Recupero

Recupero 20 Febbraio 2003 (1)
spec SP =
Sort nat, ssss
Opns 0: nat
succ,pred: nat -> nat
A: nat -> ssss
B: ssss x nat x ssss -> ssss
Preds isIn: nat x ssss
axioms
Def(succ(0))
pred(succ(N)) = N
isIn(N,A(N))
isIn(N,B(N,S1,S2))
isIn(N,S1)  isIn(N,B(M,S1,S2))
B(N,S1,S2) = B(N,S2,S1)
A] Caratterizzare/esibire il modello iniziale di SP (si assume che esista), cioè descrivere “la”
tale algebra
B] Perchè “la” nella domanda precedente è scritta in modo strano ?
C] Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere (motivando brevemente le risposte)
1) mod(SP ) |= isIn(0,B(0,S,A(0)))  isIn(0,S)
2) Esite M  mod(SP) tale che M |= isIn(0,B(0,S,A(0)))  isIn(0,S)
3) Esite M  mod(SP) tale che M | isIn(0,B(0,S,A(0)))  isIn(0,S)
4) Per ogni M  mod(SP), M | isIn(0,B(0,S,A(0)))  isIn(0,S)
Recupero 20 Febbraio 2003 (2)
spec SP2 = extend SP
Pred _=<_: nat x nat
Opn P: ssss -> num
axioms
N =< N
N =< M  N =< succ(M)
P(A(N)) = N
P(S1) =< N  P(S2) =< N  P(B(N,S1,S2)) = N
N =< P(S1)  P(S2) =< P(S1)  P(B(N,S1,S2)) = P(S1)
N =< P(S2)  P(S1) =< P(S2)  P(B(N,S1,S2)) = P(S2)
D] Provare usando Birkhoff che
P(B(0,A(0),A(0)) = 0
E] Che funzione è l’interpretazione di P nel modello iniziale (descrivere semplicemente
tale funzione) ?
F] Che funzione è l’interpretazione di P nel modello iniziale (descrivere semplicemente
tale funzione) se rimpiazziamo l’assioma
P(A(N)) = N
P(A(N)) = M ?
con