LEZIONI DI FISICA PER IL CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
Titolare
Prof. Fabrizio Gasparini
Dipartimento di Fisica “Galileo Galilei”
Via Marzolo 8
Ufficio 172 (ingresso>a sinistra>primo corridoio a destra)
Telef. 0049 827 70 95
E-mail
fabrizio,[email protected]
Giorno ricevimento : mercoledi’ mattina ore 9-10
Fisica 1 Meccanica - Termodinamica
3/ed
W. Edward Gettys, Frederick J. Keller,
Malcolm J. Skove
Modificate : 4,6,43
Sdoppiate 7 > 7 e 8
Spostate di numero (+1) e
Modificate :22,23,25,40
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+ (oppure) dispense disponibili a:
1
PROGRAMMA
2
Il moto avviene nello spazio e nel tempo.
La posizione “cambia” e il tempo “passa”
La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t)
Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to
La posizione e’ definita da tre numeri , da un VETTORE (U)
Il tempo da uno scalare t, un numero solo.
(Att: un numero non e’ necessariamente adimensionale, e’ il valore assunto da
Una grandezza fisica misurabile in metri. o secondi etc….)
C’e’ moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione)
nel tempo dt
dU/dt ≠ 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt)
dU
U
O (0000)
3
Sistema di riferimento
⇨ non è possibile parlare di quiete, di moto o posizione in senso assoluto
⇨ Si vedra’ perche’ e quali sono l e conseguenze
è sempre necessario stabilire un sistema di riferimento rispetto al quale
facciamo l'osservazione
Sistema levogiro.
Il verso positivo delle
Rotazioni e’ antiorario
e porta x su y, y su z
e z su x
o
O’
X
Z
z
P(x,y,z)
xO
y
Y
P e’ individuato da una terna ordinata di numeri (x,y,z), con segno.
Individuano il segmento OP . OP e’ un vettore
Se si cambia il riferimento i tre numeri cambiano ma O’P individua sempre P
OP e O’P sono dei vettori (raggio vettore) la sua lunghezza e’ (x2+y2+z2)1/2 (Pitagora)
I tre numeri (X,Y,Z) sono indipendenti e corrispondono ai tre gradi di liberta’ di P .
Se P si muove nel tempo, X,Y e Z cambiano di valore nel tempo.
Il vettore OP = OP(t) = (x(t),y(t),z(t))
4
vettori
modulo di un vettore:
V
vx ,vy ,vz
2
V
u 2x u 2y
u 2z 1
moltiplicazione di un vettore per un numero:
W
W
2
versore u:
vettore di lunghezza unitaria:
u
2
vx vy vz
V
aV
2
V
v x ,v y , v z
a v x ,a v y ,a v z
2
2
2
2
2
a vx a vy a vz
a V
aV
a > 0
bV
b < 0
somma di due vettori:
C
A a x , a y ,a z
B bx , b y , bz
A B a x b x ,a y b y ,a z b z
A
B
C
5
vettori
prodotto scalare di due vettori: e’ uno scalare , un numero
A B A B cos
B A cos θ =cos (- θ)B
Se B e’ un vettore unitario U
A∙U = A (1) cos θ = (proiezione di A su U)
A a x ,a y ,a z
B b x , b y , bz
A B a x b x a y b y az b z B A
A
A ∙ A = ax ax + ay ay+ az az = A2
Prodotto di A per se stesso
C
B
prodotto vettoriale: e’ un vettore A X B = C
Il suo verso e’ perpendicolare al piano definito dai vettori A e B e forma con
A
A e B una terna levogira. La sua lunghezza e’ l’area parallelogramma individuato
da A e B. L’obbligo di formare una terna levogira fa si che BXA =C’ opposto a C.
B
C
A B B A
C' B A
C
C'
A
C a y b z b y a z ,a z b x b z a x , a x b y b x a y
C ' b y az a y bz , bz ax az bx , b x a y ax b y
modulo del prodotto:
bl A B sin
C'
sin θ = - sin (- θ)
6
Fissare un riferimento (X,Y,Z) e’ equivalente a fissare tre
VERSORI i , j e k perpendicolari tra loro e costanti, essi formano
Un a terna levogira (dome nell’ordine medio,indice e pollice della
mano sinistra!
Con questa notazione il prodotto vettore e’ :
Z
P
c=
K
j
O
X
i
Y
c = (a2b3 – a3b2) i + (..) j + (…) k
c’ = b x a = (a3b2-a2b3) i +……..
C e c’ sono diversi !!
Che direzione ha il vettore C (oppure C’?). Basta fare il prodotto vettore
Di i e j :
Il vettore “prodotto vettoriale” ha
i j k
direzione perpendicolare al piano
Ixj=1 0 0 =k
j x i = -k
di a e b e verso tale da formare
0 1 0
con a e b una terna levogira.
Il suo modulo = ab sinθ = area del
parallelogramma di lati a e b.
Notare che k = i x j cioe’ k rappresenta la rotazione che porta i su j.
( analogamente i per j su k e j per k su i )
7
Z
K
j
O
X
i
Il vettore OP(t) puo’ essere rappresentato in
Funzione delle sue tra componenti indipendenti
P
Y
OP(t) = (OP ∙ i) i + (OP ∙ J) J + (OP ∙K) K =
= X(t) i + Y(t) J + Z(t) K
Poiche’ i, j e k sono costanti la derivata di OP (velocita’ di P) e’
dOP /dt = dx/dt i + dy/dt j+ dz/dt k =Vx i+Vy j+Vz k
In generale la derivata di un vettore S = s Us con Us parallelo a S di lunghezza
1, ma di direzione variabile .
e’
V = dS/dt = ds/dt Us + s dUs/dt
(vedi piu’ avanti il caso dell’accelerazione)
8
QUALE E” IL PUNTO DI VISTA DELLA “FISICA”?.
Si considerino due situazioni:
a) Lancio di un oggetto verso l’alto con velocita’ iniziale V = (Vx,Vy)
b) Lancio di un oggetto lungo un piano orizzontale V= (Vx, 0)
La posizione P e’ individuta da una coppia ordinata di numeri
Nel caso a) variano sia x che y, nel caso b) y = cost=0
Y
y
P (x,y)
P (X,0)
θ
X
X
9
Lancio di un oggetto: angolo (θ) e velocita’ iniziale (V),
altezza raggiunta, distanza percorsa tempo di volo etc….??
Si possono fare parecchi lanci, misurare tutto etc….. E sapere ,che per
studiare
colpire un oggetto all’altezza Y e nella posizione X , P=(X,Y) si deve lanciare
con un certo angolo e velocita’ (θ,V)
Si puo’ ripetere e trovare come lanciare per (Y1,X1),(Y2,X2) etc…..
c’e’ una correlazione tra i valori trovati per le coppie (θi,Vi) verso (Xi,Yi)?
Questa correlazione puo’ essere ottenuta graficamente, per continuita’.
Cosa succederebbe cambiando l’oggetto lanciato?
Rifare tutte le misure per ogni oggetto. ,
Molto più interessante trovare un formulazione matematica tipo
(X,Y) = F (θ,V)
In F compariranno dei parametri che dipenderanno ovviamente dall’oggetto
lanciato (massa) o dal suo peso (forza di gravita’) etc…
Un disco lanciato di piatto su un suolo orizzontale con attrito costante :
posizione X di arresto in funzione della velocità’ iniziale.
Ripeto il ragionamento ………………..
10
F non puo’ essere arbitraria : deve riprodurre i risultati sperimentali, e dare
una risposta corretta per qualunque altro lancio.
Quanto bene deve riprodurre i risultati delle misure? Tener conto degli errori di misura !
A questo punto si ha una “teoria” : una formulazione matematica che
descrive compiutamente una serie di risultati sperimentali e prevede con precisione
quelli di altre prove.
Traducendo le osservazioni in relazioni matematiche tra le varie grandezze misurate si
troverebbe :
Primo caso
X=BT
Y = C T –D T2
Secondo caso
X= E T – G T2
dove B,D,E,G sono delle costanti
Si e’ indotti a pensare che una stessa causa sia alla base di entrambi
Primo caso
Secondo caso
dX/dT = B
d2X/dT2 = 0
dX/dT = E -2GT
dY/dT = C – 2 D T
d2Y/dT2 = - 2D
d2X/dT2 = - 2 G
Entrambi sono moti ad accelerazione costante: tutti i moti ad accelerazione
costante sono descritti da una stessa forma matematica.
11
Grandezze Fisiche
l'osservazione deve essere quantitativa:
tradursi in un enunciato quantitativo (formula matematica) delle
osservazioni effettuate
leggi fisiche
è fondamentale per poter tradurre le leggi della Fisica in espressioni
matematiche
concetto di grandezza fisica:OSSERVABILI
definiamo una serie di operazioni di laboratorio
consentono di associare ad un concetto fisico un valore numerico
grandezze fisiche della stessa specie si dicono omogenee
molte grandezze fisiche sono note in quanto di uso quotidiano:
lunghezza
tempo
volume
forza
deve essere chiaro come si misurano
la definizione di una grandezza fisica è operativa:
descrive una serie di operazioni da compiere per effettuare la misura
12
Misura
si possono distinguere due tipi di misura:
1) misura diretta: confronto diretto con la grandezza campione
2) misura indiretta: si ricava dalla misura di altre grandezze
esempio:
la velocità media vm (si misura in “m/s”) è definita come il
rapporto tra lo spazio percorso d e il tempo t necessario a
percorrerlo
V = d/t
la misura di d e t è diretta, quella di vm è indiretta
la misura è sempre affetta da errori
Sistemi di Unità di Misura
c'è un numero limitato di grandezze fisiche fondamentali
tutte le altre grandezze vengono derivate da queste
le grandezze fondamentali sono tra loro indipendenti
la scelta della loro unità di misura non influisce sulle altre
la scelta della unità di misura può essere arbitraria
le grandezze derivate sono quelle la cui definizione operativa è fondata sull'uso delle
13
grandezze fondamentali
Sistemi di Unità di Misura
un sistema di misura è formato da tutte le unità fondamentali e da tutte le unità
derivate
nel Sistema Internazionale di misura le grandezze fondamentali sono:
Gran d ezza
Lunghezza
Massa
Intervallo di tem po
Tem peratura assoluta
Intensità lum inosa
Intensità di corrente elettrica
Sim b olo d ella
Gran d ezza
l
m
t
T
I
i
Un ità d i m isu ra
m etro
ch ilogram m o-m assa
secon d o
grad o Kelvin
can d ela
am p ère
Sim b olo
d ell' u n ità
m
kg
s
K
cd
A
nella prima parte del corso si utilizzeranno solo lunghezza,
massa e tempo e loro derivate
14
Angoli
nel Sistema Internazionale gli angoli vengono misurati in unità di arco
angolo in radianti: il rapporto tra l'arco b e il raggio r di un settore
circolare. E’ un rapporto tra due lunghezze : un numero adimensionale
θ=
b
r
l'unità 1 radiante (rad) è l'angolo al centro per cui il raggio e l'arco siano
uguali
angolo giro: circ/r = 2 p rad = 360 gradi
r
b
angolo piatto:(circ/2)/r = p rad = 180 gradi
angolo retto: (circ/4)/r = p/2 rad = 90 gradi
1 radiante sono 57,3 gradi = 180 / p
l'angolo è una grandezza derivata
1 grado sono 0,017 radianti
15
Grandezze fondamentali della meccanica
lunghezza:
l'unità di misura è il metro
è 1650763.73 volte la lunghezza d'onda della radiazione
elettromagnetica emessa dall'isotopo 86 del kripton nella sua
transizione tra gli stati 2p10 e 5d5 quando la lampada è alla
temperatura del punto triplo dell'azoto
tempo:
l'unità di misura è il secondo
è la durata di 9192631770 oscillazioni della radiazione emessa
dall'isotopo 133 del cesio nello stato fondamentale 2S½ nella
transizione dal livello iperfine F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0
Stupefacente ? No: se si vuole misurare un grandezza con una risoluzione di
una parte su 1010 e’ necessaria uno strumento con una precisione di 1011.
Le nanotecnologie lavorano su dimensioni di qualche 10-10 m
Precisione : dispersione dei dati intorno al valore medio
Accuratezza : quanto il valor medio e’ vicino al valore reale
Si puo’ essere accurati ma non precisi , oppure precisi ma non accurati
16
Grandezze fondamentali della meccanica
massa gravitazionale:
la massa indica quanta materia c'è in un corpo, la sua quantità si ha misurando
il peso del corpo (massa gravitazionale mg)
l'unità di misura è il kilogrammo
la massa di un campione custodito a Parigi presso l'Ufficio
Internazionale di Pesi e Misure che consiste in un cilindro di
platino-iridio di 39 mm di diametro e 39 mm di altezza
con l'ausilio di una bilancia si possono confrontare masse gravitazionali tra loro
e con l'unità campione
dalla definizione deriva che è proporzionale alla forza esercitata
dalla attrazione terrestre sul corpo
massa inerziale:
più avanti troveremo un'altra proprietà della materia, l'inerzia
ogni corpo oppone una resistenza a variare il proprio moto
per variare lo stato di quiete o di moto di un corpo occorre
applicargli una forza
questa proprietà della materia introdotta attraverso l'inerzia si indica con il
nome di massa inerziale e la indicheremo con mi
17
Equazioni dimensionali
⋅⋅
per stabilire il legame tra grandezze derivate e quelle fondamentali si utilizzano
le equazioni dimensionali
sono importanti per:
definire le unità di misura derivate
verificare la correttezza dimensionale delle equazioni
[S ]= [l] [ l]= [l2 ]= m 2
Superficie:
[V ]= [l] [ l] [ l]= [l3 ]= m 3
Volume:
Densità:
[ ρ]= [ m ]/[V ]= [ m ]/[l3 ]= kg m− 3
per una grandezza meccanica G:
[G]= [mn lk th]
18
Operazioni con grandezze fisiche
i calcoli tra grandezze fisiche si esprimono come uguaglianze tra i simboli
dato un parallelepipedo di altezza h = 4 m, larghezza l = 3 m e profondità b =
5 m il volume sarà:
V=l·b·h=3m·5m ·4m
V = 60 m3
in questo modo otteniamo anche l'unità di misura del volume
le regole dell'algebra valgono per i valori numerici e per le unità di misura
la somma e differenza di grandezze fisiche ha senso solo se esse sono tra
loro omogenee
il prodotto o il rapporto di grandezze si ottiene moltiplicando o dividendo
anche le unità di misura
per passare da un'unità di misura ad un'altra si può esprimere l'unità di
misura iniziale in termini dell'altra:
(1 Km) = 1000 volte (1 m) e (1 ora) = 3600 volte (1 sec)
v = 30 km/h = 30 x (1 Km) / 1(1 h) = 30 x 1000x(1 m) /(3600 x (1 s))
v = 8.3333 m/s
19
Cinematica
la cinematica studia il moto di un corpo senza considerarne le cause
spostamento: quando un punto materiale si muove la sua
posizione varia nel tempo
traiettoria: la successione delle posizioni assunte dal corpo
al variare del tempo
il caso più semplice : unidimensionale
la traiettoria è un segmento di retta
sistema di riferimento:
retta orientata
i
O
P(x)
x
origine O fissata arbitrariamente istante t=0 fissato arbitr.
Una proprietà caratteristica di un moto è la velocità
il rapporto tra spazio percorso e tempo di percorrenza:
v = Dx/Dt
la sua unità di misura è:
[v]= [l t-1]= metri/secondi
X = xo +vt
[L] =[L] + [L t-1][t]=[L]+[L/t][t]=[L]+[L]
20
Moto rettilineo
moto rettilineo uniforme:
un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli
di tempo uguali
la sua velocità è costante
se mettiamo in grafico lo spazio percorso (sull'asse verticale) in funzione
del tempo (sull'asse orizzontale) otteniamo:
i punti che rappresentano
la posizione stanno su di una
retta la cui pendenza tan a è la
velocità v = Dx /Dt
l'equazione completa della
retta è
x(t) = x(0)+ Vt
Se x (t) e’ una funzione continua di t. OP= x(t)
i
il valore della velocità istantanea risulta essere la derivata della funzione x (t)
che descrive lo spazio percorso in funzione del tempo
V = dOP/dt = dx(t)/dt i
Poiche’ dx puo’ essere positivo o negativo V puo’
avere il verso di i o quello opposto
con il termine “velocita” si intende sempre velocità istantanea
21
Moto
lo spostamento non è stato trattato in modo completo
avviene in uno spazio tridimensionale
abbiamo trattato il caso nello spazio unidimensionale senza
esplicitarlo
nel caso più generale la traiettoria del corpo può essere descritta da:
Z
OP = x I + y J + z K
\
la posizione OP è un vettore
z
(tre moti indipendenti lungo x, y e z)
P(x,y,z)
xO
X
y
Y
La derivata di un vettore e’ ancora un vettore che ha come componenti
Le derivate dei componenti V=dOP/dt =dx/dt I + dy/dt J +dz/dt K
La velocita’ e’ un vettore. Una misura di velocita’ e’ una misura
indiretta : si misurano spazio e tempo.
22
Vettore velocità
Chi e’ dOP ? E che verso ha ? dOP e’ la variazione di OP nel tempo
Infinitamente breve dt . Si consideri un tempo finito ΔT : in esso P sposta
da P1 a P2 e quindo OP cambia da OP1 a OP2,
Δ OP = OP2 – OP1 come mostrato in figura
P2
ΔOP
P1
o
I vettori si mettono in fila!
A+B=B+A=C
A-B=A+(-B)
C
A
B
A
B
C
-B e’ B orientato in verso opposto -B = (-1) x B
Ds
S1
s2
23
Accelerazione
Si consideri ancora un moto rettilineo, lungo un asse X
la velocità in genere non rimane costante
accelerazione: il rapporto tra una variazione di velocità in un certo intervallo
di tempo e l'intervallo di tempo in cui avviene questa variazione:
v
t
a
a = d/dt (dx/dt) = d2x/dt2
come nel caso della velocità possiamo definire:
accelerazione media
i
accelerazione istantanea
a
lim
t
0
l'unità di misura della accelerazione è:
a
vt
1
lt
2
v dv
t dt
m
s
2
24
Accelerazione (caso unidimensionale)
Se la velocita’ mantiene costante la propria direzione
V = v Uv con Uv=cost.
accelerazione tangenziale: è dovuta alla variazione del modulo della
velocità
ha modulo pari alla derivata del modulo della velocità rispetto al
tempo
dv
at =
dt
ha direzione parallela alla velocità nel punto
d v d v uv dv
at =
=
=
uv
dt
dt
dt
perche’ uv e’ costante
25
Accelerazione (caso bidimensionale)
Se V cambia la propria direzione cioe’ Uv non e’ costante nel tempo
accelerazione radiale: il vettore velocità può cambiare anche direzione
ΔVt
ΔV = V2 – V1 ha due componenti ΔVt e Δ Vr………………
V1
si dimostra che questa accelerazione ha:
ΔVr
ΔV
V2
V2
direzione parallela al raggio di curvatura locale della
2
traiettoria
v
modulo pari a
ar =
r
Se si scrive V = V Uv
Si avra’
r
a =dV/dt = dV/dt Uv + V dUv/dt
a = at + ar = dV/dt Ut – v2/r Ur
Se la traiettoria e’ curva “ar” ha sempre verso opposto al
Raggio di curvatura istantaneo (accelerazione centripeta)
Notare che [ v2/r ] = [L t -2]
26
Cinematica del punto
nota la legge oraria s(t), oppure OP(t) da essa si possono ricavare la velocità e
l'accelerazione in ogni istante:
ds t
v t
dt
2
dv t d s t
a t
2
dt
dt
non sempre si conosce la legge oraria, a volte si conosce solo l'accelerazione a(t),
si possono invertire le equazioni precedenti :
v t
s t
a t dt
v t dt
a t d2 t
questo richiede la conoscenza della
velocità e della posizione ad un dato
tempo t0 (condizioni iniziali)
27
Moti
moto rettilineo uniforme:
quando un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in
intervalli di tempo uguali
la sua velocità è costante
istante per istante il vettore velocità giace
sulla stessa retta e punta nella medesima
direzione
possiamo trascurare il carattere vettoriale
della velocità e considerarla come una
grandezza scalare (entro certi limiti)
a=dV/dt =0
V(t) =cost = V0
S(t) = V0dt= V0(t-t0)
= V0 t + cost
28
Moto rettilineo uniformemente accelerato
a = cost = dV/dt
V = ds/dt
dV = a dt
ds = Vdt
Se S (0 ) = S0
e
s=
V=
t
a dt = at + K1
(at +K1) dt = ½ at2 + K1 t + K2
t
V (0) = V0 si ha K1= V0
e K2 = S0
S(t) = S0 + V0 t + ½ a t2
Se S0 e V0 sono entrambi nulli (moto che inizia dall’origine con velocita’ nulla
1
2
at
2
v= at
s=
t
2s
a
v
a
2s
a
2sa
29
Esercizio
Due treni viaggiano con velocità costanti
uno verso l'altro su due binari paralleli:
ad un certo istante passano davanti a due
stazioni distanti tra di loro d = 12 km e si incrociano dopo un tempo t = 6
min. Si calcolino le velocità dei due treni esprimendole in km/h e in m/s,
se il primo treno ha velocità doppia rispetto al secondo
scriviamo le equazioni che danno la
posizione dei due treni nello stesso
sistema di riferimento
x1 t
x2 t
sappiamo che:
dopo 6 minuti i treni occupano
la stessa posizione
v1 t
d
la velocità del primo è doppia di
quella del secondo
v2 t
abbiamo scelto un sistema di riferimento
in cui l'origine coincide con la posizione
della stazione di partenza del treno 1
quindi
2v2 t
d
3v2 t
v2
v2 t
d
d
12 km
12000 m
3t
18 min
1080 s
11.11 m s
30
Esercizio
•
•
Il moto nel piano x, y di una particella
è definito dalle equazioni:
x
t
2
t
y
t
2
t
con = 0.1 m/s2 e = 1 m/s. Si
calcolino i moduli della velocità e
dell'accelerazione all'istante =10 s
le componenti della velocità si
ottengono derivando le equazioni
che danno le componenti della
posizione in funzione del tempo:
vx t
2
t
vy t
2
t
al tempo dato e con i parametri
del problema si ottiene:
v x 10
3m s
v y 10
1m s
2
v
2
vx
vy
10
3.16 m s
per determinare l'accelerazione
basta derivare rispetto al tempo le
componenti della velocità:
ax t
2
ay t
2
e quindi:
a x 10
a
a y 10
2
ax
2
ay
0.2 m s
0.28 m s
2
2
31
data la legge oraria
X (t) = 3 – 6 t
determinare
1) velocità
2) posizione per t=0 s e per t=2 sec
3) quando passa per l'origine
è un moto rettilineo uniforme
1) velocità v = dx/dt
v
data una velocità v=0.4 m/s costante e
x(0)=-2.5 m
1) scrivere la legge oraria
2) determinare la posizione per t=5 s
3) determinare quanto spazio è stato
percorso tra t=0 e t=5 s
è un moto rettilineo uniforme, nel
verso positivo
1) legge oraria:
1)
6m s
1) posizione
t 0s x
t 2s x
3m
9m
0m
t 0.5 s
moto lungo il
verso negativo
0.4 t
2.5
2) calcoliamo la posizione per t=0 e
t=5 s e poi facciamo la differenza
t
1) passaggio per l'origine
x
x t
x
t
t
x 5
5s
x 5
0.5 m
0s x 0
2.5 m
5s x 0
0.5 m
x 0
0.5 m 2.5 m
2m
32
Esercizio
nel nostro caso:
Durante la fase di decollo un
aviogetto percorre la pista, lunga
2.25 km, in 45 s. Calcolare
l'accelerazione, supposta costante
e la velocità posseduta dall'aereo
appena si stacca dal suolo (velocità
di decollo) .
s0 = 0 m
v0 = 0 m/s
possiamo ricavare subito
l'accelerazione:
1
2
a t
2
2 2.25 km
45 s 45 s
s t
a
2s t
2
t
3
4.5 10 m
2
siamo in condizioni di moto rettilineo
uniformemente accelerato:
s t
s0
v0 t
1
2
a t
2.22 m s
2
2025s
– la velocità risulta
v t
2
2
a t 2.22 m s 45 s 100 m s
1
360 km h
1
potevamo ottenere direttamente la
velocità
v t
a t
2s t
2
t
3
2 2.25 10 m
45 s
t
2s t
t
100 m s
1
33
Esercizio
•
⋅
Un aviogetto decolla da un aeroporto per raggiungere un altro aeroporto
distante 1100 km. L'aereo, nella fase di involo, accelera uniformemente per 30
km sino a raggiungere la velocità di crociera di 800 km/h e, nella fase di planata
e di atterraggio, decelera uniformemente con accelerazione eguale in modulo a
quella corrispondente alla fase di involo.
Qual'è il tempo occorrente al jet per compiere l'intero percorso supponendo che
esso segua la rotta più breve?
(t = 1h 27 min)
nel primo tratto moto rettilineo
uniformemente accelerato, di questo
moto conosciamo le seguenti cose:
per la fase di volo di crociera il tempo
impiegato (moto rettilineo uniforme)
risulta essere:
so = 0
v 0= 0 m / s
4
s1= 30 km = 3 10 m
v 1= 800 km / h = 222. 2 m / s
S= ½ at2
V= at
30000 m= ½ at12
222 m/sec = at1
t = √ 2s/a
V= √ 2s/a x a = √ 2sa
a = v2/2s = 0,823 m/sec2
t1 = √ 60000/o.823 = √ 75000 = 270 sec
t2
t
s 2 d 2 s 1 1040km
4680 s
v1
v1
222.2 m s
78 min 1h 18 min
2 t1
t2
9 min
1h 18 min
1h 27 min
34
moto circolare uniforme
moto circolare uniforme:
il moto di un punto che percorre una circonferenza con velocità costante
(in modulo)
la velocità non può essere costante in direzione viste le caratteristiche
del moto
poiché la direzione della velocità varia c'è una accelerazione
(accelerazione centripeta)
V1
a= (V2 – V1)/ Dt=
= (V2 + (-V1))/Dt
V2
a
r1
-V1
r2
quando Dt tende a 0 , r 2 tende a r 1
Secondo il disegno quando r2 tende a r1
V2 – V1 tende a zero , ma anche Dt tende a 0
E il rapporto tende ad un numero finito.
E’ la definizione di derivata……..rapporto tra due
infinitesimi.
V2 +(- V1)
V2
- V1
35
Periodo
si definiscono:
periodico
qualunque fenomeno che a intervalli regolari di tempo si riproduca
secondo una stessa legge che lo caratterizza
periodo (T)
l'intervallo di tempo necessario affinché il fenomeno periodico
considerato riprenda gli stessi caratteri
frequenza ( )
il numero di volte che questo avviene nell'unità di tempo
la sua unità di misura è l'Hertz (Hz)
Frequenza = 1 / T
Moto circolare uniforme
lo spazio percorso durante un periodo T è pari ad una circonferenza (=2 r)
il modulo della velocità è:
v
s
T
che può anche essere scritto come: v
2
2
r
T
r
36
Moto circolare uniforme
raggio vettore
il segmento che in un generico istante congiunge il centro della
circonferenza con P
velocità angolare
il rapporto tra un angolo (in radianti) descritto dal raggio vettore e il
tempo impiegato a descriverlo
t
la velocità angolare si misura in radianti/secondo (rad/s)
nel caso di velocità angolare costante, in un periodo
quindi avremo
2
T
confrontando:
2
con:
v
otteniamo:
v
2
T
2
2
r
r
dove (ovviamente) anche le dimensioni tornano
nel moto circolare uniforme il modulo della velocità
(periferica) è proporzionale al raggio della traiettoria descritta
37
v
r
E’ una relazione scalare
In realta’ ω rappresenta la rotazione che porta il vettore r su r’ = r + dr
nel tempo dt. L’area descritta da r e ‘
dA = r X r’ = r x r + r x dr = 0 + r dr K = r r d θ K = r2 d θ K
ω
dA/dt = r2 d θ/dt K = r2 ω K
ω e’ un vettore parallelo a K ed e’
Una misura della velocita’ “areale”
Vettorialmente
V
r
V=ωxr
a = dV /dt = d ω/ dt x r + ω x dr/dt
e dr/dt e’ ,per definizione V
ma d ω/ dt = 0
K
r’
dr
dθ r
Quindi a = dV/dt = ω x V = ω x (ω x r)
ω x V ha verso opposto a r : e’ cioe’ diretto verso il centro. I vettori sono tutti
perpendicolari: ω x (ω x r) ha lunghezza ω2 r ( oppure V2/r)
Conclusione l’accelerazione e’ un vettore diretto In verso opposto al raggio di
curvatura e di modulo
ω2 r = V2 /r.
38
Moto circolare
anche il moto circolare può essere non uniforme
analogamente al moto vario, varrà la relazione:
d
dt
t
analogamente al caso di velocità varia si avrà una accelerazione angolare
che si misura in rad/s2
t
d
dt
2
d
2
dt
☞ l'accelerazione angolare è legata alla accelerazione tangente:
aT
r
aT = dV/dt = d ω/dt x r + ω dr/dt
e dr/dt e’ nullo
39
Moto circolare uniformemente accelerato
moto circolare uniformemente accelerato:
è un moto in cui è costante l'accelerazione angolare
per esso valgono tutte le considerazioni fatte nel caso di moto rettilineo
uniformemente accelerato (con le ovvie sostituzioni):
⇨s
⇨v
⇨a
t
t
t
0
0
0
t
t2
2
40
Moto relativo
Come si cambia sistema di riferimento?
le osservazioni dello stesso fenomeno fatte da osservatori
diversi con riferimenti diversi devono essere confrontabili ?
A quali condizioni?
la posizione di un punto P in un sistema (A) di riferimento può essere data dal vettore
r che va dall'origine del sistema al punto stesso
in un altro sistema di riferimento (B) sarà data da un altro vettore r´
la posizione dell'origine del secondo sistema di riferimento rispetto al primo è data da rO
r= r0 + r’
per l'algebra vettoriale abbiamo quindi:
z'
z
A
r
P
y
r'
r0
la velocità del punto P rispetto al sistema di
B
x'
y'
v
riferimento A e’
v
dr
dt
d rO
dt
dr
dt
dr'
dt
vO v '
xV
: e’ la velocita’ “assoluta”
vO: è la velocità di B rispetto al sistema A (velocita’ di trascinamento)
v´ : è la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento B (velocita’ relativa)
41
Per l’accelerazione si avra’
a
dv
dt
d vO
dt
dv'
dt
aO
a'
Se i due sist. di rif. si muovono di moto relativo rettilineo e uniforme a0= 0 e a = a’
L’accelerazione (cioe’ la fisica) e’ la stessa in sistemi di rif. in mot rett. Uniforme
Principio di relativita’ Galileiano
Cosa succede se B ruota ?
Sia B fermo ma ruoti intorno a B con vel. Angolare ω.
Sia P fermo rispetto a B V’ = 0
A osserva la velocita’ V = ω r’.
Se B in piu’ si muove rigidamente con velocita’ Vo
sara’ V = Vo + ω r’
Se P si muove rispetto a B con velocita’ V’
Sara’
V = Vo + V’ + ω r’
Wr’
A
PP
r’’
B
42
se il sistema di riferimento B ruota con velocità ω rispetto al sistema A
l'equazione diventa:
d rO d r '
v
dt
dt
vO v '
r'
si ha perché la derivata di r´ rispetto al tempo ha due contributi:
dalla variazione del modulo r´
dalla variazione relativa di direzione
d r ' ur '
dr'
dr '
ur '
dt
dt
dt
d uv
dt
e si può dimostrare che:
r'
d ur '
dt
uv
nel caso più generale, in cui il sistema B ruota, si può dimostrare che l'equazione
che lega le accelerazioni è la seguente:
a
aO
a'
r'
2
v'
43
Dinamica
la dinamica studia il movimento dei corpi in relazione alle cause che lo
producono
dobbiamo conoscere i seguenti elementi:
1) le cause del moto (forze) con le leggi che le determinano in funzione di:
⇥
⇥
⇥
posizione
velocità
altri parametri
2) i parametri del corpo che intervengono in modo essenziale nel moto
3) le equazioni del moto
→
le relazioni che permettono di determinare il moto del corpo
44
Dinamica del punto
per punto materiale si intende un corpo di dimensioni piccole rispetto alle
altre lunghezze in gioco e del quale non interessa studiare la struttura
un corpo può essere approssimato o meno a un punto materiale a
seconda del problema
prima di Galileo e di Newton si pensava che:
lo stato naturale di un corpo (cioè un corpo non soggetto ad interazioni con
altri corpi) fosse quello di quiete
un corpo in moto con velocità costante richiedesse opportune interazioni con
altri corpi .
Questa idea sembra suggerita dall'esperienza quotidiana
una cassa che si muove con velocità costante su di un piano richiede una
forza fornendo una spinta alla cassa sul piano la cassa si mette in moto ma
tende a fermarsi
45
Iº principio della dinamica
questo punto di vista fu universalmente accettato finché, prima Galileo, poi
Newton, eseguendo esperimenti con piani levigati confutarono questa teoria
rendendo le superfici più lisce occorre meno forza per spingere la
cassa, la cassa si ferma dopo aver percorso un tratto maggiore
da questo, estrapolando, deriva il seguente postulato (
Io principio della dinamica):
un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche
causa esterna
46
Iº principio della dinamica
un corpo non soggetto ad interazioni con altri sistemi materiali o sta fermo
o si muove di moto rettilineo uniforme
la proprietà che ha un corpo di opporsi a variazioni della propria velocità fu
chiamata da Newton inerzia
il postulato precedente è noto anche come principio d'inerzia o
anche primo principio di Newton
il primo principio della dinamica si riferisce ad una situazione limite, una
idealizzazione che non può venire realizzata in un esperimento
il principio d'inerzia non può avere significato se non si specifica il sistema di
riferimento usato
consideriamo due sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo
uniforme uno rispetto all'altro:
un corpo che si muove con velocità costante rispetto al primo
sistema si muove con velocità costante anche rispetto al secondo
i sistemi di riferimento inerziali sono sistemi di riferimento in moto
traslatorio relativo rettilineo uniforme
un sistema solidale con la terra è solo approssimativamente inerziale
47
Sistemi Inerziali
quando passiamo da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:
v
vO v '
mentre per le accelerazioni:
a
aO a '
a'
dove, per definizione, a0 = 0
la variazione nello stato del corpo che osservo nei due sistemi è la stessa
la causa di questa variazione deve essere la stessa
il principio d'inerzia può venire formulato nel modo seguente:
in un sistema di riferimento inerziale un corpo persevera nel suo stato di quiete
o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa
esterna
un altro enunciato è quello di Galileo:
tutte le leggi della meccanica quali quelle relative alla caduta dei gravi, delle
oscillazioni etc., sono le medesime per osservatori in moto traslatorio rettilineo
uniforme l'uno rispetto all'altro
48
Iº principio della dinamica
passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:
variano le coordinate dei corpi
variano le loro velocità
Lo stato di un corpo materiale all’istante t sia definito da posizione e velocita’.
Il suo “stato di moto” dalla sua velocita’.
FORZA
Una forza e’ cio’ che provoca una variazione
dello stato di moto di un corpo
49
Forza e accelerazione :
seconda legge della dinamica
una accelerazione è una manifestazione di una forza:
dobbiamo stabilire una relazione quantitativa tra le due
possiamo applicare ad un corpo delle forze note F1, F2, F3, ... e misurare
l'accelerazione prodotta su di un corpo
direzione e verso di forza e accelerazione sono uguali
le accelerazioni sono in genere tra loro diverse in modulo
il rapporto tra forza applicata e accelerazione misurata è costante
F1 F 2 F3
= = =
a1 a2 a3
= costante
questa costante cambia se cambiamo il corpo su cui effettuiamo le misure
l'azione dinamica di una forza su di un corpo è di fornire una accelerazione tale che
F= k a
la costante k è uno scalare definisce una caratteristica del corpo venne chiamata
da Newton massa inerziale
F= ma
questa legge viene indicata come seconda legge della dinamica (o seconda legge
di Newton) mg e mi vengono fatte coincidere
50
Forze
Principio dell'indipendenza delle azioni simultanee:
si ricava dall'osservazione
se più forze agiscono su di un corpo, ciascuna produce l'accelerazione cui
darebbe luogo agendo da sola
se abbiamo 2 corpi che esercitano una forza su di un terzo corpo,
l'accelerazione di questo corpo (a1) risulta essere la somma delle singole
accelerazioni prodotte dagli altri due corpi sul corpo in esame (a12 e a13
rispettivamente):
a1
se moltiplichiamo per la massa m1:
quindi avremo:
a1 2 a1 3
m 1 a1
m 1 a1 2 m 1 a1 3
F1
F 12 F 13
la forza risultante agente su un corpo è la somma vettoriale delle singole forze
esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso
questo viene anche indicato come principio di sovrapposizione
51
Inerzia
dalla seconda equazione della dinamica risulta un pò più chiaro il concetto di
inerzia:
la massa è una proprietà dei corpi
F = ma implica che:
maggiore è la massa m minore è la perturbazione a che la forza F
apporta al corpo
la massa è una misura della resistenza che un corpo oppone a un
tentativo di modifica del suo stato (inerzia)
sperimentalmente si verifica che:
se due corpi A e B di masse mA e mB vengono uniti insieme a formare un
corpo C, la massa mC di questo corpo è pari alla somma delle masse di A e
B:
la massa è una grandezza fisica additiva:
mC = mA + mB
nella fisica classica la materia è una quantità che si mantiene costante e si
conserva questo non è più vero nella meccanica relativistica e nella meccanica
quantistica relativistica
52
Seconda legge della dinamica
la validità della seconda legge della dinamica è data da:
prove sperimentali
prove indirette (tutte le deduzioni che derivano da questa legge sono
verificate)
la seconda legge è valida anche nel caso in cui la forza non sia costante nel
tempo
l'equazione F = ma lega la risultante delle forze agenti alla accelerazione del
corpo
massa e forza sono legati tra loro attraverso l'accelerazione
Unità di misura della forza
l'unità di misura della forza viene espressa in funzione della massa:
F
m a
m lt
2
kg m
s2
l'unità di misura della forza nel sistema internazionale è stata chiamata
kg m
newton (N), quindi:
F
N
s2
53
Sistemi non inerziali
se passiamo da un sistema di riferimento (inerziale) ad uno in moto accelerato
vario (non inerziale) sappiamo che l'accelerazione osservata sul secondo
sistema è
a'
a aO
r'
2
v'
quindi misuriamo una forza
F'
ma'
m a m aO m
F m aO m
r'
r' m2
v'
m2
v'
F F ap p
dove i termini
m aO
m
r'
m2
v'
hanno le dimensioni di una forza
questi termini si indicano con il nome di forze apparenti in quanto
all'osservatore non inerziale appaiono come forze ma non sono riconducibili a
nessuna origine fisica
compaiono solo grazie al moto del sistema di riferimento
54
Forza peso
l'accelerazione posseduta da un corpo in caduta libera si chiama accelerazione
di gravità e viene indicata con il simbolo g
l'accelerazione di gravità vale circa 9.81 m/s2
per il secondo principio di Newton su un corpo di massa m agisce una forza pari
a
F = mg
detta forza peso o peso del corpo
55
Forza peso
la variazione di g rispetto alla
latitudine è dovuto alla rotazione
della terra e al fatto che la misura si
riferisce ad un sistema solidale con
la terra e quindi non inerziale
la variazione con l'altezza è dovuta
alla variazione della distanza del
corpo dal centro della terra
56
Misura della massa
si può utilizzare la seconda legge della dinamica per stabilire la scala di misura
della massa
supponiamo di avere una forza F che applichiamo alla nostra massa
campione m0 e al corpo di massa m
F = m 0 a0 = m a
questa relazione vale anche per gli scalari
F = m 0 a0 = m a
e quindi
a0
m = m0
a
questa è una misura dinamica
l'esperienza dimostra che il valore di m non dipende dal tipo di forza
utilizzata
57
Misura della massa
la misura dinamica della massa è fattibile, ma è imprecisa
consideriamo la forza peso P: sappiamo che vale la relazione scalare
m =
P
g
poiché l'accelerazione dei corpi è la stessa (g) possiamo allora derivare
m1
P1
=
m2
P2
un apparecchio in grado di confrontare le forze peso confronta anche le masse
dei corpi
lo strumento che si utilizza per questo scopo è la bilancia
58
Misura
l'operazione di misura non è altro che il confronto dell'oggetto da misurare
con una grandezza campione assunta come unitaria
dobbiamo sapere a quale unità di misura si riferisce il valore che stiamo
trattando
una grandezza è specificata da:
un numero (risultato dell'operazione di misura)
una unità di misura (indica il tipo di grandezza fisica)
tempo t = 2.3 s
spazio l = 12.8 m
il campione deve essere:
invariabile
facilmente riproducibile
preciso
riconosciuto universalmente
59
Sistemi di Misura
altri sistemi di misura che utilizzano
unità diverse
CGS
MKS
60
Sistema di Misura
c'è una notazione per
indicare i multipli
e sottomultipli di
una unità di misura
Potenza Prefisso
10-24
yocto
-21
10
zepto
-18
10
atto
-15
10
femto
-12
10
pico
-9
10
nano
-6
10
micro
-3
10
milli
-2
10
centi
10-1
deci
1
10
deca
103
chilo
6
10
mega
109
giga
12
10
tera
15
10
peta
18
10
exa
21
10
zetta
1024
yotta
Abbreviazione
y
z
a
f
p
n
m
c
d
da
k
M
G
T
P
E
Z
Y
61
Ordini di grandezza
ordin e di gran dezza di
lu n gh ezze (m )
dim en sion i
1027
dell'u n iverso
distan za della
galassia p iù
1023
vicin a
raggio della
1019
n ostra galassia
u n an n o lu ce
1016
sistem a solare
1014
distan za dal
1011
sole
raggio della
106
terra
sp essore di u n
10-4
foglio di carta
raggi atom ici
10-10
raggi n u cleari
10-14
ordin e di gran dezza di
m asse (kg)
sole
1030
terra
1024
n ave
108
u om o
102
p roton e
10-27
elettron e
10-30
ordin e di gran dezza di
in tervalli di tem p o (s)
età della terra
1017
u n an n o
107
p eriodo delle
10-3
on de son ore
p eriodo delle
10-10
on de radio
p eriodo delle
vibrazion i
10-15
atom ich e
p eriodo delle
vibrazion i
10-21
n u cleari
62
