Diapositiva 1

La cinematica
Descrive il moto in termini di spazio e tempo,
indipendentemente dalle cause del moto.
G. Pugliese, corso di Fisica Generale
1
Traiettoria e legge oraria
 Una particella che assume posizioni diverse P1, P2..in istanti successivi t1, t2,..è in
moto.
 L’insieme delle posizioni occupate nel moto costituisce la traiettoria.
 Lo stato di moto e la forma della traiettoria sono relative al sistema di riferimento
dal quale viene osservato il punto materiale.
z
eq. Della traiettoria: individua la
posizione del punto nel tempo

r t 
st 





r  r t   xt i  y t  j  z t k
x  xt , y  yt , z  zt 
O
y
x
eq. Oraria:
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s  st 
2
Spostamento & distanza percorsa
r spostamento del punto nell’intervallo di tempo t.
Non coincide con la lunghezza s dell’arco P1P2 effettivamente
percorso dal punto.

r
z
P1

r1
  
r  r2  r1
s
P2

r t 

r2
Definiamo velocità media: il rapporto tra
il vettore spostamento e l’intervallo t
O
y
x
Unità di misura:
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  

r r2  r1
vm 

t
t
[v] = L T-1 = m s-1
3
Velocità media
 Non dipende
percorso seguito

 r1
z
 P1
r t 

r1

r3
O
vm2
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 È la pendenza della retta che
congiunge Pinziale a Pfinale
P3
vm3

r2
particolare
 Può essere sia negativa che
positiva a seconda del segno dello
spostamento
P2

r2
dal
 La descrizione del moto è
insoddisfacente  vedi la posizione
occupata in t intermedio!!
Per intervalli sempre più piccoli il
vettore spostamento cambia in
modulo e direzione, così come il
vettore velocità media.
4
Velocità istantanea
 Quanto più si riduce l’ampiezza
degli intervalli di tempo t migliore è
la descrizione del moto!
 Al limite per t  0 la pendenza
della retta congiungente Pfinale-Piniziale
approssima la tangente la curva in P



r dr
vt   lim t  0

t dt
Si definisce Velocità istantanea in P
Se il sistema di riferimento è fisso, in coordinate cartesiane:


 dx  dy  dz 


d 
vt  
xi  yj  zk 
i
j
k
dt
dt
dt
dt
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5
Accelerazione media ed istantanea
Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia:
 accelerazione media nell’intervallo di tempo t finale – t iniziale:

 
v

v

v
finale
iniziale
am 

t
t finale  tiniziale
[L][T] -2 = m/s2




v dv d 2 r
a (t )  lim t 0

 2
t dt dt
 l’accelerazione istantanea:


 d 2x  d 2 y  d 2z 



d
In coordinate cartesiane: a t  
v xi  v y j  v z k  2 i  2 j  2 k
dt
dt
dt
dt
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6
Determinazione del moto: 1 dimensione
Possiamo passare dal vettore allo scalare..
v
t
dv
a
 dv  adt   dv   adt
dt
v0
t0
v
t
v  v 0   adt
v0
t0
t
a0
v  v 0  cost
t
a  cost
Moto uniformemente
v  v 0  a(t  t0 )
accelerato
Moto rettilineo uniforme
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7
Determinazione del moto: 1 dimensione
x
v
t
t
dx
 dx  vdt   dx   vdt
dt
x0
t0
x  x 0   vdt
t0
a  cost
v0
x  x 0  cost
v  cost
Corpo in quiete
x  x 0  v 0 (t - t 0 )
Moto rettilineo uniforme
v  v 0  a(t  t0 )
1
x  x 0  v 0 (t - t o )  a(t - t o ) 2
2
Moto uniformemente
accelerato
x
x0
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t
8
Applicazione: accelerazione di gravità
Se trascuriamo l’attrito con l’aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza
della superficie terrestre si muove verso il basso con una accelerazione costante
pari a circa 9.8 ms-2
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9
Applicazione: caduta libera (v0=0)
1 2
y (t )  gt
2
hh
tc 
2h
g
Tempo di
caduta
tc 
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2h
g
Velocità al suolo
vc  2hg
10
Applicazione: lancio verso l’alto
Supponiamo che una palla venga lanciata
verso l’alto con modulo della velocità pari
a 15m/s. Determinare:
a) il tempo che impiega per raggiungere la
quota massima;
b) l’altezza massima;
c) gli istanti di tempo per i quali la palla
passa ad 8m dalla posizione iniziale;
d) il tempo totale prima di tornare tra le
mani del lanciatore;
e) la velocità in questo istante.
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Determinazione del moto: 2 dimensioni
 
  
dv  adt  v  v0  a(t - t 0 )
{
Il vettore velocità è sempre nel piano
individuato dai vettori costanti v0 ed a
v x  v0x  a x (t - t 0 )
v y  v 0y  a y (t - t 0 )
 
  
1
d r  vdt  r  r0  v 0 (t - t 0 )  a(t - t 0 ) 2
2
{

a  cost
Proiezione del moto in due
dimensioni
1
x  x 0  v 0x (t - t 0 )  a x (t - t 0 ) 2
2
1
y  y 0  v 0y (t - t 0 )  a y (t - t 0 ) 2
2
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Applicazione: moto parabolico
condizioni iniziali

 
a  g   gj
x
x 0  0

r0  0  
y0  0
v 0x  v 0 cos

v0

v 0y  v 0sin 
t0  0
Moto rett. uniforme
x  v 0cos t
{
{
v x  cost  v 0 cos
1
y  (v 0sin  )t  gt 2
2
v y  v 0sin   gt
y(x)  xtan  
g
2
x
2v 02 cos 2
Eq. della Parabola!
Moto uniformemente accelerato
Capitolo 2 Cinematica
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13
Applicazione: moto parabolico (1)
Gittata: imponiamo y = 0
xG
2v 02 cossin  v 02sin(2  )
xG 

g
g
xM
Coordinate altezza max: imponiamo vy = 0
{
xM  xG
2
v 02cossin 

g
v02sin 2
yM 
2g
v 02cossin 
xM 
g
Tempo di volo
tG 
2v sin 
2x M
2x
 M  0
v 0 cos
vx
g
t G  tempo di salita
2
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t G  tempo di discesa
2
14
Applicazione: moto parabolico (1)
Gittata massima:
dx G d v 02sin2 

0
dt
dt
g
cos(2 )  0  2  90 
  45
Riassumiamo:
ymax  sen 2 e v 0
x G  sen 2 e v 0
non dipendono dalla massa
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Applicazione: colpisci il bersaglio
Bersaglio
y
P( x0 , y0 )

v0
Proiettile
x:
Bersaglio
1
y1  v oy t  gt 2
2
1
y 2  y 0  gt 2
2
y1  y2

x1  v 0x t 
y:
Proiettile
x
y
1
1
v0y t  gt 2  y0  gt 2  t  0
2
2
v0y
v 0x
y0
v 0y
x2  x0
v0x
v0x x 0
se imponiamo x1  x 2 
y0  x 0 

v0y
v0y y0
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Moto Piano: la velocità


d r  dsu T 

 d r ds 

v
 u T  vu T
dt dt
 La velocità è sempre tangente alla traiettoria
 in qualunque sistema di riferimento!!
 Abbiamo già visto le componenti cartesiane della velocità…
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Velocità in coordinate polari

ur

u

r

v



r  ru r


 d r dr 
du
v
 ur  r r
dt dt
dt
 dr 
d 
v  ur  r
u
dt
dt
o
Componente normale
Componente trasversa
(Velocità radiale)
Legata alle variazioni di direzione
del raggio vettore
Dipende dalle variazioni del
modulo del raggio vettore
ds
 dr 
 d 
    r2

dt
 dt 
 dt 
2
Modulo della velocità
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v
2
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Derivata del versore
ur1
u1 P1
S
La derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso:
u2
P2
ur2
f
u
u2
f
 

 du 
du  u 
 2u  
0
dt
dt
 
u  u  1

Affinché il prodotto 
du 
u deve essere perpendico lare ad
scalare sia nullo
dt

u  2 u1 sen f
u1
2
 2sen f
2


sen f
sen f f df

u
du

2 
2
 lim
 lim 2
2

lim
ds
s
f
s ds
S 0 s
S 0
S 0


du
du ds ds df df



dt
ds dt
dt ds
dt
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
du df 

ur
dt
dt
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Accelerazione nel moto piano


 dv d 2 r
a
 2
dt dt


scriviamo la velocità come v  vu T
f

uT varia nel tempo

 d 
dv 
du
a  vu T  
uT  v T
dt
dt
dt
 dv 
df 
a
uT  v
uN
dt
dt
// alla velocità, responsabile della
variazione del modulo di v.
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Perp velocità, responsabile della
variazione della direzione di v.
20
Accelerazione nel moto piano
 dv 
df 
a
uT  v
uN
dt
dt
f
df df ds 1

 v
dt ds dt R
s  R f
se CP1  CP2  R
2
 dv 
v 
a
uT 
uN
dt
R
aT
aN
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
a  a T2  a 2N

aT

aN
21
Accelerazione nel moto piano

Moto curvilineo vario: la aT e aN sono diverse da
zero.
Moto curvilineo uniforme: aT = 0

Moto rettilineo vario: aN = 0

Moto rettilineo uniforme: aN = 0 e aT =0


indipendentemente dal sistema di riferimento.
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Moto circolare uniforme
Moto Circolare uniforme: moto piano la
cui traiettoria è una circonferenza.
t 
Il vettore velocità:

• cambia continuamente direzione  a N  0

• constante in modulo  aT  0
Spazio percorso sulla circonferenza:
st   t r
con r  costante
Definiamo velocità angolare:
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ω
d 1 ds v


dt r dt r
 v  ωr
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Moto circolare uniforme
Leggi orarie :
 t   0  ω0 t
ωt  ω0  cost
x 
vω
v2
a  aN 
 ω2 0 R
R
Moto periodico, di T (tempo necessario per compiere un giro completo):
2R 2
T

v

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Moto circolare
Poiché varia il modulo della velocità, v:

dv 
aT 
uT
dt
t 
Poiché  varia, definiamo accelerazione
angolare, a:
x 
vω
a a
d 2 dω 1 dv a T
α 2 


dt
dt
r dt
r
Moto circolare uniformemente
accelerato
 t   0  ω0 (t - t 0 )  α(t - t 0 ) 2
ωt  ω0 α(t - t 0 )
αt   cost
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 a T  αr
1
2
25