2 nel tempo t è
 

 v 2  v1 v
a

t
t
23
ACCELERAZIONE NELLO SPAZIO
Anche l’accelerazione è una grandezza vettoriale
e può essere considerata con le sue 3 componenti
nelle direzioni x, y e z dello spazio.


 v (t 2 )  v (t1 )
a
t 2  t1
v x
ax 
t
ay 
v y
t
v z
az 
t
ACCELERAZIONE MEDIA E
ISTANTANEA
vx(t)
v x (t 2 )  v x (t1 )
ax 
t 2  t1
v(t1)
vx
ax (t )  lim
t 0 t
v(t2)
dv
x
t1
dt
t2
tempo
dvx (t )
a x (t ) 
dt
L’accelerazione a rappresenta l’accelerazione media
nell’intervallo t. Quando l’ampiezza dell’intervallo t
diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene
l’accelerazione istantanea
CINEMATICA: I MOTI
•Moto rettilineo uniforme (uniforme: vel cost)
•Moto uniformemente accelerato
•Moto circolare uniforme
CINEMATICA
Moto uniforme
spazio percorso s
velocità 

tempo impiegato t
s
s  v t ; t 
v
s' s' ' s' ' '
 
 v  cost
t' t' ' t' ' '
27
Diagramma dello spazio
Diagramma della velocità
vx(t)
x(t)
v = costante
x(t2)
x(t1)
t1
tempo
t2
Il grafico mostra la curva che
esprime lo spazio al variare del
tempo
x(t2 )  x(t1 )  Vx  (t 2  t1 )
x(t )  x0  V  t
tempo
Il moto lungo una retta a velocità
costante si ha in assenza di
forza


V (t )  V0  (Vx ,Vy ,Vz )
CINEMATICA
Moto uniformemente accelerato
variazione di velocità v  v o
accelerazi one 

tempo impiegato
t
v  vo  a  t
La velocità aumenta linearmente nel tempo
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Diagramma della velocità
v(t)
Diagramma dello spazio
x(t)
x(t2)
v(t1)
v0
x(t0)
t0
t1
tempo
vx (t1 )  v(t0 )  a  (t1  t0 )
vx (t )  v0  a  t
v' v' ' v' ' '
 
 a  cost
t' t' ' t' ' '
t0
t2
tempo
1
x(t )  x(t0 )  v0 (t  t0 )  a  (t  t0 ) 2
2
1
x(t )  x0  v0  t  a  t 2
2
Corpo soggetto all’accelerazione di
gravità
m

mg
h
x
1 2
Y (t )  Y0  V y 0  t  at
2
1
0  h  0  t  ( g )t 2
2
2h
t
g
V (t )  V0  at  0  ( g )
y
2h
 2 gh
g
Moto circolare uniforme
E’ il moto di un punto materiale su una circonferenza.
Se la velocità è costante in modulo si dice uniforme.
y

P( R, )  ( R cos , Rsen )
R sen
R

x
R cos 
x(t )  R cos (t )
y (t )  Rsen (t )
Velocità tangenziale e velocità angolare
Vtan
R
S
S  R  


t
Vtan
S R   


 R 
t
t

Velocità angolare
Settore angolare
Se la traiettoria è circolare (R=cost) ed è descritta con
moto uniforme (v=cost) si ha = cost. in un moto
circolare uniforme la vel angolare  è costante.
Accelerazione centripeta
Il moto circolare uniforme è comunque un moto
accelerato perché la velocità varia in direzione.
V2
V1
R
dθ
ds
dθ
V1
dV
R
dθ
dθ
V2
V1
dS  R  d
dV  V  d
dV
d
ac 
V 
 V     R    2  R
dt
dt
V V2
ac  V    V  
R R
Accelerazione nel moto circolare
Nel moto circolare abbiamo due tipi di accelerazione, la
radiale o centripeta e la tangenziale
  
a  at  ac
Le direzioni sono ortogonali fra loro
L’accelerazione vettoriale istantanea è la risultante dei
due vettori; nel moto circolare uniforme manca la
accelerazione tangenziale
Moto circolare uniforme e moti armonici
y

P( R, )  ( R cos , Rsen )
R sen
R

x
R cos 
x(t )  R cos (t )
y (t )  Rsen (t )
Moto circolare uniforme e moti armonici
Il moto armonico o periodico è un moto le cui
caratteristiche si ripresentano identiche a intervalli uguali
nel tempo. Il valore di ciascuno di questi intervalli si dice
periodo. La frequenza è la grandezza che indica quante
volte nell’unità di tempo le caratteristiche del moto si
ripresentano identiche.
1

T
2

T
L’unità di misura per la frequenza è s-1 o Hz
La velocità angolare
Moto circolare uniforme e moti armonici
y (t )  Rsen (t )
(t)
tempo
x(t )  R cos  (t )
tempo
Il moto circolare uniforme può essere
pensato come composizione di due moti
sinusoidali nelle direzioni ortogonali
Accelerazione centripeta
nel moto circolare uniforme
x (t )  R cos  (t )
y (t )  Rsen (t )

v
R
dx (t )
d
 Rsen (t )
 Rsen (t )  
dt
dt
dy (t )
d
v y (t ) 
 R cos  (t )
 R cos  (t )  
dt
dt
 (t )
v x (t ) 
v (t )  v x  v y  R 2 2 (sen 2 (t )  cos 2  (t ))  R 2 2  R
2
2
dv x (t )
d
 R cos  (t )
 R 2 cos  (t )
dt
dt
dv y (t )
d
a y (t ) 
 Rsen  (t )
 R 2sen  (t )
dt
dt
a x (t ) 
a (t )  a x  a y  R 2 4 (cos 2  (t )  sen 2 (t ))  R 2
2
2
ac=R2
Grandezze fisiche periodiche
periodo
tempo
Grandezza fisica variabile
Esercizio 1
Un escursionista vuole percorrere a piedi 50 km in 12 ore
Sapendo che nelle prime 3 ore ha tenuto una velocità
media di 3.6 km/h, calcolare la velocità media da tenere
sulla rimanente parte del percorso per restare entro il
tempo prefissato.
s  s1
vm 
t  t1
s1  v mt1  3.6km / h   3h   10.8km
'
50.0  10.8 km
km
vm 
 4.35
12  3
h
h
Esercizio 2
Un lungo viale congiunge i punti A e B. In un dato istante
un pedone imbocca in A il viale che poi percorre alla
velocità costante di 4.5 km/h dirigendosi verso B. 10 minuti
dopo un ciclista imbocca il viale che quindi percorre alla
velocità costante di 18 km/h dirigendosi verso B.
a) Dopo quanto tempo a partire dall’istante in cui la prima
persona imbocca il viale, il ciclista raggiunge il pedone?
b) Quanto dista A dal punto in cui il ciclista sorpassa la
persona a piedi?
km
s1  v1 t1  4.5
(1/6)h  0.75 km
h
v2t2  s1  s2

v1 t 2  s2
v2t2  s1  v1 t 2
s1
0.75
t2 

h  0.0556h  3 min 20 s
v2  v1 10  4.5
t  t1  t2  13 min 20s
s2  v1 t 2  0.25km
s  s1  s2  1km