LO SPAZIO E LE FIGURE
Alla ricerca della città perduta
Livello scolare: 2a-3 a classe
Competenze
interessate
Riprodurre in scala
Contenuti
Omotetie, similitudini
Rapporto tra grandezze
Nuclei
Collegamenti
coinvolti
esterni
Lo spazio e le Geografia
figure
Riconoscere
grandezze
proporzionali e figure
simili in vari contesti
Grandezze
proporzionali
direttamente Le relazioni
Misurare
Argomentare
congetturare
e
Contesto
Carte geografiche
Commento
L’esempio è una situazione problematica che introduce l’allievo al concetto di similitudine tra
figure. La situazione contestualizza tale nozione alle carte geografiche. La risoluzione del problema
in tale contesto avviene perciò in modo naturale a partire dalle conoscenze intuitive che l’allievo ha
maturato relativamente ad esso. L’attività proposta porta quindi l’allievo a costruire le conoscenze
fondamentali relative alle figure simili. L’insegnante alla fine presenta il sapere così costruito in
modo decontestualizzato.
Segue il testo della situazione problematica e le attività proposte agli allievi. L’attività risulterà
particolarmente efficace se l’insegnante stimolerà gli allievi a discutere le soluzioni proposte (cfr.
discussione matematica).
Descrizione dell’attività
L'immagine che vedete nella figura 1 è una parte della carta della Francia: la scala è 1 : 1 000 000.
Su di essa abbiamo evidenziato tre città - Lyon, Grenoble e St.-Étienne - che formano i vertici di un
triangolo scaleno. Queste tre città si trovano tutte nella Francia del sud-est: Lyon appartiene al
dipartimento di Rhône, St.-Étienne a quello della Loire e Grenoble a quello d'Isère.
LO SPAZIO E LE FIGURE
Fig.1
Di esse la meno famosa è forse St.- Étienne. Probabilmente per questo motivo non l'abbiamo più
ritrovata nella carta dell'Europa all'interno di un atlante (Fig. 2).
Fig.2
In questa seconda carta la scala è 1 : 5 000 000. Il problema che abbiamo di fronte è quello di
collocare anche su questa carta St.- Étienne conoscendo la scala e la posizione di Lyon e Grenoble.
Come fare? Abbiamo detto che le tre città formano un triangolo scaleno: dovremo perciò costruire
sulla seconda carta un triangolo più piccolo, ma con le stesse caratteristiche dei primo. Per prima
cosa dobbiamo effettuare delle misurazioni sul triangolo noto.
Iniziamo dalla lunghezza dei lati:
- St.- Étienne - Lyon
4,9 cm
- Lyon - Grenoble
9,3 cm
- St.- Étienne - Grenoble 10,7 cm
Ed ora gli angoli:
- l'angolo coi vertice in Grenoble misura 27°
- l'angolo coi vertice in St.- Étienne misura 60° - l'angolo coi vertice in Lyon misura 93°
La somma dei tre angoli interni dei triangolo ci dà - come ben sapete – 180°.
LO SPAZIO E LE FIGURE
Ora possiamo lavorare sulla carta dell'Europa: sappiamo che la sua scala è 5 volte più piccola di
quella della prima carta (1 : 5 000 000 invece che 1 : 1 000 000).
Come saranno le distanze sulla seconda carta rispetto a quelle della prima?
Evidentemente 5 volte più piccole. Controlliamo questo fatto con i dati che abbiamo a disposizione.
Sulla prima carta la distanza Lyon-Grenoble è di 9,3 cm; sulla seconda di 1,86 cm. Infatti 9,3 : 5 =
1,86.
Quali operazioni dobbiamo fare per calcolare la lunghezza degli altri due lati dei triangolo?
4,9 : 5 = 0,98
10,7 : 5 = 2,14
Ora conosciamo gli altri due lati del triangolo piccolo. Per costruirlo sulla carta dell'Europa
dobbiamo ancora tenere conto degli angoli.
Dobbiamo variarli rispetto al triangolo della prima carta?
Ragionate un po': la direzione da prendere per andare da una città non può variare passando da una
carta all'altra! Quindi gli angoli devono restare uguali.
Ora abbiamo tutti gli elementi necessari per costruire il secondo triangolo (Fig. 3).
Fig.3
Riassumiamo le caratteristiche di questo secondo triangolo:
Lunghezza lati
St.- Étienne-Lyon
Lyon-Grenoble
St.- Étienne-Grenoble
Ampiezza angoli
0,98 cm angolo col vertice in Grenoble
27° angolo
1,86 cm col vertice in St.- Étienne
60° angolo col
2,14 cm vertice in Lyon
93°
Bene: il nostro problema è risolto, ma ora soffermiamoci a considerare i due triangoli e le loro
caratteristiche (Fig. 4)..
LO SPAZIO E LE FIGURE
Fig.4
Gli angoli sono uguali, mentre la lunghezza dei lati dei triangolo maggiore è 5 volte più grande di
quella dei lati dei triangolo minore. Se calcoliamo il rapporto tra il lato maggiore e quello minore
dei primo triangolo otteniamo:
10,7 / 4,9 ~ 2,18
Quanto otteniamo calcolando lo stesso rapporto per il secondo triangolo?
2,14 / 0,98 ~ 2,18
La stessa verifica possiamo farla con gli altri rapporti tra i lati. Possiamo quindi dire che i due
triangoli hanno costante il rapporto tra i lati corrispondenti e quindi che i loro lati formano una
proporzione:
4,9 : 9,3 = 0,98 : 1,86
4,9 : 10,7 = 0,98 : 2,14
9,3 . 10,7 = 1,86 : 2,14
Due figure piane che abbiano queste caratteristiche si dicono simili.
Il rapporto tra i lati corrispondenti di figure simili si chiama rapporto di similitudine.
Figure piane simili hanno la stessa forma.
Riferimenti bibliografici
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1987.
LO SPAZIO E LE FIGURE
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