Appello LPCAC 20 Aprile 2007

Appello LPCAC 20 Aprile
2007
Cognome Nome………………………………
Matricola…………………
Istruzioni:
1. Scrivere in modo chiaro e leggibile
2. Descrivere tutti i simboli usati nelle formule e commentare i passaggi
3. Consegnare TUTTI i fogli che vi vengono dati INTEGRI e numerare le pagine
specificando bella o brutta copia
1. Le matrici unitarie
a. Definizione di matrice unitaria e ortogonale
b. Elencare le proprietà delle matrici UNITARIE
c.
P 1  PT (occorre mostrare che P  PT  I )
Dimostrare che se P è ortogonale allora
2. Matrice inversa
a. Definizione.
1 0 0
b. Quando esiste la matrice inversa? Se esiste, calcolare l’inversa della matrice A   2 1 0 


3 2 1


c.
3.
Dimostrare che l’inversa se esiste è unica
Si considerino i vettori
1
v1  1 ,
1
v1 , v2 , v3
0 
v2  1  ,
 2 
0 
v3  0  .
3 
3
a. Dimostrare che formano una base in
.
b. Dedurre una base ortonormale da v1 , v2 , v3
4. Rappresentazioni matriciali di operatori
a
Relativamente alla base standard, costruire la matrice A rappresentazione dell’operatore
(trasformazione) lineare f che in
b
3
riflette rispetto al piano xy un vettore
x 
u   y  .
 z 
Se A è invertibile determinare A-1. Come sono A e A-1 ? Quindi f e f- -1?
[N.B. Prima di una eventuale inversione verificare che A non sia una matrice speciale.. ]
3 0 4


5. Autovalori ed autovettori. Sia f un operatore rappresentato dalla matrice A  0 2 0


 2 0 1 
a. Calcolare autovalori ed autovettori di A
b. Calcolare la rappresentazione diagonale di f
c. Se B è la rappresentazione diagonale di f calcolare la matrice P tale che B=P-1AP.
1a
Una matrice Q tale che Q*Q  QQ*  I è detta matrice unitaria. Si noti che la matrice è una
generalizzazione della matrice ortogonale P. Infatti se gli elementi di Q sono reali si ha:
Q  P con PPT  PT P  I .
1b
P1
Le colonne e le righe di matrici unitarie sono vettori ortonormali;
P2
Se Q è unitaria, si ha Q  1 ;
P3
Se Q1 , Q2 sono unitarie, tale è anche la matrice prodotto Q1Q2
P4
Se Q è unitaria, qualunque siano i vettori u , v si ha:  Qu , Qv    u , v  ; Qu  u .
Interpretata geometricamente questa proprietà dice che, quando associata ad una
trasformazione lineare, la matrice Q lascia invariati angoli e lunghezze.
P5
1c
Se  è autovalore di una matrice unitaria Q, allora   1 .
Se P   p1 , p2 ,..., pn  è la matrice avente come colonne i vettori pi , i  1, 2,..., n e P T è la
matrice trasposta, la proprietà di ortonormalità dei vettori pi comporta  pi , p j    ij .
Si ha: PT P  I infatti
P P
T
i, j
  pi , p j    ij .
Per l’unicità della matrice inversa si ha quindi P 1  PT
Sia A una matrice (n  n) .Se esiste A1 soddisfacente a AA1  A1 A  I , dove I è la
matrice identità, allora A1 è detta inversa di A.
2a
2b
1 0 0
2 1 0  1 1 1  1
3 2 1
A1 
la matrice A non è singolare quindi è invertibile
T
matrice dei complementi algebrici
A
 1

 2
 0
 
 2

 1
 2

0
1
0
1
0
1

2 0
3 1
1 0
3 1

0 0
1 0
2 1 

3 2 
 1 2 1 
1 0 
  0 1 2 


3 2  

0
0
1

 
1 0 
2 1 
 1 0 0


A1   2 1 0 
 1 2 1 


Verifichiamo che A  A1  I
1 0 0  1 0 0 1 0 0
 2 1 0    2 1 0    0 1 0 


 

3
2
1
1

2
1
0
0
1


 

2c
Pag 12 degli appunti
T
 1 0 0


  2 1 0 
 1 2 1 


I vettori v1 , v2 , v3 formano una base se sono linearmente indipendenti se cioè l’unica
combinazione lineare a formare il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli.
3. a)
a1  0

a1v1  a2v2  a3v3  0
a1  a2  0
a  2a  3a  0
2
3
 1
il sistema omogeneo associato deve cioè possedere solo la soluzione banale. Ciò si
verifica se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero.
1 0 0
1 1 0  1 1  3  3
1 2 3
I vettori v1 , v2 , v3 sono quindi linearmente indipendenti e formano una base in
b ) costruisco base ortonormale
u1  v1
w1 
u1
u1 u1
u2  v2  ( v2 w1)  w1
w2 
w1 , w2 , w3



w1  





1
 
u2   0 
 
1 
u2
u2 u2
u3
u3 u3
w1 w2  0



w1  




1
3
1
 3 

 3


1
 3
3

3
3
1
3
1
3
 3 





w2  



u3  v3  ( v3 w1)  w1  ( v3 w2)  w2
w3 
1



w3  




1
6
1
3
1
6


w1 w3  0



w2  






6


6 

 6

3


3

1
2
u1 u1  3
w1 w1  1
 2 
u2 u2  2

0 

1
 2 
2

w2 w2  1
1 
 
2 
u3   1 
1 
2 
 
w3 w3  1
w2 w3  0
1
2
 2 



1
 2 
2

0



w3  




1
6
1
3
1
6



6


6 

 6


u3 u3 
3
2
3
.
4.
f (e1 )  e1
f (e2 )  e2
z
e3
e1
y
f (e3 )  e3
e2
x
1 0 0 


A  0 1 0 
 0 0 1


A è unitaria (le righe/colonne) sono vettori ortonormali quindi
A1  AT .
1 0 0 


A  0 1 0 
 0 0 1


T
La matrice A e la sua inversa sono uguali. Quindi la trasformazione f e la sua inversa coincidono solo cioè la stessa
trasformazione.
5.
a)
x 
A  u  u
con u   y 
 
 z 
3
0
4
3
4
0
2
0  2    
0
2
1 
2
0
1 
 2     3   1     8   2     2    3  3  8   2     2  4  5  0
1  1
2  2
3  5
autovettore associato a   1
 3  1 x  4 z  0
4 x  4 z  0

x  z  0

(2  1) y  0

3 y  0
2 x  (1  1) z  0
2 x  2 z  0  y  0


x  1

 z  1
y  0

1 
v1  0  c1
 1
autovettore associato a   2
 3  2  x  4 z  0
x  4z  0


(2  2) y  0
0 y  0
2 x  (1  2) z  0
2 x  z  0


x  4z  0

9 x  0
0 y  0

x  0

z  0
y 1

0
v2  1  c2
0
autovettore associato a   5
 3  5  x  4 z  0
2 x  4 z  0

x  2z  0


(1  5) y  0
4 y  0
2 x  (1  5) z  0
2 x  4 z  0  y  0


z  1

x  2
y  0

2
v3  0  c3
1 
b) la matrice A poiché possiede tre autovalori distinti possiede una rappresentazione diagonale B
 1 0 0 
B   0 2 0 
 0 0 5 
c) la matrice P tale che B=P-1AP.
 1 0 1


P   0 1 0
 1 0 2 

