Risoluzione e LP

Risoluzione e
Programmazione Logica (Prolog)
Risoluzione
Abraham Robinson [1965]
Se è noto che “P è vera o Q è vera” ed anche che “P è falsa o R è vera”,
allora deve essere il caso che “Q è vera o è vera R ”
“L’idea che sta alla base della risoluzione
è piuttosto semplice”
Logical Foundations of Artificial Intelligence
Michael R. Genesereth
Nils J. Nilsson
P vQ
P v R
QvR
Esempi di equivalenze valide
a

a  
 (a   )

a  
 (a   )

a  
a()

(a   )  (a   )
 ( x a )

x a
 (xa )

x a
a

Va
a

aF
 a

a
Forma normale congiuntiva e clausole
Un letterale è una formula atomica o la negazione di una formula atomica.
Una clausola è una disgiunzione di letterali:
A1  ...  An  B1  ...  Bm
[con Ai , Bj atomi]
equivalentemente, puo essere rappresentata in forma implicativa:
B1  ...  Bm  A1  ...  An
Una formula in forma normale congiuntiva è una congiunzione di clausole.
Qualsiasi formula proposizionale può essere convertita in una formula
proposizionale in forma normale congiuntiva logicamente equivalente.
Qualsiasi formula ben formata della logica dei predicati ø può essere
convertita in una formula ben formata della logica dei predicati in forma
normale congiuntiva ø’. Si osservi che,
1.
2.
In generale ø non è logicamente equivalente a ø’, ma
ø è insoddisfacibile sse ø’ è insoddisfacibile.
Una Base della conoscenza (KB) è un insieme di clausole.
Risoluzione [I]
Caso proposizionale


 
con  
con
( - { })  (  - { })
I simboli  e  indicano clausole, mentre  è uno dei letterali che ne
fanno parte (può naturalmente non essere l’unico).
Esempio
1. {P, Q}
2. {P, R}


3. {Q, R}
1,2
Il simbolo  indica le clausole presenti
inizialmente della ase della conoscenza.
Procedura per Risoluzione Prooposizionale
Premesse...
KB ⊦ φ
sse KB ⊧ φ
sse KB ∪ {⌝φ} insoddisfacibile
sse KB ∪ {⌝φ} incoerente
Come dimostriamo KB ⊦ φ ?
KB ⊦ φ
Esempio di Risoluzione Proposizionale
(Brachman&Levesque)
KB
KB (clausole)
Proving that Girl holds...
KB ⊦ Girl ?
KB ∪ {⌝Girl} unsatisfiable?
Risoluzione [II]
Caso predicativo


(( - { })  (  - {}))
 
con  
con
dove  ( )= (),
è l’unificatore più generale per i due letterali
Esempio
1. {P(x), Q(x,y)}
2. {P(a), R(b, z)}


3. {Q(a,y), R(b, z)}
1,2
Il simbolo  indica le clausole presenti
inizialmente della base della conoscenza. In
questo caso, l’unificatore più generale è
 = {x / a}.
Forme Canoniche per la Risoluzione
k
m
A1  ...  Am  B1  ...  Bn
k=1
A1  ...  Am  B1
k=1
m=1
VF
clausola
clausola di Horn
una calusola con al più un letterale positivo
clausola vuota
TRASFORMAZIONE IN CLAUSOLE
Insieme finito di istruzioni per trasformare una qualunque fbf della logica dei predicati del primo ordine in un
insieme di clausole
(1) Trasformazione in fbf chiusa: ad esempio, la formula,
è trasformata in:
x (p(y)  (y (q(x,y)  p(y))))
[1]
x y (p(y)  (y (q(x,y)  p(y))))
[2]
(2) Applicazione delle equivalenze per i connettivi logici: ad esempio, A  B
è sostituito da  A  B, e la si riduce in forma and-or. La formula [2] diventa:
x y ( p(y)  (y (q(x, y)  p(y))))
[3]
(3) Applicazione della negazione ai soli atomi (e non a formule composte),
tenendo presente che,
x A equivale a X A
X A equivale a x A
(A1  A2  ...  An) equivale a A1  A2  ...  An
(A1  A2  ...  An) equivale a A1  A2  ...  An
[leggi di De Morgan]
la
[3]
si modifica in:
x y ( p(y)  (y (q(x, y)   p(y))))
[4]
(4) Cambiamento di nomi delle variabili: nel caso di conflitti. In [4] la seconda
variabile y viene rinominata z :
x y ( p(y)  (z (q(x, z)   p(z)))) [5]
(5) Spostamento dei quantificatori: in testa alla formula (forma prenessa).
x y z ( p(y)  (q(x, z)   p(z)))
[6]
(6) Forma normale congiuntiva: cioè come congiunzione di disgiunzioni, con
quantificazione in testa.
x y z (( p(y)  q(x, z))  ( p(y)   p(z)))
[7]
(7) Skolemizzazione: ogni variabile quantificata esistenzialmente viene sostituita
da una funzione delle variabili quantificate universalmente che eventualmente
la precedono. Tale funzione è detta funzione di Skolem.
Ad esempio, una formula del tipo: x y p(x, y),
può essere espressa in modo equivalente come: x p(x, g(x)) .
In [7] z è sostituita da f (x, y), perché z si trova nel campo
di azione delle quantificazioni x e y:
x y (( p(y)  q(x, f (x, y)))  ( p(y)   p(f (x, y))))
[8]
Nota
Perdita in espressività. Non è la stessa cosa asserire, F: x p(x) oppure F’: p(f). Vale comunque la proprietà che F è inconsistente se e solo se F’
è inconsistente.
(8) Eliminazione dei quantificatori universali: si ottiene una formula detta
universale (tutte le sue variabili sono quantificate universalmente) in forma
normale congiuntiva.
(( p(y)  q(x, f (x, y)))  ( p(y)   p(f (x, y))))
[9]
Una formula di questo tipo rappresenta un insieme di clausole.
La forma normale a clausole che si ottiene è la seguente:
{ p(y), q(x, f (x, y))}
{ p(y),  p(f (x, y))}
[10]
[11]
I letterali della seconda clausola possono essere riscritti rinominando le
variabili (sostituendo cioè le formule con le loro varianti).
{ p(y), q(x, f (x, y))}
{ p(z),  p(f (w, z))}
[12]
[13]
Qualunque teoria del primo ordine T può essere trasformata in una teoria T’ in forma a clausole. Anche se T non è
logicamente equivalente a T’ (a causa dell'introduzione delle funzioni di Skolem), vale comunque la seguente
proprietà:
Proprietà
Sia T una teoria del primo ordine e T’ una sua trasformazione in clausole, allora T è insoddisfacibile se e solo se T’ è insoddisfacibile.
Il Principio di Risoluzione è una procedura di dimostrazione che opera per contraddizione e si fonda sul concetto di insoddisfacibilità.
UNIFICAZIONE
L’unificazione è una nozione fondamentale, sulla quale sono basati molti metodi per la risoluzione e la deduzione
automatica di teoremi. Per applicare il principio di risoluzione alle clausole non-ground della logica del primo ordine
è necessario introdurre il concetto di unificazione [J.A. Robinson, 1965], e lo stesso vale per l’applicazione della
regola di Modus Ponens Generalizzato, appena visto.
Per unificazione si intende il procedimento di manipolazione formale utilizzato
per stabilire quando due espressioni possono essere identificate procedendo a
opportune sostituzioni delle loro sotto-espressioni con altre espressioni.
Una sostituzione  è un insieme finito di legami fra simboli di variabili
xi ( i = 1, .., n) ed espressioni (termini) ti.
 = {x1/t1, x2/t2,..., xn/tn}, dove x1, x2,..., xn sono distinte.
L’applicazione della sostituzione  a un’espressione E, [E], produce una nuova
espressione ottenuta sostituendo simultaneamente ciascuna variabile xi
dell’espressione con il corrispondente termine ti .
[E] è detta in questo caso istanza di E.
Per renaming si intendono sostituzioni che cambiano semplicemente il nome ad
alcune delle variabili di E. [E] è una variante di E.
Esempio
L’applicazione della sostituzione
all’espressione
produce l'istanza
 = {x/c, y/a, z/w}
p (x, f (y), b, z)
p(c, f (a), b, w).
Analogamente,
[C(y, z)]{y/t, z/neri} = C(t, neri)
[e1]
[C(t, neri)]{y/t, z/neri} = C(t, neri)
[e2]
[C(y, z)]{y /bianchi, t/bianchi, z/neri} = C(bianchi, neri)
[e3]
[C(t, neri)]{y /bianchi, t/bianchi, z/neri} = C(bianchi, neri)
[e4]
[C(y, z)]{y/t, z/bianchi} = C(t, bianchi)
[e5]
[C(t, neri)]{y/t, z/bianchi} = C(t, neri)
[e6]
[T(s(a), f(s(b), s(c)))]{c/s(a), y /s(b), z/s(s(a))} = T(s(a), f(s(b), s(s(a)))
[e7]
[T(q, h(y, z))]{q/p, y /x, z/w} = T(p, h(x, w))
[e8], variante della partenza.
[c (t, neri)] e = c (t, neri)
[e9]
[p (x, y)]{x/a, y/x} = p (a, x)
[e10]
Combinazioni di sostituzioni
Date due sostituzioni 1 e 2
1 ={x1/t1, x2/t2, ..., xn/tn}
2 ={y1/q1, y2/q2, ..., ym/qm}
La composizione 1 ° 2 di 1 e 2 è la sostituzione
{x1/[t1]2,..., xn/[tn]2, y1/q1 , y2/q1, ..., ym/qm}
ottenuta cancellando le coppie xi/[ti]2 per le quali si ha xn=[tn]2 e le coppie yj/qj
per le quali yj appartiene all’insieme {x1, x2,..., xn}.
Se consideriamo, ad esempio, le sostituzioni
1 = {x/f (z), w/r, s/c}
2 = {y/x, r/w, z/b}
la loro composizione produce,
3 = 1 ° 2 = {x/f (b), s/c, y/x, r/w, z/b}.
Sostituzioni più generali
Una sostituzione  è più generale di una sostituzione  se esiste una
sostituzione  tale che  = .
Ad esempio, la sostituzione
 = {y/t, z/neri}
è più generale della sostituzione
 = {y/bianchi, t/bianchi, z/neri}
in quanto  si può ottenere attraverso la composizione {y/t, z/neri}°{t/bianchi},
ovvero,
 = , e  = {t/bianchi}.
Come abbiamo detto, l’unificazione rende identici due o più atomi (o termini) (o
meglio le loro istanze) attraverso la scelta e l’applicazione di una opportuna
sostituzione.
Un insieme di atomi (o termini) A1, A2,..., An è unificabile se esiste una
sostituzione  tale che:
[A1] = [A2] = .... = [An].
La sostituzione  è detta sostituzione unificatrice (o, più semplicemente,
unificatore)
Nota
Se si considerano solo due atomi (o termini), uno dei quali senza alcuna variabile, si ricade in un caso particolare di unificazione, detto
pattern-matching.
Esempio[1] Se si considerano gli atomi: A1 = C(y, z) e A2 = C(t, neri)
possibili sostituzioni unificatrici sono:
 = {y/t, z/neri}
 = {y/bianchi, t/bianchi, z/neri}
la loro applicazione produce la stessa istanza:
[C(y, z)] = [C(t, neri)] = C(t, neri)
[C(y, z)] = [C(t, neri)] = C(bianchi, neri)
La sostituzione: a = {y/t, z/bianchi} è un unificatore ?
Esempio[2] Per gli atomi: A3 = P(x, x, f (a,z)) e A4 = P(y, w, f (y,j))
possibili sostituzioni unificatrici sono:
 = {x/a, y/a, w/a, j/z}
 = {x/a, y/a, w/a, j/c, z/c}
la loro applicazione ad A3 e A4 produce la stessa istanza:
P(a, a, f (a,z)) nel caso della sostituzione 
P(a, a, f (a,c)) nel caso della sostituzione .
Possono esistere più sostituzioni unificatrici, si vuole individuare quella più
generale (mgu, most general unifier).
Nota:  MGU:  si ottiene da  componendola con: a = {z/c}.
Risoluzione
Abraham Robinson [1965]
Se è noto che “P è vera o Q è vera” ed anche che “P è falsa o R è vera”,
allora deve essere il caso che “Q è vera o è vera R ”
“L’idea che sta alla base della risoluzione
è piuttosto semplice”
Logical Foundations of Artificial Intelligence
Michael R. Genesereth
Nils J. Nilsson
P vQ
P v R
QvR
Risoluzione [I]
Caso proposizionale


 
con  
con
( - { })  (  - { })
I simboli  e  indicano clausole, mentre  è uno dei letterali che ne
fanno parte (può naturalmente non essere l’unico).
Esempio
1. {P, Q}
2. {P, R}


3. {Q, R}
1,2
Il simbolo  indica le clausole presenti
inizialmente della ase della conoscenza.
Risoluzione [II]
Caso predicativo


(( - { })  (  - {}))
 
con  
con
dove  ( )= (),
è l’unificatore più generale per i due letterali
Esempio
1. {P(x), Q(x,y)}
2. {P(a), R(b, z)}


3. {Q(a,y), R(b, z)}
1,2
Il simbolo  indica le clausole presenti
inizialmente della base della conoscenza. In
questo caso, l’unificatore più generale è
 = {x / a}.
Risoluzione [III]
La nozione di fattore
Se un sottoinsieme di letterali in una clausola  possiede un unificatore più
generale , allora la clausola ’ ottenuta applicando la sostituzione  alla clausola 
è detta fattore di .
Ovviamente ogni clausola è banalmente fattore di se stessa.
Nota
In genere, la fattorizzazione s’intende come un’operazione di eliminazione delle ridondanze all’interno delle
clausole.
Caso fattorizzato


((’ - { })  ( ’ - {}))
 ’
con  ’
con
dove  ( )= (),
è l’unificatore più generale per i due letterali
Risoluzione Esempio
(Brachman&Levesque)
KB
KB ⊦ HardWorker(sue) ?
Risoluzione Esempio
(Brachman&Levesque)
KB
KB ⊦ HardWorker(x) ?
X
X
X
X
Risoluzione SLD
e
Programmazione Logica
Esecuzione di un Programma [P]
Una computazione corrisponde al tentativo di dimostrare,
tramite la regola di risoluzione, che una formula (goal)
segue logicamente da un insieme di formule (programma);
cioè, che la formula e’ un teorema.
Si deve determinare una sostituzione per le variabili del goal
(detto anche “query”) per cui il goal segue logicamente dal
programma.
Dato un programma P e una query:
:- S (t1, t2, …, tm) .
se x1, x2, …, xn sono le variabili che compaiono in t1, t2, …, tm il
significato logico della query e’: x1 x2 … xn S (t1, t2, …, tm)
e l’obiettivo e’ quello di trovare una sostituzione
 = [x1 / a1, x2 / a2 , …, xn/an]
dove ai sono termini tale per cui P
[S (t1, t2, …, tm)]

Risoluzione SLD
Risoluzione Lineare per Clausole Definite
con funzione di Selezione
(completa per le clausole di Horn)
Dato un programma logico P e una clausola goal G0 , ad ogni
passo di risoluzione si ricava un nuovo risolvente Gi+1 , se esiste,
dalla clausola goal ottenuta al passo precedente Gi e da una
rinomina di una clausola appartenente a P
Una rinomina per una clausola C e’ la clausola C’ ottenuta da C
rinominando le sue variabili.
Quello che segue è un esempio di rinomina:
p(X) :- q (X, g(Z)) .
p(X1) :- q (X1, g(Z1)) .
Risoluzione SLD
Operativamente...
La Risoluzione SLD seleziona un atomo Am dal goal Gi secondo
un determinato criterio, e lo unifica se possibile con la testa
della clausola Ci attraverso la sostituzione più generale:
MOST GENERAL UNIFIER (MGU)
Il nuovo risolvente e’ ottenuto da Gi riscrivendo l’atomo selezionato con
la parte destra della clausola Ci ed applicando la sostituzione i.
Più in dettaglio:
:- A1, …, Am-1, Am, Am+1, …,Ak .
A :- B1, …, Bk .
[Am] i = [A] i
Risolvente,
clausola del programma P, e
allora la risoluzione SLD deriva il nuovo
risolvente
:- [A1, …, Am-1, B1, …, Bq , Am+1, …, Ak] i .
Risoluzione SLD
sum (0, X, X) .
sum (s(X), Y, s(Z)) :- sum (X, Y, Z) .
[CL1]
[CL2]
Goal sum (s(0), 0, W) .
Al primo passo genero una rinomina della clausola [C2]
sum (s(X1), Y1, s(Z1)) :- sum (X1, Y1, Z1) .
Unificando la testa con il goal, ottengo la sostituzione MGU
1 = [X1/0, Y1/0, s(Z1)/W]
Ottengo il nuovo risolvente
[G1] :- [sum (X1, Y1, Z1)]
1
ossia,
.
.
.
:- sum (0, 0, Z1) .
Derivazione SLD
Una derivazione SLD per un goal G0 dall’insieme di clausole
definite P e’ una sequenza di clausole goal
G0 , …, Gn , una sequenza di rinomine di clausole del
programma C1 , …, Cn , e una sequenza di sostituzioni MGU
1 ,…, n tali che Gi+1 è derivato da Gi e da Ci+1 attraverso la
sostituzione n.
La sequenza può essere anche infinita.
Esistono tre tipi di derivazioni:
SUCCESSO, se per
n finito Gn è uguale alla clausola vuota Gn= :-–
FALLIMENTO FINITO, se per n finito non è più possibile derivare
un nuovo risolvente da Gn e Gn non è
uguale a :-–
FALLIMENTO INFINITO, se è sempre possibile derivare nuovi
risolventi tutti diversi dalla clausola
vuota.
Derivazione di
SUCCESSO
sum (0, X, X) .
sum (s(X), Y, s(Z)) :- sum (X, Y, Z) .
Il goal G0 :- sum (s(0), 0, W)
[CL1]
[CL2]
ha una derivazione di successo !
[C1] rinomina di [CL2] sum (s(X1), Y1, s(Z1)) :- sum (X1, Y1, Z1) .
1 = [X1/0, Y1/0, s(Z1)/W]
[G1] :- sum (0, 0, Z1) .
[C2] rinomina di [CL1] sum (0, X2, X2) .
2 = [Z1/0, X2/0]
[G2] :-
Derivazione di
FALLIMENTO FINITA
sum (0, X, X) .
sum (s(X), Y, s(Z)) :- sum (X, Y, Z) .
[CL1]
[CL2]
Il goal G0 :- sum (s(0), 0, 0) ha una derivazione di fallimento finito !
... semplicemente, perché l’unico atomo del goal non è unificabile con
alcuna clausola del programma.
Derivazione di
FALLIMENTO INFINITA
sum (0, X, X) .
sum (s(X), Y, s(Z)) :- sum (X, Y, Z) .
[CL1]
[CL2]
Il goal G0 :-sum(A,B,C) ha una derivazione SLD infinita !
... ottenuta applicando ripetutamente varianti della seconda clausola di P
[C1] rinomina di [CL2] sum (s(X1), Y1, s(Z1)) :- sum (X1, Y1, Z1) .
1 = [A/s(X1),B/Y1,C/s(Z1)]
[G1] :- sum(X1, Y1, Z1) .
[C2] rinomina di [CL2] sum (s(X2), Y2, s(Z2)) :- sum (X2, Y2, Z2) .
2 = [X1/s(X2),Y1/Y2,Z1/s(Z2)]
[G2] :- sum (X2, Y2, Z2) .
...
Non Determinismo
Nella risoluzione SLD, così come è stata enunciata, si hanno due
forme di non determinismo.
La prima forma di non determinismo è legata alla selezione di un
atomo Am del goal da unificare con la testa di una clausola, e viene
gestita definendo una particolare regola di calcolo.
La seconda forma di non determinismo è legata alla scelta di quale
clausola del programma P utilizzare in un passo di risoluzione, e
viene gestita definendo una strategia di ricerca.
Regola di Calcolo
Una regola di calcolo è una funzione che ha come dominio l'insieme dei
letterali (atomi) di un goal e come codominio un insieme formato da un
solo atomo dello stesso goal, ad esempio Am nel goal seguente
:-A1 ,...,Am-1, Am , Am+1 , ..., Ak
sum (0, X, X) .
sum (s(X), Y, s(Z)) :- sum (X, Y, Z) .
[CL1]
[CL2]
G0 :- sum (0, s(0), s(0)) , sum (s(0) ,0 ,s(0)) .
Se si seleziona l’atomo più a sinistra (LEFT-MOST) al primo passo,
unificando l’atomo
sum (0, s(0), s(0)) con la testa di [CL1], si otterrà:
[G1] :- sum (s(0), 0, s(0)) .
Se si seleziona l’atomo più a destra (RIGTH-MOST) al primo passo,
unificando l’atomo
sum (s(0), 0, s(0)) con la testa di [CL2], si avrà:
[G1] :- sum (0, s(0), s(0)) , sum (0, 0, 0) .
Strategia di Ricerca
Questa forma di non determinismo implica che possano esistere più
soluzioni alternative per uno stesso goal, corrispondenti alle diverse
scelte delle clausole con cui tentare l’unificazione.
La risoluzione SLD (completezza), deve essere in grado di generare
tutte le possibili soluzioni e quindi deve considerare ad ogni passo di
risoluzione tutte le possibili alternative.
La strategia di ricerca deve garantire questa completezza
Una forma grafica utile per rappresentare la risoluzione SLD e questa
forma di non determinismo sono gli alberi SLD.
Alberi SLD
Dato un programma logico P, un goal G0 e una regola di calcolo R, un
albero SLD per P  {G0} via R è definito come segue:
1.
ciascun nodo dell'albero è un goal (eventualmente vuoto);
2.
la radice dell'albero è il goal G0 ;
3.
dato il nodo :- A1, ..., Am-1, Am , Am+1 , ..., Ak , se Am è l’atomo
selezionato dalla regola di calcolo R, allora questo nodo genitore ha
un nodo figlio per ciascuna clausola Ci = A :- B1, …, Bq di P tale che A
e Am sono unificabili attraverso una sostituzione unificatrice più
generale .
Il nodo figlio è etichettato con la clausola goal:
:- [A1, …, Am-1, B1, …, Bq, Am+1, …, Ak]
e il ramo, dal nodo padre al figlio, è etichettato dalla sostituzione
dalla clausola selezionata Ci ;
4.
Il nodo vuoto (indicato con “:-”) non ha figli.
e
Strategia di Ricerca
La realizzazione effettiva di un dimostratore basato sulla risoluzione
SLD richiede la definizione non solo di una regola di calcolo, ma anche
di una strategia di ricerca che stabilisca una particolare modalità di
esplorazione dell’albero SLD alla ricerca dei rami di successo.
Le modalità di esplorazione dell’albero piu’ comuni sono:
depth first
[PRIMA IN PROFONDITA’]
breadth first
[PRIMA IN AMPIEZZA]
Entrambe le modalità implicano l’esistenza di un meccanismo di
backtracking per esplorare tutte le strade alternative che
corrispondono ai diversi nodi dell’albero.