Numeri Esatti e Numeri Approssimati
Numero di oggetti
Numeri Esatti
Numeri
Approssimati
Numeri fissati per definizione
(1 m = 100 cm; 1 h = 60 min).
Risultati di una misura fisica
(volume, massa, temperatura,
pressione, etc. etc.)
Il risultato di qualunque misura è sempre un numero
approssimato perché ogni misura è caratterizzata da un
certo grado di incertezza.
Una misura consiste nel determinare il rapporto tra
l’entità della grandezza fisica di interesse nel
sistema (“peso” di un corpo) che si sta studiando e
l’entità della stessa grandezza fisica in un sistema
scelto come riferimento (kg).
UNITA’ di MISURA
In campo scientifico esiste l’accordo di utilizzare
definite unità di misura, quelle individuate dal Sistema
Internazionale
Unità di misura
fondamentali
grandezza
dimensione
simbolo SI
lunghezza
massa
tempo
temperatura
corrente elettrica
intensità luminosa
quantità di sostanza
metro
chilogrammo
secondo
grado Kelvin
ampere
candela
mole
m
Kg
s
K
A
cd
mol
La forza di attrazione gravitazionale che la
Terra, in prossimità della superficie, esercita su
qualsiasi oggetto si dice peso dell’oggetto.
P = m • g
P forza peso; m massa; g accelerazione
di gravità (g = 9.81 m/s2)
L’unità di misura del peso è il Newton, e NON il Kg.
Però, se due oggetti hanno la stessa massa hanno lo
stesso peso. La frase peso pari a 1 Kg, va inteso come
peso di un oggetto la cui massa è 1 Kg.
Prefissi del sistema SI
le frazioni ed i multipli di queste unità sono
fattore
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
prefisso
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
simbolo
d
c
m
µ
n
p
f
a
fattore
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
prefisso
deca
etto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
simbolo
da
h
k
M
G
T
P
E
Unità di misura
derivate
grandezza
unità
simbolo
forza
energia
pressione
potenza
quantità carica elett.
diff. di potenziale
flusso magnetico
frequenza
newton
joule
pascal
watt
coulomb
volt
weber
hertz
N
J
Pa
W
C
V
Wb
Hz
definizione dimensioni
N•m
N•m-2
J•s-1
W•A-1
V•s
Kg m s-2
Kg m2 s-2
Kg m-1s-2
Kg m2 s-1
A•s
Kg m2 s-3 A-1
Kg m2 s-2 A-1
s-1
Il Pascal è piuttosto piccolo rispetto alle pressioni ordinarie. E’
d’uso comune esprimere le pressioni in atm o bar.
Una misura consiste nel determinare il rapporto tra
l’entità della grandezza fisica di interesse nel
sistema (“peso” di un corpo) che si sta studiando e
l’entità della stessa grandezza fisica in un sistema
scelto come riferimento (kg).
Il risultato di una misura è SEMPRE affetto da
errori, la cui ampiezza dipende dal metodo usato e
dall’abilità dello sperimentatore.
Argomento della lezione
Immaginiamo di pesarci ad una bilancia elettronica
(una cifra decimale). Sul display leggiamo 59.1 kg.
1) Il numero 59.1 kg è un numero preciso o
approssimato?
2) La misura è precisa? Che intendiamo per
precisione.
Qual’e’ la differenza tra precisione ed
accuratezza?
3) Come riportiamo il risultato della misura?
La precisione di una misura indica quante
diverse determinazioni di una stessa
grandezza sono in accordo tra loro
(riproducibilità)
L’accuratezza è relativa all’errore della
misura (differenza tra il valore misurato ed il
valore vero)
scarsa Precis.
scarsa Accur.
buona Precis.
buona Accur.
buona Precis.
scarsa Accur.
Numero di Cifre Significative
Il numero che deriva da una misura viene espresso
con il conveniente numero di cifre significative
Sono cifre significative di un numero tutte
quelle note con certezza più una
esempi….
43.27
6.2
100.54
0.0000678
È importante non distorcere l’informazione
trascurando precisione laddove c’è, o
aggiungendo precisione laddove manca.
Conteggio delle cifre significative
Tutti i valori rappresentano cifre significative.
Unica eccezione:
Gli zeri che precedono la prima cifra
significativa (digit non nullo) non sono cifre
significative.
Esempio: in 0.0012, gli zeri (in rosso) non
sono cifre significative (il numero in
questione ha due sole cifre significative).
43.27
6.2
100.54
0.0000678
NOTAZIONE SCIENTIFICA
A x 10m ; A = numero compreso tra 1 e 10
m = numero intero.
0.00030=3.0 x 10-4
(il n° di cifre significative è esplicito)
Operazioni:
Nelle moltiplicazioni e divisioni gli esponenti vengono
sommati tra loro, cambiando segno a quelli del
denominatore.
Es: 10-4 x 10-4 = 10-8 ; 10-4 / 10-5 = 10
Nelle somme e sottrazioni, convertire alla stessa potenza
di 10 e sommare o sottrarre i fattori pre-esponenziali.
Es: 5.90 x 1012 – 3.5 x 1011 = 5.90 x 1012 – 0.35 x 1012 =
5.55 x 1012
Valutare il numero di c.f. in un dato sperimentale
riportato come:
-5.027 x 10-27, 1.69100 x 10-15, 1.69100
Arrontondare
-5.027 x 10-27
a 2 cifre significative
3.86994
a 3
0.000124
a 1 “
“
“
“
Convenzioni per l’arrotondamento di un numero:
2.4587
2.459
la cifra da arrotondare è seguita
da un numero di 5; viene incrementata di 1.
1.5673
1.567
la
cifra
da
arrotondare
è
da
un
numero
di
Il numero resta invariato (troncamento).
seguita
5.
se la cifra da eliminare è 5 si sceglie un criterio:
56.785 56.78
5.235
5.24
Le Cifre Significative nelle Operazioni
Il risultato di un calcolo non può essere più
preciso del dato meno preciso usato per il
calcolo stesso.
Nelle addizioni e nelle sottrazioni il risultato
va arrotondato alla prima cifra incerta.
Dovendo sommare
23.581 g +
125.21 g =
Il risultato sarà
148.791 g
Le Cifre Significative nelle Operazioni (ctd.)
Nelle moltiplicazioni e nelle divisioni, l’errore
relativo del risultato è pari alla somma degli
errori relativi dei due fattori.
Quindi il risultato si riporta con tante cifre
significative quanto ne contiene il fattore che
ne ha meno.
Es: 25.321 cm2 x 2.52 cm = 63.9 cm3
850.0 : 26.982
= 31.50
Può capitare che
l’errore relativo diventa troppo grande o
troppo piccolo.
In tal caso va aggiunta o tolta una cifra.
Es: 0.88 x 1.292 = 1.1
L’errore relativo su 1.1 è 0.3/1.1 = 0.27
È 8 volte maggiore dell’
errore relativo su 0.88 è 0.03/0.88 =0.034.
In tal caso si aggiunge una cifra, 1.14.
Quindi 0.03/1.14 = 0.026.
Le Cifre Significative nelle Operazioni
Per quanto riguarda i logaritmi, sia naturali ln
che decimali log, la teoria degli errori mostra
che l’errore assoluto su ln(x) è pari all’errore
relativo su x.
Quindi nel calcolare un logaritmo, il risultato
si esprime con tante cifre decimali quante
sono le cifre significative del dato iniziale,
controllando la consistenza degli errori.
Es: ln(6.518 1012) = 29.5056.
L’errore è 0.0003 simile a 3/6518=0.0005!
Le Cifre Significative nelle Operazioni
Per quanto riguarda gli esponenziali, al contrario
dei logaritmi, la teoria degli errori mostra che
l’errore relativo su exp(x) è pari all’errore
assoluto su x.
Quindi nel calcolare un esponenziale, il risultato
si esprime con tante cifre significative quante
sono le cifre decimali del dato iniziale,
controllando la consistenza degli errori.
Es: exp(9.658) = 1.57 104.
L’errore è 0.003 diverso da 3/157=0.019!
Quindi, exp(9.658) = 1.565 104 (3/1565=0.002)
Le Cifre Significative nelle Operazioni
Quando si devono effettuare calcoli
consecutivi, è bene utilizzare per i valori
intermedi una cifra significativa in più
rispetto a quelle “reali”, in modo da non
perdere in precisione.
Il risultato va però poi riportato col numero
corretto di cifre significative.
Esercizi:
Esprimere con il numero di cifre significative
appropriato il risultato dell'espressione
3.1724•10-6 + 7.6•10-7
R: 3.93•10-6
2.5•102 + 1.1954•107
R: 1.1954•107
5.09•10-9 - 6.9•10-8
R: -6.4•10-8
-2.19•10-17 - 1.437•10-15
R: -1.459•10-15
5.910•1012 × 9.48•109
R: 5.60•1022
ln(0.91)
R: -0.09
exp(-0.126)
R: 0.882
Esercizi:
Convertire:
3.0 mm in cm
R: 0.30 cm
7.89•108 pg in mg
R: 0.789 mg
1.•10-7 g in µg
R: 0.1 µg
9.958•10-4 min in ms
1.453 10-6 m3 in mL
R: 59.75 ms
R: 1.453 mL
94.07 cm3 in L
R: 0.09407 L
